Mẫu giọt và mẫu khí Fermi

PHẦN 1I Mẫu hạt nhân cần giải thích được các tính chất cơ bản của các trạng thái hạt nhân như spin, độ chẵn lẻ, momen từ, momen từ cực điện, các tính chất của các trạng thái kích thích…

NHÓM 3:

Đỗ Duy An Nông Tấn Lập Nguyễn Duy Bình Dương Quốc Thanh Trần Nguyễn Mộng Tuyền

Chủ đề:

MẪU GIỌT VÀ MẪU KHÍ

CỦA FERMI

SỰ CẦN THIẾT CỦA CÁC MẪU HẠT NHÂN

PHẦN 1:

SỰ CẦN THIẾT CỦA CÁC MẪU HẠT

NHÂN

I LÝ DO XUẤT HIỆN CÁC MẪU HẠT NHÂN

Vấn đề liên quan đến lý thuyết hạt nhân có thể phân thành hai loại là cấu trúc hạt nhân và phản ứng hạt nhân

Khi xây dựng lý thuyết hạt nhân ta vấp phải 3 khó khăn chính là:

+ Không biết chính xác về lực tương tác giữa các nucleon trong hạt nhân

+ Số lượng các phương trình miêu tả sự chuyển động của các nucleon trong hạt nhân rất lớn

+ Không thể quan niệm hạt nhân như một môi trường vĩ mô liên tục

PHẦN 1

I

Mẫu hạt nhân cần giải thích được các tính chất cơ bản của các trạng thái hạt nhân như spin, độ chẵn lẻ, momen từ, momen từ cực điện, các tính chất của các trạng thái kích thích…

Trước tiên là phổ kích thích của hạt nhân và các tính chất động lực học của hạt nhân như xác suất phóng gamma của các mức kích thích của hạt nhân

Mỗi mẫu hạt nhân chỉ giải thích được một số tính chất của hạt nhân, do đó có nhiều mẫu hạt nhân khác nhau

PHẦN 1

II PHÂN LOẠI CÁC MẪU HẠT NHÂN

Cơ sở để xây dựng mẫu hạt nhân là giả thuyết về sự độc lập của một tập hợp nào đó các bậc tự do của hạt nhân

Các bậc tự do của hạt nhân được chia làm hai loại là : bậc tự do một hạt mô tả sự chuyển động của các hạt riêng biệt và bậc tự do tập thể mô tả sự chuyển động của một số lớn hạt

Một cách tương ứng, mẫu hạt nhân cũng được phân thành hai loại là mẫu tập thể và mẫu một hạt, ngoài ra còn có mẫu suy rộng, là tổng hợp hai mẫu nói trên

Mẫu thể hiện các hiệu ứng tập thể trong hạt nhân khi quãng đường tự do của các hạt trong hạt nhân rất bé so với kích thước hạt nhân Và mẫu coi hạt nhân như một giọt chất lỏng hay một vật rắn.

Mẫu tập thể gồm mẫu giọt chất lỏng và mẫu hạt nhân không có dạng hình cầu

Mẫu một hạt gồm mẫu vỏ không có tương tác dư và mẫu vỏ có tính đến hiệu ứng cặp.

Hai giả thiết cơ bản của mẫu suy rộng là:

+ Dạng cân bằng của hạt nhân ở xa các số magic là dạng elipxoit tròn xoay

+ Chuyển động tập thể trong đó có chuyển động dao động và chuyển động quay không phá hoại dạng của hố thế hạt nhân

I KHÁI NIỆM MẪU GIỌT CHẤT LỎNG

Mẫu giọt chất lỏng là mẫu điển hình nhất của các mẫu tương tác mạnh (mẫu tập thể) Trong mẫu giọt chất lỏng, các nucleon được xem là tương tác mạnh với nhau giống như các phân

tử trong một giọt chất lỏng

Một nucleon đã cho thường xuyên va chạm với các nucleon khác ở bên trong hạt nhân, quãng đường tự do trung bình của nó nhỏ hơn nhiều so với bán kính hạt nhân

PHẦN 2:

MẪU GIỌT CHẤT LỎNG

Mẫu giọt giả thiết rằng các nucleon va chạm thường xuyên với nhau và hạt nhân phức hợp có thời gian sống dài trong các phản ứng hạt nhân.

Mẫu giọt cho phép chúng ta thiết lập được sự tương quan của nhiều sự kiện về khối lượng và năng lượng liên kết của hạt nhân; nó rất tiện ích trong việc giải thích

sự phân hạch và các phản ứng hạt nhân.

PHẦN 2

I

PHẦN 2

I

Theo mẫu, hạt nhân là một giọt chất lỏng hình cầu mang điện và không nén được Các phần tử tạo nên chất hạt nhân là các nucleon chỉ tương tác với những nucleon bên cạnh

Những chuyển động riêng lẻ của từng nucleon không gây các tính chất của nhân Chỉ có những tương tác mạnh của các nucleon mới tạo nên các tính chất của hạt nhân

Trong tất cả các mẫu hạt nhân, mẫu giọt là mẫu đơn giản nhất (do N.Bohr – 1936) Tuy đơn giản nhưng mẫu giọt được ứng dụng hiệu quả trong việc giải thích nhiều tính chất của hạt nhân và phản ứng hạt nhân

nó Đó là tính không chịu nén của hạt nhân và giọt chất lỏng.

Mật độ hạt nhân là một hằng số, không đổi với mọi hạt nhân

PHẦN 2

II

Đối với chất lỏng thì mật độ cũng không phụ thuộc vào kích thước của nó (tính không thể nén được của chất lỏng)

PHẦN 2

II

2.Tính bão hòa của các lực tương tác

Năng lượng liên kết trung bình một nucleon

có giá trị7,6 MeV (khoảng từ 7,4 MeV đến 8,6 MeV)

Điều đó cho thấy một nucleon trong hạt nhân không tương tác với tất cả các nucleon còn lại

mà chỉ tương tác với một số hữu hạn các nucleon ở gần nó

Hiện tượng này xuất phát từ tính bão hòa của lực hạt nhân Giọt chất lỏng cũng có tính chất tương tự

PHẦN 2

II

Hình 2: Các nucleon chứa bên trong hạt nhân

Mẫu giọt chất lỏng coi hạt nhân là một giọt chất lỏng mang điện tích và không nén được Các phần tử tạo nên hạt nhân là các nucleon, chúng tương tác với các nucleon bên cạnh.

NLLK của hạt nhân: năng lượng thể tích, năng lượng

bề mặt và năng lượng Coulomb (tương ứng với 3 số hạng đầu trong công thức bán thực nghiệm Weizsacke)

Phạm vi ứng dụng của mẫu giọt chất lỏng: miêu tả NLLK trung bình của hạt nhân là hàm của A và Z, khảo sát các dao động bề mặt của các hạt nhân hình cầu và giải thích định tính quá trình phân hạch hạt nhân

PHẦN 2

II

III ỨNG DỤNG CỦA MẪU GIỌT CHẤT LỎNG

1 Mô tả năng lượng liên kết của hạt nhân

Công thức bán thực nghiệm Weizsacker:

Ba số hạng đầu của công thức (1) có thể được giải thích trên cơ sở mẫu giọt chất lỏng

PHẦN 2

2 Tính khối lượng của hạt nhân

Từ công thức năng lượng liên kết (1) có thể nhận được khối lượng hạt nhân như sau:

Công thức bán thực nghiệm (2) cho phép tính bất cứ khối lượng của hạt nhân nào với A, Z, mp

và mn cho trước với sai số tương đối không vượt quá 10-4

PHẦN 2

III

Công thức (2) biểu diễn sự phụ thuộc khối lượng hạt nhân vào điện tích Z và số khối lượng A.

PHẦN 2

III

Hình 3: Các hạt đồng khối với A lẻ Các hạt nhân phân rã và để chuyển về hạt nhân bền nhất có khối lượng bé nhất ứng với điện tích Zo

có một giá trị Zotương ứng với hạt nhân đồng khối bền.

Với A chẵn, khối lượng M(Z) là hàm lưỡng trị vì số hạng trong công thức (1) nhận hai giá trị khác nhau đối với các hạt nhân chẵn-chẵn và lẻ - lẻ.

Hình 4 : Các hạt nhân đồng khối với A chẵn

PHẦN 2

III

3 Khảo sát các dao động bề mặt của hạt nhân hình cầu

Ta hãy xem xét sự kích thích các bậc tự do khả

dĩ của giọt chất lỏng hạt nhân

Trong trạng thái tự do, nghĩa là không bị kích thích, giọt chất lỏng có dạng hình cầu Ở trạng thái kích thích, giọt chất lỏng không bị nén nhưng có thể thay đổi dạng hình học, do đó các bậc tự do bị kích thích sẽ tương ứng với các dao động bề mặt

PHẦN 2

III

Hình 5 : Giọt chất lỏng có dạng hình cầu (hình a) Dao động tứ cực (hình b) và dao động bát cực (hình c) của giọt chất lỏng.

PHẦN 2

III

Lý thuyết phi lượng tử của các dao động bé bề mặt của giọt chất lỏng tự do đã phát triển trước khi có lý thuyết lượng tử.

Theo lý thuyết này thì tần số thấp nhất ứng với các dao động riêng tứ cực, khi đó giọt chất lỏng có dạng hình ellipsoid căng hay dẹt (hình 5b) Tần số cao hơn ứng với các dao động bát cực, khi đó giọt chất lỏng

có dạng hình quả lê (hình 5c)

Các dao động riêng khác tương ứng với các biến dạng phức tạp hơn và có tần số cao hơn Khi chuyển sang lí thuyết lượng tử thì các dao động riêng của hạt nhân được lượng tử hóa

PHẦN 2

III

Việc lượng tử hóa không làm thay đổi các tần số riêng nhưng các phổ năng lượng và momen động lượng của các trạng thái dao động kích thích trở thành gián đoạn Khi đó các năng lượng dao động

được năng lượng của lượng tử tứ cực bằng:

Lượng tử bát cực có năng lượng cỡ hai lần năng lượng lượng tử tứ cực với cùng một giá trị A Các công thức (3) và (4) phù hợp với thực nghiệm đối với các mức thấp nhất khi nquad = 1, 2 và noct = 1

PHẦN 2

III

Nếu mức cơ bản có đặc trưng 0+ thì mức kích thích thứ nhất là mức 2+ có năng lượng tính theo công thức (4)

Mức 3 tiếp theo sẽ có năng lượng gấp đôi Gần mức 3 là ba mức nằm rất gần nhau tương ứng với trạng thái kích thích của hai lượng tử tứ cực với các đặc trưng 0+, 2+ và 4+

Chú ý rằng khi cộng hai vector với ta được vector tổng cộng với các độ lớn 0, 1, 2, 3, 4, nhưng các trạng thái 1+ và 3+ bị cấm do các lượng

tử kích thích (3) tuân theo thống kê Bose

PHẦN 2

III

Tiên đoán về việc mức kích thích đầu tiên có đặc trưng 2+ được thực hiện hầu như đối với tất cả các hạt nhân chẵn-chẵn

Tuy nhiên năng lượng của mức này thấp hơn giá trị tính theo công thức (4) Chẳng hạn mức 2+ đối với hạt nhân 28Ni60 có năng lượng 1,3 MeV trong khi tính toán cho năng lượng 3 MeV

Ở rất nhiều hạt nhân chẵn - chẳn cũng thấy có bộ ba 0+, 2+ và 4+ nằm ở mức năng lượng cao hơn hai lần

so với mức kích thích đầu tiên (hình 2.4) Và cuối cùng hầu như ở tất cả các hạt nhân chẵn -chẵn đều

có mức 3- được giải thích do kích thích bát cực

Khi kích thích bậc tự do này, hạt nhân trở thành một tứ cực điện, nghĩa là bị phân cực Kích thích phân cực ứng với sự thay đổi cấu trúc bên trong hạt nhân Do đó năng lượng kích thích khá lớn, cỡ 15 - 20 MeV đối với các hạt nhân nặng và 20 - 25 MeV đối với các hạt nhân nhẹ.

Hình 6 : Cơ chế phân hạch

IV HẠN CHẾ CỦA MẨU GIỌT CHẤT LỎNG

Không giải thích đầy đủ các số hạng trong công thức bán thực nghiệm về khối lượng và năng lượng liên kết của hạt nhân, không cung cấp được các số liệu định lượng về các trạng thái kích thích của hạt nhân…

Một loạt các vấn đề chưa đề cập đến: các đặc trưng cá biệt của các trạng thái cơ bản và kích thích của hạt nhân (năng lượng liên kết, spin, moment từ…)

Hạn chế trong việc mô tả tính chất của hạt nhân có liên quan đến vai trò của nucleon và sự biến thiên tuần hoàn của chúng

Số phổ kích thích ít, không tính đến các tính chất riêng biệt của từng hạt nhân cũng như không thể giải thích các momen từ cực của các trạng thái kích thích đầu tiên

PHẦN 2

PHẦN 3: MẪU KHÍ CỦA FERMI

I LÍ DO ĐƯA RA MẪU KHÍ FERMI

PHẦN 3

II NỘI DUNG MẪU KHÍ FERMI

Trong mẫu khí Fermi, các proton và các neutron- gọi chung là các nucleon được thừa nhận là hai hệ độc lập nhau, mỗi hệ di chuyển tự do bên trong thể tích của hạt nhân theo nguyên lý loại trừ Pauli

Hình 7 : Hố thế của proton và nơtron trong hạt nhân

PHẦN 3

II

* Tính toán độ sâu của hố thế

Các mức năng lượng được chiếm đầy từ đáy của giếng thế Mức năng lượng cao nhất được chiếm đầy được gọi

là mức năng lượng Fermi EF và có động lượng là:

M là khối lượng của nucleon

Trong phạm vi thể tích V, số trạng thái có động lượng từ

p → p+ dp được cho bởi mật độ yếu tố trạng thái

Ta có thể tính số trạng thái hạt khả dĩ xuất phát từ một quan sát không gian pha (yếu tố nhỏ nhất của không gian pha)

PHẦN 3

II

Ta có:

VK: thể tích hạt nhân

Vp: thể tích không gian xung lượng

Đối với hạt nằm trong yếu tố thể tích dVK có xung lượng nằm trong khoảng p → p + dp thì dVp được tính theo công thức:

Thể tích không gian pha:

MeV, Mev.

Đối với các hạt nhân nhẹ có thì EF= 24 MeV

PHẦN 3

II

Đối với các hạt nhân nặng, tỉ số trên là: và Từ đây ta sẽ tính được các mức năng lượng Fermi tương ứng là: và

Độ sâu của hố thế được tính bằng tổng năng lượng Fermi tương ứng của từng loại nucleon và năng lượng tách của các nucleon, nghĩa là:

và

Nhận xét: Chiều sâu hố thế của neutron sâu hơn

hố thế của proton Điều này góp phần giải thích

ở các hạt nhân nặng thì số neutron nhiều hơn số proton.

Giả thiết rằng các nucleon chuyển động một cách tự

do trong hạt nhân Như vậy gần đúng thì từ mọi phía, mật độ các nucleon gần như bằng nhau Ảnh hưởng của các lực với các hướng khác gây ra bởi các nucleon bên cạnh triệt tiêu lẫn nhau

Ở đây chúng ta chưa đề cập tới các nucleon chuyển động gần bề mặt hạt nhân Với sự nghiên cứu gần đúng, ta bỏ qua ảnh hưởng của các nucleon chuyển động gần bề mặt của hạt nhân

PHẦN 3

III

* Hàm sóng mô tả trạng thái của các nucleon

Mẫu khí mô tả các nucleon bằng hàm sóng riêng đặc trưng cho chuyển động tự do của nó, tức là bằng hàm exp(i )

Các hàm số đặc trưng cho trạng thái spin: α(s) nucleon có hướng lên trên và β(s) ứng với các nucleon có hướng xuống dưới

Hàm số trạng thái toàn phần của một nucleon sẽ có dạng:

hoặc

PHẦN 3

III

Đối với neutron cũng như đối với proton hoặc đối với các hạt Fermi, theo nguyên lí Pauli, chúng ta thấy ở trong hạt nhân hai hạt (hoặc proton hoặc neutron) cùng loại không có cùng một trạng thái, như vậy rõ ràng phần phụ thuộc vào spin của trạng thái sẽ có giá trị ngược nhau

PHẦN 3

III

Lập giá trị :

Công thức tính động năng là:

Giải bài toán hàm riêng- trị riêng như sau:

Trong đó: là hàm riêng và E là trị riêng của Đặt , ta có:

Vậy ta có trị riêng của nó là , nếu ta lấy hàm

số trạng thái phụ thuộc vào tọa độ là hàm sóng phẳng

PHẦN 3

III

Ta có thể biểu thị dưới dạng bằng cách phân tích như sau:

trong đó: là vector có ba thành phần là l, m, n

và nhận các giá trị

Ta lại có công thức tính xác suất:

PHẦN 3

III

=

sao cho đẳng thức sau thỏa mãn:

Vậy, ta chọn hàm sóng là:

PHẦN 3

III

Hàm sóng trên là hàm sóng đã được chuẩn hóa trên toàn thể tích L3, tức là:

Nếu chúng ta lấy hình cầu bán kính để chứa tất cả

các tọa độ của các nucleon chuyển động trong hạt nhân

thì thể tích của quả cầu đó là:

PHẦN 3

III

Với hàm sóng đã được mô tả ở trên, thì trong mỗi một ô lập phương có cạnh là L ở trong quả cầu có yếu tố thể tích L3 sẽ có xác suất tìm thấy hạt bằng 1

Tương tự như vậy, trong một thể tích hạt nhân là

v, chắc chắn chúng ta cũng sẽ tìm thấy một xác suất nucleon nhất định Vậy, nếu ta chọn L3 = v

và ta có:

sẽ thỏa mãn của các nucleon

PHẦN 3

III

* Số trạng thái nucleon nằm trong vùng (k, k+dk)

Ta gọi là số trạng thái với hàm số sóng trên và hàm

số spin lấy cả về 2 phía trong toàn bộ thể tích v thì nó có dạng sau :

Vậy số trạng thái proton hay neutron nằm trong vùng (k,k+dk) sẽ là:

PHẦN 3

III

Chứng minh:

PHẦN 3

III

Ở trạng thái cơ bản của hạt nhân, theo nguyên lí Pauli thì tất cả các nucleon đều cho phép ở trạng thái có năng lượng thấp nhất tức là có số neutron hay proton có k=0 cho tới k bằng một giá trị cực đại nào đó hay , chúng

nó chiếm giữ ở trạng thái thực

Ngược lại các trạng thái có số sóng

là những trạng thái trống, rõ ràng ở trong trường hợp của vector thì là một bán kính hình cầu của các neutron và là một bán kính hình cầu của các proton

PHẦN 3

III

Đó chính là hình cầu Fermi, và từ đó có khái niệm

về “khí nucleon” và như vậy theo Fermi thì số proton hay là neutron được biểu thị bằng các công thức sau :

PHẦN 3

III

* Động năng của các nucleon trong hạt nhân

Từ các kết quả này chúng ta có khả năng tính được động năng toàn phần của neutron cũng như là của proton mà ta kí hiệu là TN và TP

Ta hãy nhân động năng của một nucleon với số trạng thái theo công thức (a) , (b) và lấy tích phân theo tất cả các trạng thái của nucleon , có nghĩa là:

PHẦN 3

III

Chứng minh : TN và TP

PHẦN 3

III

Chứng minh tương tự với TP

* Gọi là động năng toàn phần của

nucleon trong hạt nhân

Khi số neutron nhiều hơn số proton có trong hạt nhân tức là (N-Z)/A << 1, ta có:

Hay

và ở đây khai triển đến bậc hai, trong công thức thì

là mật độ nucleon chứa trong hạt nhân