Phương trình đường elip

Kỹ năng: - Xác định được giao điểm của Elip với các trục tọa độ.. - Xác định được độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của Elip.. - Lập được phương trình

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

I Mục tiêu

1 Kiến thức:

- Biết định nghĩa Elip

- Biết phương trình chính tắc và hình dạng của Elip

2 Kỹ năng:

- Xác định được giao điểm của Elip với các trục tọa độ

- Xác định được độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của Elip

- Lập được phương trình chính tắc của Elip khi biết hai trong ba yếu tố: trục lớn, trục nhỏ

và tiêu cự

3 Tư duy, thái độ:

- Thấy được mối liên hệ giữa Elip và đường tròn

- Thông qua phương trình chính tắc của Elip để tìm hiểu tính chất hình học và giải thích một số bài toán cơ bản về Elip

II Phương pháp dạy học

- Giáo viên sử dụng phương pháp gợi mở, giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề

- Tổ chức hoạt động nhóm

- Thuyết trình và vấn đáp

III Phương tiện

- Giáo viên: giáo án, hình minh họa và đồ dùng dạy học

- Học sinh: sách giáo khoa, vở viết và đồ dùng học tâp

IV TIẾN TRÌNH BÀI DẠY

1 Ổn định lớp và vào bài (3 phút)

Giáo viên đặt vấn đề vào bài:

• Trên tay thầy có một cốc thủy tinh đựng nước Khi thầy để thẳng đứng thì đường giao giữa mặt nước và thành cốc là đường gì ta đã được học? Bây giờ thầy nghiêng cốc và các em hãy quan sát xem nó có còn là đường tròn nữa không?

• Ngoài ra khi học môn địa lý các em cũng được giới thiệu về quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời là đường elip nhận Mặt Trời là một tiêu điểm

• Vậy đường elip được định nghĩa như thế nào? Và nếu đặt nó trong hệ trục tọa độ Oxy thì phương trình của nó ra sao? Đó chính là nội dung của bài học ngày hôm nay

Hoạt động 1: Định nghĩa đường elip (7 phút)

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng

- Giới thiệu cách vẽ đường Elip

thông qua hoạt động 1 của

SGK(bảng phụ)

- Khi M thay đổi thì có nhận xét

gì chu vi tam giác MF1F2?

- Tổng MF1+MF2 như thế nào?

- NX: Tập hợp nhưng điểm M

như thế sẽ tạo nên một đường

gọi là đường Elip

- Tại sao a>c? Nếu a<c thì sao?

- Thực hiện nhanh cách vẽ

- Hs quan sát và trả lời

- Chu vi luôn bằng độ dài của sợi dây

-Tổng không đổi do khoảng cách F1F2 không đổi

-Hs phát hiện định nghĩa về Elip

1 Định nghĩa elip

M

Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định F1

và F2 với F1F2= 2c (c>0)

Đường elip là tập hợp điểm M sao cho MF1+MF2 = 2a, a là hằng số và a>c

Hai điểm F1 ,F2 là các tiêu điểm của elip Khoảng cách 2c là tiêu cự của elip

Hoạt động 2: Phương trình chính tắc của elip (13 phút)

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của hs Nội dung

* Cho (E) như định nghĩa Chọn

hệ trục toạ độ Oxy với O là trung

điểm đoạn thẳng F1F2 Trục Oy là

đường trung trực của F1F2và F2

nằm trên tia Ox , như hình vẽ

(bảng phụ)

* Yêu cầu hs làm ?2 và compa 2

?2: Với cách chọn hệ trục như

trên cho biết toạ độ của của hai

tiêu điểm F1 và F2?

- Hs quan sát hình vẽ

- Hs suy nghĩ và trả lời:

- F1F2=2c vả

OF1=OF2=c Suy ra F1 =(-c;0)và

F2(c;0)

2 Phương trình chính tắc của elip

F1(-c;0), F2(c;0)

-Bây giờ với điểm M(x;y) nằm

trên elip(E), ta sẽ tìm mối liên hệ

giữa x và y bằng cách đi tính MF1

theo hai cách

Cách 1: MF12= (x+c)2+y2

Cách 2: (Thực hiện compa 2)

Tính MF12−MF22 rồi sử dụng

định nghĩa MF1+MF2 =2a để tính

MF1-MF2 Từ đó suy ra

1 a cx

MF

a

cx a MF

a

= − + Gọi hs đứng lên trả lời

-Từ hai cách tính MF1vừa rồi hãy

rút ra biểu thức liên hệ giữa x và

y

-vì a>c>0 nên có thể đặt b2= a2

-c2 , khi đó thì phương trình trên

được viết lại như thế nào?

MF1= (x c+ )2+y2

- Hs chú ý nghe giảng, ghi bài

- Hs suy nghĩ làm bài và rút ra hệ thức:

2 2

y x

a +a c

− = 1

-(E): x22 y22 1

- Hs chú ý nghe giảng, ghi bài

MF −MF = (-c-x)2 + (y)2 (c-x)2 + (y)2 = 4cx

=> MF1-MF2= 2cx

a

=> MF1 a cx

a

cx a MF

a

= −

Ta có:

MF1= (x c+ )2+y2= a + cx a

 (x+c)2 + y2 =( a + cx

a )2

y x

a +a c

− = 1.

Rút ra PT tương đương

2 2

2 2 1

a +b = ,(b>0;b2 =a2−c2)(1)

(1) là phương trình chính tắc của elip

Nếu điểm M(x;y) thoả mản pt(1) thì

1 a cx

MF

a

cx a MF

a

VD1: Cho 3 điểm F1(- 5;0),F1( 5;0) và I(0;-3)

a ,Viết pt chính tắc của elip có tiêu điểm là

F1, F2, đi qua điểm I

được rằng nếu tọa độ của M thỏa

mãn PT(1) thì MF1 a cx

a

2

cx

a

MF

a

= − và do đó

MF1+MF2=2a, tức là M thuộc

Elip

- Đưa ra định nghĩa phương trình

chính tắc của elip: PT(1) được gọi

là PT chính tắc của Elip

Chú ý: MF1,MF2 : bán kính qua

tiêu của điểm

* Hướng dẫn HS đọc và làm VD1

a, PT chính tắc của Elíp có dạng

ntn?

- Viết pt chính tắc của Elíp ta

cần xác định những yếu tố gì ?

- Điểm I thuộc elip, nó phải

thoả điều kiện gì ?

- Cho hai tiêu điểm F1,F2 cho

ta biết điều gì ?

- Ta có thể tính trực tiếp a

không?

Hs về nhà làm cách trên

(Gợi ý: IF1+IF2=2a)

- Hs đọc đề và suy nghĩ

-Xác định a và b

-Thỏa mãn PT Elip

-Biết c

-Tính trực tiếp IF1

và IF2 rồi suy ra a

Elip có pt chính tắc là: (E): 2 2 1

(a>b>0)

Vì điểm I thuộc elip (E) nên 022 322 1

=> b2= 9

Mà tiêu cự của elip là 2c = F1F2 = 2 5

Do đó, a2 = b2 + c2 = 9 + 5 =14 Vậy pt elip (E) là: 2 2 1

14 9

b ,Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách

MF1 lớn nhất và nhỏ nhất là bao nhiêu?

Ta có, MF1 a cx

a

= + Vì (-a) ≤ x ≤ a nên

1

− ≤ ≤ + hay a-c ≤ MF1≤ a+c Vậy MF1 nhỏ nhất là a-c tại x = -a

MF1 lớn nhất là a+c tại x = a

VD2: Viết pt chính tắc của elip đi qua 2

điểm M(0;1); N(1; 3

2 ) Xác định tọa độ tiêu điểm của elip đó

Giải Elip có pt chính tắc là: (E): x22 y22 1

(a>b>0)

2 2

2 2



∈

∈

=>

2 2

1 4

b a

 =

 =

 Vậy pt (E) là:

2 2

1

Ta có: c2= a2-b2 = 4 – 1 = 3

Vậy tọa độ tiêu điểm là F1(- 3;0),F1( 3;0)

b , GV hướng dẫn câu b

- Bán kính qua tiêu MF1 = ?

- Hãy đánh giá các cận của

hoành độ điểm M thuộc elip ?

suy ra đánh giá MF1?

* Hướng dẫn hs làm VD2.

-Elíp đi qua M, N cho ta biết

những điều gì?

- Yêu cầu hs giải hệ pt

- Tìm toạ độ tiêu điểm ta cần

xác định hằng số nào ?

1 a cx

MF

a

= + (-a) ≤ x ≤ a

-Đọc đề và suy nghĩ

- Tọa độ M,N thỏa mãn pt (E)

- Xác định hằng số c

Hoạt động 3: Hình dạng của elip (10 phút)

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của hs Nội dung

* Yêu cầu hs làm ?3

- Nếu M( x0;y0)∈ (E) , lúc đó

toạ độ điểm M thỏa mãn pt

(E)

- Từ đó nhận xét các điểm

M1( -x0;y0); M2( x0;-y0);

M3(- x0;-y0) có thuộc (E)

không ?

- Vẽ hình elip và biểu diễn các

điểm trên hình

NX: quan hệ M và M1?

NX: quan hệ M và M2?

NX: quan hệ M và M3?

b, Hướng dẫn hs tìm hiểu

hình chữ nhật cơ sở

- Hãy tìm toạ độ giao điểm

của (E) với các trục toạ độ Ox

và Oy ?

- Toạ độ các đỉnh.

- Tính độ dài A1A2, B1B2?

* Hs suy nghĩ trả lời -Vì M∈(E) nên

2 2

2 2 1

o o

Suy ra tọa độ của M1,

M2,M3 thỏa mãn pt (E)

Từ đó, các điểm M1,

M2,M3 nằm trên đường elip

-Hs quan sát hình vẽ và trả lới

+ M và M1 đối xứng nhau qua trục tung

+M và M2 đối xứng nhau qua trục hoành

+ M và M3 đối xứng nhau qua gốc tọa độ

+A1(-a;0); A2(a;0);

B1(-b;0); B2(b;0)

+A1A2 = 2a

B1B2 = 2b

3 Hình dạng của elip

a Tính đối xứng của elip

Kết luận:

Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa

độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng

b Hình chữ nhật cơ sở

-Các điểm A1, A2,B1,B2 là các đỉnh của elip

-Đoạn A1A2 là trục lớn với độ dài 2a Đoạn B1B2 là trục bé với độ dài là 2b -Hình chữ nhật PQRS là hình chữ nhật cơ

sở của elip

-GV nêu cách dựng hình chữ

nhật ngoại tiếp elip Đó là

hình chữ nhật cơ sở.

* Yêu cầu HS làm ?4

- Gọi hs trả lời

- Gv phân tích ý nghĩa của

tâm sai

Nếu M(x0; y0)∈(E) thì:

- a ≤ xo ≤ a

- b ≤ yo ≤ b

HS trả lời vị trí của M khi xo max ,min và khi

yo max , min

- Hs lắng nghe, ghi chép bài

-Nx: Mọi điểm của elip nếu không là đỉnh đều nằm bên trong hình chữ nhật cơ sở Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh hình chữ nhật cơ sở

c, Tâm sai của elip

Đn: Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của

elip là tâm sai của elip.

Kí hiệu là e, tức e = c

a

0<e<1, mà b a2 c2 1 e2

−

- Tâm sai e càng bé thì b càng gần a, hìn chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó elip càng ‘béo’

- Tâm sai e càng lớn thì tỉ số a/b càng gần tới 0 hình chữ nhật cơ sở càng dẹt, đó elip càng gầy

Hoạt động 4: Củng cố (2 phút)

Làm bài tập sau:

Bài tập 1

Xác định độ dài các trục, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau

a) 4x2+9y2 =1

b) 4x2+9y2 =36

Bài tập 2

Lập phương trình của Elip biết

a) Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6

b) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6

Bài tập 3

Lập phương trình chính tắc của Elip trong các trường hợp sau :

a) Elip đi qua các điểm M(0;3) và 3; 12

5

 

b) Elip có một tiêu điểm là F1 ( − 3;0) và điểm 1;

2

  nằm trên Elip.

V TỔNG KẾT

1 Củng cố bài học: Cần nhớ:

+ Định nghĩa elip

+ Phương trình chính tắc của elip (E): x22 y22 1

a +b = (a > b > 0) ;b2 =a2−c2

+ Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng

+ Cách xác định các đỉnh, hình chữ nhật cơ sở của elip

+ Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip là tâm sai của elip.

Kí hiệu là e, tức e = c

a

2 Dặn dò: HS làm bài tập trong SGK và SBT để chuẩn bị cho buổi sau luyện tập.