Bài tập chương 2 Toán lớp 12 - Lư Sĩ Pháp

TOÁN 12HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong... Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toá

TOÁN 12

HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG

TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn bài tập Giải Tích 12

Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và

chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định.

Bài tập Giải tích 12 gồm 2 phần

Phần 1 Phần tự luận

Ở phần này tôi trình bày đầy đủ lí thuyết và bài tập có hướng dẫn giải ở từng bài học Với mong muốn mong các em nắm được phương pháp giải bài tập trước khi chuyển sang giải Toán trắc nghiệm

Phần 2 Phần trắc nghiệm

Ở phần này tôi trình bày tóm tắt các lý thuyết cần nắm, kĩ năng làm bài trắc nghiệm, hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay cần thiết trong quá trình làm bài trắc nghiệm

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các

em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn

Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899

Chân thành cảm ơn

LỜI NÓI ĐẦU

Phần 1 Hàm số Lũy Thừa – Mũ – Lôgarit

Phần 2 Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình

Mũ – Lôgarit

Ôn tập Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT

-o0o -

§1 LŨY THỪA

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

I KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Trong biểu thức: a n , ta gọi a là cơ số, n là số mũ

2 Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho a≠0,n∈ℕ , quy ước: * n 1 , 10

a a a

− = =

Chú ý:

 00 và 0−n không có nghĩa

 Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị những số rất lớn và những

số rất bé Chẳng hạn: Khối lượng của Trái Đất là 5,97.10 kg ; khối lượng nguyên tử của hiđrô là 24

Cho số thực b và số nguyên dương n≥2 Số ađược gọi là căn bậc n của số b nếu a n =b

 Khi n lẻ và b∈ℝ: Tồn tại duy nhất căn bậc n của b , kí hiệu n b

 Khi nchẵn:

 b<0: Không tồn tại căn bậc n của b

 b=0: Có một căn bậc n của b , kí hiệu n 0 0=

 b>0: Có hai căn bậc n của b trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n b, còn giá trị âm là −n b

= , trong đó m∈ℤ,n∈ℕ,n≥2

Lũy thừa của a với số mũ r là số a r xác định bởi:

m n

a =a = a

5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Giả sử alà một số dương, α là một số vô tỉ và ( )r là một dãy số hữu tỉ sao cho n lim n

→+∞ = Khi đó: lim r n

n

aα a

→+∞

=

II Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Cho ,a b là những số thực dương; ,α β là những số thực tùy ý Khi đó, ta có:

1) a aα β =aα β+ 2) a

a a

α

α β β

−

= 3) ( )aα β =aα β. 4) ( )a b α =a bα α

b b

α αα

0,75 2

4 2

a

+ − +

5 2

b b b B

1 1,( 1)1

 

 

 

HD Giải a) Ta có: 2 3= 12,3 2= 18.Do 12<18 nên 2 3 3 2<

 

 

 

HD Giải a) Đưa hai căn đã cho về cùng căn bậc 15, ta được:

c) Ta có:

20 5 20 4

6 2 3

7 5 2 1 3 2 6 2 2+ = + + + = +1 2 Tương tự: ( )3

7 5 2− = −1 2Suy ra: 3 7 5 2+ +37 5 2 1− = + 2 1+ − 2 2=

d) 3 9+ 80 +39− 80 3= Có thể giải bằng ba cách như câu a)

a b a b

− +

= −

− +

14

1 2.22

Tập xác định của hàm số lũy thừa y=xα tùy thuộc vào giá trị của α :

 Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ

 Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ\ 0{ }

 Với α không nguyên, tập xác định là (0;+∞)

3 Đạo hàm

Hàm số y=xα(α∈ℝ ) có đạo hàm với mọi x>0 và ( )/ 1

xα =αxα− Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng: ( )/ 1 /

Đồ thị

Đồ thị luôn đi qua điểm ( )1;1 Hình dạng đồ thị ứng với các giá trị khác nhau của α

B BÀI TẬP

DẠNG 1 Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa y=xα

Tập xác định của hàm số lũy thừa y=xα tùy thuộc vào giá trị của α :

 Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ

 Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ\ 0{ }

 Với α không nguyên, tập xác định là (0;+∞)

Vậy tâp xác định là: D= −∞( ;1)

2 2

11

( )

n

n n

Bài 2.4 Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y=(2x+1)π b)

3 3 3

11

x y

11

x x

DẠNG 3 Khảo sát hàm số lũy thừa y=xα

Khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thểm ta phải xét hàm số đó trên toàn tập xác định của nó

Lưu ý: Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm ( )1;1

Bài 2.5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a)

4 3

y=x b) y=x−3 c) y=x−4 d) y x2

π

=

HD Giải a)

3 0,

y x D x

1 1

4

y x

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 2.6 Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) y=x4 b) y=x7 c) y=x0 d) y=x−15 e) y= 8 x f) y= 7 x g)

5 8

1 4

= c) n 1

y= x− d) y= n x m e) y= 4 x4+x2+1 f) y= 4x2−3x−1 g) ( ) 3

y=x b) y=x5 và y=x−5 c) y=x2 và

1 2

n x− −

; d) m n m n

x n

§3 LÔGARIT

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Định nghĩa

Với hai số dương a b a, ( )≠1 Số α nghiệm đúng đẳng thức aα =b được gọi là lôgarit cơ số a của

b và kí hiệu là log a b Như vậy: α =loga b⇔aα =b

Chú ý: Không có lôgatir của số âm và số 0

2 Tính chất

Cho hai số dương a và b, a≠1 Ta có:

log 1 0a = loga a=1

loga b

a =b loga( )aα =α

3 Quy tắc tính

a) Lôgarit của một tích

Với các số dương a, b b và 1, 2 a≠1 Ta có: loga( )b b1 2 =loga b1+loga b2

Lưu ý: Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit

b) Lôgarit của một thương

c) Lôgarit của một lũy thừa

Với các số dương a, b b và 1, 2 a≠1 Với mọi α, ta có: loga bα =αloga b

Lưu ý:  Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số

Dạng 1 Tìm điều kiện để một biểu thức lôgarit có nghĩa

Lưu ý: loga b có nghĩa 0

b a

 >



< ≠

Bài 3.1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:

x x

x x

x x

x x

2 2

1log 4 log 2 log 2

3 3

1log 8 log 2 log 3

5 1 log 3

125

log 2

3

HD Giải a)

1 log27

log 15 log 30 log log 2 log 2

log 9 log 3 2 log 3 2

d) 36log 5 6 +101 log2 − −8log 3 2 =62log 5 6 +10log 10 log 2 10 − 10 −23log 3 2 =6log 5 6 2+10log 5 10 −2log 3 2 3 = − + =52 5 33 3

Bài 3.10 Rút gọn các biểu thức sau:

3

1log 7 2 log 49 log

7

+ − b) log 6.log 9.log 2 3 8 6

c) loga b2+loga2b4 d) log1 1log 4 4 log 2

1log 7 2 log 49 log log 7 2 log 7 log 7 log 7 2 log 7 2 log 7 3log 7

c) loga b2+loga2b4 =loga b2+loga b2 =2 loga b2 =4 loga b

d) log1 1log 4 4 log 2 log8 log2 log 4 log8 log8 0

Bài 3.11 Rút gọn các biểu thức sau:

a) log4 1log36 3log9

27log 72 2 log log 108

3 2

−

=  =  = −

c) log1 log 0,375 2 log 0,5625 log2 3 log 0,5 3 2 log 0,5 3( 3 ) 4 2

Bài 3.13 Cho a và b là các số dương Tìm x, biết:

a) log3x=4 log3a+7log3b b) 2 2 2

b) ( )13 4

216 31

log log 216 2 log 10 4 log 3 log log

3 3

93

a) Cho log 202 =α Hãy tính log 5 theo 20 α

b) Cho log 5 a2 = Hãy tính log 1250 theo a 4

c) Cho log 330 =a,log 530 =b Hãy tính log 1350 theo a, b 30

d) Cho log 3 c15 = Hãy tính log 15 theo c 25

= + c) Ta có: 1350 3 5.30= 2

a) Cho log 153 =a b, =log 103 Hãy tính log 50 theo ,3 a b

b) Cho log 32 =a b, =log 5,3 c=log 27 Hãy tính log 63 theo , ,140 a b c

c) Cho loga b= 5 Hãy tính a

 a=log 15 log 3.5 1 log 53 = 3( )= + 3 ⇒log 53 = −a 1

 b=log 10 log 2.53 = 3( )=log 2 log 53 + 3 ⇒log 23 = −b log 53 = − +b a 1

a ca

+

= + =

+ + + ++ +

a a

5 3 6

5 3 6 log 3 6 log 6 1 2 5 6 12 2 5

5 5log

Bài 3.17 Hãy chứng minh:

2

1 log 3 log 2

1 log 2

coâ si 1

1 log 2

1 log 2

2

1 log 3 log 2

log 3

+ > Suy ra: log 7 log 3 23 + 7 >

c) log 7 5 log 4 5 log 7 5 log 4 5

4 = 7 ⇔ log 4 = log 7 ⇔ log 7 log 4.log 7 = (đúng)

d) 3log 52 = 5log 32 ⇔ log 33 log 52 = log 53 log 32 ⇔ log 5 log 3.log 52 = 2 3 (đúng)

Bài 3.18 Hãy chứng minh:

ab

c

b a b c a c ab c

1 1 log 1

2 và log 0,7π b) log 212 và log 70,2

c) log 32 và log 56 d) log 0,30,2 và log 0,40,5

HD Giải a) Ta có:

 > ⇒ <



<



Từ (1) và (2), suy ra: log 2 log 712 > 0,2

c) Ta có:  log 3 log 22 > 2 ⇒ log 3 1 (1)2 >

 log 5 log 66 < 6 ⇒ log 5 1 (2)6 <

Từ (1) và (2), suy ra: log 3 log 52 > 6

d) Ta có:  log 0,3 log 0,20,2 < 0,2 ⇒ log 0,3 1 (1)0,2 <

 log 0,4 log 0,50,5 > 0,5 ⇒ log 0,4 1 (2)0,5 >

Từ (1) và (2), suy ra: log 0,3 log 0,40,2 < 0,5

Bài 3.21 So sánh các cặp số sau:

a) log 53 và log 47 b) log 20,3 và log 35

c) log 102 và log 305 d) log 103 và log 578

HD Giải a) Ta có:  log 5 log 33 > 3 ⇒ log 5 1 (1)3 >

 log 4 log 77 < 7 ⇒ log 4 1 (2)7 <

Từ (1) và (2), suy ra: log 5 log 43 > 7

b) Ta có:  log 2 log 10.3 < 0,3 ⇒ log 2 0 (1)0,3 <

 log 3 log 15 > 5 ⇒ log 3 0 (2)5 >

Từ (1) và (2), suy ra: log 2 log 30,3 < 5

c) Ta có:  log 10 log 82 > 2 ⇒ log 10 3 (1)2 >

 log 30 log 1255 < 5 ⇒ log 30 3 (2)5 <

Từ (1) và (2), suy ra: log 10 log 302 > 5

d) Ta có:  log 10 log 93 > 3 ⇒ log 10 2 (1)3 >

 log 57 log 648 < 8 ⇒ log 57 2 (2)8 <

Từ (1) và (2), suy ra: log 10 log 573 > 8

Bài 3.22 So sánh các cặp số sau:

a) 1 log3

2 + và log19 log2 − b)

5 7 log

và log19 log2 log 19 10 19

 log10a được gọi là lôgarit thập phân của a và kí hiệu là log a hay lg a

 logea được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê – pe) của a kí hiệu ln a

Bài 3.23 Đổi sang lôgarit Nê – pe

2

ln 16 log 16

33log 2 1 log 5 2 7 log 2 1 log 5 2 7

log    

a) Biểu diễn log 830 qua log 530 và log 330 b) Biểu diễn log 209 qua a = log2, b = log3

Bài 3.28 Biểu diễn trực tiếp y theo x, biết:

a) Cho log 72 =a,log 2412 =b Hãy tính log 168 theo a, b 54

b) Cho log 156 =a,log 1812 =b Hãy tính log 24 theo ,25 a b

Bài 3.30 Cho hai số dương a và b Chứng minh rằng:

a) alogb = bloga b) alnb = blna

Bài 3.31 Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông, trong

đó c b ± ≠ 1 Chứng minh rằng: logc b+ a + logc b− a = 2logc b+ a logc b− a

+

Bài 3.28 a) y x

1 34

e t

0

1 lim 1

Chiếu biến thiên

 a > 0: Hàm số đồng biến

 0 < < a 1: Hàm số nghịch biến Tiệm cận Trục Ox là tiệm cận ngang

Đồ thị Đi qua các điểm ( ) 0;1 và ( ) 1; a , nằm phía

y = a > ∀ ∈ 0, x ℝ

II Hàm sô lôgarit

1 Định nghĩa

Cho a > 0, a ≠ 1 Hàm số y=loga x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a

2 Đạo hàm của hàm số lôgarit

( ax )

x a

/ 1 log

ln

u u

u a

/ /log

3 Khảo sát hàm số lôgarit y = log ,(0ax < ≠ a 1)

 a 0> : Hàm số đồng biến

 0< <a 1: Hàm số nghịch biến Tiệm cận Trục Oy là tiệm cận đứng

Đồ thị Đi qua các điểm ( )1;0 và ( )a;1 , nằm phía

bên phải trục tung

Bảng đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, mũ, logarit

Hàm sơ cấp Hàm hợp (u=u x( ))

( )xα / =αxα−1 ( )u u

x / =ux −1.u/

x x

/ 2

u a

/ /

HD Giải a) Hàm số xác định x

x x

x

2 2

+

=

−

HD Giải

→ − =

 lim0sin 1

x

x x

x

x x

x

e e x

x

x x

x

x x x

sin 2

x

x x

1 1

x

x

e x

→

−+ − c)

( 3)

0

ln 1lim

2

x

x x

tan

x

x x

→

+

HD Giải a)

Lưu ý: Dùng công thức tính đạo hàm của các hàm số

Bài 4.6 Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y=8x2+ +x 1 b) y=2xe x+3sin 2x c) y=5x2−2 cosx x d) x x

y 13

/ /

/ 2

3 /

2 2

1

11

+

= + = + + = + +

++

Bài 4.10 Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y=ln cosx b) ln 1 sin

cos

x y

x

−

=+ d)

Bài 4.11 Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y=log 22( x+1) b) y=3x2−lnx+4sinx c) y=log(x2+ +x 1) d) log x3

y x

x y

Lưu ý: Các bước khảo sát hàm số

Bài 4.16 Khảo sát các hàm số sau:

y=

 Tập xác định: D=ℝ

1 0

 Đồ thị:

0 1

11

2

x

y

12

O

1

1

x y

2 0,7

9 log

5

x y

3

x y

2 16log

5

x y

y = − + x x + c)

2 0,7

9 log

5

x y

e y

y xy+ +x y = với y=sin ln( )x +cos ln( )x

Bài 4.24 Tính các giới hạn sau:

x

x

x x

Bài 4.18 a)

/ 2

2 3

3 4 ln8

x y

2

10 9

9 5 ln 0,7

x x y

y

x

1 / 2 ln 233

x y

x x y

ÔN TẬP

HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

-o0o -

Bài 1 Đơn giản các biếu thức sau:

a) A=25log 6 5 +101 log2+ −2log 9 4 b) bB=log log2 5 4 5

D= −

HD Giải

1 2

x y

−

⇔ > ⇔ <

32

x> Vậy tập xác định hàm số là: ( ;1) 3;

2

D= −∞ ∪ +∞

  c) Hàm số xác định ⇔x2 − −x 12 0> ⇔ < −x 3hoặc x>4

x y

x

+

=

−

c) y= logx+log(x+2) d) y= log( )x− +1 log( )x+1

x x

x x

x x

( )

2

2 2

e

= = =+ +

Bài 6 Tính đạo hàm các hàm số sau:

y= + e) y=3x−3−log3x f) y= 3(3x−2)

HD Giải a) / ( 3 1 ) ( )/ 3 1 / 3 1( )/ 3 1 3 1

y = e + x = e + x e+ + x = e + x− e + x

/ 3

2 /

3 3

5 x x cos sin 5 x x.ln 5 cos sin 5 x x.ln 5

Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) f x( ) ln= (x2+ −x 2) trên đoạn 3; 6  b) f x( )=x2lnx trên đoạn 1;e 

c) ( )f x =xe−x trên nửa khoảng 0;+∞) d) ( ) 2x 4 x 3

f x =e − e + trên đoạn 0; ln 4 

HD Giải a) f x( ) ln= (x2+ −x 2) trên đoạn 3; 6 

 Tập xác định: D=ℝ\ 2;1− ⊃3;6

Bài 8 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) f x( )=x2 −ln 1 2( − x) trên đoạn −2;0 b) ( )f x =xln3x trên đoạn

= trên đoạn 1;e3

  d) f x( )=x2lnxtrên đoạn 1;e2

e e

e Max f x

e e

e Min f x

 Vậy:

2

4 1; ( ) 2

2

x

f x = − −x trên đoạn −2;1 d) f x( )= x2 + −3 xlnx trên đoạn 1; 2 

HD Giải a) f x( )=e2 3− x trên đoạn 0; 2 

x x

Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) ( 2 2 ) x

y= x + x e− trên đoạn [0; 2] b) ( ) 2x 4 x 3

y= f x =e − e + trên đoạn 0; ln 4 

HD Giải a) ( 2 2 ) x

1

x y

Bài 16 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y=e 1 x− 2 trên đoạn −1;1 b) x( 2 1)

y=e x − −x trên đoạn 0;3  c) y=log2 x−4 logx+3 trên đoạn 10;1000  d) 27x 9x 8.3 1x

y= − − − trên đoạn 0;1 

Bài 17 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y=e x2−2x trên đoạn 0;3  b) y=ln( )x e+ trên đoạn 0; e 

PHẦN II

- CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

-o0o - PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

§1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ có dạng: a x =b a ( >0,a≠1)

- Nếu b≤0, phương trình vô nghiệm

- Nếu b>0, phương trình có nghiêm duy nhất x=loga b

2 Phương trình mũ đơn giản

Phương trình có thể đưa về phương trình mũ cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp:

Phương pháp 1 Đưa về cùng cơ số

Biến đổi phương trình đưa về dạng a f x( ) =a g x( )

a b = Đặt x,( )0

t=a t> , khi đó x 1

b t

Vậy phương trình có nghiệm x= −1,x=6

Bài 1.2 Giải các phương trình sau:

x x x

−

− = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ =

Vậy phương trình có nghiệm x=6

Bài 1.4 Giải các phương trình sau:

Bài 1.5 Giải các phương trình sau:

 =

− + = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔

+ + =

 Với t=1⇒(2+ 3)x = ⇔ =1 x 0 Vậy phương trình có nghiệm x=0

Bài 1.8 Giải các phương trình sau

a) 3.4x−2.6x =9x b) 27 12x+ x =2.8x

c)  6+ 35x+ 6− 35x =12

2 12cot sin

Vậy phương trình có nghiệm x∈ −{ }2;2

d) Điều kiện sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ,k∈Z (*)

c) Chia hai về phương trình cho 16x

 Với t=9⇒310x = ⇔ =9 x 20 Vậy phương trình có nghiệm x=20

f) Chia hai vế phương trình cho 6 (6x x >0), ta được:

Phương trình đã cho có dạng: 4t+ + =2t t 448⇔ =t 64 Vậy nghiệm của phương trình đã cho: x=9

Bài 1.12 Giải các phương trình sau:

Khi đó: 2 1 5

22

Vậy nghiệm của phương trình là x= −1,x=1

c) Nghiệm của phương trình là x=2 Gợi ý: Đặt 2 x2 5 x( 0)

t= + − t> , đưa phương trình đã cho về dạng:

sin x= −1 cos x, đưa phương trình đã cho về dạng: t2−30 81 0t+ =

Vấn đề 3 Giải phương trình mũ bằng cách lấy lôgarit hai vế (lôgarit hóa)

= −

Vậy phương trình có nghiệm x=0,x= −log 32