aTìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD.. Thiết diện là hình gì?. Trong mặt phẳng ABCD kéo dài MO cắt CD tại P.. Vậy thiết diện là tứ giác MPNQ.
Trang 1Đáp án toán khối 11
Câu 1: (1,0 điểm )
Giải phơng trình : cos2x 3cosx 1 0 − − = thoả mãn sin x 0 >
Giải: cos x 2 − 3 cosx − = 1 0
⇔ 2 cos x2 − 3 cosx − = 2 0 (0,25)
Đặt t = cosx ta đợc pt : 2t2 – 3t – 2 = 0
= −
2( )
1
2
t ⇒ cosx = − 1
2 (0,25)
2 3
x k (k∈ Z) (0,25)
Do sin x > 0 nên = 2 π + π
2 3
x k (k∈ Z) (0,25)
Câu 2 :(2,5 điểm )
Cho cấp số cộng hữu hạn (um) : u1 , u2 , u3 , , u… m thoả mãn : 2 7
6 4
u + u = 9
u 2u 3
a)Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng.(0,5 điểm)
Có 2 7
6 4
9
2 3
− =
1 1
2 7 9
3
− − =
(0,25)
3
u
d
=−
(0,25)
b)Tìm u12 , u20 , S15 , S20 (1,0 điểm)
u12 = u1 + 11d = 27 (0,25)
u20 = u1 + 19d = 51 (0,25)
S15 = 15u1 + 15.14 d
2 = 225 (0,25) S20 = 20 ( 1+ 20)
2
= 450. (0,25)
c) Cho Sm = u1 + u2 + u 3 + + u… m = 4125.Tìm um ? (1,0 điểm)
Có Sm = m u1 + ( − 1)
2
2
m m
= 4125 (0,25)
⇔ m2 − 5 m − 2750 0 = (0,25)
⇔ m = 55; m = -50 (loại) (0,25)
Vậy u55 = u1 + 54d = 156. (0,25)
Câu 3:(2,5 điểm )
1 (1,5 điểm)
Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 8 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên
a) Gồm 3 chữ số khác nhau (0,5 điểm)
Trang 2Đặt A = { 1,2,3,5,7,8 }
Mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau lấy từ tập A có 6 phần tử là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử nên có : 3
6
A = 120 số (0,5)
b) Gồm 3 chữ số khác nhau không vợt quá 357.(1,0 điểm)
Số có 3 chữ số khác nhau có dạng : X = a a a1 2 3( ai ∈A , i = 1,2,3)
Xét các trờng hợp :
TH1: a1∈ { } 1,2 ⇒ a1 có 2 cách chọn
a2,a3 là bộ sắp xếp thứ tự lấy từ A \ { } a1 nên có : 2
5
A cách
⇒ có 2 2
5
A cách (0,25)
TH2: a1 = 3 ⇒ a1 có 1 cách chọn
a2 ∈ { } 1,2 ⇒ a2 có 2 cách chọn
a3 ∈ A\ { a ,a1 2} ⇒ a3 có 4 cách chọn
⇒ có 1.2.4 = 8 cách (0,25)
TH3: a1 = 3 ⇒ a1 có 1 cách chọn
a2 = 5 ⇒ a2 có 1 cách chọn
a3 ∈ A\ { 3,5,8 } ⇒ a3 có 3 cách chọn
⇒ có 1.1.3 = 3 cách (0,25)
Vậy có 2.A25 + 8 + 3 = 51 số (0,25)
2 (1,0 điểm) Cho khai triển ( )12
2 3x + Gọi a là hệ số của số hạng chứa x3 ; b là hệ số của số hạng chứa x4 Tính tỉ số a
b. Giải: Số hạng tổng quát : 12 − ( ) = 12 −
12k2 k 3 k 12k2 3k k k
C x C x (0,25)
Hệ số của số hạng chứa x3 ⇒ k = 3 ⇒ a = 3 9 3
122 3
C (0,25)
Hệ số của số hạng chứa x4 ⇒ k = 4 ⇒ b = 4 8 4
122 3
C (0,25)
Vậy = 123 9 3
4 8 4 12
2 3
2 3
a C
8
27 (0,25)
Câu 4:(3,0 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của SC , AB
Trang 3
a)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) (0,5 điểm)
Xét 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) có
S là một điểm chung (0,25)
AB // CD
AB (SAB)
CD (SCD)
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = St // AB // CD (0,25)
b) (0,5 điểm) Tìm giao điểm của AM với mp (SBD)
Trong mp (SAC) gọi K = AM∩SO
Có K AM
K SO (SBD)
∈
∈ ⊂
⇒ K = AM∩(SBD) (0,5)
c) (1,0 điểm) Chứng minh : OM // (SAD) , (MNO) // (SAD)
M, O lần lợt là trung điểm của AC , SC nên MO là đờng trung bình của ∆SAC
⇒ MO // SA (0,25)
Mà SA (SAD)
MO (SAD)
⊂
⇒ MO // (SAD) (1) (0,25)
Tơng tự ta đợc : NO // (SAD) (2) (0,25)
Mà MO NO = O
MO (MNO), NO (MNO)
∩
Từ (1) , (2) , (3) suy ra (MNO) // (SAD) (0,25)
d) (1,0 điểm) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNO)
Thiết diện là hình gì?
Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài MO cắt CD tại P
N (MNO) , N (SAB) ∈ ∈
MO//SA
(MNO) (SAB) = NQ//SA//MO(Q SB)
MO (MNO)
SA (SAB)
(0,5)
Có MP,PN,NQ,QM là các đoạn giao tuyến của (MNO) với hình chóp
Vậy thiết diện là tứ giác MPNQ
Chứng minh đợc MQ // NP (0,25)
Suy ra MPNQ là hình thang (0,25)
Câu 5:(1,0 điểm ) Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm :
2sin x m 3 sin x m 5 sin x 2 m 1 0 (1)
Giải
(1) ⇔ ( sin x sinx + 2 2sinx + m 12 − ) ( − = ) 0 (0,25)
⇔sinx = 1 m
2
− (1’) (do sin2x – sinx + 2 > 0 ∀x) (0,25)
Phơng trình (1) có nghiệm ⇔(1’) có nghiệm ⇔ 1 m 1
2
(0,25)
⇔ m 1
m 3
≥ −
≤
(0,25)