Chứng minh I, A, A’, M nằm trên đường tròn mà tiếp xúc với một đườngthẳng và tiếp xúc với một đường tròn cố định... Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp IKL tiếp xúc với đường tròn nội
Trang 1VẼ ĐẸP HÌNH HỌC
NHÀ XUẤT BẢN
Trang 2NXB-0099/111-99 Mã số: 00000
Trang 3Lời nói đầu
Chương 1 150 bài toán chọn lọc
Chương 2 Lời giải
Cuốn sách dành cho học sinh phổ thông yêu toán, học sinh giỏi môn toán, cácthầy cô giáo, sinh viên đại học ngành toán, và những người yêu thích toán họcphổ thông Trong biên soạn không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạnđọc đóng góp cho ý kiến Mọi góp ý gửi về địa chỉ: voquangman@gmail.com, hayChợ Nam Phổ*
, Phú Thượng, Phú vang, Thừa Thiên Huế
Tác giả cảm ơn các đồng nghiệp đã hết sức giúp đỡ để cuốn sách được in ra
Cố Đô, ngày 2 tháng 11 năm 2011
Võ Quang Mẫn
Trang 51.3 Cho 4 cân ABC với BC> AB = AC D, M lần lượt là trung điểm của BC,
AB X là điểm thỏa mãn BX ⊥ AC và XD k AB BX và AD cắt nhau tại H Nếu P
là giao điểm của DX và đường tròn ngoại tiếp 4AHX thì tiếp tuyến từ A đến đườngtròn ngoại tiếp 4AMP k BC
1.4 Cho O, H tâm ngoại tiếp và trực tâm của 4ABC M, N là trung điểm của
BH và CH Xác định điểm B’ trên đường tròn ngoại tiếp 4A BC sao cho BB’ làđường kính Nếu HONM là tứ giác nội tiếp thì B’N = 1/2 AC
1.5 OX, OY vuông góc Giả sử trên OX ta có hai điểm cố định P, P’trên cùngtia của O I là điểm thay đổi sao cho IP = IP’ PI, P’I cắt OY tại A và A’ a) Nếu
C, C’ Chứng minh I, A, A’, M nằm trên đường tròn mà tiếp xúc với một đườngthẳng và tiếp xúc với một đường tròn cố định b) Chứng minh rằng IM đi qua mộtđiểm cố định
Trang 61.6 Cho A, B, C, Q là những điểm cố định M, N, P là giao điểm của AQ, BQ,
CQ với BC, CA, AB D’, E’, F’ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp 4ABC Cáctiếp tuyến vẽ từ M, N, P đối với đường tròn nội tiếp ABC tạo thành 4DEF Chứngminh rằng DD’, EE’, FF’ cắt nhau tại Q
1.7 Cho 4ABC Wa là đường tròn tâm nằm trên BC đi qua A và trực giao vớiđường tròn ngoại tiếp ABC Wb, Wc được định nghĩa tương tự Chứng minh cáctâm Wa, Wb, Wc thẳng hàng
1.8 Tứ diện ABCD có bán kính đường tròn ngoại tiếp của bốn mặt bằng nhau.Chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện gần đều (AB = CD, AC = BD và AD = BC) 1.9 Giả sử M là điểm tùy ý trên cạnh BC cảu 4ABC B’, C’ là những điểm trên
AB, AC sao cho MB = MB’ và MC = MC’ Giả sử H, I là trực tâm của ABC vàtâm nội tiếp MB’C’ Chứng minh rằng A B’, H, I, C’ nằm trên đường tròn 1.10 Đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc AB, AC tại P, Q BI, CI giao PQ tại
K, L Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp IKL tiếp xúc với đường tròn nội tiếpABC khi và chỉ khi AB + AC = 3BC
1.11 Cho M, N là hai điểm bên trong 4ABC sao cho ∠MAB = ∠NAC và ∠MBA
= ∠NBC Chứng minh rằng:
AM.ANAB.AC +
BM.BNBA.BC +
CM.CNCA.CB = 1.
1.12 Cho tứ giác ABCD Các tia phân giác ngoài của góc A và C cắt nhau tại
P Các tia phân giác ngoài của góc B và D cắt nhau tại Q Đường thẳng AB, CDcắt nhau tại E, đường thẳng BC, DA cắt nhau tại F Bây giời ta có hai góc mới E
và F (∠AED, ∠BFA) Ta cũng xét giao điểm R của những phân giác ngoài nhữnggóc này Chứng minh P, Q, R thẳng hàng
1.13 Cho 4ABC Những hình vuông ABcBaC, CAbAcBvàBCaCbA bên ngoài
4 Hình vuông BcBc0Ba0Bavới tâm P ngoài hình vuông ABcBaC Chứng minh
BP, CaBa và AaBc đồng quy
1.14 Cho 4 cân ABC cân tại A Từ A kẻ đường thẳng l song song với BC P, Qnằm trên các đường trung trực của AB, AC sao cho PQ⊥BC M, N là những điểmtrên l sao cho ∠AP M = ∠AQN = π2 Chứng minh:
Trang 71.15 Trong 4ABC, M là trung điểm của AC, và D là điểm trên BC sao cho DB
= DM Ta biết rằng 2BC2− AC2= AB.AC Chứng minh rằng:
BD.DC = AC
2.BC2(AB + AC. 1.16 H, I, O, N là trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp và điểm Nagel của4ABC Ia, Ib, Ic là tâm bàng tiếp của ABC S là điểm sao cho O là trung điểm HS.Chứng minh trọng tâm các 4IaIbIc, SIN trùng nhau
1.17 Cho tứ giác lồi ABCD Ta kẻ các đường chéo của nó thành bốn 4, với P làgiao điểm các đường chéo I1, I2, I3, I4 là tâm bàng tiếp tương ứng tại điểm P củacác 4PAD, PAB, PBC, PCD Chứng minh rằng I1, I2, I3, I4 nội tiếp đường trònkhi và chỉ khi ABCD là tứ giác tiếp xúc
1.18 Trong 4ABC, nếu L, M, N là trung điểm của AB, AC, BC và H là trựctâm ABC, chứng minh:
1.20 Cho B là điểm trên đường tròn S1 và A là điểm khác B nằm trên tiếp tuyếntại B đối với S1 Cho C là điểm không nằm trên S1 sao cho đường thẳng AC căt S1tại hai điểm phân biệt S2 là đường tròn tiếp xúc AC tại C và tiếp xúc với S1 tại
D nằm trên cạnh đối AC từ B Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp BCDnằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC
1.21 Các phân giác của góc A, B của 4ABC cắt các cạnh BC, CA tại D và E.Giả sử rằng AE + BD = AB, xác định ∠C
1.22 Cho A, B, C, P, Q và R nằm trên đường tròn Chỉ ra rằng nếu những đườngthẳng Simson của P, Q, R tương ứng với 4ABC đồng quy thì những đường thẳngSimson của A, B, C tương ứng với 4PQR đồng quy.Hơn nửa những điểm đồng quy
Trang 81.24 Cho 4ABC vuông tại C và CA 6= CB Gọi CH là đường cao và CL là phângiác trong Chỉ ra rằng X 6= C nằm trên đường thẳng CL ta có ∠XAC 6= ∠XBC
và chỉ ra rằng Y 6= C nằm trên đường thẳng CH ta có ∠Y AC 6= ∠Y BC
1.25 Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn sao cho AB là đường kính
và CD là không Chứng minh đường thẳng nối giao điểm của hai tiếp tuyến tại C,
D và giao điểm AC, BD vuông góc với AB
1.30 Xét đường tròn tâm O và điểm A, B trên nó sao cho AB không là đườngkính Đặt C nằm trên đường tròn sao cho AC chia đôi OB Gọi AB và OC cắt nhautại D, BC và AO cắt nhau tại F Chứng minh AF = CD
1.31 Cho ta vàm giác ABC X, Y là hai điểm trên AC, AB CY cắt BX tại Z và
AZ cắt XY tại H( AZ⊥XY ) BHXC là tứ giác nội tiếp Chứng minh XB = XC 1.32 Cho ABCD là tứ giác nội tiếp và L, N là trung điểm của hai đường chéo
AC và BD Giả sử đường thẳng BD phân đôi ∠ANC Chứng minh đường thẳng ACphân đôi ∠BLD
1.33 Tam giác ABC có đường phân giác ngoài ∠A cắt những đường thẳng vuônggóc với BC mà đi qua B và C lần lượt tại D và E Chứng minh đường thẳng BE,
CD, AO đồng quy, ở đây O là tâm ngoại tiếp ABC
1.34 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi O là giao điểm AC và BD Tìm các vị trí M, Nnằm trên AB và CD, O thuộc MN sao cho tổng
M B
M A +
N C
N D đạt min.
1.35 Cho 4ABC, M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AM
E là giao điểm của AC với BP và R là hình chiếu của A trên MN Chứng minh
∠ERN ≡ ∠CRN
Trang 91.36 Gọi X một trong hai giao điểm của hai đường tròn cắt nhau Tìm Y trênđương tròn này và Z trên đường tròn kia để X, Y, Z thẳng hàng và XY.XZ đạtmax.
1.37 Bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên đường tròn O Điểm S nằmbên trong (O) có tính chất ∠SAD = ∠SCBvà ∠SDA = ∠SBC Phân giác ∠ASBcắt đường tròn tại hai điểm P, Q Chứng minh P S = QS
1.38 Cho 4ABC Gọi G, I, H là trọng tâm, tâm nội tiếp, trực tâm của ABC.Chứng minh ∠GIH > 900
1.39 Cho hai đường thẳng song song k, l và một đường tròn không cắt k Xétđiểm A tùy ý trên k Hai tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn cắt l tại B, C Gọi m làđường thẳng đi qua A và trung điểm cạnh BC Chứng minh rằng mọi đường thẳng
m đều đi qua một điểm cố định khi A thay đổi
1.40 Cho tứ giác lồi ABCD với AD ∦ BC Gọi E là giao điểm của AD với BC và
I là giao điểm của AC với DB Chứng minh hai 4EDC và IAB có cùng trọng tâmkhi và chỉ khi AB k CD và IC2= IA.AC
1.41 Cho hình vuông ABCD O là giao điểm AC và DB Tồn tại một số dương k
để mọi điểm M trên cạnh OC có điểm N trên cạnh OD sao cho AM.BN = k2 Tìmquỹ tích điểm L, là giao điểm của AN với BM
1.42 Xét 4vuông với AB = 1 Phân giác góc ∠ACB cắt các trung tuyến BE và
AF tại P và M Gọi P là giao điểm của AE và BE, xác định giá trị lớn nhất diệntích 4MNP
1.43 Cho 4ABC cân tại A Phân giác BD thỏa BC = BD + AD Tính ∠A 1.44 Cho 4với diện tích S, với các độ dài 3 cạnh a, b, c Chứng minh a2+ 4b2+12c2≥ 32S
1.45 Trong 4vuông ABC tại A, ta kẻ phân giác AD Đặt DK⊥AC, DL⊥AB.Đường thẳng BK, CL cắt nhau tại H Chứng minh AH⊥BC
1.46 Cho H là trực tâm 4ABC Gọi BB’ và CC’ là các đường cao Đường thẳng
l tùy ý đi qua H cắt cạnh [BC’] và [CB’] tại M và N Những đường thẳng vuông gócvới l từ M và N cắt BB’ và CC’ tại P và Q Tìm quỹ tích trung điểm cạnh PQ 1.47 Cho 4ABC với đường cao AH, phân giác trong BE Nếu ∠BEA = 450 thì
∠EHC =?
Trang 101.48 Cho 4nhọn ABC với AB 6= AC Gọi H là trực tâm, M là trung điểm củacạnh BC D là điểm trên cạnh AB và E là điểm trên cạnh BC sao cho AE = AD
và các điểm D, H, E thẳng hàng Chứng minh rằng đường thẳng HM mà vuông gócvới dây cung chung của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và 4ADE 1.49 Cho D nằm trong 4ABC và E trên AD Đặt w1, w2 là những đường trònngoại tiếp các 4BDE và CDE, hai đường tròn này cắt BC tại những điểm trong F,
G X là giao điểm của DG và AB, Y là giao điểm của DF và AC Chứng minh rằng
XY k BC
1.50 Cho 4ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD BM cắtcạnh AC tại N Chứng minh rằng AB là tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp 4NBCkhi và chỉ khi đẳng thức sau đúng:
BM
M N =
BC2
BN2 1.51 Cho 4ABC với diện tích K Chứng minh
27(b2+ c2− a2)2(c2+ a2− b2)2(a2+ b2− c2)2≤ (4K)6 1.52 Cho 4ABC thỏa mãn AC + BC = 3.AB.Đường tròn nội tiếp ABC với tâm
I và tiếp xúc BC, CA tại D và E K, L là điểm đối xứng D, E qua I Chứng minhA,B,C,K nằm trên đường tròn
1.53 Trong 4nhọn ABC có 2AB = AC + BC Chứng minh rằng tâm nội tiếp,tâm ngoại tiếp, trung điểm AC, trung điểm BC nội tiếp đường tròn
1.54 Cho 4ABC, M là trung điểm của BC Cho γ là đường tròn nội tiếp Trungtuyến AM cắt γ tại K, L Các đường thẳng đi qua K, và L song song BC cắt γ tại
X, Y Giả sử đường thẳng AX, AY cắt BC tại P, Q Chứng minh BP = CQ 1.55 Cho 4ABC, M là điểm bên trong thỏa mãn ∠M AB = 100, ∠M BA =
200, ∠M AC = 400và∠M CA = 300 Chứng minh rằng 4này là cân
1.56 Cho 4vuông ABC tại A M là trung điểm BC, D là điểm trên đường thẳng
BC thỏa ∠BAD = ∠CAD Chứng minh rằng tồn tại điểm P sao cho P B⊥P M và
P B = P M khia và chỉ khi P DP A = 35
1.57 Xét ngũ giác lồi ABCDE sao cho ∠BAC = ∠CAD = ∠DAE và ∠ABC =
∠ACD = ∠ADE P là giao điểm của các đường thẳng BD và CE Chứng minh rằngđường thẳng AP đi qua trung điểm của cạnh CD
Trang 111.58 Chu vi 4ABC bằng 3 + 2√3 Trong mặt phẳng tọa độ, bất kỳ 4đồng quyđối với 4ABC có ít nhất một điểm mạng trong phần trong của nó hoặc trên cạnhcủa nó Chứng minh 4ABC là đều.
1.59 Cho 4ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, và P là điểm bên trong 4.Chứng minh:
1.61 Cho ABCD là tứ giác ngoại tiếp đường tròn, đặt O = AC ∩ BD, và K, L,
M, và N là chân đường vuông góc hạ từ O đến các cạnh AB, BC, CD, DA Chứngminh:
là đều thì 4ABC cũng đều
1.63 Cho 4ABC, với tâm I, đường tròn nội tiếp của 4IBC tiếp xúc IB, IC tại
Ia, Ia0, tương tự ta có Ib, Ib0, Ic, Ic0 và các đường thẳng IbIb0∩ IcIc0 = {A0} tương tự có
B0, C0 Chứng minh hai 4ABC, A’B’C’ được phối cảnh
1.64 Cho AA1, BB1, CC1 là các đường cao trong 4nhọn ABC, và đặt X là điểmtùy ý Gọi M, N, P, R, S là chân đường vuông góc hạ từ X xuống các đường thẳng
AA1, BC, BB1, CA, CC1, AB Chứng minh rằng MN, PQ, RS đồng quy
1.65 Cho 4ABC và đặt X, Y, Z là điểm trên các cạnh BC, CA, AB, sao cho
AX = BY = CZ và BX = CY AZ Chứng minh 4ABC là đều
1.66 Cho P và P’ là những điểm liên hợp đẳng giác đối với 4ABC Giả sử cácđường thẳng AP, BP, CP cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’ C’.Chứng minh rằng các đối xứng của các đường thẳng AP’, BP’, CP’ đối với các đườngthẳng B’C’, C’A’, A’B’ đồng quy
1.67 trong tứ giác lồi ABCD, đường chéo BD không là phân giác của các góc
∠ABC và ∠CDA Điểm P bên trong tứ giác thỏa ∠P BC = ∠DBA và ∠P DC =
∠BDA Chứng minh rằng tứ giác ABCD là nội tiếp khi và chỉ khi AP = CP 1.68 Cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 4ABC tại các đỉnh B và Ccắt nhau tại X Thì đường thẳng AX là đường đối trung của 4ABC ( xem thêmcác bổ đề trong hình học phẳng)
Trang 121.69 Cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 4ABC tại các đỉnh B và Ccắt nhau tại X, và M là trung điểm của cạnh BC Thì AM = AX| cos A| ( ta không
sử dụng góc định hướng ở đây)
1.70 Cho 4ABC là đều Đặt M, N P lần lượt là các điểm trên cạnh BC, CA,
AB sao cho S(ANP) = S(BPM) = S(CMN), ở đây S(.) là diện tích Chứng minh4AN P ∼= 4BP M ∼= 4CM N.
1.71 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng g tùy ý đi qua đỉnh A cắtđường thẳng BC và DC tại X, Y Gọi K, L là tâm bàng tiếp của các 4ABX, ADY.Chứng minh rằng ∠KCL không phụ thuộc và đường thẳng g
1.72 4QAP có ∠A vuông Các điểm B, R được chọn trên PA và PQ sao cho
BR song song với AQ Điểm S và T tương ứng trên AQ, BR và AR vuông ∠BS, ATvuông ∠BQ AR và BS cắt nhau tại U, AT và BQ cắt nhau tại V Chứng minh(a) các điểm P, S, T thẳng hàng
(b) các điểm P, U, V thẳng hàng
1.73 Cho 4ABC và m là đường thẳng mà cắt các cạnh AB và AC tại điểmbên trong D và F Những đường thẳng song song từ A, B, C đối với m cắt đườngtròn ngoại tiếp 4ABC tại điểm A1, B1, C1 Chứng minh rằng các đường thẳng
A1E, B1F, C1D đi qua một điểm cố định
1.74 Gọi H là trực tâm của 4ABC X là điểm tùy ý trên mặt phẳng Đường trònđường kính XH cắt các đường thẳng AH, BH, CH tại A1, B1, C1 và đường thẳng
AX, BX, CX tại A2, B2, C2 Chứng minh các đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2 đồngquy
1.75 Xác định tính chất của 4ABC sao cho tâm nội tiếp nằm trên HG, ở đây H
là trực tâm, G là trọng tâm 4ABC
1.76 Cho 4ABC D là điểm trên đường thẳng AB (C) là đường tròn nội tiếp4BDC Kẻ đường thẳng song song với phân giác ∠ADC, và đi qua I, tâm nội tiếp4ABC và đường thẳng này tiếp xúc với đường tròn (C) Chứng minh AD = BD 1.77 Cho M, N là trung điểm của BC và AC của 4ABC và BH là đường cao.Đường thẳng đi qua M, vuông góc phân giác ∠HM N, cắt đường thẳng AC tại Psao cho HP = 12(AB + BC) và ∠HM N = 450 Chứng minh rằng ABC cân 1.78 Các điểm D, E, F trên cạnh BC, CA, và AB mà thỏa mãn EF k BC, D1
là điểm trên BC Xây dựng D1E1 k DE, D1F1 k DF mà giao điểm AC và AB tại
E1, F1 Xây dựng 4P BC ∼ 4DEF Chứng minh rằng E, E1F1, P D1 đồng quy
Trang 131.79 Cho hình chữ nhật ABCD Ta chọn bốn điểm P, M, N, Q trên AB, BC,
CD, DA Chứng minh rằng chu vi của PMNQ nhỏ hơn một nửa chu vi ABCD 1.80 Cho ABCDE là ngũ giác lồi
1.81 Cho 4ABC Đường tròn nội tiếp i = C(I, R) tiếp xúc với các cạnh BC,
CA, AB tại D, E, F Ta gọi giao điểm thứ hai M, N, P của các đường thẳng AI, BI,
CI tương ứng với đường tròn e = C(O, R) Chứng minh rằng các đường thẳng MD,
NE, PF đồng quy
1.82 Cho 4nhọn ABC với ∠BAC > ∠BCA, và D là điểm trên AC sao cho AB
= BD Hơn nữa đặt F là điểm trên đường tròn ngoại tiếp 4ABC sao cho FD làvuông góc với cạnh BC, và các điểm F, B nằm trên hai bờ của cạnh AC Chứngminh FB vuông góc với cạnh AC
1.83 Cho 4ABC với trực tâm H, tâm nội tiếp I và trọng tâm S, và d là đườngkính của đường tròn ngoại tiếp Chứng minh bất đẳng thức:
9HS2+ 4(AH.AI + BH.BI + CH.CI) ≥ 3d2,
và xác định đẳng thức xảy ra khi nào?
1.84 Cho 4ABC Một đường tròn đi qua A và B cắt cạnh AC, BC tại D và E.Đường thẳng AB và DF cắt nhau tại F, trong khi đường thẳng BD và CF cắt nhautại M Chứng minh rằng MF = MC khi và chỉ khi M B.M D = M C2
1.85 4ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Trên AB ta lấy điểm C’ sao cho AC =AC’ và trên AC ta lấy điểm B’ sao cho AB’ = AB Cạnh B’C’ cắt đường tròn tại E,
D và cắt BC tại M Chứng minh rằng khi điểm A di động trên cung BAC thì AM
đi qua một điểm
1.86 Trong 4nhọn ABC, ta xét chân đường cao Ha và Hb của đường cao hạ từ
A, B và các giao điểm Wa và Wb của các phân giác từ A, B với các cạnh đối diện
BC, CA Chỉ ra rằng tâm đường tròn nội tiếp I của 4ABC nằm trên cạnh HaHbkhi và chỉ khi tâm đường tròn ngoại tiếp O của 4ABC nằm trên cạnh WaWb 1.87 Cho 4ABC và O là điểm trong mặt phẳng Các đường thẳng BO, CO cắtcác cạnh CA và AB tại M, N Những đường thẳng song song với CN và BM đi quađiểm M và N cắt nhau điểm khác E, và những đường thẳng song song với CN và
BM đi qua điểm B và C cắt nhau điểm khác F