Bài 1: Dãy số có giới hạn 0 - Đại Số 11NC

Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoáTr ờng THPT triệu sơn 2 *** ---ChươngưIV:ưưưGiới hạn Đ 1.. Dãy số có giới hạn 0 Tiết 60 ư Giáoưviên:ư Nguyễn Th Thức ị Thức ư–ưTrườngưTHPTưTriệuưSơnư2ư–ư

Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá

Tr ờng THPT triệu sơn 2

***

-ChươngưIV:ưưưGiới hạn

Đ 1 Dãy số có giới hạn 0

(Tiết 60) ư

Giáoưviên:ư Nguyễn Th Thức ị Thức ư–ưTrườngưTHPTưTriệuưSơnư2ư–ưThanhưHoá

Kiểm tra bài cũ:

Nhắcưlạiưđịnhưnghĩaưdãyưsố:

Mộtưhàmưsốưuưxácưđịnhưtrênưtậpưhợpưcácưsốưnguyênưdươngưưưư

ưưưđượcưgọiưlàư một dãy số vô hạn (ưhayưcònưgọiưtắtưlàư dãy

số ).

* N

Đ 1 Dãy số có giới hạn 0

(Tiết 60)

1) Định nghĩa d y số có giới hạn 0 ã :

Làmưthếưnàoưđểưxácưđịnhưđượcưsốưhạngưu1ưcủaưdãyưsốưtrên?

Làmưthếưnàoưđểưxácưđịnhưđượcưsốưhạngưu1ưcủaưdãyưsốưtrên?

Từưsốưhạngưtổngưquátưcủaưdãyưsốưthayưnư=ư1,ưtaưđược:

Hãyưxácưđịnhưcácưsốưhạngưu2,ưu3,ưu10,ưu11,ưu23,ưu24ưcủaưdãyưsốư

trên?

Hãyưxácưđịnhưcácưsốưhạngưu2,ưu3,ưu10,ưu11,ưu23,ưu24ưcủaưdãyưsốư

trên?

Hãyưbiểuưdiễnưdãyưsốưtrênưdướiưdạngưkhaiưtriển?

Ví dụ:ưưChoưdãyưsốư(ưưưưư)ưvớiư u n n   n

n

1

u  

 

2

1 2

1 u

2

24

1 u

; 23

1 u

; 11

1 u

; 10

1 u

; 3

1

 

1 1

1 u

1

1    

1) Định nghĩa d y số có giới hạn 0 ã :

|

1



|

2

| 1 4

| 1 10

|

1 24

| 1 3



| 1 5



| 1 11



|

1 23



Biểuưdiễnư(un)ưdướiưdạngưkhaiưtriển:

Biểuưdiễnưcácưsốưhạngưcủaưdãyưsốư(un)ưtrênưtrụcưsốư:

*ư“ Khiưnưtăngưthìưcácưđiểmưbiểuưdiễnưchụmưlạiưquanhưđiểmư0”,ư

“khoảngưcáchư|un|ưtừưđiểmưunưđếnưđiểmư0ưtrởưnênưnhỏưbaoưnhiêuư cũngưđượcưmiễnưlàưnưđủưlớn”.

,

24

1 , 23

1 , ,

11

1 ,

10

1 , ,

5

1 ,

4

1 , 3

1 ,

2

1 ,



  n

n

n

1

Ví dụ:ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưvớiư Choưdãyưsốư(un)

ưKhiưnưtăngưdầnưthìưkhoảngưcáchưtừưưunưđếnưđiểmư0ưthayưđổiư nhưưthếưnàoư?

Điềuưnàyưđượcưgiảiưthíchưrõưtrongưbảngưsau:

?ưMọiưsốưhạngưcủaưdãyưsốưđãưchoưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnư1/10ư kểưtừưsốưhạngưthứưmấyưtrởưđiư?

*ưưMọiưsốưhạngưcủaưdãyưsốưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnư1/10,ưkểư từưsốưhạngưthứư11ưtrởưđi.

52 51

50

23 24 25

…

…

10 11 12

…

…

…

…

|un|

…

… 2

1 n

1 2

1 10

1 11 1 12 1 23 1 24 1 25 1 50 1 51 1 52 1

10

1

u n  vớiưmọiưnư>ư10.

?ưMọiưsốưhạngưcủaưdãyưsốưđãưchoưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnư1/23ư kểưtừưsốưhạngưthứưmấyưtrởưđiư?

52 51

50

23 24 25

…

…

11 12

…

…

…

…

1 11

1 12

1 23

1 24

1 25

1 50

1 51

1 52

1/23,ưkểưtừưsốưhạngưthứư24ưtrởưđi.

Quaưvíưdụưtrênưemưcóưnhậnưxétưgìư?

ưưưư Mọiưsốưhạngưcủaưdãyưsốưđềuưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnưmộtư sốưdươngưnhỏưtuỳưýưchoưtrước,ưkểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi.

Taưnói:ưdãy số có giới hạn là 0

52 51

50

24 25

…

…

…

…

1 24

1 25

1 50

1 51

1 52

52 51

50

23 24 25

…

…

10 11 12

…

…

…

… 1

|un|

…

… 2

1 n

1 2

1 10

1 11

1 12

1 23

1 25

1 50

1 51

1 52 1

24

Đ 1 Dãy số có giới hạn 0 (tiếtư60)

1) Định nghĩa d y số có giới hạn 0: ã

Dãy số (un) có giới hạn 0ư(hayưcóưgiớiưhạnưlàư0)nếuưvớiưmỗiư

sốưdươngưnhỏưtuỳưýưchoưtrước,ưmọiưsốưhạngưcủaưdãyưsố,ưkểưtừư

mộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi,ưđềuưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnưsốư dươngưđó.ư

lim( ) 0ưhoặcư li

Kíưh ệu: i un  un  un  0

n

Kíưhiệu:ư" " ưcònưđư ợcưviếtư" ",

đọcưlà:ưDãyưsốưcóưgiớiưhạnưlàư0ưkhiưn

ưdầnưđếnưvôưcự

im u =0

c

n

n

u

 



( 1) VD:ưDãyưsốư ưcóưgiớiưhạnưlàư0

ưưưưưưưưưưưưưưưTaưviết: ư lim ( 1) 0

n n

n

u

n

n









* Nhận xét:

+ưDãyưsốưkhôngưđổiư(un),ưvớiưunư=ư0ưcóưgiớiưhạnư0.

0 u

lim 0

u lim n   n 



n

1 lim 

Vìư:  

n

1 n

0 n

1 lim

n





1) Định nghĩa dãy số

có giới hạn 0

Mọiư| | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư

lim 0 ưưưdư ơngưnhỏưtuỳưýưchoưtrư ớc, ư

kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi

n n

u u

1

n 

2) Một số dãy số có

giới hạn 0

3

).lim 0ưưưưưưưưưưưưưưưưư ) lim 0

*ưĐịnh lí 1:ư(SGK)

Chứng minh định lí 1

?

? Với limvn = 0, ta có điều gì?

Vìư u  v ưnênưtaưcóưkếtưlu ậnưgì? ư

Vìưlimvnư=ư0ưnênưmọiưsốưhạngưcủaư dãyưsốư(vn)ưnhỏưhơnưmộtưsốưdươngư nhỏưtuỳưýưchoưtrước,ư kểưtừ ư sốưhạngư thứưN ưnàoưđóưtrởưđi

ưưưưưưVìư|u | ưnênưmọiư|u |ưnhỏưhơnưsốưdư ơngư nhỏưtuỳưýưchoưtrư ớcưđó,ưkểưtừưsốưhạngưthứưNưtrởưđi

n

v



V y:ưlim ậy: lim unư=ư0.

,

n n

u v n

u v









Choưhaiưdãyưsốư(un)ưvàư(vn)

Choưmộtưsốưdươngưnhỏưtuỳưý.

1) Định nghĩa d y số có giới hạn 0ã

Mọiư| | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư

lim 0 ưưưdư ơngưnhỏưtuỳưýưchoưtrư ớc ư

kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi

n n

u u

1

n 

2) Một số d y số có giới hạn 0ã

3

) lim 0ưưưưưưưưưưưưưưưưư ) lim 0

*ưĐịnhưlíư1:ư(SGK)

sin VD1:ưChứngưminhưrằng:ưlim n 0

sin

Giải:

1 Và:ư lim

n =ư0

,

n n

u v n

u v









sin n n

1

n

Taưcó

<

Theoưđịnhưlíư1ưtaưcó:

=ư0.

sin

n

1) Định nghĩa d y số có giới hạn 0ã

Mọiư| | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư

lim 0 ưưưdư ơngưnhỏưtuỳưýưchoưtrư ớc ư

kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi

n n

u u

1

n 

2) Một số d y số có giới hạn 0ã

3

).lim 0ưưưưưưưưưưưưưưưưư ) lim 0

*ưĐịnhưlíư1:ư(SGK)

,

n n

u v n

u v









1 VD2:ưChứngưminhưrằng:ưlim k 0, k Z

1

Giải:

Taưcó

Vớiưmọiưn.

=ư0,ưưư

Nênưtheoưđịnhưlíư1ưtaưcó:

= 0.

k

n

1

k

n

1

n

1

Vì:ưlim

n

1 lim

k

n

1) Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

1

n 

2) Một số dãy số có giới hạn 0

3

) lim 0ưưưưưưưưưưưưưưưưư ) lim 0

*ưĐịnh lí 1:ư(SGK)

,

n n

u v n

u v









*ưĐịnh lí 2:ư(SGK)

Nếuư q <ư1ưthìư lim q n 0

a)

b)

ưVD:ưHãyưđiềnưvàoưchỗưtrốngưđểư

đượcưmệnhưđềưđúng?

ư VD: ư Hãyưđiềnưvàoưchỗưtrốngưđểư

đượcưmệnhưđềưđúng?

  2 lim

3

n n

lim

3

n



Mọiư| | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư

lim 0 ưưưdư ơngưnhỏưtuỳưýưchoưtrư ớc ư

kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi

n n

u u

lim

2

n

1 lim

2n

(Vìưtheoưđ.líư2:ưưưưưưưưưưưư).ưưưưưưưư

ư

)

1 2

1 ( 

(Vìưtheoưđ.líư2:ưưưưưưưưưưư).ưưưưưưưư

ư

)

1 3

2

1) Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

1

n 

2) Một số dãy số có giới hạn 0

3

).lim 0ưưưưưưưưưưưưưưưưư ) lim 0

*ưĐịnh lí 1:ư(SGK)

,

n n

u v n

u v









*ưĐịnhưlíư2:ư(SGK)

Nếuư q <ư1ưthìư lim q n 0

Giải:

1 lim

4

n



Theoưđịnhưlíư2ưtaưcó:

1

4 

0

Theoưđịnhưlíư1ưtaưcó:

0.ư

3

VD:ưChứngưminhưrằng:

ưưưưưưưưưưưưưưưư

4 n

n cos 





lim

1

4n

1 4

n

=



3

4n

n

Vì

Mọiư| | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư

lim 0 ưưưdư ơngưnhỏưtuỳưýưchoưtrư ớc ư

kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi

n n

u u

3

lim

4n

n



1) Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

1

n 

2) Một số dãy số có giới hạn 0

3

).lim 0ưưưưưưưưưưưưưưưưư ) lim 0

*ưĐịnh lí 1:ư(SGK)

,

n n

u v n

u v









*ưĐịnh lí 2:ư(SGK)

Nếuư q <ư1ưthìư lim q n 0

Cácưmệnhưđềưsauưđúngưhayư

sai?

2

3

n

A     

3

2

n

sin

1

n

n

C

n n



















sin 1

sin

1 lim 0

n

n

D

n n



















Đúng

Đúng

Sai

Sai

Mọiư| | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư

lim 0 ưưưdư ơngưnhỏưtuỳưýưchoưtrư ớc ư

kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi

n n

u u

Bµi häc cÇn n¾m ® îc 1).­§Þnh­nghÜa­d·y­sè­cã­giíi­h¹n­0

3

4).­§Þnh­lÝ­2:­­­ q   1 lim qn  0

0 v

lim

n , v

u

n n

n n















