a Ta có: cùng ch cùng chắn cung CD.. Do đó Nên tứ giác ABEC nội tiếp.. O ngoại tiếp tam giác ABC.. Do đó Tu đi qua O cố định... Vậy Tuấn chọn được nhiều nhất là 91 số.
Trang 1Đ ÁP ÁN TOÁN CHUYÊN THI THỬ LẦN 2 NĂM 2017
Bài 1
0=a b+c−a −b c+a−b = a −b c− a +b a−b
(a b) (ac bc a2 b2)
Tương tự ta có ( ) ( 2 2)
0
b−c ba+ca−b −c = (2) (0.5)
0
c−a cb+ab−c −a = (3)
Nếu có hai số bằng nhau, giả sử a= , thì từ (2) suy ra b
a c
=
=
Nếu , ,a b c khác nhau đôi một thì
ac+bc−a −b = ba+ca−b −c = cb+ab−c −a =
Nên 0=2a2 +2b2 +2c2 −2ab−2bc−2ca
(a b)2 (b c)2 (c a)2
Vậy a=b=c
2
1
x
=
Phương trình x2 −2x+a=0 có hai nghiệm có tổng bằng 2 nên có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1
⇒ < = < và x x1, 3 là nghiệm của phương trình x2 −2x+a=0 (0.5)
Do đó S =(x3 −x1)(x3 +x1)+4x1 =2(x3 −x1)+4x1 =2(x1+x3)=4 (0.25)
Bài 2.
a)Giả sử x1 là số lớn nhất, x5 là số bé nhất trong bộ x
1, x2, x3, x4, x5
Ta cóx12 =x4 +x5 ≤2x1⇒x1≤2
2
x =x +x ≥ x ⇒x ≥ (0.5)
⟹2≥ x1 ≥ x5 ≥ 2⇒x1= x5 =2
Vậy hệ có 1 nghiệm (2;2;2;2;2 (0.5) )
(Nếu xi là số lớn nhất, xJ là số bé nhất thì cũng chứng minh tương tự)
b) Ta cóa1+a2 + +a6 ≤6a6
a +a +a +a ≥ a
4 a a a 4 6a 6 4a 6 a a
10 a a a 6 a a
Trang 2⇒a1+ +a
6
a
1+ +a
10
Bài 3.a) Phương trình (1)luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 và
x
1
2
+x
2
2
x
1+x
2+17 =a2+1+ 2a +7 =a2+2a +8 (0.25)
Tồn tại k nguyên dương sao cho
a2+2a+8 =k2 ⇔k2−(a+1)2 =7 ⇔(k −a−1) (k +a+1)=7 ( 0.25)
⇔ k − a −1 = 1
k + a +1 = 7
(k + a +1 > k − a −1 > 0) ⇔
k = 4
a = 2
b) Tồn tại b nguyên dương sao cho a2+3a =b2 ⇒(b −a) (b+a)=3a
Nên + = 3 và − = 3 với k là số tự nhiên
Vì b−a< +b a⇒ < − ⇒ −k a k a 2k≥ 1 (0.25)
2a = a+b − b−a =3a k− −3k =3 3k a− k −1 =3 3 1k − = 2.3k
⟹ a = 2k + =1 3k =(1 2+ )k = +1 2k + ≥2k +1
0
k
⇒ = hoặc k =1 khi đó a =1 hoặc a =3 (0.25)
Với a =1 ta có phương trình 2 0
2
x
x
=
=
Khi a =3 ta có phương trình 2 6 8 0 2
4
x
x
=
=
Nếu a−2k > ⇒1 a−2k≥2⇒ ≤ − −k a k 2
Nên 3k ≤3a k− −2
2a = a+b − b−a =3a k− −3k ≥3a k− −3a k− − =3a k− − 3 −1 =3a k− − 8
8 1 2 a k− − 8 1 2 a k 2 8 1 2 a k 2 16a 16k 24
8k 12 7a
⇒ + ≥ mà a≥2k+ ⇒2 7a≥14k+14 (mâu thuẫn) (0.25)
Bài 4
Trang 3a) Ta có: (cùng ch
( cùng chắn cung CD).
Do đó
Nên tứ giác ABEC nội tiếp.( 1đ)
b) Gọi O là tâm đường tròn (O)
ED cắt (O) tại E và T
T
⇒ cố định hay ED đi qua T cố đị
c) OI vuông góc BE và cắt BE tại K, OJ vuông góc CE
(1)( 0.25)
OJ cắt (J) tại P (J thuộc đoạn OP)
Do đó
(2)
Từ (1) và (2) ta có
⇒ tứ giác OIEJ nội tiếp hay đường
Bài 4
Tuấn không thể chọn cả basố trong m
và 1 ≤ ≤i 9, nên có ít nhất 9 số Tuấn không th
không quá 91 số (0.5)
(cùng chắn cung BD)
n cung CD)
(O) ngoại tiếp tam giác ABC
/ /
ịnh.( 1đ)
i K, OJ vuông góc CE và cắt CE tại H
0.25)
n OP), khi đó tứ giác DEPC nội tiếp (J)
(2)
ng tròn ngoại tiếp tam giác IEJ luôn đi qua O c
trong mỗi tập Bi = {10 −i;10 +i; 10 −( i) (10 +i)
n không thể chọn trong các tập đó Do đó Tu
đi qua O cố định (0.75)
i) } vớii nguyên dương
Do đó Tuấn chọn được
Trang 4Mặt khác xét tập A ={10,11,12, ,100} , do c = a b ≥10.11 110 = > 100 với mọi a ≠ thuộc A nên Tuấn có thể chọn được tất cả 91 số của tập A
Vậy Tuấn chọn được nhiều nhất là 91 số.( 0.5)