TOÁN HÌNH học lớp 10

Chuyên đề Toán hình học lớp 10 cơ bản, chương vec tơ, chương hệ tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình đường elip. Với đầy đủ các dạng toán từ dễ đến khó. Đặc biệt các phần toán về phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình đường elip

CHƯƠNG 1: VECTƠ Dạng 1: Một số định nghĩa liên quan đến vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

Giá của vector là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vector

Hai vector cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

Độ dài vector là độ dài của đoạn thẳng giữa điểm đầu và điểm cuối

Hai vector bằng nhau nếu chsung cùng hướng và cùng độ dài

Vector không: điểm đầu và điểm cuối trùng nhau 0r

có độ dài bằng không và cùng phương, cùng hướng với mọi vector

Ví dụ 1: a) Cho 4 điểm A,B,C,D Hỏi có bao nhiêu vector tạo thành mà điểm đầu và

điểm cuối là mtộ trong 4 điểm trên?

b) Câu hỏi tương tự như trên với 5 điểm A,B,C,D,E

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC Hãy

so sánh về phương và về hướng của các cặp vector sau:

a) MN BCuuuur uuur,

b) MN CBuuuur uuur,

c) uuur uuurAB AC,

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

BC, CD, DA và O là tâm hình vuông Hãy tìm các vector khác 0r

a) Cùng phương với OMuuuur

b) Cùng hướng với OMuuuur

c) Bằng OMuuuur

Ví dụ 4: Cho tam giác đều ABC, kẻ đường cao AH Các đẳng thức sau đây đsung hay

sai? Tại sao?

a) uuur uuurAB AC= b) uuurAB = BCuuur c) BHuuur = CHuuur

a) uuur uuurAB DC= b) uuur uuurAD CB= c) uuurAB = CDuuur

d) BOuuur = ODuuur e) OAuuur= OCuuur f) uuurAC = BDuuur

Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Xác định độ dài các vector sau:

a) v OA OB OC ODr uuur uuur uuur uuur= + + +

b) ur uuur uuur=AB AD+

c) m AB ACur uuur uuur= +

d) n AB ADr uuur uuur= −

Ví dụ 7: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, AB=8,AD=6.

a) Tìm các vector bằng uuur uuur uuur uuurAB BC AO OB, , ,

b) Cho w BA DC CB ADuur uuur uuur uuur uuur= + + + Tính wuur

c) Tính uuurBD

d) Chứng minh rằng: DC AD ACuuur uuur uuur+ =

Dang 2: Chứng minh đẳng thức vector

Qui tắc 3 điểm (chèn điểm): uuur uuur uuurAC=AB BC+

Qui tắc 3 điểm mở rộng (chèn nhiều điểm cùng lúc):

AE= AB BC CD DE+ + +

uuur uuur uuur uuur uuur

(chèn 3 điểm B, C, D)

Chú ý: muốn chèn bao nhiêu điểm cũng được.

Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: uuur uuur uuurAB AD AC+ =

Qui tắc trung điểm, trung tuyến:

I là trung điểm của đoạn AB: IA IBuur uur r+ =0

MI là trung tuyến của tam giác MAB thì ta có: MA MBuuur uuur+ =2MIuuur hay 1( )

2

MI = MA MB+uuur uuur uuur

Qui tắc trọng tâm: GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0

Với mọi M ta có: MA MB MCuuur uuur uuuur+ + =3MGuuuur

Qui tắc làm mất dấu “ - ”’: −uuur uuurAB BA=

Các cách chứng minh đẳng thức A B= thường dùng:

+ Biến đổi VT thành VP

+ Biến đổi VP thành VT

+ Biến đổi tương đương

+ Biến VT thành C, biến VP thành D mà ta đã biết chắc C=D

Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: uuur uuur uuur uuur uuurBC AD DB CD AD+ + + =

Ví dụ 2: Cho lục giác ABCDEF Chứng minh rằng: uuur uuur uuur uuur uuur uuurAD BE CF+ + =AE BF CD+ +

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng:

a) uuur uuur uuur uuurAB CD+ =AD CB+ b) uuur uuur uuur uuurAB AD CB CD− = −

Ví dụ 4: Cho tứ giác MNPQ Chứng minh rằng:

a) PQ NP MNuuur uuur uuuur uuuur+ + =MQ b) MP QN PQ NMuuur uuur uuur uuuur+ + + =0

c) uuur uuuur uuur uuuurNP MN QP MQ+ = + d) MN PQ MQ PNuuuur uuur uuuur uuur+ = +

Ví dụ 5: Cho ngũ giác ABCDE Chứng minh rằng:

a) uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD AE DE+ + = −

b) Cho 5 điểm A,B,C,D,E chứng minh rằng: uuur uuur uuur uuur uuur uuurAC DE DC CE CB AB+ − − + =

Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, một điểm M

bất kì Chứng minh rằng:

a) OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur r+ + + =0 b) MA MC MB MDuuur uuuur uuur uuuur+ = +

c) CO OB BAuuur uuur uuur− = d) uuur uuur uuurAB BC DB− =

e) DA DB DCuuur uuur uuur r− + =0 f) DA DB OD OCuuur uuur uuur uuur− = −

g) uuurAB+2uuur uuurAC AD+ =3uuurAC h) MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ + + =4MOuuuur

Ví dụ 7: Gọi O là tâm của tam giác ABC đều Chứng minh rằng: OA OB OCuuur uuur uuur r+ + =0

Ví dụ 8: Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC gấp đôi đáy nhỏ AD Chứng minh rằng:

2

AC= AD AB+

uuur uuur uuur

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có AM, BN, CP là các trung tuyến Chứng minh rằng:

0

AM BN CP+ + =

uuuur uuur uuur r

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC

Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: OA OB OC OM ON OPuuur uuur uuur uuuur uuur uuur+ + = + +

Ví dụ 11: Cho tứ giác ABCD có M,N là trung điểm của AB, CD I là trung điểm của MN.

Chứng minh rằng:

a) uuur uuurAC BD+ =2MNuuuur b) uuur uuurAD BC+ =2MNuuuur c) IA IB IC IDuur uur uur uur r+ + + =0

Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D à trung điểm của AM, I tùy ý

Chứng minh rằng:

a) 2uuur uuur uuur rDA DB DC+ + =0 b) 2uur uur uurIA IB IC+ + =4IDuur

Ví dụ 13: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, cạnh AB= 4 cm; · 0

30

ACB= Tính:

a) BA BCuuur uuur− b) OC ODuuur uuur+ c) OB OCuuur uuur+ d) uuur uuurAB AC+

Ví dụ 14: Cho ∆ABC cân tại A có góc · 0

120

BAC= , AB=12 cm Gọi M là trung điểm

BC Tính:

a) CM CAuuuur uuur− b) uuur uuurAB AC+ c) MA MBuuur uuur+

Ví dụ 15: Cho tứ giác ABCD có M N I J, , , theo thứ tự là trung điểm AD BC AC BD, , , Cmr:

a) uuur uuur uuur uuurAC BD+ = AD CB− b) uuur uuurAB DC+ =2MNuuuur

c) uuur uuurAB CD+ =2uurIJ d) MN IJuuuur uur uuur+ =AB

Ví dụ 16:Cho hình chữ nhật ABCD có M,N,K,Q theo thứ tự là trung điểm của

AB BC CD DA

a) Chứng minh rằng: uuur uuur uuurAB AC AD+ + =2uuurAC=4MNuuuur

b) Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD Cmr: OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

c) Cmr: OM ON OK OQuuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

d) Cmr: Với mọi điểm I tùy ý ta luôn có: IA IB IC IDuur uur uur uur+ + + =4IOuur

Ví dụ 17: Cho tứ giác ABCD có M,N,K lần lượt là trung điểm AD BC MN, , Cmr:

a) uuur uuur uuur uuurAB DC+ = AC DB+

b) uuur uuur uuur uuurAB DB− =AC DC−

c) KA KB KC KDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

d) MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ + + =4MKuuuur

Ví dụ 18: Cho ∆ABC đều cạnh a Tính:

a) uuur uuurAB AC− b) uuur uuurAB AC+ c) uuur uuurAB BC+ d) BC ABuuur uuur−

Ví dụ 19: Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc Aˆ 60= 0 Tính độ dài uuur uuurAC BD,

theo a

Ví dụ 20: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M,N lần lượt là trung điểm của BC và

AD Tìm tổng của hai vectơ uuurNC và MCuuuur

Ví dụ 23: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo Hãy tính

OA CBuuur uuur− ; uuur uuurAB DC+ ; CD DAuuur uuur−

Ví dụ 24: Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB,BC,CD,DA.

a) Có bao nhiêu vectơ khác 0r

được tạo bởi 3 điểm A,B,Db) Tìm các vectơ cùng phương MQuuuur

c) Tìm các vectơ bằng NPuuur

Ví dụ 25: Cho tam giác ABC đều cạnh a

a) Xác định ur uuur uuur=AB AC− và tính ur

b) Xác định vr=uuur uuurAB AC+ và tính vr

Ví dụ 26: Cho ABCD là hình bình hành tâm O, M là điểm tùy ý Chứng minh các đẳng

thức sau:

a) OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

b) uuur uuur uuur uuurAB CD DB CA− = −

c) MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ + + =4MOuuuur

Ví dụ 27: Cho tam giác ABC trên cạnh AC lấy K sao cho AK=3KC Phân tích BKuuur

theo hai vectơ uuurBC và uuurBA

BK =BC CK+ =BC+ CA BC= + CB BA+ = BC+ CB

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Ví dụ 28: Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB=2MC Hãy phân tích uuuurAM theo hai vector uuur uuurAB AC,

AM =AB BM+ = AB+ BC= AB+ AC AB− = AB+ AC

uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Ví dụ 29: Cho hình thang PQRS vuông tại P và Q, đáy lớn PS =12, đáy nhỏ QR=6, cạnh bên PQ=8 Gọi L là một điểm tùy ý, M là trung điểm của PS.

a) Tìm: QR SP QP SRuuur uur uuur uur+ − − (1.5đ)

b) Tìm: QP PL RQ LRuuur uuur uuur uuur+ + + (1.5đ)

uuur uuur uuur

Dạng 3: Hệ trục tọa độ Descartes vuông góc

Tọa độ vector biết điểm đầu điểm cuối: uuurAB=(x B−x y A; B −y A)

Phép cộng vector: u vr r± =(u1+v u1; 2+v2)

Phép nhân một vector với một số: kur =(ku ku1; 2)

Điều kiện bằng nhau: 1 1

Điều kiện cùng phương: ur=(u u1; 2);vr=(v v1; 2) cùng phương ⇔ =u kvr r⇔u v1 2=u v2 1

Điều kiện thẳng hàng: A B C, , thẳng hàng ⇔ uuur uuurAB AC, cùng phương (uuurAB k AC= uuur)

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔uuur uuurAB DC=

Tọa độ trung điểm: I là trung điểm của AB thì 2

y y y

Tọa độ trọng tâm: G là trọng tâm của ∆ABC thì 3

y y y y

Ví dụ 3: Cho A( ) (3;5 ;B 1; 7 ;− ) (C −5;3) Tìm tọa độ uuur uuur uuur uuurAB AC BC AC, , , −3BC BAuuur uuur,5 −2CAuuur

Ví dụ 4: Cho 3 điểm A( ) (3;5 ,B 1; 2 ;− ) (C 7;19) Chứng minh A,B,C thẳng hàng

c) Cho ba điểm A( ) (3;5 ,B 1; 7 ,− ) (C −5;3) là 3 đỉnh của một tam giác

d) Cho 3 điểm A( ) ( ) (5;7 ,B 1;3 ,C −2; 2) Chứng minh 3 điểm đó tạo thành một tam giác

Ví dụ 6: a) Cho hai điểm A( ) (3;5 ,B 1; 3− ) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB

b) Cho hai điểm A( ) (7;5 ,B − −3; 2) Tìm tọa độ điểm I sao cho B là trung điểm của AI

Ví dụ 7: Cho hai điểm A( ) (3;5 ,B 1; 2− ) Tìm tọa độ của các điểm sau:

a) Điểm C đối xứng với B qua A

b) Điểm D đối xứng với A qua B

Ví dụ 8: Cho hai điểm M( ) (2;3 ;N − −2; 4) Tìm tọa độ điểm I nằm trong đoạn thẳng MN sao cho:

a) MNuuuur=3uuurIM b) 3uurIN =2IMuuur c) INuur=2IMuuur d) INuur=4IMuuur

Ví dụ 9: Cho 3 điểm A( ) ( ) ( )2;5 ;B 1;1 ;C 3;3

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho uuurAD=3uuurAB−2uuurAC

b) Tìm tọa độ điểm P sao cho 3PA PBuuur uuur+ −2uuur uuurPC=AC

c) Tìm tọa độ điểm M sao cho 2MA MBuuur uuur+ −5MCuuuur r=0

d) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành đó

Ví dụ 10: a) Cho tam giác ABC với A( ) (3;5 ;B 1; 7 ;− ) (C −5;3) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB,BC,CA Tìm tọa độ của M,N,P và tọa độ trọng tâm G của ∆ABC

b) Trong mp tọa độ Oxy cho tam giác OMN với M( ) (5;2 ;N 10;8) Tìm tọa độ trung điểmcác cạnh và trọng tâm của tam giác đã cho

c) Cho 3 điểm A( ) ( ) (2; 2 ;B 4;6 ;G −2; 4) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trong tâm của tam giác ABC

d) Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, A(−2;2 ;) ( )B 3;5 Tìm tọa độ C

e) Cho MNPQ là hình bình hành biết M(−4;5 ;) ( ) (P 7;9 ;Q 10; 7− ) Tìm tọa độ điểm N

Ví dụ 11: Cho A(−3;6 ;) (B 9; 10 ;− ) (C −5; 4)

a) Chứng minh ABC là tam giác

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

c) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác BGCD là hình bình hành

d) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA MB MCuuur uuur uuuur+ − =0

Ví dụ 12: Cho tam giác ABC, các điểm M(−4;1 ;) ( ) (N 2; 4 ;P 2; 2− ) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác aBC

(HD: MNAP là hình bình hành nên NA MPuuur uuur= , tương tự các trường hợp còn lại.)

KIỂM TRA 15P

Câu 1: Cho 4 điểm M,N,P,Q chứng minh đẳng thức sau: uuur uuuur uuur uuuurNP MN QP MQ+ = + (4đ)

Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2a, AD=a Xác định vr=BA BCuuur uuur+ và tính vr

a) OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

b) uuur uuur uuur uuurAB CD DB CA− = −

c) MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ + + =4MOuuuur

Câu 4 (1đ): Cho tam giác ABC trên cạnh AC lấy K sao cho AK=3KC Phân tích uuurBK theohai vectơ uuurBC và uuurBA

(MA TRẬN: vecto cùng phương, cùng hướng,bằng nhau; cm đẳng thức vecto; tính tổng

và độ lớn; phân tích vecto theo 2 vecto k cùng phương)

CHƯƠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR VÀ ỨNG DỤNG

Dang 1:Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 <a<180 0 0

Loại 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại

Ví dụ 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại biết:

3

α = − < <α

Loại 2: Tính giá trị biểu thức

Ví dụ 1: Cho tanα =6 Tính giá trị các biểu thức sau:

Loại 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

A −B = A B A B− + 2 2 4 2.2 ( )2 2

sin a c+ os a=1;A = A = A

a) sin4a c− os4a=sin2a c− os2a= −1 2cos2a=2sin2a−1

b) sin2a(1−cos2a) (= −1 sin2a c) os2a−2cos2a+1

Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

Dạng 2: Các bài toán liên quan đến định nghĩa tích vô hướng

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AD AB AC AC DA , ,

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC góc µ 0

90

A= , Bµ =60 ,0 AB=7 Tính uuur uuur uuuruuur uuur uuurAB AC CB CA AC CB , ,

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại C có AC=8,CB=5 Tính uuur uuur uuuruuurAB AC BA BC. , .

uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có AB=5,AC=8,BC=7

a) Tính uuur uuurAB AC

rồi suy ra góc A (uuur uuurAB AC =20; 0

60

A= )b) Tính CA CBuuuruuur

( 44)=c) Gọi C là điểm trên cạnh CA sao cho 1

BA =BAuuur = CA CBuuur uuur− ⇒CA CBuuuruuur

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Một số yêu cầu thường gặp:

+ Tính tích vô hướng suy ra góc

+ Chứng minh tam giác có tính chất gì đó (vuông, cân, vuông cân, đều,…), tứ giác là hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi,…

+ Tính độ dài cạnh, góc, chu vi, diện tích,…

+ Tìm điểm để một tam giác, tứ giác,… thỏa tính chất gì đó (lập thành tam giác vuông, cân, đều,…)

Chú ý: Điểm thuộc trục tung Oy thì có hoành độ bằng 0, điểm thuộc trục hoành Ox thì có

tung độ bằng 0

Ví dụ 1: Cho A(4; 1 ;− ) (B 8; 4 ;− ) (C 16; 6− ) Tính uuur uuur uuuruuur uuuruuurAB AC BA BC CA CB , ,

,cos ,cos ,cosA B C

cos

65

Ví dụ 3: Cho A(−2;7 ;) ( )B 4;3 Tìm điểm M Ox∈ để tam giác ABM vuông tại A

Ví dụ 5: Trong mp tọa độ Oxy cho A( ) ( )2; 4 ;B 1;1 Tìm tọa độ điểm C sao cho ∆ABC

vuông cân tại B

Ví dụ 6: Cho ∆ABC có A(2; 3 ;− ) (B 1; 6 ;− ) (C 5; 4− ) Chứng minh ∆ABC vuông tại A, tính

độ dài các cạnh AB,BC,CA, chu vi và diện tích của ∆ABC

Ví dụ 7: Tính góc giữa hai vector trong các trường hợp sau:

a) ar= −(1; 2 ;) br= −( 1;3) b) ar=(3; 4 ;− ) br =( )4;3

c) ar=( )2;5 ;br=(3; 7− ) d) ar=(8; 6 ;− ) br =(12;5)

Ví dụ 8: Cho A( ) ( )1;3 ;B 4; 2

a) Tìm tọa độ điểm D Ox∈ sao cho DA DB= Tính chu vi tam giác OAB

b) Chứng tỏ OA OB⊥ suy ra diện tích tam giác OAB

Ví dụ 9: Cho bốn điểm A(7; 3 ;− ) ( ) ( ) (B 8; 4 ;C 1;5 ;D 0; 2− ) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông

(uuur uuurAB DC= suy ra hình bình hành; uuur uuurAB AD = ⇒0 AB⊥AD; AB AD= )

Ví dụ 10: Trong mp tọa độ Oxy cho tam giác ABc có các đỉnh A(−4;1 ;) ( ) (B 2; 4 ;C 2; 2− )a) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC

b) Tìm toạ đọ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của 3 điểm I, G, H

a) Chứng minh rằng ∆ABC vuông cân tại A

b) Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC

c) Tìm D Ox∈ sao cho ∆ABD vuông tại B

d) Tìm E Oy∈ sao cho ∆ACE cân tại C

e) Tính CA CBuuuruuur

suy ra cosC.f) Tính cos(OA CBuuur uuur, )

với O là gốc tọa độ

Ví dụ 12: Cho A(− −6; 5 ;) (B − −8; 11 ;) (C − −4; 11)

a) Tam giác ABC là tam giác gì? Tính chu vi tam giác ABC

b) Tìm M∈Ox sao cho ∆ABM vuông tại A

c) Tìm N Oy∈ sao cho ∆ACN cân tại C

a) Chứng minh ∆ABC vuông cân

b) Tính ch vi và diện tích tam giác ABC

c) Tìm M∈Ox sao cho ∆ABM vuông tại A

d) Tìm N Oy∈ sao cho ∆ACN cân tại N

e) Tính CA CBuuuruuur

suy ra cosC.f) Tính cos(OA CBuuur uuur, )

với O là gốc tọa độ

Ví dụ 14: Cho A( ) ( ) (1;1 ;B 2; 4 ;C −3;0) Tìm tọa độ trọng tâm G, tính độ dài trung tuyến

AM, tính 2AB OCuuur uuur+

Ví dụ 15: Cho A(−3;6 ;) ( ) ( )B 0;1 ;C 3;2

a) Tìm tọa độ trọng tâm G

b) Tìm tọa độ điểm Q để tứ giác MNPQ là hình bình hành

c) Tính độ dài MQ NPuuuur uuur,

d) Tìm tọa độ tâm I của MNPQ

Ví dụ 16: Cho A(−3;6 ;) (B 1; 2 ;− ) ( )C 6;3

a) Chứng minh A B C, , là 3 đỉnh của một tam giác

b) Tính chu vi tam giác ABC

c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABc và tính bán kính của đường tròn đó

Ví dụ 17: Cho hai điểm A( ) ( )4;3 ;B 2;5

a) Tìm tọa độ điểm C để tam giác ABC vuông cân tại C

b) Tìm tọa độ điểm D để ACBD là hình bình vuông Tính diện tích hình vuông đó.c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp 4 điểm A,B,C,D

Ví dụ 18: Cho bốn điểm A( ) ( )2;3 ;B 9;4 ;M( ) (5; ;x N x; 2− )

a) Tìm y để tam giác AMB vuông tại M

b) Tìm tọa độ điểm I để AMBI là hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật đó

c) Tìm x để A,B,N thẳng hàng

Ví dụ 19: Cho hai điểm A( ) ( )1;3 ;B 4; 2

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox và cách đều hai điểm A,B

b) Tính chu vi và diện tích tam giác OAB

Ví dụ 20: Cho 3 điểm A(−1;1 ;) ( ) (B 1;3 ;C 2;y) Tìm y để:

a) Ba điểm A,B,C thẳng hàng

b) Tam giác ABC vuông tại A

c) Tam giác ABC đều

Ví dụ 21: Trong mp Oxy cho ∆ABC với A( ) (2; 4 ;B −3;1 ;) (C 3; 1− ).

a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

b) Tìm tọa độ chân A′ của đường cao vẽ từ đỉnh A

HD:a) BD BA BCuuur uuur uuur= + =(11;1) và B(−3;1) suy ra D

b) Gọi A x y′( ; ) là chân đường cao vẽ từ A ta có:

Ví dụ 22: Trong mp tọa độ Oxy cho bốn điểm A(−1;1 ;) ( ) ( ) (B 0; 2 ;C 3;1 ;D 0; 2− ) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân

(Cm: DCuuur=3uuurAB⇒DC/ /AB; AD BC= )

Dạng 4: Hệ thức lượng trong tam giác

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a=2 3;b=2,Cµ =300 Tính cạnh c, góc A, góc

B, S∆ABC, , , ,R r h m a a

Ví dụ 2: Cho tam giác ABc có các cạnh a=13,b=14,c=15 Tính S∆ABC, , , ,R r h m a a

Loại 1: Bài tập tính toán (tính các góc, các cạnh, đường cao, trung tuyến , phân giác, tính diện tích, chu vi,… )

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c= , = , = biết một số yếu tố, tính các yếu tố còn lại (A B C a b c S, , , , , , ∆ABC, , , ,R r h m a a, )

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH Cho AH =12,HB=4,HC=6 Tính góc A

và diện tích tam giác ABC

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB=3,AC=4,S=3 3 Tính BC

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có AB=8,AC=9,BC=10 Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM =7 Tính độ dài đoạn AM

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có AC=2,AB=3,BC=4 Vẽ đường cao BH, tính HC

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có AC=6,AB=3,BC=5 Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM =2AM , trên cạnh BC lấy điểm K sao cho 3KB= 2KC Tính MK

Ví dụ 11: Cho hình bình hành ABCD, tâm O

a) Cho AB=5,AD=8,A=600 Tính độ dài AC BD, và diện tích hình bình hành ABCDb) Cho AB=13,AD=19,AC=24 Tính BD

Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có a=13,b=14,c=15.

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính độ dài đường cao từ đỉnh A

c) Tính độ dài trung tuyến từ đỉnh C Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

d) Tính góc A

Ví dụ 13: Cho tam giác ABC có 0

5, 8, 60

b= c= A=a) Tính diện tích tam giác ABC Tính cạnh a

b) Tính độ dài trung tuyến từ đỉnh C Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ví dụ 14: Cho tam giác ABC có a=5,c=8,B=1200

a) Tính độ dài trung tuyến từ đỉnh C Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

b) Tính b R S, , ABC

Ví dụ 15: Cho tam giác ABC có a=7,b=9,c=12

a) Tính diện tích tam giác aBC Tính độ dài dduowgf cao từ đỉnh C

b) Tính độ dài trung tuyến từ đỉnh A Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

c) Tính góc B

a= b= C=a) Tính diện tích tam giác ABC, tính cạnh c

b) Tính độ dài đường trung tuyến từ đỉnh C, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ví dụ 17: Cho tam giác ABC có a=25,b=17,c=12.

a) Tính diện tích tam giác ABC, tính đọ dài đường cao từ đỉnh B

b) Tính độ dài đường trung tuyến từ đỉnh B, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Ví dụ 20: Cho tam giác ABC có 3, 5, 15 3

4

AC= AB= S = Tính góc A (biết góc A tù), tínhcạnh BC, tính r R, ; đường cao kẻ từ A, đường trung tuyến kẻ từ C

Ví dụ 21: Cho tam giác ABC có a=10,b=6,S=36,r=3 Tính c m R h, B, , a

Ví dụ 22: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=4, AD=3 Từ A kẻ AH vuông góc với BD tại H Tính AC và tính AH

Ví dụ 23: Cho tam giác ABC đều có cạnh là 12, lấy E thuộc cạnh AB sao cho AB=3AE Hãy tính CE, diện tích tg BCE, đường cao CH của tam giác ACE

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Chủ đề 1: ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

Các dạng phương trình đường thẳng

vtpt n a b



 rPhương trình a x x( − 0) (+b y y− 0)=0

;

d

qua M x y d

vtcp u u u



 uurPhương trình

;

d

qua M x y d

Giữ nguyên phần x,y Đổi vị trí, đổi dấu 1 hệ số phần x,y

Ghi nhớ: Song thì pháp pháp phương phương; Vuông thì phương pháp pháp phương.

Tức là: Nếu hai đường thẳng song song thì pháp tuyến của đường này cũng là pháp tuyến

của đường kia; chỉ phương của đường này cũng là chỉ phương của đường kia

Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì chỉ phương của đường này là pháp tuyến của đường kia; pháp tuyến của đường này là chỉ phương của đường kia

Các loại đường trong tam giác hay yêu cầu viết phương trình.

Cạnh tam giác Đường trung

tuyến Đường cao Đường trung bình Đường trung trực

Qua 2 đỉnh Qua đỉnh và

trung điểm cạnhđối diện

Qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện

Qua 2 trung điểm của 2 cạnh

Qua trung điểm

và vuông góc với cạnh

Cách đổi vtcp sang vtpt và ngược lại: Đổi vị trí và đổi dấu một em

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng nói chung

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát trong các trường hợp sau:

a) d đi qua M( )2;1 và có vtcp ur=( )3; 4

b) d đi qua M(5; 2− ) và có vtpt nr =(4; 3− )

c) d đi qua hai điểm A( ) ( )3; 4 ;B 4;2

d) d đi qua điểm M( )2; 4 và song song với ∆: 2x y+ − =5 0

e) d đi qua điểm M(−3; 2) và vuông góc với ∆: 7x y+ − =5 0

f) d đi qua điểm M( )3;7 và vuông góc : 4

d) d đi qua M( )2; 4 song song với ∆: 2x y+ − =5 0

e) d đi qua điểm M(−3; 2) và vuông góc với ∆: 7x y+ − =5 0

f) d đi qua điểm M( )3;7 và vuông góc : 4

d) d đi qua M( )2; 4 song song với ∆: 2x y+ − =5 0

e) d đi qua điểm M(−3; 2) và vuông góc với ∆: 7x y+ − =5 0

f) d đi qua điểm M( )3;7 và vuông góc : 4

Dạng 2: Lập phương trình các đường trong tam giác

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với A( ) (2;7 ;B −6;1 ;) (C −14; 3− ) Viết:

a) PTTS của cạnh AB

b) PTTQ của trung tuyến BM

c) PTCT của đường cao AH

d) PTTQ của đường trung bình qua trung điểm hai cạnh AB,AC

e) PTTS của đường trung trực cạnh BC

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số, tổng quát của các cạnh AB,BC,CA; các đường trung

tuyến AM,BN,CP; các đường cao AH,BK,CL; đường trung trực các cạnh của tam giác; đường trung bình lần lượt qua trung điểm các cặp cạnh của tam giác; đường thẳng qua A

và vuông góc với BC; đường thẳng qua A và song song với BC

ĐỀ KIỂM TRA 45P

Câu 1 (3đ): Cho tam giác ABC có 4, 6,cos 1

4

BA= AC= A= −

a) Tính BC (BC=8) b) Diện tích tam giác ABC (p=9, S=3 15)

c) Độ dài đường trung tuyến hạ từ B (m b = 31)

Câu 2 (7đ)

Trong mp tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A( ) (1;3 ;B 1; 2 ;− ) (C −1;1)

a) Viết phương trình đường thẳng cạnh BC của ∆ABC

b) Viết pt đường thẳng ( )d qua A và vuông góc cạnh BC (− +2x 3y− =1 0)

c) Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ( )d và ( )d′ :x y− =0 ( d cắt d’, I( )1;1 )d) Tính chiều cao AH, (H thuộc BC) của ∆ABC (( )BC : 3x+2y+ =1 0;

a b

∆ + = > >

( ) ( )

a) ( )C có tâm I(−3;5) và bán kính R= 5

b) ( )C có tâm I(−3;5) và đi qua điểm M(2; 1− ∈) ( )C

c) ( )C có đường kính ABvới A(− −2; 5 ;) (B 2; 1− )

d) ( )C có tâm I(−1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x−4y+ =2 0

d) ( )C ngoại tiếp tam giác ABC với:

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các điểm tương ứng

e) ( ) ( ) (2 )2

C x+ + −y = ; d: 6x−8y+ =1 0

Chủ đề : Elip

Dạng 1: Xác định các yếu tố của elip

Ví dụ 1: Xác định các yếu tố của elip (E):

19

y

i) 16x2+25y2 =400g) 9x2+25y2 =225

Dạng 2: Lập phương trình chính tắc của elip

Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết (E):

h) Có một tiêu điểm là F1(− 3;0) và qua 1; 3

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ ur≠0r đgl vtcp của ( )∆ nếu giá của ur

song song hoặc trùng với ( )∆( ) 0( ( 0 )0)

1 2

;:

phương trình này đgl phương trình chính tắc của đường thẳng

(trường hợp a= 0 hoặc b= 0 thì không có pt chính tắc)

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ nr≠0r đgl vtpt của đường thẳng ( )∆ nếu giá của nr

vuông góc với ( )∆

f) Qua Q( )2;1 và song song với đường thẳng d có pt: 2x y+ − =5 0

g) Qua P(−1;1) và vuông góc với đường thẳng d có pt: 2x−3y+ =1 0

giảia) ( ) : ( (1; 3) )

( )∆ song song với đường thẳng d có pt: 2x y+ − =5 0 nên ( )∆ có vtpt là: nr=( )2;1 ⇒ ∆( )

có vtcp là: ur= −(1; 2)

∆

d

( )∆ vuông góc với đường thẳng d có pt: 2x−3y+ =1 0 nên ( )∆ có vtcp là: ur=(2; 3− ) ( ) : ( ( 1;1) )

e) Qua M( )2;5 và song song với đường thẳng d: 3x+4y− =7 0

f) Qua M( )2;5 và vuông góc với đường thẳng d: 3x+4y− =7 0

g) Qua A( ) ( )5;0 ;B 0;2

Giảia) ( )∆ qua M( )1;3 và có vtpt nr=( )2;5 nên có phương trình tổng quát là:

2 x− +1 5 y− = ⇔3 0 2x+5y− =17 0

b) ( )∆ có vtcp ur=( )3;7 ⇒ ∆( ) có vtpt là nr=(7; 3− )

Phương trình tổng quát của ( )∆ là: 7(x− −1) (3 y− = ⇔2) 0 7x−3y− =1 0

c) ( )∆ qua M( ) ( )4;1 ;N 5;3 nên có vtcp là MNuuuur=( )1; 2 ⇒ ∆( ) có vtpt là nr=(2; 1− )

Phương trình tổng quát của ( )∆ là: 2(x− −4) (1 y− = ⇔1) 0 2x y− − =7 0

( )∆ qua điểm M( )2;5 nên: 3.2 4.5 + + = ⇒ = −c 0 c 26

Vậy phương trình tổng quát của ( )∆ là: 3x+4y−26 0=

f) Cách 1: ( )∆ vuông góc với đường thẳng d: 3x+4y− =7 0 nên ( )∆ có vtcp là:

( )3; 4

ur=

( )

⇒ ∆ có vtpt là nr=(4; 3− )

Phương trình tổng quát của ( )∆ là: 4(x− −2) (3 y− = ⇔5) 0 4x−3y+ =7 0

Cách 2: ( )∆ vuông góc với đường thẳng d: 3x+4y− =7 0 nên phương trình ( )∆ có dạng: 4x−3y c+ =0

( )∆ qua điểm M( )2;5 nên: 4.2 3.5 − + = ⇒ =c 0 c 7

Vậy phương trình tổng quát của ( )∆ là: 4x−3y+ =7 0

Chú ý: Đường thẳng ( )∆ / / :d ax by c+ + =0 (a,b,c là các hệ số đã cho trước) nên pt ( )∆

Giải

Phương trình cạnh AB:

Đường thẳng AB đi qua A( ) (4;5 ;B − −6; 1) nên có vtcp là uuurAB= −( 10; 6− ) ⇒ đường thẳng

ABcó vtpt là: nr=(6; 10− )

Phương trình tổng quát của AB là: 6(x− −4) 10(y− = ⇔5) 0 6x−10y+26 0=

Phương trình đường trung tuyến AM:

M là trung điểm của BC nên 5;0

Phương trình đường cao AH:

Đường cao AH đi qua A( )4;5 và có vtpt BCuuur=( )7; 2