CHỦ ĐỀ 1 :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS
@ PTTT có dạng (d) : y – y0 = f’(x0) (x – x0)
@ Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0 y0 f’(x0)
f’(x0) x0 y0
@Thế vào tìm (d)
@ Pt dường thẳng (d) đi qua điểmA và có hệ số góc k là : (d) : y – yA = k (x – xA)
@ (d) tiếp xúc với ( C )
thức) phân
hàm với
đối (
kép nghiệm
có (d) và ) C
) x ( g ) x ( f
) x ( ' g ) x ( ' f
@ Giải hệ tìm k x0 y0 (d)
và các đường x = a , x = b
B1 : Ta có S = ( x ) g ( x ) dx
b a
B2 : Khử dấu GTTĐ ( bằng các cách sau :dựa vào đồ thị ; xét dấu biểu thức trong dấu GTTĐ ;
đưa dấu GTTĐ ra khỏi dấu tích phân )
B3 : Tính
* Chú ý : Kết quả là số dương
Chưa đủ 4 đường thì tìm cho đủ bằng cách lập pt hoành độ điểm chung ( hoặc pt tung
độ điểm chung )
Hinh phẳng :
x O tru ïc
q uan h
Qu ay
b
x
a
Ox
) x ( f y
:
)
C
(
Có thể tích là : V =
b a
2 dx ) x (
Hinh phẳng :
( ) : ( ) : 0 ( bắt buộc phải có)
y a
y b quanh trục O y
C x f y
Oy x
Quay
Có thể tích là : V =
b a
2 dy ) y (
* Bình phương hàm số f(x) rồi tính
Bài toán 5 : Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình g(x) = 0
Trang 2với f(x) là đồ thị ( C ) của hàm số vừa khảo sát ở trên
B2 : (1) là pt hoành độ điểm chung của ( C ) và đường thẳng (d) :y = m (hoặc (d) :y = m + C ) Số nghiệm của (1) = số giao điểm của ( C ) và (d)
B3 : Dựa vào đồ thị ta có : 5 trường hợp ( sử dụng các giá trị yCT , y CĐ trong BBT )
* m < ?
* m = ?
* ? < m < ??
* m = ??
* m > ??
* Có thể chỉ hỏi 1 trường hợp ( VD : dựa vào đồ thị tìm các giá trị của m để pt trình có 4 nghiệm
phân biệt)
Bài toán 6 : Biện luận số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)
B1 : PT hoành độ điểm chung : f(x) = g(x) (1) Thu gọn lại
B2 : Biện luận
*Nếu (1) là PT : ax + b = 0
Biện luận 2 trường hợp :
a = 0 : giá trị tham số m, thế vào PT,
kết luận nghiệm số giao điểm
a 0 : giá trị m 1 ngiệm 1 giao
điểm
*Nếu (1) là PT : ax2 + bx + c = 0 Biện luận 2 trường hợp :
a = 0 : giá trị tham số m, thế vào PT, kết luận nghiệm số giao điểm
a 0 : giá trị m ; tính ( hoặc ’) ; xét dấu
( hoặc ’) số giao điểm
Bài toán 7 :Tìm m để hàm số tăng ( hoặc giảm ) trên R hay trên từng khoảng xác định
B1 : TXĐ
B2 : Tính y’
B3 : Để hàm số tăng hoặc giảm trên R
m tìm BPT
giải 0
m tìm BPT
giải 0
lại còn hàm
với đối )
0 y'
hoặc (
0 y'
ba bậc hàm
với đối
)
0 y'
hoặc (
0 ' y
Bài toán 8 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT )
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 0 ( hoặc ’ > 0)
B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ( hoặc ’)
Bài toán 9 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT )
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 0 ( hoặc ’ > 0)
Trang 3B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ( hoặc ’)
B1 : TXĐ
B2 : Tính y’ , y’’
B3 : Để đồ thị có điểm uốn tại x0 thì y’’ (x0) = 0 : giải PT tìm m
B4 : (Thử lại) Thế m vào y’’ = 0 Nếu tại x0 đồ thị có điểm uốn thì nhận m
B1 : TXĐ
B2 :y’ ; y’’
B3 : I(x0 ;y0) là điểm uốn
0 0
0 y ) x ( y
0 ) x ( ' y
Giải hệ tìm m
Bài toán 12 : Tìm m để đồ thị ( C ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 3 điểm phân biệt
(đối với Hàm bậc 3 )
B1 : PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Tìm 1 nghiệm đặc biệt x0
B2 : Chia đa thức đưa về dạng :(x – x0)( Ax2 + Bx + C ) = 0 (1)
(2) 0 C Bx Ax
0 x x
2 0
B3 : ( Cm ) cắt d tại 3 điểm phân biệt (1) có 3 nghiệm pb
(2) có 2 nghiệm khác x0
0 A
0 C Bx
@ TXĐ @ Tính :y’
@ Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb)
@ Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2)
* Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0)
Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0)
(đối với Hàm bậc 4)
@ PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Đưa về PT trùng phương (1)
@ Đặt t = x2 (t 0) PT trở thành at2 + bt + c = 0 (2)
@ ( Cm ) cắt đường thẳng d tại 4 điểm phân biệt (1) có 4 nghiệm pb
(2) có 2 nghiệm dương pb
0 < t < t
Trang 4
0 a
S
0
ac P
0
B4 : Giải hệ 3 BPT tìm m
Bài toán 15 : Tìm tát cả các điểm trên đồ thị có toạ độ nguyên (x, y là số nguyên) ( đối với hàm phân thức)
@ Chia tử cho mẫu để được dạng :y = Ax +
@ Để x, y là số nguyên thì phải là số nguyên (cx + d) là ước của B x y điểm M(x ;
y) VD : x41
là số nguyên (x – 1) là ước của 4
y x 4 1 x
y x 4 1 x
y x 2 1 x
y x 2 1 x
y x 1 1 x
y x 1 1 x
Bài toán16 :Tìm tập hợp điểm
@ Tìm toạ độ điểm M cần tìm
0 y) F(x, đường là M điểm các hợp tập m Khử m ( g ) m ( x M
c y thẳng đường là M điểm các hợp Tập c y ) m ( x M
c x thẳng đường là M điểm các hợp Tập m ( y c x M
B1 : TXĐ
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) tại M thì : 0
0 0
'( ) 0 ( )
y x
y x y
B4 : Giải hệ PT tìm m
B5 : Thử lại (thế m vào pt y’ = 0 x ; Vẽ BBT nếu tại M hàm số thoả yêu cầu đề thì nhận m)
@ TXĐ
@ Tính :y’ ; y’’
@ Để đồ thị hs lồi (hoặc lõm) thì : y’’ 0 , x ( hoặc y’’ 0 , x )
0 ( hoặc 0) ; của y’’
@ Giải bpt tìm m
@ TXĐ @ Tính :y’
Trang 5@ Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb)
@ Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2)
* Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0)
Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0)
cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) bằng 1 hằng số ( không phụ thuộc vào M) :
+ Viết pt các đường tiệm cận dưới dạng tổng quát : Ax + By + C = 0
+ Aùp dung công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đt : d (M, ) = M 2 M2
B A
C y B x A
tính khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận
+ Tính tích : d1.d2 ( là 2 khoảng cách trên)
+ Vì M (C) b = f( a) ( thế toạ độ điểm M vào hàm số )
+ Thay vào tích : d1.d2 rút gọn thành hằng số
* Mở rộng bài toán : Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) đạt giá trị lớn nhất :
+ Làm như trên
+ Thêm 1 bước : Aùp dụng BĐT Côsi cho 2 số d1 và d2 : 1 2
1 2 2
d d d d
Vì d1.d2 là hằng số nên (d1 + d2 ) đạt giá trị mlớm nhất = 2 d d1 2
