Bài giảng: Phép vị tự (Hình học 12 - Chương I: KHỐI ĐA DIỆN)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN

VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

và sự bằng nhau của các khối đa diện

Các khối đa diện đều

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ

Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ3 p hép vị tự

và sự đồng dạng của các khối đa diện

c ác khối đa diện đều

A bài giảng

1 Phép vị tự trong không gian

Định nghĩa 1

Cho một điểm O cố định và một số k không đổi k  0 Phép biến hình biến

tâm O, tỉ số k.

Ký hiệu là k

O

V hoặc V(O; k)

Hoạt động Phép vị tự có phải là một phép dời hình không ?

Thí dụ 1: Cho hình chóp cụt đều có hai đáy là hai đa giác Đ1 và Đ2 Hãy chỉ ra các phép vị tự biến Đ1 thành Đ2

 Giải

Gọi S là đỉnh của hình chóp đều chứa hình chóp cụt

Khi đó, phép vị tự tâm S tỉ số k (k bằng độ dài cạnh của Đ2 chia Đ1) biến Đ1 thành Đ2

Hoạt động Trong trờng hợp nào thì phép vị tự là một phép dời hình ?

Các tính chất của phép vị tự

1 Phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M', N' thì:

MN k ' N '

M  và M'N' = kMN

2 Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng

3 Qua phép vị tự tâm O, đờng thẳng đi qua O biến thành chính nó, và nếu tỉ số vị tự

k khác 1 thì đờng thẳng không đi qua O biến thành đờng thẳng song song với đ-ờng thẳng đó

4 Qua phép vị tự tâm O, mặt phẳng đi qua O biến thành chính nó, và nếu tỉ số vị tự

k khác 1 thì mặt phẳng không đi qua O biến thành mặt phẳng song song với mặt phẳng đó

Thí dụ 2: Chứng minh tính chất 1 của phép vị tự

 Giải

Ta có:

M ' N '

= M ' O ON ' = kMO kON = k(MO  ON)

= kMN , đpcm

Hoạt động Chứng minh các tính chất 2, 3, 4 của phép vị tự.

2 Hai hình đồng dạng

Định nghĩa 2

Hình (H) gọi là đồng dạng với hình (H') nếu có phép vị tự biến hình (H)

Hoạt động Hai hình bằng nhau có phải là hai hình đồng dạng với

nhau không ?

Thí dụ 3: Chứng minh rằng hai hình tứ diện đều nào cũng đồng dạng với nhau, hai hình lập phơng nào cũng đồng dạng với nhau

 Giải

a Gọi a, b theo thứ tự là độ dài cạnh của hai hình tứ diện đều ABCD và A'B'C'D',

đặt k = b

a Ta xét phép vị tự tâm O tỉ số k thì:

b

a

O 1 1 1 1

V (ABCD)A B C D là tứ diện đều có cạnh bằng b

 A1B1C1D1 = A'B'C'D'

Từ đó, theo định nghĩa thì tứ diện ABCD đồng dạng với tứ diện A'B'C'D'

b Gọi a, b theo thứ tự là độ dài cạnh của hai hình lập ph ơng ABCD.A'B'C'D' và

A1B1C1D1.A'1B'1C'1D'1, đặt k = b

a Ta xét phép vị tự tâm O tỉ số k thì:

b

a

O 0 0 0 0 0 0 0 0

V (ABCD.A ' B 'C ' D ')A B C D A ' B ' C ' D '

là tứ diện đều có cạnh bằng b, suy ra:

A0B0C0D0.A'0B'0C'0D'0 = A1B1C1D1.A'1B'1C'1D'1

Từ đó, theo định nghĩa thì hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' đồng dạng với hình lập phơng A1B1C1D1.A'1B'1C'1D'1

Khối đa diện đều và sự đồng dạng của các khối đa diện đều

Định nghĩa 3

Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau:

Khối đa diện đều mà mỗi mặt là đa giác đều n cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh đợc gọi là khối đa diện đều loại {n; p}

Có đúng năm loại khối đa diện đều ({3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5}) và hai khối đa diện đều cùng loại thì đồng dạng với nhau

Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

{3; 3}

{4; 3}

{3; 4}

{5; 3}

{3; 5}

Tứ diện đều Lập phơng Bát diện đều Mời hai mặt đều Hai mới mặt đều

4 8 6 20 12

6 12 12 30 30

4 6 8 12 20

Thí dụ 4: Hai đỉnh của một khối 8 mặt đều cho trớc gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đờng chéo của khối 8 mặt đều Chứng minh rằng trong khối 8 mặt đều:

a Ba đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng

b Ba đờng chéo đôi một vuông góc với nhau

c Ba đờng chéo bằng nhau

 Giải

Giả sử SABCDS1 là khối 8 mặt đều

a Nhận xét rằng:

BA = BC  B thuộc mặt phẳng trung trực của AC

DA = DC  D thuộc mặt phẳng trung trực của AC

SA = SC  S thuộc mặt phẳng trung trực của AC

S1A = S1C  S1 thuộc mặt phẳng trung trực của AC

Từ đó, suy ra B, D, S, S1 đồng phẳng và tứ giác SBS1D là hình thoi nên SS1 và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng (giả sử là O)

Chứng minh tơng tự, ta có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng

Vậy ba đờng chéo của khối 8 mặt đều cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng

b Từ kết quả câu a), vì SBS1D và ABCD là hình thoi nên các đờng chéo vuông góc với nhau

c Ta có:

Từ đó, suy ra AC = BD = SS1

bài tập lần 1 Bài tập 1: Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đờng thẳng thành một đờng thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với nó

Bài tập 2: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k  1 và phép vị tự V' tâm O' tỉ số k' Chứng minh rằng nếu kk' = 1 thì phép hợp thành V'  V là một phép tịnh tiến

Bài tập 3: Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) nằm trên hai mặt phẳng song song Hãy chỉ ra các phép vị tự biến đờng tròn (C1) thành đờng tròn (C2) trong các trờng hợp:

a (C1) và (C2) có bán kính bằng nhau

b (C1) và (C2) có bán kính khác nhau

Bài tập 4: Cho hình tứ diện ABCD Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trong tâm các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh rằng có phép vị tự biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D'

Bài tập 5: Chứng minh rằng hai hình cùng đồng dạng với một hình thứ ba thì

đồng dạng với nhau

A

D

S

1

S

Bài tập 6: Cho hai điểm A và đờng thẳng (d) cố định M là điểm di động trên (d), tìm tập hợp trung điểm của đoạn AM

Bài tập 7: Cho một khối tứ diện đều, hãy chứng minh rằng:

a Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều

b Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối 8 mặt đều

 Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần “Bài giảng nâng cao”

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 450.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

LUễN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

bài giảng nâng cao

Bài toán 1:ảnh của một hình qua phép vị tự

Phơng pháp áp dụng

Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép vị tự

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đờng thẳng thành một đờng

thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với nó

 Hớng dẫn: Xét các trờng hợp khác nhau về vị trí tơng đối của tâm vị tự đối với đờng

thẳng hoặc mặt phẳng.

 Giải

a Với phép vị tự tâm O, tỉ số k và đờng thẳng (d) (hai điểm phân biệt M, N thuộc (d)), ta có:

k

O

O

V (MN) = M'N'  OM ' kOM

ON ' kON

 









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ta xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu O thuộc (d) thì:

O, M, N thẳng hàng  O, M', N' thẳng hàng

 M, N, M', N' thẳng hàng  (d)  (d')

Trờng hợp 2: Nếu O không thuộc (d) thì:

OM ON

OM 'ON '  MN // M'N'  (d) // (d')

b Thực hiện tơng tự câu a)

Ví dụ 2: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k  1 và phép vị tự V' tâm O' tỉ số k'

Chứng minh rằng nếu kk' = 1 thì phép hợp thành V'  V là một phép tịnh tiến

 Hớng dẫn: Với V'V(M) = M’ ta đi chứng minh vectơ MM ' 

không đổi dựa theo tính chất của các phép vị tự V và V’.

 Giải

Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k, V' là phép vị tự tâm O' thỉ số k'

Với điểm M ta lấy M1 sao cho OM 1

= kOM rồi lấy điểm M' sao cho O ' M ' = k'

1

O ' M



thì phép hợp thành V'  V biến điểm M thành điểm M'

Ta có:

MM '



= MM 1 + M M ' 1 = OM 1 – OM + O ' M ' – O ' M 1

=

1

OM



– 1

k OM1



+ k'

1

O ' M



–

1

O ' M



= 1 1

k

 



 

  OM1



+ (k' – 1)O ' M 1 = 1 1

k

 



 

  OM1



+ (1 – k')M O ' 1

Chú ý rằng vì kk' = 1 nên k' = 1

k , bởi vậy đẳng thức trở thành:

MM '



= 1 1

k

 



 

 (OM1



+ M O '1



) = k 1

k



OO '



Bài toán 2:Tìm phép vị tự biến hình (H1) thành hình (H2)

Phơng pháp áp dụng

Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép vị tự

Ví dụ 1: Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) nằm trên hai mặt phẳng song song Hãy

chỉ ra các phép vị tự biến đờng tròn (C1) thành đờng tròn (C2) trong các trờng hợp:

c (C1) và (C2) có bán kính bằng nhau

d (C1) và (C2) có bán kính khác nhau

 Giải

Gọi O1, O2 theo thứ tự là tâm của các đờng tròn (C1) và (C2)

a Gọi I là trung điểm của O1O2

Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số k = 1 biến đờng tròn (C1) thành đờng tròn (C2)

b Giả sử R1, R2 theo thứ tự là bán kính của các đờng tròn (C1) và (C2) Đặt k = 2

1

R

R Trên O1O2 lấy hai điểm I và I' sao cho IO 2 kIO1

và I ' O2kI ' O1

 

Nh vậy, có hai phép vị tự tâm I tỉ số k và tâm I' tỉ số k biến đờng tròn này thành

đờng tròn kia

Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trong tâm các

tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh rằng có phép vị tự biến

tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D'

 Hớng dẫn: Lựa chọn tâm vị tự là trọng tâm G của tứ diện ABCD bởi nó cũng chính là

trọng tâm của tứ diện A’B’C’D’ Công việc còn lại ta tìm đợc tỉ số vị tự.

 Giải

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, ta có:

1

GA ' GA

3



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, GB ' 1GB

3



 

,

1

GC ' GC

3



 

, GD ' 1GD

3



 

Vậy, ta thấy:

1

3

G

V (ABCD) A ' B ' C ' D '

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai hình cùng đồng dạng với một hình thứ ba thì

đồng dạng với nhau

 Hớng dẫn: Sử dụng tính chất của phép đồng dạng để suy ra tỉ số đồng dạng tơng ứng.

 Giải

Giả sử (H1) đồng dạng với (H) theo tỉ số k1 và (H2) đồng dạng với (H) theo tỉ số

k2, suy ra (H1) đồng dạng với (H2) theo tỉ số 1

2

k

k

Ví dụ 4: Cho hai điểm A và đờng thẳng (d) cố định M là điểm di động trên (d),

tìm tập hợp trung điểm của đoạn AM

 Giải

Gọi P là trung điểm của đoạn AM, ta có

P M

) 2

1 A, H(

Tập hợp các điểm M là đờng thẳng (d) vậy tập hợp các điểm P là đờng thẳng (d')

ảnh của d trong H(A,

2

1

)

Bài toán 3:Tính chất khối đa diện đều

Phơng pháp áp dụng

Sử dụng định nghĩa các khối đa diện đều

Ví dụ 1: Cho một khối tứ diện đều, hãy chứng minh rằng:

a Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều

b Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối 8 mặt đều

a Với tứ diện đều ABCD, gọi G1, G2, G3, G4, G theo thứ tự là trọng tâm của ABC,

ABD, ACD, BCD và tứ diện ABCD

A

D

A'

C' B'

D'

G

Khi đó, với phép vị tự tâm G tỉ số k 1

3

 , ta có:

1

3

G 4 3 2 1

V (ABCD) (G G G G )

Vì ABCD là tứ diện đều nên G1G2G3G4 cũng là một tứ diện đều

b Với tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi M, M, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD, CD, BD và BC

Ta có ngay:

MN = NP = PM = a

2; QR = RS = SQ = = a

2;

SM = SN = MN = a

2; QP = QN = NP = a

2; RP = RM = MP = a

2 Vậy, trung điểm của các cạnh của tứ diện đều ABCD là các đỉnh của một khối 8 mặt đều

C bài tập rèn luyện

Bài tập 1: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

a Phép vị tự biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song với nó

b Phép vị tự biến mặt phẳng đi qua tâm vị tự thành chính nó

c Không có phép vị tự nào biến hai điểm phân biệt A và B lần lợt thành A và B

d Phép đồng dạng biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó

e Phép vị tự tỉ số k = –1 là phép đối xứng tâm

Bài tập 2:

a Phép vị tự có phải là một phép dời hình không ?

b Trong trờng hợp nào thì phép vị tự là một phép dời hình ?

c Hai hình bằng nhau có phải là hai hình đồng dạng với nhau không ?

Bài tập 3: Phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M', N' Chứng minh rằng M'N'kMN và M'N' = kMN

Bài tập 4: Chứng minh rằng:

a Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay

đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm

đồng phẳng

b Qua phép vị tự tâm O, đờng thẳng đi qua O biến thành chính nó, và nếu tỉ số

vị tự k khác 1 thì đờng thẳng không đi qua O biến thành đờng thẳng song song với đờng thẳng đó

c Qua phép vị tự tâm O, mặt phẳng đi qua O biến thành chính nó, và nếu tỉ số vị

tự k khác 1 thì mặt phẳng không đi qua O biến thành mặt phẳng song song với mặt phẳng đó

Bài tập 5: Cho phép vị tự tâm O biến A thành B, biết rằng OA = 2OB Khi đó tỉ số vị tự

là bao nhiêu ?

Bài tập 6: Cho hai đờng thẳng song song (d), (d') và một điểm O không nằm trên chúng

Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến (d) thành (d') ?

Bài tập 7: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k  1 và một phép tịnh tiến T theo vectơ v

Đặt F = T  V và F' = V  T Chứng minh rằng:

a Có một điểm I duy nhất sao cho F(I) = I và điểm I' duy nhất sao cho F'(I') = I'

b F là phép vị tự tâm I tỉ số k, F' là phép vị tự tâm I' tỉ số k.

Bài tập 8: Cho hai hình tứ diện ABCD và A'B'C'D' có các cạnh tơng ứng song song

AB // A'B', AC // A'C', AD // A'D', CB // C'B', BD // B'D', DC // D'C' Chứng minh rằng có một phép tịnh tiến hoặc một phép vị tự biến tứ diện này thành tứ diện kia

Bài tập 9: Chứng minh rằng:

a Tâm các mặt của một khối lập phơng cho trớc là các đỉnh của một khối 8 mặt

đều

b Tâm các mặt của một khối 8 mặt đều cho trớc là các đỉnh của một khối lập phơng

Bài tập 10: Cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có cách cạnh tơng ứng tỉ lệ,nghĩa là

A ' B ' B ' C ' C ' D ' D ' A ' A ' C ' B ' D '

k

AB  BC  CD  DA  AC  BD  Chứng minh rằng hai tứ diện đã cho đồng dạng

D hớng dẫn  đáp sốp số Bài tập 5: Từ giả thiết OA = 2OB, suy ra:

OB = 1

2OA  OB 1OA

2



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 k = 1

2

Bài tập 6: Với giả thiết ta có hai trờng hợp là:

O  ((d), (d')) hoặc O  ((d), (d'))

Trờng hợp 1: Nếu O  ((d), (d')), với M  (d) ta có:

k

O

V (M) = M'  (d')  OM '

= kOM Gọi H, H' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O

lên (d) và (d'), suy ra:

OH '



= kOH  k không đổi

Vậy, trong trờng hợp này có đúng một phép vị tự tâm O

biến (d) thành (d')

Trờng hợp 2: Nếu O  ((d), (d')) thì không có phép vị tự tâm O nào biến (d) thành

(d'), bởi nếu trái lại với M  (d) ta có:

k

O

V (M) = M'  (d')  OM ' = kOM  O, M, M' thẳng hằng

 O  ((d), (d')), mâu thuẫn

Vậy, trong trờng hợp này không có phép vị tự tâm O nào biến (d) thành (d')

Bài tập 7:

a Giả sử F(I) = I Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu V biến I thành I1 thì T biến I1

thành I, tức là: nếu OI 1

= kOI thì I I1 = v

Từ đó, suy ra:

OI



– OI1



= v, hay OI – kOI = v

Do đó:

OI



= v

1 k



Vậy, điểm I xác định duy nhất

Giả sử F(I') = I' Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu T biến I' thành I1 thì V biến I'1

thành I', tức là: nếu I ' I ' 1 = v thì OI ' = kOI ' 1

Từ đó suy ra:

OI '



= k (OI ' + I ' I ' 1) hay (k – 1)OI ' = kI ' I ' 1

M

M'

O H

H' (d)

(d')