Bài giảng môn phương pháp tính

Ngoài ra người ta có thể viết ố xấp xỉ theo qui ước : mọi chữ số có nghĩa đều là đáng tin .Một số viết theo cách này thì sai số tuyệt đối của nó không lớn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng

trị gần đúng là a Lúc đó ta nói “a xấp xỉ A” và viết “a A” Trị tuyệt đối |a – A|

gọi là sai số tuyệt đối của a ( xem là giá trị gần đúng của A) Vì nói chung ta

không biết số đúng A, nên không tính được sai số tuyệt đối của a Do đó ta tìm được ước lượng sai số đó bằng số dương a nào đó lớn hơn hoặc bằng | a – A | :

| a – A |  a (1_1)

Số dương a này gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a Rõ ràng nếu a đã là sai số tuyệt đối giới hạn của a thì mọi số ,> a đều có thể xem là sai số tuyệt đối giới hạn của a Vì vậy trong những điều kiện cụ thể người ta chọn a là số

dương bé nhất có thể được thỏa mãn (1.1)

Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyệt đối giới hạn là a thì ta quy ước viết:

A = a  a (1_2) Với nghĩa của (1.1) tức là:

Giải : Theo điều kiện đầu bài ta có : a  0 , 01 m , b  0 , 01 m

Những giá tri cận trên , cận dưới của diện tích sẽ lần lượt là :

(a+0,01)(b+0,01)=20,8352 2

m ( Smax)

và (a-0,01)(b-0,01)=20,6502 m ( Smin)

Khi đó S  Smax  0 , 0926

Sai số tuyệt đối giới hạn trong trường hợp này có thể chọn là :

10 , 0



m

( sai số tuyệt đối giới hạn có thể lấy về phía lớn hơn!)

Do vậy trong trường hợp này có thể viết

Gọi là sai số tương đối giới hạn của só gàn đúng a

Sai só tương đối thông thường được biểu diễn dưới dạng %

tương đối của số gần đúng a

1.3 Chú ý

Sai số tuyệt đối không nói lên đầy đủ “chất lượng” phép đo của một số xấp

xỉ, “Chất lượng” ấy được phản ánh qua sai số tương đối Ở ví dụ 1.1 Chiều

dài và chiều rộng của một căn phòng được đo là a=5,43 m và b=3,82 m với

độ chính xác đến 1 cm ( tức là a  0 , 01 m và b  0 , 01 m ) Trong ví

nhau (đều là ,01 m ) Đương nhiên phép đo chiều dài là chất lượng hơn phép

do chiều rộng, bởi vì ta có :

§1.2: CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ

1.2.1.Chữ số có nghĩa

Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ xét các

chữ số từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải là các chữ số có

1.2.3 Các qui tắc xác định các chữ số tin và các chữ số đáng nghi

Qui tắc 1: Cho a và a khi đó nếu a s

10 5 , 0

 thì s là chữ số đáng tin của số gần đúng a

Chú ý 1: nếu s là chữ số đáng tin của số gần đúng a thì tất cả các số đứng bên

trái nó của s đều là chữ số đáng tin của số gần đúng a

Qui tắc 2 : Cho a và a khi đó nếu a s

10 5 , 0

 thì s là chữ số đáng nghi của số gần đúng a

%26,083,3

01,0

%18,043,5

01,



Chú ý 2: nếu s là chữ số đáng nghi của số gần đúng a thì tất cả các số đứng bên phải của s đều là chữ số đáng nghi của số gần đúng a

Cách viết số xấp xỉ : Người ta có thể viết số xấp xỉ theo công thức (1_5) hoặc

(1_6) Ngoài ra người ta có thể viết ố xấp xỉ theo qui ước : mọi chữ số có nghĩa đều

là đáng tin Một số viết theo cách này thì sai số tuyệt đối của nó không lớn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng Các bảng số cho sẵn thường in các số xấp xỉ theo qui tắc này

§1.3: CÁC QUY TẮC TÍNH SAI SỐ 1.3.1 Sai số của một tổng

Qui tắc tính sai số tuyệt đối của một tổng : Sai số tuyệt đối của một tổng đại số

các số hạng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng đó

Cụ thể là nếu u = a1+ a2 + a3 +…+ a n

thì u  a  a  a   a n

3 2

1 (1_9)

Qui tắc tính sai số tương đối của một tổng : Sai số tương đối của một tổng các

số hạng cùng dấu nằm giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các sai số tương đối của các số hạng đó

a a a a u

3 2 1

3 2 1



Khi đó u  a  a  a m  b  b   b n

2 1

2

Theo kinh nghiệm thống kê , nếu n+m>10 và tất cả các ai và bj

( i=1,2,…m; j=1,2,…n ) đều có cùng một sai số tương đối  thì khi đó u  3 ( n  m )  (1_12)

Khi đó sai số tuyệt đối của hàm số y sẽ là :

x f

(

) (

Ví dụ 1: cho đường kính hình tròn d  0 , 842 M ( phép đo chính xác đến 0,001 M ).Hãy tính diện tích hình tròn trên và sai số tuyệt đối của diện tích hình tròn trên

4 , 0 842 , 0

001 , 0 2 0 2 )

2 2

x i

n

i xi u



x ; y  0 , 11 ; z  0 , 016

Hãy tính giá trị của u và u

Lời giải : Tính được u  37 , 1 9 , 872 6 , 0523  801 103

81 , 0 1 , 37

3 ,

11 ,

16 ,

Hãy xác định giá trị của hàm số cùng với sai số tuyệt đối và sai số

tương đối của nó ứng với giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có

nghĩa đều là đáng tin : x  10 , 3 ; y  4 , 4

05 , 0

Vì giá trị của y có sai số tương đối là : 0 , 6

Khi đó sai số của tổng : x y 10,32,1012,4 Có sai số tuyệt đối là :

0 , 05  0 , 13  0 , 063 và sai số tương đối là : 0 , 5

4 , 12

063 , 0

1.3.5 Xác định sai số cho phép của đối số theo sai số cho phép của hàm số

Chú ý 1 Nếu hàm số y  f (x ) khả vi và thoả mãn điều kiện f '(x)0

i

y x

x

f n i

V í d ụ 4: Cho một bình hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao là H Hãy xác

định sai số tương đối của R và H để thể tích của bình này có sai số tương

004,

Thay x,y vào công thức u  ln( x  y2), tính được u  0 , 81

Vì các giá trị x = 0,97; y = 1,132 đều là các chữ số đáng tin, nên

005 , 0



x và y  0 , 0005

Thay các giá trên vào công thức sau:

y

 y Tìm được 2,7.10 3

97,0

10 7 ,

Bài tập và hướng dẫn cách giải của chương 1

1.1 Hãy xác định các chữ số đáng tin và các chữ số đáng nghi trong các số gần

đúng sau , khi đã biết sai số tuyệt đối của nó :

1.2 Hãy xác định các chữ số đáng tin và các chữ số đáng nghi trong các số gần

đúng sau , khi đã biết sai số tương đối đối của nó :

( biết rằng những giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều là đáng tin ) Hãy tính u ; u ; u

Trả lời :

a) Tính được :

01 , 30 6

, 8 49 ,

05 ,

, 1 1 ,

142 , 3

1.5 Một hình khối hộp lập phương có cạnh bằng a  8 CM với độ chính xác đến 0,02 CM Hãy tính sai số tương đối, sai số tuyệt đối cua thể tich hình hộp khối lập phương này

1.6 Cho biết chiều cao h và bán kính đáy của hình trụ được đo với cùng độ

chính xác là 0,5 % Hãy tính sai số tương đối của thể tích hình trụ này

0004,0

Với x2,104 ; y 1,935 ; z0,845 Những giá trị của các đối số đã

cho với mọi chữ số có nghĩa đều là đáng tin.Hãy tìm giá trị của hàm số cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối của hàm số này

Trả lời :

Áp dụng các công thức tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của một hàm số tìm được : u7,48 ; u  0 , 0049 ; u  0 , 00065

1.8 Cho hàm số u  xyz

Với x 2,10415 ; y 1,93521 ; z 0,84542 Những giá trị của các đối

số đã cho với mọi chữ số có nghĩa đều là đáng tin Hãy tìm giá trị của hàm số cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối của hàm số này

Trả lời :

Áp dụng các công thức tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của một hàm số tìm được : u3,4425 ; 4

10 29 ,



10 85 ,



u



CHƯƠNG II:

TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM THỰC CỦA PHƯƠNG TRÌNH

§2.1: Khoảng phân ly nghiệm và cách tìm

1 Khoảng phân ly nghiệm (còn gọi là khoảng cách ly nghiệm hay khoảng

tách nghiệm)

Cho phương trình f ( x )  0 (1_2)

Định nghĩa: Đoạn [a, b] nào đó gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương

trình (1-2) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó

Cách tìm khoảng phân ly nghiệm: Có hai phương pháp để xác định khoảng

phân ly nghiệm của phương trình (1_2)

 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  f   x

 Sử dụng định lý : Nếu hàm số f x liên tục đơn điệu trên đoạn  a, b

và thỏa mãn điều kiện f   a f b 0 thì  a, b là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình f x  0

) (

và f (x)đơn điệu tăng trên đoạn [2,3]

Sau đây chúng ta đưa ra một số phương pháp tính gần đúng nghiệm của phương trình (2_1)

§2.2 Phương pháp chia đôi

2.1.1.Thuật toán của phương pháp chia đôi

Bước 1 : Nhập vào từ file hoặc từ bàn phím số dương bé tuỳ ý   0; xác định hàm số f x

Bước 2: Xác định khoảng phân ly nghiệm [a,b ]

Bước 3 : Tính

2

b a

Quá trình tính toán dừng lại khi a mb m  

Khi đó nghiệm gần đúng của phương trình (2_1) được xác định như sau

Ta tiếp tục chia đôi khoảng  2 

3 ,

1 , tìm được điểm chia là

Ta lại chia đôi khoảng  2 

3 , 4

f

0 , 297

64

19 4

Tiếp tục chia đôi khoảng phân ly  8 

11 , 4

0 , 297

64

19 4

Như vậy sau bốn lần lặp , chúng ta tìm được kết quả như sau :

Nên để tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình trên , chúng ta đi tìm

khoảng phân ly nghiệm của phương trình x  3 , 111  0

393 , 0 ) 1 (

0 2

3 ).

Tính được c =

4 5

5 ).

Như vậy sau 5 lần lặp , chúng ta tìm được nghiệm gần đúng là :

Để tính được x1, chúng ta viết phương trình

đường thẳng đi qua hai điểm A ,  a f   a  và B ,  b f   b 

 

   b f a f

a f y a b

a x

a f a

b

a x

a f b b f a x

Nếu f x1  0 x1 là nghiệm, quá trình tính toán dừng lại

Nếu f x1  0, chuyển sang bước 4

Bước 4: Tính f (a )

Nếu f     a f x1  0  bm  x1; am  a

Nếu f     a f x1  0  am  x1; bm  b

Như vậy ở bước 4,chúng ta xác định được khoảng phân ly mới là  a ,m bm

Bước 5 : Lặp lại quá trình tính toán từ bước 3 đến bước 4 đối với khoảng phân ly mới a , m b m

Quá trình tính toán dừng lại khi x n x n1 

Và nghiệm gần đúng được chọn là x*  xn

Sai số được tính theo công thức  

m

x f x

x*  n  n

(2_6) Trong đó 0  m f ' x với mọi x    a , b

2 Thí dụ

Ví dụ 1: cho phương trình 2x  4x 0

a H ãy xác định khoảng phân li nghiệm của nghiệm dương nhỏ nhất của (1)

b Tính gần đúng nghiệm trên bằng phương pháp dây cung thực hiện 3 lần lặp kết quả làm tròn đến 3 chữ số thập phân

1 1 1 0

f( 0 )  1

0734 , 0

1 3

1 0 073 , 0

1 3105 , 0 0 0019 ,

Vậy sau 3 lần lặp, chúng ta tìm được : x3 0,3099

Để đánh giá sai số, chúng ta tìm m trong công thức (2_6) và tìm được m 3 , 30685

3

*

10 58419 ,

Chú ý : Đối với phương pháp dây cung tuỳ thuộc vào cấu trúc của hàm số f (x)

sẽ xảy ra một trong hai trường hợp sau đây :

* Trường hợp 1 : Trong quá trình tính toán thì các nghiệm gần đúng giảm dần về nghiệm gần đúng phải tính ( như ví dụ trên đây

* Trường hợp 2 : Trong quá trình tính toán thì các nghiệm gần đúng tiến dần về nghiệm gần đúng phải tính ( hình ảnh ngược lại

so với ví dụ trên đây , đầu mút B cua dây cung AB lu ôn cố định)

Bước 2: Xác định khoảng phân ly nghiệm [a,b ]

Bước 3 : Chọn hàm lặp  x cho hàm số f x thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:

* Phương trình f x  0 và phương trình x  x là tương đương

* Với x a,b,' x và thỏa mãn điều kiện ' x q 1 Với mọi x    a ; b

Bước 4 : chọn xấp xỉ ban đầu x0 theo theo các quy tắc sau đây :

f thì chọn x0  a

0 1

x x

x x

a Hãy xác định một khoảng phân ly nghiệm của phương trình trên

b Tính gần đúng nghiệm trên bằng phương pháp lặp ( thực hiện 5 lần lặp, kết quả tính toán làm tròn đến 5 chữ số thập phân)

Lời giải

a) Đặt t = x x (t>0) thì phương trình trên sẽ tương đương với phương trình

t3  t  216  0  t 5 , 944444, Phương trình này lại tương tương với phương trình t5,94444.P2(t) 0

Trong đó P2(t) 0

f x x x5.94444 0

Tìm được một khoảng phân ly nghiệm của phương trình là [1,2]

b) Phương trình tương của phương trình trên là

x ln x

2

1 94444 ,

5ln(

)

 Tính được

 với mọi x 1;2 , như vậy hàm lặp đã chọn là phù hợp

Trong trường hợp này có  

5,0

Chú ý : Nếu thực hiện 12 lần lặp thì chúng ta tính được :

y 

xỉ ban đầu x0 Cụ thể là thay phương trình f   x  0 bởi phương trình đơn giản

hơn sau đây:

Bước 2: Xác định khoảng phân ly nghiệm [a,b ]

Bước 3: Chọn xấp xỉ ban đầu x0

xấp xỉ ban đầu x0 được chọn theo quy tắc sau đây :

Tính giá trị của tích số f ( a ) f ''( a ) hoặc của tích số f ( b ) f ''( b )

( Tích số nào dễ tính hơn thì tính tích số đó )

Nếu f ( a ) f ''( a )  0 chọn xấp xỉ ban đầu x0  a

Nếu f ( a ) f ''( a )  0 chọn xấp xỉ ban đầu x0  b

Nếu f ( b ) f ''( b )  0 chọn xấp xỉ ban đầu x0  b

Nếu f ( b ) f ''( b )  0 chọn xấp xỉ ban đầu x0  a

Như vậy ở bước 3, chúng ta đã xác định được xấp xỉ ban đầu x0

Bước 4: Tiến hành quá trình lặp như sau :

)(

)(

0 '

0 0

1

x f

x f x

)(

)(

1 '

1 1

2

x f

x f x

…

)(

)(

1 '

1 1

n

x f

x f x

a) Hãy xác định một khoảng phân ly nghiệm của phương trình trên

b) Tính gần đúng nghiệm trên bằng phương pháp tiếp tuyến ( thực hiện 5 lần lặp, kết quả tính toán làm tròn đến 6 chữ số thập phân)

Lời giải

a) Vẽ đồ thị của các hàm số y  2x và y   2 x  3 trên cùng một hệ trục toạ

độ Đề - các , tìm được một khoảng phân ly nghiệm của phương trình ban đầu là [-2;-1]

0 '

0 0

1

x f

x f x

Thay x0   1 , tìm được :

63923 , 1 2 2 ln 2 1

3 2 2

1 1

)(

1 '

1 1

2

x f

x f x

Thay x1   1 , 63923 , tìm được :

658383,

1)63923,

1(

)63923,

1(63923

Như vậy qua trong ví dụ này thì dùng phương tiếp tuyến tốc độ hội tụ của

nghiệm gần đúng đến nghiệm đúng là rất nhanh

Bài tập chương 2

2.1 Cho các phương trình :

a) x3  9 x2  26 x  172  0

b) x3  2 x  6  0

1) Hãy xác định một khoảng phân ly nghiệm lớn nhất của các phương trình trên

2) Dùng phương pháp chia đôi tính gần đúng nghiệm của nó với   104

2.2 Cho các phương trình :

a) 4x 2x 80

b) e x  2x 4  0

1) Hãy xác định một khoảng phân ly nghiệm của các phương trình trên

2) Dùng phương pháp dây cung tính gần đúng nghiệm của nó với  104

2.3 Cho các phương trình :

a) 2x  8x 4  0

b) 3x  3x 6  0

1) Hãy xác định một khoảng phân ly nghiệm của các phương trình trên

2) Dùng phương pháp lặp tính gần đúng nghiệm của nó với  105

2.4 Cho các phương trình

a) cosxx20

b) sinxx50

1) Hãy xác định một khoảng phân ly nghiệm của các phương trình trên

2) Dùng phương pháp tiếp tuyến tính gần đúng nghiệm thực của nó với  105

2.5 Cho các phương trình

a) 23x  2x 40

x x

2) Dùng phương pháp tự chọn tính gần đúng nghiệm của nó với  105

Hướng dẫn cách giải trả lời

CHƯƠNG 3

TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA MỘT HỆ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

§3.1 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN 3.1.1 Mô tả phương pháp

Phương pháp Cramer, Gaoxơ thuộc các loại phương pháp đúng, tức là nếu các phép tính sơ cấp thực hiện đúng hoàn toàn thì cuối cùng ta được nghiệm đúng của hệ Ngoài ra còn một loại phương pháp khác để tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình Ở đây chúng ta nghiên cứu hai phương pháp để tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình , đó là phương pháp lặp đơn và phương pháp Dai – Đen [ 7 ] Trước tiên , chúng ta xét phương pháp lặp đơn

a ( Ma trận A là ma trận trội )

Ta chuyển hệ này về hệ tương đương có dạng sau

g Bx

x  (3_2) Trong đó ma trận B và vectơ g suy từ A và bằng phép biến đổi tương đương nào

đó, giả sử ma trận B có dạng sau đ ây :

n

n n

b b

b

b b

b

b b

b B

2 22

21

1 12

11

Khi đó , chúng ta tiến hành quá trình lặp theo công thức tính sau:

g Bx

x k  k 1 

, với  0

x chọn trước bất kỳ được gọi là phương pháp lặp đơn Ma trận B gọi là ma trận lặp

x chọn trước bất kỳ Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng (k)

x được sử dụng bởi một trong các công thức sau đây :

k i

k i

k i

x

1

) 1 ( ) ( )

04 , 0 04

,

0

5 , 4 06

, 0 3

15

,

0

8 12

, 0 16

, 0 4

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

Thực hiện 5 lần lặp Kết quả làm tròn đến n ăm chữ số lẻ thập phân

Dùng biến đổi tương đương đối với hệ phương trình trên , chúng ta tìm được :

0

02 , 0 0 05

,

0

03 , 0 04 , 0 0

5 , 1

02 , 0 0 05 , 0

03 0 04 , 0 0

0

1

g Bx

5 , 1

5 , 1

43500 , 1

88750 , 1

02 , 0 0 05 , 0

03 0 04 , 0 0

1

2

g Bx

43500 , 1

88750 , 1

5 , 1

43992 , 1

89115 , 1

Lặp lần3:

0 -0.04 -0.03 1.89115 2 1.8909001

-0.05 0 0.02 1.43992 1.5 1.4397779

-0.01 -0.01 0 1.71677 1.75 1.7166893

02 , 0 0 05 , 0

03 0 04 , 0 0

2

3

g Bx

43992 , 1

8915 , 1

5 , 1

43977 1

89090 , 1

02 , 0 0 05 , 0

03 0 04 , 0 0

3

4

g Bx

43978 , 1

89090 , 1

5 , 1

43979 , 1

89091 , 1

Lần

4

0 -0.04 -0.03 1.890908 2 1.89090765 -0.05 0 0.02 1.439789 1.5 1.43978846 -0.01 -0.01 0 1.716693 1.75 1.71669303

02 , 0 0 05 , 0

03 0 04 , 0 0

4

5

g Bx

43979 , 1

89091 , 1

5 , 1

43979 , 1

89091 , 1

Đánh giá sai số : Tìm được   0 , 7 còn   0 , 6

Nếu sử dụng công thức (3_6) tìm được

) 4 ( ) 5 ( )

5 (

max 7 , 0 1

7 , 0

7 , 0 max x i x i(5)   ( i=1,2,3 )

Nghĩa là phương pháp lặp đơn có tốc độ hội tụ đến nghiệm đúng rất nhanh !

Tính bằng phần mềm Maple thì kết quả tính toán sẽ là :

Ví dụ 2: Dùng phương pháp lặp đơn ( lặp Jacôbi ) tính nghiệm gần đúng của hệ phương trinh sau :

3 2

22 10

9 2

10

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

Thực hiện 8 lần lặp Kết quả làm tròn đến sáu chữ số lẻ thập phân

Dùng biến đổi tương đương đối với hệ phương trình trên , chúng ta có hệ phương trình tương đương sau ;

1 3

3 1

2

3 2

1 1

0 3

, 0 2

, 0 2 , 2

1 , 0 0

1 , 0 2 2

1 , 0 2

, 0 0

9 , 0

2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

,

0

1 , 0 0 1

,

0

1 , 0 2 , 0 0

2 , 2

9 , 0

0

) 0 (

1 , 0 0 1 , 0

1 0 2 , 0 0

2 , 2

9 , 0

2 , 2

9 , 0

1 , 0 0 1 , 0

1 0 2 , 0 0

1

2

g Bx

2 , 2

9 , 0

2 , 2

9 , 0

07 , 2

12 , 1

1 , 0 0 1 , 0

1 0 2 , 0 0

2

3

g Bx

07 , 2

12 , 1

2 , 2

9 , 0

008 , 2

01 , 1

1 , 0 0 1 , 0

1 0 2 , 0 0

3

4

g Bx

008 , 2

01 , 1

2 , 2

9 , 0

9965 , 1

9971 , 0

1 , 0 0 1 , 0

1 0 2 , 0 0

4

5

g Bx

9965 , 1

9971 , 0

2 , 2

9 , 0

99351 , 1

9931 , 0

1 , 0 0 1 , 0

1 0 2 , 0 0

5

6

g Bx

99351 , 1

9931 , 0

2 , 2

9 , 0

2

999473 ,

1

998865 ,

1 , 0 0 1 , 0

1 0 2 , 0 0

6

7

g Bx

2

999473 ,

1

99865 , 0

2 , 2

9 , 0

2

000219 ,

2

000227 ,

1 , 0 0 1 , 0

1 0 2 , 0 0

7

8

g Bx

2

000219 ,

2

00027 , 1

2 , 2

9 , 0

3

000219 ,

2

000082 ,

1

Tính theo phần mềm tính toán Maple nhận được kết quả là : [[x 1,y -2,z 3]]

3.2.Phương pháp Dai- Đenna [ 7 ]

3.2.1 Mô tả phương pháp Phương pháp Dai – Đenna là phương pháp cải tiến

hơn so với phương pháp lặp đơn.Tất cả các ký hiệu trong phưong pháp này chúng giữ nguyên như trong phương pháp lặp đơn Cụ thể là , sau khi biến đổi hệ phương trình (3_1) về dạng (3_2), xấp xỉ ban đầu  0

1 ) ( 1 )

( 2 12 )

( 2 22 ) 1 (

1 ( 2 32 ) 1 (

n nn k

n k

1 ( 2 2 ) 1 (

x đã tính được ở các bước trên)

Chú ý : Các công thức tính sai số (3_6) và (3_7) của phương pháp lặp đơn cũng

hoàn toàn đúng cho phương pháp Dai – Đenna Trong một số trườg hợp thì

phương pháp Dai – Đenna có tốc độ hội tụ nhanh hơn phương pháp lặp đơn ( xem

04 , 0

04

,

0

5 , 4 06

, 0 3

15

,

0

8 12

, 0 16

,

0

4

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

,

0

02 , 0 0 05

,

0

03 , 0 04 , 0 0

5 , 1

2

Trong bài này chọn x( 0 )  g

Áp dụng các công thức truy hồi đã trình bày ở trên , chúng ta lần lượt tính được :

02 , 0 0 05 , 0

03 0 04 , 0 0

5 , 1

5 , 1

1

440625 ,

1

887500 ,

1

02 , 0 0 05 , 0

03 0 04 , 0 0

1

2

g Bx

1

440625 ,

1

887500 ,

5 , 1

1

43979071 ,

1

8908734 ,

02 , 0 0 05 , 0

03 0 04 , 0 0

2

3

g Bx

1

43979071 ,

1

8908734 ,

5 , 1

1

4397885 ,

1

8909076 ,

02 , 0 0 05 , 0

03 0 04 , 0 0

3

4

g Bx

1

4397885 ,

1

8909076 ,

5 , 1

1

439788 ,

1

890908 ,

02 , 0 0 05 , 0

03 0 04 , 0 0

3

4

g Bx

1

439789 ,

1

890908 ,

5 , 1

1

4397885 ,

1

8909077 ,

Kết quả tính trên Maple :[[x 1.890907670,y 1.439788477,z 1.716693039]]

So sánh các kêt quả sau bốn lần lặp chúng ta nhận thấy tính theo phương Dai – Đenna thì nghiệm gần đúng hội tụ tới nghiệm đúng chậm hơn so với theo phương pháp lặp đơn ( lặp Jacôbi)

Ví dụ 3.2.3: Tính nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau bằng phương pháp Dai – Đenna :

32 6

33 , 11 6

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

Thực hiện năm lần lặp Kết quả làm tròn đến ba chữ số lẻ thập phân

Sử dụng biến đổi tương đương , hệ phương trình trên trở thành :

167 , 0 167

, 0

333 , 5 167

, 0 0

167 , 0

888 , 1 167

, 0 167

, 0 0

3 2

1 3

3 2

1 2

3 21

1 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

167 , 0 0 167 , 0

167 , 0 167 , 0 0

888 , 1

167 , 0 0 167 , 0

167 , 0 167 , 0 0

888 , 1

157 , 7

888 , 1

167 , 0 0 167 , 0

167 , 0 167 , 0 0

157 , 7

944 , 3

888 , 1

568 , 7

556 , 4

167 , 0 0 167 , 0

167 , 0 167 , 0 0

2

3

g Bx

568 , 7

556 , 4

888 , 1

612 , 7

653 , 4

167 , 0 0 167 , 0

167 , 0 167 , 0 0

3

4

g Bx

612 , 7

653 , 4

888 , 1

618 , 7

664 , 4

4 5

g Bx

664 , 4

888 , 1

666 , 4