toan 12 hinh hoc c i khoi da dien

toan 12 hinh hoc c i khoi da dien tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩn...

KHỐI ĐA DIỆN

1

Chương

ÔN TẬP

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Công thức tính diện tích của tam giác

d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

a – nửa chu vi

– bán kính đường tròn nội tiếp

A

bc

a

M

3/ Định lí Talet

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vuông

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc

vuông

b/ Diện tích tam giác đều

 Diện tích tam giác đều:

3 4

 Chiều cao tam giác đều:

3 2

c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương

 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2

 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng

d/ Diện tích hình thang

 Diện tích hình thang:

SHình Thang

1 2

=

.(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

nhau bằng ½ tích hai đường chéo

 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại

trung điểm của mỗi đường

Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau

đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác

Chương I – Khối đa diện Page 2

2 2

/ /

AMN ABC

B

1 2

ABC

a S

a h

D

ìïï = ïïï

Þ í

ïï = ïï ïî

CD

1/ Chứng minh đường thẳng d mp a // ( ) với ( d Ë ( ) a )

 Chứng minh: d d // ' và d ' ( ) Ì a

 Chứng minh: d Ì ( ) b và ( ) b // ( ) a

 Chứng minh d và ( ) a cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng

2/ Chứng minh mp ( ) a // mp ( ) b

 Chứng minh mp a ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp b ( )

 Chứng minh mp a ( ) và mp b ( ) cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng

3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

 Hai mp a b ( ), ( ) có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b , thì

 Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

 Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song

 Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau

 Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …

4/ Chứng minh đường thẳng d ^ mp a ( )

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp a ( )

 Chứng minh:

( )

// ' '

P

d

a b

5/ Chứng minh đường thẳng d^d'

 Chứng minh d ^ ( ) a và ( ) a É d '

 Sử dụng định lý ba đường vuông góc

 Chứng tỏ góc giữa d và d' bằng900

 Sử dụng hình học phẳng

 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng900

Chương I – Khối đa diện Page 3

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC

1/ Góc giữa hai đường thẳng

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương

với hai đường thẳng đó:

//

//

' ( , ) ( ', ') '

2/ Góc giữa đường thẳngdvà mặt phẳng mp a ( )

 Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng

(với d' là hình chiếu vuông góc của d lên mp a ( ))

3/ Góc giữa hai mp a ( ) và mp b ( )

 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u,

2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên

2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

( )

·

( ( ); a b ) = ( , ) a b ¶ = f

4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

( , )

5/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)

này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia

6/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng

7/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó

 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp a ( )

chứa d' và song song với d

 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) ( ) a , b

lần lượt chứa dvà d'

Chương I – Khối đa diện Page 4

GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

A

B

C H O

A

B C

D S

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2/ Hai hình chóp đều thường gặp

a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đềuS ABC Khi đó:

 ĐáyABC là tam giác đều

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO · = SBO · = SCO · .

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

AB

 Lưu ý : Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy

b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đềuS ABCD

 ĐáyABCDlà hình vuông

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAO · = SBO · = SCO · = SDO · .

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông

góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABC có cạnh bên

( )

SA ^ ABC thì chiều cao làSA

2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy:

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác

chứa trong mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có mặt bên( SAB )

vuông góc với mặt đáy( ABCD )thì chiều cao của hình chóp là chiều cao củaDSAB

3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt

bên cùng vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có hai mặt bên

( SAB )và( SAD )cùng vuông góc với mặtđáy( ABCD )thì chiều cao là SA

4/ Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và

tâm của đáy

Ví dụ: Hình chóp tứ giác đềuS ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngABCDthì có đường cao làSO

Chương I – Khối đa diện Page 5

HÌNH CHÓP ĐỀU

XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA HÌNH CHÓP

B

1/ Thể tích khối chóp: 1

3

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

2/ Thể tích khối lăng trụ: V = B h

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh

bên

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: V = abc

Þ Thể tích khối lập phương: V = a3

4/ Tỉ số thể tích: ' ' '

Với B B h , ', là diện tích hai đáy và chiều cao

4 phương pháp thường dùng tính thể tích

 Tính diện tích bằng công thức.

+Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,…

+Sử dụng công thức tính thể tích

 Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng

tính thể tích của chúng Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm

 Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, sao cho

khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích

 Tính thể tích bằng tỉ số thể tích.

Chương I – Khối đa diện Page 6

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

CDS

O

CA

B

B’

AB

Bài giải tham khảoTính thể tích khối chópS ABC .

.sin30 sin30

2 3

Chương I – Khối đa diện Page 7

Thí dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B BAC , · = 30 ,0SA = AC = avà SAvuông

góc vớimp ABC ( ) Tính thể tích khối chópS ABC và khoảng cách từAđếnmp SBC ( )

Thí dụ 2 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật cóAB = a BC , = 2 a Haimp SAB ( )và

Dạng 1 Tính thể tích khối đa diện bằng cách sử dụng trực tiếp công thức

 Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.

Trong nhiều trường hợp, chiều cao này được xác định ngay từ đầu bài, nhưng cũng có trường hợp việc xác định này phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc đã học ở lớp 11 (hay dùng nhất là định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng,…) Việc tính chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ phép biến tính lượng giác,…

 Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.

Nhìn chung, dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn thận và chính xác

Bài giải tham khảo

DoDSABvuông cân tại cóSI là trung tuyếnÞ SI cũng đồng thời

là đường caoÞ SI ^AB

b/ Tính thể tích khối chópS ABC

GọiK là trung điểm của đoạnAC

Thí dụ 3 Hình chópS ABC cóBC =2a, đáyABC là tam giác vuông tạiC SAB , là tam giác vuông cân tạiS

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy GọiI là trung điểm cạnhAB

a/ Chứng minh rằng, đường thẳngSI ^ mp ABC ( )

b/ Biếtmp SAC ( )hợp vớimp ABC ( )một góc600 Tính thể tích khối chópS ABC

S

C

IK

6

0 0

2a

GọiOlà tâm của mặt đáy thìSO ^ mp ABCD ( )

nênSOlà đường cao của hình chóp và gọiM là trung

Bài giải tham khảo

GọiH M I , , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

AB AC AM

 VABC A B C ' ' ' = B h = SDABC ' A H ( ) 1

Chương I – Khối đa diện Page 9

Thí dụ 4 Cho hình chóp đềuS ABCD có cạnh đáy2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng600 Tính thể tích của

hình chópS ABCD

S

A

DO

2a

H

a

DoDABC đều nên: 2 3 2 3 ( ) 2

ïî Do đóAC ¢là hình chiếu vuông

góc của BC ¢ lên ( ACC A ¢ ¢ )

Chương I – Khối đa diện Page 10

Thí dụ 6 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC là tam giác vuông tạiB BC , = a,mp A BC ( ' )

tạo với đáy một góc 300 và DA BC' có diện tích bằnga2 3 Tính thể tích khối lăng trụ

Thí dụ 7 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC là tam giác vuông tạiA AC , = a ACB , · = 600

Đường chéoBC'của mặt bên ( BC C C ' ' ) tạo với mặt phẳng mp AA C C ( ' ' ) một góc 300 Tính thểtích của khối lăng trụ theo a

Từ đó, góc giữaBC ¢và ( ACC A ¢ ¢ )là · 0

30

Trong tam giác vuôngABC: AB =AC.tan600=a 3.

Trong tam giác vuôngABC': AC¢=AB.cot 300=a 3 3=3a.

Trong tam giác vuông ACC': CC'= AC'2- AC2 = (3 )a2- a2 =2 2a .

Vậy, thể tích lăng trụ là: 1 1 3

KẻMN // BC DoBC ^ ( SBA ) nên MN ^ ( SBA ) và lúc đó, MN

là đường trung bìnhDSBC ( ) 1

Chương I – Khối đa diện Page 11

Thí dụ 8 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)

Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiB AB , = a SA , ^ ( ABC ), góc giữa

Thí dụ 9 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2011)

Hình chópS ABC có đáyABClà tam giác vuông tạiB BA , = 3 , a BC = 4 a,( SBC ) ( ^ ABC ) Biết SB = 2 3, a SBC · = 300 Tính thể tích khối chópS ABC và khoảng cách từBđếnmp SAC ( )

Bài giải tham khảo

TrongDABCvuông tạiB : AC2= AB2+ BC2= 9 a2+ 16 a2= 25 a2

Nhận thấy: SA2+ SC2= 21 a2+ 4 a2= 25 a2= AC2Þ D SAC vuông tạiS

Do đó, diện tích tam giácSAC là: 1 . . 1 .2 21 2 21 ( ) 3

Bài giải tham khảo

Vìmp SBI ( )vàmp SCI ( ) cùng vuông góc vớimp ABCD ( ), nên

giao tuyến SI ^ ( ABCD )

KẻIH ^BC Þ SH ^BC (định lí 3 đường vuông góc)

Ta có: SHI = · 600là góc giữa haimp SBC ( )vàmp ABCD ( )

Thể tích khối chópS ABCD : . ( )

TrongDSIH vuông tạiI , ta có: SI = IH tan600= IH 3

Chương I – Khối đa diện Page 12

Thí dụ 10 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2009)

Cho hình chópS ABCD có đáy là hình thang vuông tạiAvàD AB , = AD = 2 , a CD = a, góc giữa haimp SBC ( )vàmp ABCD ( ) bằng600 GọiI là trung điểm củaAD Biết rằngmp SBI ( )và

HI

2 3 a

0

30

GọiM N , tương ứng là trung điểm củaAB BC ,

VìIN là đường trung bình của hình thangABCD, nên ta có:

Bài giải tham khảo

GọiH là trung điểm củaADthìSH ^AD

Do ( SAD ) ( ^ ABCD )nênSH ^ ( ABCD )

Và DSADđều 3

2

a SH

Chương I – Khối đa diện Page 13

Thí dụ 11 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)

Cho hình chópS ABCD đáy là hình vuôngABCDcạnha, mặt bênSADlà tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD GọiM N P , , lần lượt là trung điểm củaSB BC CD , , Tính thể tích khối tứ diệnCMNP

NP

K

Thí dụ 12 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)

Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB = a AD , = a 2, SA = avà SA

vuông góc với mặt phẳng đáy GọiM N , lần lượt là trung điểm củaAD SC , vàI là giao điểm của

BM vàAC Tính thể tích khối tứ diệnANIB

Bài giải tham khảo

GọiOlà tâm của của đáyABCD

TrongDSAC , ta cóNOlà đường trung bình nên:

Bài giải tham khảo

 GọiM N , là trung điểm củaAB AC , Khi đó,G là trọng tâm củaDABC

 Do hình chiếu điểmB' lên mp ABC ( )làG nênB G ' ^ ( ABC )

MI

S

A

BM

N

IO

Thí dụ 13 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)

Cho lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và mp ABC ( )bằng

NM

Trong DB BG' vuông tạiGvà có B BG = · ' 600nên nó là nữa tam giác đều cạnh làBB'=a

( )

3

ĐặtAB =2x TrongDABC vuông tạiC cóBAC = · 600nên nó cũng

là nữa tam giác đều với đường cao làBC

a BC

ïï ïï

ïï ïïî

+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng

 Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:

+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn

+ Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích

 Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán:

Cho hình chóp S.ABC Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC Khi đó: ' ' '

Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng

Trong đó: a = B SC · ' ' = BSC · .

Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm A º A B ', º B C ', º C '

Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu,…

Chương I – Khối đa diện Page 15

’

C

H H

’

Bài giải tham khảoa/ Tính thể tích khối chópS ABC .

Ta có: . 1 . .

3

V = SD SA và SA =a

Mặc khác: DABC vuông cân ở B và có: AC = a 2nên DABC là

nữa hình vuông có đường chéoAC = a 2Þ cạnhAB =BC =a

b/ Tính thể tích khối chópS AMN

Gọi I là trung điểm củaBC ,Glà trọng tâm của DSBC

Bài giải tham khảo

Ta có: VA BCKH. + VS AHK. = VS ABC. Þ VA BCKH. = VS ABC. - VS AHK. ( ) 1

DoDABC đều cạnhavà SA =2a nên:

Chương I – Khối đa diện Page 16

Thí dụ 14 Cho hình chópS ABC có đáy là DABCvuông cân ởB AC , = a 2, SA ^ mp ABC SA ( ) , = a

a/ Tính thể tích khối chópS ABC

b/ Gọi G là trọng tâm của DSBC , mp a ( )đi quaAGvà song song vớiBC cắtSC SB , lần lượt tại

NG

I

Thí dụ 15 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2006)

Cho hình chópS ABC có đáy làDABCđều cạnhavàSA ^ ( ABC ),SA=2a GọiH K , lần lượt làhình chiếu vuông góc của điểmAlần lượt lên cạnhSB SC , Tính thể tích khối A BCK H theoa

S

A

B

CH

a

K2

a

Bài giải tham khảo

 KẻMN // CD N ( Î SD )thì hình thangABMN là thiết diện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng( ABM )

 Ta có: .

.

1 2

Bài giải tham khảo

 Gọi I =SO AMÇ Ta có: ( AEMF ) // BD Þ EF // BD

Chương I – Khối đa diện Page 17

Thí dụ 16 Cho khối chóp tứ giác đềuS ABCD Một mặt phẳng( ) a quaA B , và trung điểmM củaSC Tính tỉ số

thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó

S

A

BC

M

N

D

Thí dụ 17 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD , đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi

M là trung điểm SC Mặt phẳng đi quaAM và song song vớiBD, cắtSBtạiE và cắtSDtạiF Tính thể tích khối chóp S AEMF

Bài giải tham khảo

GọiO H , lần lượt là tâm củaABCDvà trung điểmAB

Chương I – Khối đa diện Page 18

Dạng toán 3 Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách

Các bài toán tìm khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai

đường thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện Việc tính khoảng

cách này dựa vào công thức hiển nhiên: , ở đâylần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của một hình chóp nào đó (hoặc đối với hình lăng trụ)

Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm khoảng cách về

bài toán tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó Dĩ nhiên, các chiều cao này

thường là không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lí

Pitago, công thức lượng giác,… Tuy nhiên, các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy Như vậy, chiều cao của nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên

Lược đồ thực hành:

Sử dụng các định lí của hình học trong không gian sau đây:

Nếu trong đóchứathì

Nếu trong đólần lượt chứavàthì:

Từ đó, qui bài toán tìm khoảng cách theo yêu cầu bài toán về việc tìm chiều cao của khối chóp

(hoặc một khối lăng trụ) nào đó

Giả sử bài toán đã được qui về tìm chiều cao kẻ từ đỉnhcủa một hình chóp (hoặc một lăng trụ) Ta tìm thể tích của hình chóp (lăng trụ) này theo một con đường khác mà không dựa vào đỉnh này, chẳng hạn như quan niệm hình chóp ấy có đỉnh Sau đó, tính diện tích đáy đối diện với đỉnh Như thế, ta suy ra được chiều cao kẻ từcần tìm

Thí dụ 18 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A – 2008)

Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD có cạnh đáyAB =a, cạnh bênSA = a 2 GọiM N P , , lần lượt là trung điểm củaSA SB CD , , Tính thể tích tứ diệnAMNP

H

Bài giải tham khảo

Bài giải tham khảo

 Ta có: AB2+ AC2= 32+ 42= 52= BC2Þ D ABC vuông tạiA

Chương I – Khối đa diện Page 19

Thí dụ 19 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vuông cạnha, SA ^ ( ABCD )và mặt bên( SCD )

hợp với mặt phẳng đáyABCDmột góc600 Tính khoảng cách từ điểmAđến mp SCD ( )

Thí dụ 20 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2002)

Cho tứ diệnABCDcó cạnhADvuông góc vớimp ABC ( ), AC = AD = 4 ( ) cm AB , = 3 ( ) cm ,

Bài giải tham khảo

 GọiM là trung điểm của cạnhBC Ta có DABCvuông cân tạiA nên:

Bài giải tham khảo

 DoM là trung điểm củaSCnênOM // SA Þ SA // ( OMB )

Chương I – Khối đa diện Page 20

Thí dụ 21 Cho hình chópS ABC có đáyABClà tam giác vuông cân tạiA Hai mặt phẳng( SAB ) và( SAC )

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy( ABC ), cho BC = a 2, mặt bên( SBC )tạo với đáy( ABC )

một góc600 Tính khoảng cách từ điểmAđến mặt phẳng( SBC )

Thí dụ 22 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2004)

Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoiABCDcóSOvuông góc với đáy vớiOlà giao điểm của

AC vàBD Giả sửSO = 2 2, AC = 4, AB = 5vàM là trung điểm củaSC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngSAvàBM

S

A

CB

M(doAM vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong DABC cân)

S

C

DO

M

H

Chương I – Khối đa diện Page 21

Thí dụ 23 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)

Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh bằng 1 GọiM N , lần lượt là trung điểm củaABvà

CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngA C' vàMN

N

Bài giải tham khảo

 GọiOlà tâm mặt phẳng đáy vàM N , là trung điểm củaAD BC , Þ ·SNM a =

 Và trong tam giác vuông : tan . sin

 Từ( ) 1 , để VS ABCD. đạt giá trị nhỏ nhất thì hàmf a ( ) = sin cos2a a = cos a - cos3a đạt giá trị lớn nhất

 Xét hàm số y = - x x3 xác định và liên tục trên khoảng( ) 0,1

Chương I – Khối đa diện Page 22

Dạng toán 4 Bài toán thể tích kết hợp với việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Đây có thể xem là bài toán rất cơ bản mặc dù nó chưa một lần xuất hiện trong các đề thi TNPT cũng như

Đại học – Cao đẳng (cho dù bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với hàm số hầu như năm nào cũng có mặt trong các đề thi)

Nội dung bài toán: Thể tích khối đa diện trong các dạng toán này phụ thuộc một tham số nào đó (tham số

có thể là góc, hoặc là độ dài cạnh) Bài toán đòi hỏi xác định giá trị của tham số để thể tích đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Phương pháp giải:

Bước 1: Chọn tham số, thực chất là chọn ẩn Ẩn này có thể là góc α thích hợp trong khối đa diện,

hoặc là một yếu tố nào đó

Bước 2: Với ẩn số được chọn ở bước 1, ta xem đó như là các yếu tố đã cho để tính thể tích V của

khối đa diện theo các phương pháp đã biết

Bước 3: Đến đây, nhiệm vụ của bài toán hình học coi như đã “kết thúc” Ta có một hàm số

mà cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó Dùng bất đẳng thức cổ điển (Cauchy hay Bunhiacopski) hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ấy

Thí dụ 24 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD mà khoảng cách từ điểmAđếnmp SBC ( )bằng2a Góc hợp bởi

mặt phẳn bên và mặt phẳng đáy của hình chóp làa Với giá trị nào của góc athì thể tích của hình chóp đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?

M

H

y 0 + 0

-y

2 3 9

 Dựa vào bảng biến thiên:

 Để VS ABC. đạt giá trị lớn nhất khi biểu thứcP = cos sin2a a = - ( 1 sin2a ) sin2ađạt giá trị lớn nhất

Chương I – Khối đa diện Page 23

Thí dụ 25 Cho hình chópS ABC có đáy là DABC vuông cân đỉnhC vàSA ^ ( ABC ) Giả sửSC =a Hãy

tìm góc giữamp SBC ( )vàmp ABC ( ) sao cho thể tích khối chópS ABC là lớn nhất