Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ------ TRẦN PHƯƠNG GIANG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG TAM GIÁC Ở LỚP 7 KHÓA LUẬN TỐT N

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN - -

TRẦN PHƯƠNG GIANG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG TAM GIÁC Ở LỚP 7

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI – 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN - -

TRẦN PHƯƠNG GIANG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG TAM GIÁC Ở LỚP 7

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học

TS PHẠM THỊ DIỆU THÙY

LỜI CẢM ƠN

Em xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo và các cán bộ nhân viên trong khoa

Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là cô giáo hướng dẫn TS

Phạm Thị Diệu Thùy - tổ Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán đã giúp

đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Do còn hạn chế về thời gian và kinh nghiệm nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những góp ý của thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Trần Phương Giang

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Phát triển năng lực tư duy toán học cho

học sinh khi dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7” là công trình

nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Thị Diệu Thùy

Trong quá trình nghiên cứu, tôi có tham khảo những tài liệu đã liệt kê trong phần tài liệu tham khảo và một số thông tin cập nhật qua các kênh thông tin đại chúng

Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình nghiên cứu, tìm tòi của bản thân; không trùng lặp với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Trần Phương Giang

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Cấu trúc khóa luận 4

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 5

1.1 Năng lực 5

1.1.1 Khái niệm năng lực 6

1.1.2 Các hình thức cơ bản của năng lực 7

1.2 Năng lực tư duy toán học 8

1.2.1 Đại cương về tư duy, năng lực tư duy 8

1.2.2 Khái niệm năng lực tư duy toán học 9

1.2.3 Các thao tác tư duy toán học 10

1.2.4 Các loại hình tư duy toán học 12

1.3 Tiềm năng phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh 15

Kết luận chương 1 17

Chương 2 BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP

CHƯƠNG TAM GIÁC Ở LỚP 7 18

2.1 Các biện pháp rèn luyện một số thao tác tư duy toán học 18

2.1.1 Phân tích 18

2.1.2 Tổng hợp 24

2.1.3 Đặc biệt hóa 28

2.1.4 Tổng quát hóa 36

2.2 Các biện pháp phát triển một số loại hình tư duy toán học 40

2.2.1 Tư duy phê phán 40

2.2.2 Tư duy sáng tạo 43

Kết luận chương 2 50

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 52

3.1 Mục đích thực nghiệm 52

3.2 Nội dung thực nghiệm 52

3.3 Tổ chức thực nghiệm 55

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 56

Kết luận chương 3 60

KẾT LUẬN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

PHỤ LỤC 64

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong giai đoạn đẩy mạnh công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước và hội nhập quốc tế, nguồn lực con người Việt Nam càng trở nên có ý nghĩa, quyết định sự thành công của công cuộc phát triển đất nước Giáo dục ngày càng có vai trò và nhiệm vụ quan trọng trong việc xây dựng một thế hệ người Việt mới, đáp ứng yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội Điều này đòi hỏi giáo dục phải có sự phát triển đúng hướng, hợp quy luật, xu thế và xứng tầm thời đại

Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực Chuyển

từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học” Để thực hiện tốt mục tiêu về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo theo Nghị quyết số 29-NQ/TW, cần

có nhận thức đúng về bản chất của đổi mới PPDH theo định hướng phát triển năng lực người học và một số biện pháp đổi mới PPDH theo hướng này

Môn Toán có khả năng to lớn góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy cho HS Tuy nhiên, trong nhận thức của nhiều GV và HS thì dạy toán chỉ là dạy các kiến thức, kĩ năng giải bài toán Nếu chỉ có kiến thức và kĩ năng, nhất là khi chúng lại tách rời nhau, thì chưa thể có năng lực theo cách hiểu của lí luận dạy học hiện đại Để có năng lực, chúng ta cần có một cách tiếp cận mới Vẫn là

bám sát những kiến thức, kĩ năng và thái độ cần đạt đã quy định trong chương trình hiện hành, nhưng hoàn toàn có thể tổ chức lại, áp dụng các PPDH khác nhau nhằm phát triển năng lực tư duy cho HS Trong quá trình nghiên cứu, tôi nhận thấy mọi quá trình tư duy đều diễn ra trên cơ sở các hoạt động trí tuệ cơ bản như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, Vì vậy, chúng ta cần chú trọng việc phát triển các thao tác trí tuệ này cho HS

Kiến thức của chương Tam giác đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong toàn

bộ kiến thức Hình học 7 nói riêng và bộ môn Hình học nói chung Chương này cung cấp cho HS những kiến thức cơ bản về tam giác: một số tính chất của tam giác, một số dạng tam giác đặc biệt, các trường hợp bằng nhau của hai tam giác Trong đó, qua việc chứng minh hai tam giác bằng nhau ta có thể suy ra các yếu

tố cạnh, góc bằng nhau để từ đó giải những bài tập khác ở tất cả các lớp trên Với vai trò nền móng như vậy, chương Tam giác cần được dạy bằng những phương pháp phù hợp, tích cực để phát triển năng lực tư duy toán học cho HS Quá trình dạy học trong các giai đoạn trước đây không phải không phát triển năng lực tư duy của người học; nhưng phát triển năng lực chỉ là hệ quả của quá trình cung cấp tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cho người học Với định hướng dạy học phát triển năng lực trong giai đoạn hiện nay, chúng ta cần phải xác định rằng phát triển năng lực người học là nhiệm vụ quan trọng nhất Vấn đề phát triển năng lực, năng lực toán học cũng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà tâm lí, giáo dục, nhà nghiên cứu V.A.Krutecxki đã trình bày các nghiên cứu của ông về cấu trúc năng lực toán học của HS và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho HS trong [17] và [18] Trong [7] và [8], G Polya

đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học

và đúc rút những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân Ở nước ta đã có một số công trình nghiên cứu về việc phát triển năng lực tư duy, năng lực tư duy, tư duy sáng tạo cho HS (xem [5, 9, 11]) Tuy nhiên, các tác giả thường không đi sâu khai thác việc phát triển năng lực tư duy toán học thông qua những nội dung

kiến thức cụ thể Các nghiên cứu về phát triển năng lực người học khi dạy học chương Tam giác ở lớp 7 còn ít, mặc dù đây là một nội dung quan trọng

Vì những lí do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển

năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7”

2 Mục đích nghiên cứu

Các biện pháp để phát triển năng lực tư duy toán học cho HS khi dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu định hướng đổi mới của giáo dục Việt Nam trong giai đoạn hiện nay và một số cơ sở lí luận về vấn đề phát triển năng lực tư duy toán học cho HS

- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực tư duy toán học cho HS khi dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá kết quả đã nghiên cứu

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: quá trình dạy học giải bài tập của chương Tam giác ở lớp 7

- Phạm vi nghiên cứu: bài tập chương Tam giác giành cho HS lớp 7 THCS

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận làm cơ sở lí luận cho đề tài

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm làm cơ sở thực tiễn cho đề tài

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Biện pháp phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7

Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN

Chương này trình bày kết quả nghiên cứu lí luận về khái niệm năng lực, các hình thức cơ bản của năng lực; đại cương về tư duy, năng lực tư duy; khái niệm năng lực tư duy toán học, các thao tác tư duy toán học và các loại hình tư duy toán học

Từ việc nắm bắt những vấn đề cơ bản đó, kết hợp tìm hiểu đặc điểm sự phát triển trí tuệ của HS THCS và mục tiêu chương Tam giác ở lớp 7, chúng tôi thấy được tiềm năng phát triển năng lực tư duy toán học cho HS khi dạy học giải bài tập chương Tam giác

1.1 Năng lực

Sự phát triển kinh tế - xã hội trong bối cảnh toàn cầu hoá đặt ra những yêu cầu mới đối với người lao động, do đó cũng đặt ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp giáo dục Chiến lược Phát triển giáo dục 2011 - 2020 (ban hành ngày 13/06/2012) đưa ra một giải pháp là “Tiếp tục đổi mới PPDH và đánh giá kết quả học tập, rèn luyện theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo và năng lực tự học của người học” Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa

XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo cũng nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ PPDH theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực” Có thể thấy rằng, định hướng quan trọng trong đổi mới giáo dục Việt Nam giai đoạn hiện nay là phát triển năng lực người học

Chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực (dạy học định hướng kết quả đầu ra) được bàn đến nhiều từ những năm 90 của thế kỷ XX và

ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực người học, nhấn mạnh vai trò của người học với tư cách là chủ thể của quá trình tư duy Chương trình này không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu

ra mong muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học

1.1.1 Khái niệm năng lực

Năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể (OECD, 2002) [19]

Năng lực là các khả năng và kĩ năng nhận thức vốn có ở cá nhân hay có thể học được… để giải quyết các vấn đề đặt ra trong cuộc sống Năng lực cũng hàm chứa trong nó tính sẵn sàng hành động, động cơ, ý chí và trách nhiệm xã hội để có thể sử dụng một cách thành công và có trách nhiệm các giải pháp… trong những tình huống thay đổi (Weinert, 2001) [19]

Năng lực là một thuộc tính tích hợp nhân cách, tổ hợp các đặc tính tâm lí của cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động xác định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt đẹp (Đinh Quang Báo, 2013) [20]

Như vậy, năng lực là một khái niệm trừu tượng đa nghĩa, có nhiều cách phát biểu về khái niệm năng lực Tuy nhiên, các phát biểu đều thống nhất rằng: Những thành tố cơ bản tạo nên năng lực là kiến thức, kĩ năng và thái độ Song, không thể hiểu đơn giản năng lực là sự gộp lại của các thành tố đó Điểm chung của các cách phát biểu về khái niệm năng lực chính là khả năng vận dụng kiến thức, kĩ năng và thái độ để giải quyết một tình huống có thực trong cuộc sống

Trong chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực, khái niệm

năng lực được sử dụng như sau:

- Năng lực liên quan đến bình diện mục tiêu của dạy học: mục tiêu dạy học được mô tả thông qua các năng lực cần hình thành;

- Trong các môn học, những nội dung và hoạt động cơ bản được liên kết với nhau nhằm hình thành các năng lực;

- Năng lực là sự kết nối tri thức, hiểu biết, khả năng, mong muốn ;

- Mục tiêu hình thành năng lực định hướng cho việc lựa chọn, đánh giá mức độ quan trọng và cấu trúc hóa các nội dung - hoạt động - hành động dạy học về mặt phương pháp;

- Năng lực mô tả việc giải quyết những đòi hỏi về nội dung trong các tình huống;

- Các năng lực chung cùng với các năng lực chuyên môn tạo thành nền tảng chung cho công việc giáo dục và dạy học;

- Mức độ đối với sự phát triển năng lực có thể được xác định trong các chuẩn: Đến một thời điểm nhất định nào đó, HS có thể/phải đạt được những gì?

1.1.2 Các hình thức cơ bản của năng lực

Phân loại năng lực

Năng lực của người học có thể chia thành hai loại chính: năng lực chung và năng lực chuyên biệt

- Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi làm nền

tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp Các năng lực này được hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con người, quá trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình hoạt động khác nhau Đây là loại năng lực được hình thành xuyên chương trình

- Năng lực chuyên biệt là những năng lực được hình thành và phát triển

trên cơ sở các năng lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần thiết cho những hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu hẹp hơn của một hoạt động

như toán học, âm nhạc, mĩ thuật, thể thao Một cách tổng quát, năng lực chuyên biệt là sản phẩm của một môn học cụ thể, được hình thành và phát triển

do một lĩnh vực hoặc một môn học nào đó

Các hình thức cơ bản của năng lực chung

(8) Năng lực công nghệ thông tin và truyền thông (ICT)

Đây là các năng lực cốt lõi gắn liền với quá trình tư duy

1.2 Năng lực tƣ duy toán học

1.2.1 Đại cương về tư duy, năng lực tư duy

Khái niệm tư duy

Tư duy là quá trình tâm lí thuộc nhận thức lí tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết [16]

Quá trình tư duy

Tư duy là hoạt động trí tuệ, với một quá trình bao gồm bốn bước cơ bản: (1) Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy, hay nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp

(2) Huy động các tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

(3) Xác minh giả thuyết trong thực tiễn Nếu giả thuyết đúng thì qua bước (4), nếu giả thuyết sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới

(4) Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng [12]

Các hoạt động trí tuệ phổ biến

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ (thao tác là hoạt động theo trình tự và yêu cầu kĩ thuật nhất định) Các thao tác trí tuệ cơ bản là: phân tích - tổng hợp; so sánh - tương tự; khái quát hóa - đặc biệt hóa; trừu tượng hóa - cụ thể hóa [12]

Các loại hình tư duy

Trong quá trình học tập, HS có thể được rèn luyện và phát triển các loại hình tư duy như tư duy kinh nghiệm, tư duy sáng tạo, tư duy logic, tư duy lí luận, tư duy khoa học, tư duy trừu tượng, Về bản chất sinh học, tư duy chỉ có một, đó là sự việc hình thành mới hoặc tái tạo lại các liên kết giữa các phần tử ghi nhớ Sự phân chia ra các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu và vận dụng tốt tư duy trong hoạt động của hệ thần kinh [12]

Năng lực tư duy

Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lí và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn [15]

1.2.2 Khái niệm năng lực tư duy toán học

Năng lực tư duy toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống, như khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin một cách hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau [15]

1.2.3 Các thao tác tư duy toán học

1.2.3.1 Phân tích và tổng hợp

Phân tích là thao tác tư duy nhằm tách đối tượng toán học thành những bộ

phận, những dấu hiệu và thuộc tính, những liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định, nhờ đó mà nhận thức đầy đủ, sâu sắc và trọn vẹn về đối tượng toán học ấy [10]

Tổng hợp là thao tác tư duy trong đó chủ thể tư duy dùng trí óc hợp nhất

những bộ phận của đối tượng toán học đã được phân tích thành một chỉnh thể nhằm nhận thức đối tượng toán học bao quát và đầy đủ hơn [10]

Trong học tập môn Toán, phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề Sự phát triển của phân tích và tổng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tư duy và các hình thức

tư duy của HS

1.2.3.2 So sánh và tương tự

So sánh là xem xét cái này với cái kia để thấy sự giống nhau, khác nhau

hoặc sự hơn kém nhau So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm riêng khác nhau ở một số đối tượng, sự kiện Mục đích thứ nhất thường dẫn đến tương tự và đi đôi với khái quát hóa [12]

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu

hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Như vậy,

tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của

những đối tượng toán học khác nhau [12]

Đứng trước nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhưng có một số điểm chung ở GT hoặc cùng yêu cầu ở KL, HS phải biết liên hệ chúng với nhau qua phép so sánh và tương tự Từ đó tăng khả năng phân biệt, nhận biết các dạng

toán và nhận biết nhanh đường lối giải các dạng bài toán đó

1.2.3.3 Khái quát hóa và đặc biệt hóa

Theo Nguyễn Bá Kim " Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [11, tr51] Như

vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái

chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định

lí, bài toán thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của quá trình khái quát hóa Đặc biệt

hoá là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái tổng quát và cái cụ thể từ đó tìm được nhiều trường hợp riêng lẻ từ một bài toán xuất phát [12]

Khái quát hóa và đặc biệt hóa thường được vận dụng trong tìm tòi và giải toán Từ một tính chất nào đó, muốn khái quát hóa thành một dự đoán nào đó, trước hết ta thử đặc biệt hóa; nếu kết quả của đặc biệt hóa là đúng ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hóa, nếu sai ta dừng lại

1.2.3.4 Trừu tượng hóa

Trừu tượng hóa là tách riêng trong tư duy một đặc tính, một quan hệ nào đó khỏi những đặc tính, quan hệ khác của sự vật để nhận thức một cách sâu sắc

hơn Về mặt toán học, trừu tượng hóa là thao tác tách ra từ một đối tượng toán

học một tính chất (về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc logic của thế giới khách quan) để nghiên cứu riêng tính chất đó Trừu tượng hóa gắn liền với cụ thể hóa Nó cũng có liên hệ mật thiết với khái quát hóa Nhờ trừu tượng hóa, ta

có thể khái quát hóa rộng và sâu hơn Trừu tượng hóa và khái quát hóa là nguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán học [12]

1.2.4 Các loại hình tư duy toán học

Theo Chu Cẩm Thơ [12], những loại hình tư duy thường gặp trong dạy học môn Toán là: tư duy logic, tư duy logic biện chứng, tư duy thuật toán, tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo

1.2.4.1 Tư duy logic

Tư duy logic là tư duy về mối quan hệ nhân quả mang tính tất yếu, tính quy luật Vì vậy các yếu tố, đối tượng (gọi chung là các yếu tố) trong tư duy logic bắt buộc phải có quan hệ với nhau, trong đó có yếu tố là nguyên nhân, là tiền đề, yếu tố còn lại là kết quả, là kết luận

Tư duy logic bao gồm: logic hình thức, khái niệm, phán đoán, suy luận

1.2.4.2 Tư duy logic biện chứng

Tư duy logic biện chứng là loại hình tư duy gắn liền với logic biện chứng Toán học cũng là đối tượng của logic biện chứng Trong toán học cũng như trong dạy học môn Toán thường gặp các cặp phạm trù: phân tích và tổng hợp, nội dung và hình thức, bản chất và hiện tượng, khả năng và hiện thực, vận động

và đứng yên,

1.2.4.3 Tư duy thuật toán

Thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn

Trong các hoạt động nói chung và học tập nói riêng, đặc biệt là hoạt động dạy học toán, ta thường phải:

- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán

- Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo một trình tự xác định

- Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên cùng một lớp đối tượng

- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

- Phát hiện thuật toán tối ưu để giải quyết một công việc

Đó chính là các hoạt động tư duy của thuật toán Hoạt động đầu tiên thể hiện khả năng thực hiện thuật toán, bốn hoạt động sau thể hiện năng lực xây dựng thuật toán

1.2.4.4 Tư duy hàm

Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng

Các hoạt động đặc trưng của tư duy hàm:

(1) Hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng (2) Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng

(3) Hoạt động lợi dụng sự tương ứng

1.2.4.5 Tư duy phê phán

Tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, xu hướng, ý tưởng, giả thuyết từ sự quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin và lí lẽ nhằm mục đích xác định đúng - sai, tốt - xấu, hay - dở, hợp lí - không hợp lí, nên - không nên, và rút ra quyết định, cách ứng xử của mỗi cá nhân

Trong dạy học môn Toán ở phổ thông, việc rèn luyện và phát triển tư duy phê phán cho HS có vai trò quan trọng Nó gắn liền với việc rèn luyện năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, và liên quan mật thiết với tư duy sáng tạo

1.2.4.6 Tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và

có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất

J.Adama [10] đã chỉ ra quá trình sáng tạo trải qua bốn giai đoạn:

- Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn đặt nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tài liệu liên quan

- Giai đoạn ấp ủ: Quá trình tư duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý thức, tiềm thức lại chiếm ưu thế, các hoạt động bổ sung cho vấn đề được quan tâm

- Giai đoạn bừng sáng: Đột nhiên tìm được lời giải đáp, đó là các bước nhảy vọt về chất trong tri thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo

- Giai đoạn kiểm chứng: Xem xét, khái quát kết quả Ý thức lại được tham gia tích cực Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng logic để có thể chứng

tỏ tính chất đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sáng tạo mới được khẳng định

Tư duy sáng tạo có các tính chất sau:

- Tính mềm dẻo: đặc trưng bởi khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác

- Tính nhuần nhuyễn: thể hiện ở việc sử dụng nhiều loại hình tư duy đa dạng trong phát hiện và giải quyết vấn đề

- Tính độc đáo: đặc trưng bởi khả năng tìm kiếm được kiến thức mới chưa

ai biết, giải pháp tối ưu

- Tính thăng hoa: thể hiện ở sản phẩm tìm được mang tính phát triển, được úng dụng rộng rãi

Sáng tạo là một trong những phẩm chất tư duy quan trọng nhất cần được rèn luyện cho HS

1.3 Tiềm năng phát triển năng lực tƣ duy toán học cho học sinh

Mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thông tổng thể là tiếp tục phát triển con người toàn diện “đức, trí, thể, mỹ”, hài hòa về thể chất và tinh thần…; nhấn mạnh yêu cầu phát triển năng lực, chú ý phát huy tiềm năng vốn có của mỗi HS, chú ý phát triển cả con người xã hội và con người cá nhân Như vậy, phát triển năng lực tư duy cho HS chính là một mục tiêu quan trọng trong chương trình giáo dục phổ thông mới

Hoạt động học tập là hoạt động chủ đạo đối với HS THCS nhưng yêu cầu

về tính tích cực và độc lập trí tuệ cao hơn nhiều so với cấp tiểu học Thái độ có ý thức đối với việc học tập của HS được tăng lên mạnh mẽ Mặt khác, ở lứa tuổi này các hứng thú và khuynh hướng học tập của HS đã trở nên xác định và được thể hiện rõ ràng hơn Đó là những khả năng rất thuận lợi cho sự phát triển năng

lực của HS

Lứa tuổi HS THCS là giai đoạn quan trọng trong việc phát triển trí tuệ Do

cơ thể HS đã được hoàn thiện, đặc biệt là hệ thần kinh phát triển mạnh tạo điều

kiện cho sự phát triển các năng lực trí tuệ Cảm giác và tri giác của HS đã đạt

tới mức độ của người lớn, quá trình quan sát gắn liền với tư duy và ngôn ngữ

Trí nhớ của HS THCS cũng phát triển rõ rệt, trí nhớ có chủ định giữ vai trò chủ

đạo trong hoạt động trí tuệ, đồng thời vai trò của ghi nhớ logic trừu tượng và ghi

nhớ ý nghĩa ngày một tăng HS đã tạo được tâm thế phân hóa trong ghi nhớ Tư

duy của HS THCS phát triển mạnh, hoạt động trí tuệ linh hoạt và nhạy bén hơn

Năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa phát triển cao giúp HS lĩnh hội được các khái niệm phức tạp HS có khả năng tư duy lí luận, tư duy trừu tượng một cách độc lập, chặt chẽ, có căn cứ và mang tính nhất quán Năng lực

tư duy phát triển đã góp phần nảy sinh hiện tượng tâm lí mới là tính hoài nghi khoa học, từ đó nhận thức chân lí một cách sâu sắc hơn GV cần giúp đỡ để HS phát huy được hết năng lực của mình

Môn Toán có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng nên nó có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực tư duy cho HS Thông qua học tập môn Toán, người học có thể trực tiếp hình thành các năng lực chung như năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo, năng lực tính toán, năng lực công nghệ thông tin và truyền thông Trong [11] tác giả đã viết một cách tổng hợp về phát triển năng lực tư duy toán học cho HS, trong đó có việc rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản Môn Toán đòi hỏi HS phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, do đó có tác dụng rèn luyện cho HS những hoạt động này

Chương Tam giác ở lớp 7 cung cấp một cách hệ thống các kiến thức về tam giác, bao gồm: tính chất tổng ba góc của một tam giác bằng 180, tính chất góc ngoài của tam giác; một số dạng tam giác đặc biệt: tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân; các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, của hai tam giác vuông Qua đó HS được rèn luyện các kĩ năng về đo đạc, gấp hình, vẽ hình, tính toán, biết vẽ hai tam giác theo các số đo cho trước, nhận dạng được các tam giác đặc biệt, nhận biết được hai tam giác bằng nhau HS vận dụng được các kiến thức đã học vào tính toán và chứng minh đơn giản, bước đầu biết trình bày một chứng minh hình học Ở mức độ cao hơn, HS được rèn luyện các khả năng quan sát, dự đoán, rèn luyện tính cần thận, chính xác, tập dượt suy luận có căn cứ, vận dụng các kiến thức đã học vào giải toán, thực hành và các tình huống thực tiễn Do đó cũng rèn luyện được một số hoạt động trí tuệ cơ bản

Dựa vào đặc điểm hoạt động học tập và sự phát triển trí tuệ của HS THCS, đặc điểm của môn Toán nói chung và chương Tam giác nói riêng đã trình bày ở trên, tôi cho rằng: Phát triển năng lực tư duy toán học cho HS khi dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7 là phù hợp, góp phần hoàn thành mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thông

Kết luận chương 1

Chương 1 trình bày một số vấn đề thuộc về cơ sở lí luận của đề tài Đó là:

- Các khái niệm về năng lực theo lí luận dạy học hiện đại Năng lực được hiểu là là khả năng vận dụng kiến thức, kĩ năng và thái độ để giải quyết một tình huống có thực trong cuộc sống Từ đó đưa ra các cách sử dụng “năng lực” trong dạy học định hướng phát triển năng lực

- Đại cương về tư duy: khái niệm tư duy, quá trình tư duy, các hoạt động trí tuệ phổ biến, các loại hình tư duy; Khái niệm năng lực tư duy

- Khái niệm năng lực tư duy toán học: là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống, như khả năng vận dụng tư duy toán học; khả năng phân tích, suy luận, khái quát hóa vấn đề toán học

- Các thao tác tư duy toán học: phân tích và tổng hợp, so sánh và tương tự, khái quát hóa và đặc biệt hóa, trừu tượng hóa

- Các loại hình tư duy toán học: tư duy logic, tư duy logic biện chứng, tư duy thuật toán, tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo

Phát triển năng lực tư duy toán học cho HS là một mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thông Hoạt động học tập của HS THCS có những khả năng rất thuận lợi cho phát triển năng lực của HS Trí tuệ của HS THCS phát triển mạnh thể hiện qua các mặt: cảm giác và tri giác, trí nhớ, tư duy Môn Toán nói chung và chương Tam giác nói riêng đều rèn luyện được một số hoạt động trí tuệ cơ bản Do đó, dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7 có tiềm năng phát triển năng lực tư duy toán học cho HS

Trong khuôn khổ khóa luận, tôi sẽ tập trung vào nghiên cứu các biện pháp phát triển một số hoạt động trí tuệ cơ bản và phát triển một số loại hình tư duy toán học khi dạy học chương Tam giác ở lớp 7

Chương 2 BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP

CHƯƠNG TAM GIÁC Ở LỚP 7

Việc phát riển năng lực tư duy toán học cho HS gồm hai phương diện: Thứ

nhất, rèn luyện một số thao tác tư duy toán học: phân tích, tổng hợp, đặc biệt

hóa, tổng quát hóa, Thứ hai, phát triển một số loại hình tư duy toán học: tư duy

phê phán, tư duy sáng tạo,

Chương này đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực tư duy toán học cho HS theo hai phương diện trên Trong đó nhiệm vụ trọng tâm là rèn luyện một số thao tác tư duy toán học, sau đó kết hợp các thao tác đó để phát triển một số loại hình tư duy toán học

2.1 Các biện pháp rèn luyện một số thao tác tư duy toán học

2.1.1 Phân tích

Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần, là chia nhỏ, là

tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ hoặc tách từng thuộc tính, từng yếu tố hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể để tìm mối liên hệ giữa các phần, các bộ phận, các yếu tố đó và hiểu được chúng [12]

Trong hoạt động giải toán, phân tích là nêu rõ GT và KL để tìm mối liên hệ giữa chúng; có thể phân chia bài toán thành từng trường hợp riêng lẻ, tách ra thành từng yếu tố của bài toán, giải quyết từng trường hợp riêng lẻ được dễ dàng hơn và tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đó Rồi nghiên cứu tìm hiểu các trường hợp, các yếu tố của bài toán được sâu sắc; có thể phân tích chia bài toán thành nhiều bài toán bộ phận mà cách giải quyết chúng đơn giản hơn, rồi đưa bài toán

về dạng quen thuộc đã biết cách giải

Ở mức độ cao hơn, phân tích (phép phân tích) là phương pháp suy luận đi

từ cái chưa biết đến cái đã biết

Phân tích đi lên (suy ngược lùi): muốn chứng minh A thì cần chứng minh

B1, muốn chứng minh B1 thì cần chứng minh B2, , cuối cùng muốn chứng minh

Bn-1 thì cần chứng minh Bn Khi Bn là điều đã biết (tiên đề, định lí, định nghĩa, ) thì dừng lại Theo tam đoạn luận có điều kiện vì Bn đúng nên A đúng (thực tế là

cả một dãy đoạn luận có điều kiện) Ta có sơ đồ sau: A  B1 B2  B3 B4

 B5  Bn = B, B là một mệnh đề đúng

Phân tích đi xuống (suy ngược tiến): giả sử đã có A, từ A suy ra B1, từ B1

suy ra B2, , Bn Nếu Bn là phán đoán sai thì dừng lại vì khi đó chắc chắn A sai theo bảng chân lí của phán đoán có điều kiện Còn nếu Bn đúng thì chưa thể KL

gì được vì A có thể sai hoặc đúng Chỉ khi nào bảo đảm rằng chuỗi suy luận B

 B1 B2 B3  Bn = A đúng thì mới khẳng định A là mệnh đề đúng

Từ các cơ sở trên, ta thấy phân tích là thao tác đầu tiên để giải bài tập toán học GV cần rèn luyện tư duy này cho HS ở mọi bài toán, nâng dần khả năng từ xác định GT - KL đến xây dựng được cách giải

Muốn làm được điều này, trước hết GV làm mẫu và HS được yêu cầu làm theo một cách tương tự GV nên sử dụng các phương pháp như đặt câu hỏi, sử dụng hình vẽ minh họa, sơ đồ phân tích, kết hợp ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, nhằm gợi ý và kích thích tư duy cho HS

Biện pháp 1 Yêu cầu HS phân tích GT - KL bài toán với các mức độ tăng dần

 Theo độ phức tạp của bài toán

Ví dụ 1: Hãy xác định GT - KL của các bài toán sau đây:

Bài toán 1: (có 1-2 GT, 1 KL) Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung

điểm O của mỗi đoạn thẳng Chứng minh rằng AC // BD

 Theo các cách diễn đạt khác nhau của bài toán

- Sử dụng nhiều hình thức biểu đạt: kí hiệu, ngôn ngữ thông thường

Ví dụ 2: Bài toán 2 cho GT dưới dạng kí hiệu BE  AC (E AC)

Ta có thể biểu diễn kí hiệu này bằng những cách khác: BE vuông góc với

AC tại E, BE là đường cao của tam giác ABC, E là hình chiếu của điểm B trên cạnh AC, E là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AC,

- Mô hình hóa bài toán thực tế

Ví dụ 3: Hãy mô hình hóa bài toán sau đây, nêu thành bài toán mới và xác

định GT - KL của bài toán mới

Bài toán 3: Người thợ cả muốn kiểm tra xem móng nhà đã xây có vuông góc

không Bác căng hai sợi dây từ góc móng nhà theo hai cạnh móng, một sợi dây dài 30cm và sợi kia dài 40cm Hỏi khoảng cách giữa hai đầu còn lại của hai sợi dây là bao nhiêu thì móng nhà vuông?

Mô hình hóa bài toán 3 ta được bài toán sau đây:

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có cạnh AB = 30cm, cạnh AC = 40cm Hỏi độ

dài cạnh BC là bao nhiêu để tam giác ABC vuông tại A?

AB = 30cm, AC = 40cm

Biện pháp 2 Phân tích tìm lời giải của bài toán nâng cao dần mức độ

 Từ bài toán dễ đến đến bài toán khó

Ví dụ 4: Hãy phân tích tìm lời giải của các bài toán sau đây:

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có cạnh AB = 30cm, cạnh AC = 40cm Hỏi độ

dài cạnh BC là bao nhiêu để tam giác ABC vuông tại A?

BC2 = AB2 + AC2, tức là BC2 = 302 + 402 = 2500 = 502 BC = 50 (cm)

Bài toán 5: Cho các số: 5, 9, 12, 13, 15, 16, 20 Hãy chọn ra các bộ ba số là độ

dài ba cạnh của một tam giác vuông

Phân tích: Để bộ ba số là độ dài của một tam giác vuông thì bình phương của số

lớn nhất bằng tổng các bình phương của hai số còn lại

Ta xét bình phương của các số đã cho, nhận xét để rút ra các bộ ba số cần tìm: (5, 12, 13); (9, 12, 15); (12, 16, 20)

 Bài toán có một hoặc nhiều hướng giải

Ví dụ 5: Hãy phân tích tìm lời giải của bài toán 2 (trang 19)

Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A ( ̂ 90) Vẽ BE  AC (E AC), CD

 AB (D AB)

a) Chứng minh rằng AD = AE

b) Gọi I là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A

GV đưa ra câu hỏi, từng bước cùng HS xây dựng sơ đồ phân tích đi lên:

(1) Để chứng minh AD = AE ta nên gắn vào hai tam giác bằng nhau nào?

(2) ADC và AEB đã có những yếu tố bằng nhau nào rồi? Có thể chứng minh chúng bằng nhau theo trường hợp nào?

(3) Từ gt ABC cân tại A suy ra AC = AB theo định nghĩa hay tính chất?

(4) Muốn chỉ ra ̂ = 90, ̂ = 90 ta căn cứ vào điều đã cho nào?

b) Nếu bài toán có nhiều hướng phân tích, GV giúp HS nhận xét và đánh giá để lựa chọn được phương án tối ưu nhất

AD =AE



ADC = AEB



AI là tia phân giác ̂

 ̂ = ̂



IAB = IAC hoặc IAD = IAE GV: Trong hai hướng phân tích, hướng nào là tối ưu? Tối ưu ở chỗ nào? + IAB và IAC có những yếu tố nào bằng nhau?

AI chung; AB = AC (cmt); ̂ = ̂ (do AEB = ADC (cmt)) Tuy nhiên ̂ không phải là góc xen giữa AB và AI, ̂ không phải là góc xen giữa AC và AI nên không thể dùng để chứng minh IAB = IAC được + IAD và IAE có những yếu tố nào bằng nhau?

̂ = ̂ = 90 (cmt); AI chung; AD = AE (cmt) Như vậy ta chứng minh được hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông

HS: Chứng minh IAD = IAE là hướng tối ưu, vì dễ dàng chứng minh được chúng bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông

Dạy học toán hình ở cấp THCS nói chung và chương Tam giác ở lớp 7 nói riêng thường sử dụng phân tích đi lên, hiếm khi dùng phân tích đi xuống

Bài tập tự luyện:

Bài toán 6: Cho tam giác ABC có ̂ =  Các tia phân giác của các góc B và C

cắt nhau ở I Các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở K Tia phân giác của góc B cắt tia phân giác của góc ngoài đỉnh C ở E Tính số đo các góc BIC, BKC, BEC theo 

Hãy xác định GT - KL của bải toán trên

Bài toán 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM, E  BC Vẽ BH

 AE, CK  AE (H, K  AE) Chứng minh rằng tam giác MHK cân

Hãy xác định GT - KL và phân tích tìm lời giải của bài toán trên

Bài toán 8: Cho tam giác ABC M và N lần lượt là trung điểm AC và BC Trên

tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MB Trên tia đối của tia CN lấy điểm F sao cho FN = FC Chứng minh rằng A là trung điểm của EF

Hãy xác định GT - KL và phân tích tìm lời giải của bài toán trên theo hai

hướng (HD: Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng bằng hai cách)

2.1.2 Tổng hợp

Hiểu một cách đơn giản, tổng hợp trái với phân tích Tổng hợp là dùng trí

óc hợp lại các phần của cái toàn thể, là kết hợp lại, liên kết những bộ phận riêng

lẻ hoặc kết hợp thống nhất các thuộc tính các yếu tố hay các khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể để nhận thức được cái toàn thể

Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ hữu cơ, hai mặt đối lập của một quá

trình thống nhất Phân tích để tổng hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tích có chiều sâu Để tạo cơ hội rèn luyện và phát triển tư duy cho HS, từ những bài toán có trong sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bài tập, giáo viên có thể sửa

đề để kích thích tư duy cho HS

Trong phạm vi toán học, tổng hợp (phép tổng hợp) là phương pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chưa biết Nếu gọi B là phán đoán cần chứng minh

và các Ai hoặc là tiên đề, định lí hoặc là GT đã biết thì sơ đồ của phép tổng hợp như sau: A= A0 A1  An = B

Trong đó: A là một định nghĩa, tiên đề hay một mệnh đề đúng nào đó;

B là mệnh đề cần chứng minh

Thông thường phép này được dùng để trình bày lời giải sau một quá trình phân tích, cũng được gọi là phép suy xuôi

Tổng hợp các trường hợp riêng lẻ, liên kết các yếu tố, mối quan hệ giữa chúng để rút ra KL hoặc tổng hợp các bước giải của các bài toán bộ phận vừa phân tích liên kết thành lời giải của bài toán Hoạt động tổng hợp định hướng cho việc phân tích bài toán theo hướng nào; hoạt động phân tích để tìm đường lối giải bài toán; từ kết quả của hoạt động phân tích, thực hiện hoạt động tổng hợp để trình bày lời giải của bài toán Trong quá trình giải toán, HS có thể thực hiện liên tiếp các hoạt động phân tích, tổng hợp để tìm lời giải và khai thác phát triển bài toán Qua đó HS vừa được rèn luyện năng lực toán học

Biện pháp 1 Trên cơ sở phân tích, yêu cầu HS tổng hợp để trình bày lời giải

của bài toán

Ví dụ 6: Trên cơ sở phân tích, hãy trình bày lời giải của bài toán 2

Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A ( ̂ 90) Vẽ BE  AC (E AC), CD

 AB (D AB)

a) Chứng minh rằng AD = AE

b) Gọi I là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A

Phân tích: Xem ví dụ 5 (trang 21, 22)

Tổng hợp: Trình bày lời giải của bài toán như sau:

a) Vì ABC cân tại A (gt) nên AB = AC (định nghĩa)

Ta có: CD  AB (gt)  ̂ = 90

BE  AC (gt)  ̂ = 90Xét ADC và AEB có:

̂ = ̂ = 90 (cmt)

AC = AB (cmt) ̂ chung

Do đó ADC = AEB (cạnh huyền - góc nhọn)

Do đó IAD = IAE (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

 ̂ = ̂ (hai góc tương ứng) hay ̂ = ̂

Mà AI nằm giữa AB và AC nên AI là tia phân giác của ̂ (đpcm)

Biện pháp 2 Tổng hợp các bài toán thành phần để giải bài toán phức hợp

Điều này bắt nguồn từ cơ sở: Để giải một bài toán phức hợp ta thường chia

nó ra thành các bài toán thành phần (các bài toán đơn giản hơn), rồi tiếp tục chia các bài toán thành phần này thành các bài toán thành phần khác nhỏ hơn Quá trình dừng lại khi các bài toán thành phần ấy có thể giải được Biện pháp này có khả năng phát triển được thao tác tổng hợp ở mức độ cao cho HS

Ví dụ 7: Cho đoạn thẳng AB, điểm C cách đều hai điểm A và B, điểm D

Nhận xét: Ta cần quan tâm đến vị trí tương đối của hai điểm C và D đối với

đoạn thẳng AB (cùng phía hay khác phía đối với AB) Xét hai bài toán thành phần sau:

Bài toán 9: Cho đoạn thẳng AB, điểm C cách đều hai điểm A và B, điểm D cách

đều hai điểm A và B (C và D nằm khác phía đối với AB) Chứng minh rằng CD

là tia phân giác của ̂

Xét ACD và BCD có:

CD chung; AC = BC (gt); AD = BD (gt)

ACD = BCD (c.c.c)

 ̂ = ̂ (hai góc tương ứng)

Do đó CD là tia phân giác của ̂ (đpcm)

Bài toán 10: Cho đoạn thẳng AB, điểm C cách đều hai điểm A và B, điểm D

cách đều hai điểm A và B (C và D nằm cùng phía đối với AB) Chứng minh rằng

Trường hợp 1: AD < AC

Dễ dàng chứng minh được:

ACD = BCD (c.c.c)

 ̂ = ̂ (hai góc tương ứng)

 CD là tia phân giác của ̂

Hay CD là đường phân giác của ̂ (đpcm)

Tổng hợp bài toán 9 và bài toán 10 ta chứng minh được bài toán phức hợp

Tóm lại, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ thường gặp nhất

trong các bài toán chứng minh hình học Vì vậy, để rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho HS, chúng ta cần coi trọng việc rèn luyện năng lực phân tích và tổng hợp

bỏ một mệnh đề, phát hiện một tính chất, đặt ra một bài toán mới

Biện pháp 1 Thay biến số bởi hằng số

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có ̂= 90, ̂= 30 Kẻ CD  AB (D  AB),

DE  AC (E AC) Tính độ dài AE nếu AC = a (đơn vị độ dài)

Giải bài toán trên Sau đó đặc biệt hóa bài toán khi a =10cm, nêu thành bài toán mới và cho kết quả bài toán mới

tính chất: Nếu tam giác vuông có một góc bằng 30 thì cạnh đối diện với góc ấy bằng nửa cạnh huyền

Cụ thể ta sẽ chứng minh ADC vuông tại D có góc ̂ = 30 thì AC

Xét CAF có AC = AF (cmt) nên CAF cân tại A (định nghĩa)

Lại có ̂ = 60 nên CAF đều (hệ quả)  CF = AC (định nghĩa)

Suy ra a 3a

Đặc biệt hóa bài toán trên khi a =10cm, ta có bài toán mới sau đây:

(E AC) Tính độ dài AE nếu AC = 10cm

Biện pháp 2 Thay các điều kiện của bài toán bởi điều kiện hẹp hơn

hoặc bổ sung thêm các quan hệ mới vào bài toán

Ví dụ 9: Xét bài toán: Cho ̂ 90, A là điểm nằm trong góc đó Vẽ các

điểm B và C sao cho Ox là đường trung trực của AB, Oy là đường trung trực

Giải bài toán trên Sau đó đặc biệt hóa bài toán khi ̂ = 90, nêu thành bài toán mới và giải bài toán mới