bài tập trắc nghiệm toán lớp 12

H/s trình bày ra... Vậy nếu a a n thì dãy không xác định... n n n, 2 Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap... Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy u n

111

Giả sử khẳng định đúng đến n k k , 1, tức là

a để dãy số ( ) u có giới hạn hữu hạn khi n   và tính giới hạn đó n

Hướng dẫn giải

Ta có: u n1 u n (u n  a)2 0 u n1u n; n 1, 2,3,

* Suy ra dãy số ( )u tăng knn ; từ đó dãy số ( ) n u có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên n

Giả sử nlimu n L L( )

Do đó: u k a với mọi k 1, 2, hay u n2 (1 2 ) a u na2 a, n 1, 2,3, .

Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 u n a,  n 1, 2,3, (H/s trình bày ra)

Như vậy dãy ( )u tăng knn, bị chặn trên bới a , do đó dãy số ( ) n u có giới hạn hữu hạn n

Kết luận: Với điều kiện a 1 2014 thì dãy số a ( )u n có giới hạn hữu hạn khi n   và nlimu n a

n n

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy a 2k đơn điệu giảm, bị chặn bởi 0 và 3 , dãy 3 a2k1 đơn điệu

tăng và bị chặn bởi

33

 và 0 Từ đó tồn tại lim 2k, lim 2k 1

   

Ta có a n f a n1 f f a  n2  lima n f f lima n2  l f f l   

   

3 3 2

2 3

l l

l 

Tương tự ta chứng minh được dãy a2k1

đơn điệu tăng, hội tụ về

55



+) Nếu

55

a 

ta có dãy

5555

+) Nếu tồn tại n sao cho a a n thì ta có

3, ,

3

.Khi đó không tồn tại x n2.

Vậy nếu a a n thì dãy không xác định

+) Nếu

50

5

a

thì hai dãy con x2k , x2k1

cùng hội tụ về 0 nên giới hạn của dãy là 0

Nếu a  thì 1 x2 f a a x và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 Khi đó1

dãy hội tụ về 1

+) Nếu

3

1

3 a thì x2 f a   Khi đó ta có thể khảo sát dãy từ 1 x Trường hợp này dãy đơn điệu2

giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ về1

+) Nếu a = 1 thì x n   nên dãy hội tụ về 1 n 1.

+) Nếu

5lim

Vì f(x) là hàm lẻ nên trường hợp

a

(do a  ).1 1Nhận xét: a    n n n, 2

Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap

n

n

n n

n a

n n a

n n i

a

a a

a a

Bài 7. Cho p*, a0 và a 1 0 Xét dãy số ( )a n được xác định bởi: 1 1

suy ra dãy số ( )a n có giới hạn hữu hạn khi n   .

Giả sử nlim a n L

Vậy lim

p n

x x

hội tụ và tìm giới hạn của nó

'( ) 0

Ta có bảng biến thiên của hàm f(x):

+∞ +∞

f(x0)

+ 0

+∞

x00

là dãy giảm Kết hợp với x  với mọi n ta suy ra dãy n 0  x n

1 1

Xét dãy số ( )u xác định bởi n

   Suy ra dãy ( )u tăng và bị chặn Do đó, ( ) n u hội tụ n

Đặt xlim ,u n thì từ giả thiết ta có

1(1 )

4

x  x 

hay

1.2

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u  n 2

Xét tính đơn điệu của dãy  u n

Từ hệ thức u n1 u n2 u n  ta suy ra được1

bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên  u n

tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.Giả sử nlimu n a a 2

    

Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:

a a  a  a  a   a , vô lý

2) Dãy không bị chặn trên, do  u n

tăng và không bị chặn trên nên

Bài 11. Cho dãy số (un) thỏa mãn : 0 1 2

1

2

9( )

9

n n

Bài 12. Cho số thực a, xét dãy số  x n

Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số f x 

liên tục và có đạo hàm trên , thì với mọi số thực x,y tồn tại

z   sao cho:

.Với m n m n  ,  *,

là dãy Cauchy, nên dãy số đã cho hội tụ

Bài 13. Cho hai dãy số  u n và  v n xác định như sau: u1 1,v12,và

1 1

1,

n  Chứng minh rằng hai dãy  u n

sin 2cos

có duy nhất 1 nghiệm thực x thuộc n 0;1 .

b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy  x n

Hướng dẫn giải

a) Ta có Q n 0 Q n 1 Q n 22   Q n n 2 0

.nên trong mỗi khoảng 0;1

1;4 , , n1 ;n

có 1 nghiệm của phương trình Q n x  0

Mặt khác, ta có detQ n x  nên đa thức n Q n x

có duy nhất 1 nghiệm x thuộc khoảng n 0;1  .

có nghiệm không là nghiệm của Q x n 

nên nghiệm của phương trình Q n x  là nghiệm0của phương trình:

Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy ( )u n tăng Do đó nếu dãy có giới hạn hữu hạn L thì

là số nguyên (với  a

là phần nguyên của

số thực a – số nguyên lớn nhất không vượt quá a ).

.Cộng vế với vế của 2014 bất đẳng thức cùng chiều, ta được:

n  nên suy ra d  Mặt khác dãy A  x n

gồm toàn số nguyên nên công sai d cũng là số

nguyên Vậy A nguyên (đpcm)

Bài 18. Cho dãy số  x n

 1

k k

Bài 21. Cho dãy số    u n ; v n

được xác định như sau

2 2 1

u v

   

2 1

2 2

2 11

Như vậy a    (điều phải chứng minh) n n n, 2

11

n

n

n n

n a

n n a

n n i

a

a a

a a

Bài 23. Cho trước số thực dương  và xét dãy số dương  x n thỏa mãn   1

1

1

1

n n

x x

   

vớimọi n  * Chứng minh rằng dãy  x n hội tụ và tìm giới hạn của nó.

+∞

x00

là dãy giảm Kết hợp với x  với mọi n ta suy ra dãy n 0  x n

1 1

Chuyển qua giới hạn ta được:

Bài 25. Cho dãy số thực  x n xác định bởi:

n

x x

11

x x

2 2 2

1 2

lim

n n

n n

n n

n n

xác định bởi

1

2 1

7, 1, 2,3,

n n

Bài 27. Cho dãy số  x n

, xác định bởi:

1 1

12014

Hướng dẫn giải

Xét hàm số

2014( ) 1

Mặt khác, ta có x1x3 f x( )1  f x( )3  x2 x4  f x( )2  f x( )4  x3x5  Suy ra dãy x2n1

là dãy đơn điệu tăng và bị chặn, còn dãy x 2n

là dãy đơn điệu giảm và bị chặn, nên các dãy x2n1

20141

n n

Thử lại với

12

a 

thì

10,2

n

.Vậy

1

2

a 

là giá trị duy nhất cần tìm

Bài 30. Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:

1

* 3

là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử limx n x x( 0), ta có phương trình:

Vậy limx  n 0

Bài 31. Cho hai dãy số dương  a n n 0, b n n 0

  xác định bởi: a0  3,b0  và 2

1 1

111

a để dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn khi n   và tính giới hạn đó n

Hướng dẫn giải

Ta có: u n1 u n (u n  a)2 0 u n1u n; n 1, 2,3,

* Suy ra dãy số ( )u tăng knn; từ đó dãy số ( ) n u có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên n

Giả sử nlimu n L L( )

Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 u n a,  n 1, 2,3,

Như vậy dãy ( )u tăng knn, bị chặn trên bới n a, do đó dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn n

Kết luận: Với điều kiện a 1 2014 thì dãy số a ( )u n có giới hạn hữu hạn khi n   và nlimu n a

1

.1

 2 

2 4

n k

k

u u

là dãy tăng

Giả sử dãy  u n

bị chặn trên suy ra limn u n L

Vô lý do L 2 Suy ra dãy  u n

không bị chặn trên do đó

là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn.

Giả sử iml x n x x( 0), ta có phương trình:

 g x g 0 0 Do đó g x 

luôn đồng biến và liên tục với mọi x   phương trình 0 g x   0 cónghiệm duy nhất x  0

Vậy limx  n 0.