đê thi đại học

Phần dành chung cho tất cả các thí sinh: Câu 1.. Tính thể tích hình hộp theo a.. Phần dành riêng cho từng ban: Câu 5a.. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và đi qua 2 điểm A, B.. V

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM 2009 Môn: Toán - Thời gian làm bài: 180 phút

A Phần dành chung cho tất cả các thí sinh:

Câu 1 Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x + 5 − m2

1) Khảo sát hàm số khi m = 2;

2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại,

cực tiểu và điểm I(0 ; 4) thẳng hàng

Câu 2

1) Giải phương trình: tan 2 cos cos

4

x= x x−π

2) Giải hệ phương trình: 2x y 1 x y 1

3x 2y 4







Câu 3

1) Tính tích phân: I =

7 3 0

2x 1 dx

x 1

− +

2) Cho x, y, z là các số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + yz + zx − 27xyz

Câu 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ' 3

3

a

BAD BAA= =DAA = Tính thể tích hình hộp theo a.

B Phần dành riêng cho từng ban:

Câu 5a (Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn)

2 log (4x 4) log (2x 3)

2) Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(−1 ; 2; 2), B(3 ; 2; 0) và mặt phẳng (α) có phương trình 2x − 2y − z + 1 = 0

a) Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với (α);

b) Gọi d là giao tuyến của (α) và (β) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và đi qua

2 điểm A, B

Câu 5b (Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao)

log (4x + =1) log (2 x+ − +6) x

2) Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.OACB có S(0; 0; 2), đáy OACB là hình vuông và A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của O trên SA, SB, SC

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng SC;

b) Chứng minh các điểm O, A, B, C, A’, B’, C’ cùng thuộc một mặt cầu Viết phương trình mặt cầu đó

Hết

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2008−2009.KHỐI B

A Phần dành chung cho tất cả các thí sinh:

Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3− 3x + 1

1) TXĐ: R

2) SBT

•BBT:

Có y’ = 3x2− 3 = 0 ⇔ x = ±1

y’ + 0 − 0 +

y

−∞

3

−1

+∞

Hàm số ĐB trên (−∞ ; −1) và (1 ; +∞), nghịch biến trên (−1 ; 1)

0,25

Hàm số đạt cực đại tại x = −1, yCĐ = y(−1) = 3;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = y(1) = −1

0,25

3) Đồ thị:

Giao với Oy: (0 ; 1)

Đi qua: (2 ; 3), (−2 ; −1)

2(1đ) Tìm m

Có y’ = 3x2− (m + 1) Hàm số có CĐ, CT ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân

y” = 6x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Đồ thị có tâm đối xứng là U(0 ; 5 − m2) 0,25

Từ giả thiết suy ra I trùng U ⇔ 5 − m2 = 4 ⇔ m = 1 (do (*)) 0,25

⇔ sin3x = cos3x ⇔ sinx = cosx ⇔ x= +π4 kπ

2(1đ) Giải hệ PT

Đặt 2x y+ + = ≥ 1 u 0, x y v+ = ≥ 0 Ta có hệ:

1 5

u v

− =



 ⇒  = − = −u u=2,1,v v=1 2(loai)

0,5

1

x y

x y



 + =

Đặt u= 3 x+ 1 ⇒ x = u3− 1; dx = 3u2du; u(0) = 1, u(7) = 2 0,25

2

-2 -1

1 3

-1 -2

y

O

⇒ I =

2 1

.3u du u

− −

2 4 1

=

2

1

2(1đ) Tìm giá nhỏ nhất

Với x, y, z > 0 ta có (x y z) 1 1 1 9

x+ + ≥y z

⇒ xy + yz + zx ≥ 9xyz BĐT này cũng đúng khi xyz = 0

Do đó: ∀x, y, z ≥ 0, thì A ≥ −18xyz

0,25

Mặt khác, vì x + y + z = 1 nên 1

27

xyz≤

A≥ − = − Hơn nữa x = y = z = 1/3 thì A = −2/3 Vậy min A = −2/3

0,25

+) Ta có: x 2 ≥ x 2 - (y - z) 2 = (x + y - z)(x - y + z) = (1 - 2y)(1 - 2z) (1) Tương tự : y 2 ≥ (1 − 2z)(1 − 2x) (2) ; z 2 ≥ (1 − 2x)(1 − 2y) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra xyz ≤ (1 − 2x)(1 − 2y)(1 − 2z)

⇔ xyz ≥ 1 − 2(x + y + z) + 4(xy + yz + zx) − 8 xyz

4

9

zx yz

⇒

4

1 4

99 4

A

0,25

Hạ đường cao A’H Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AD Theo định lý 3 đường vuông góc suy ra A’E ⊥

AB, A’F ⊥ AD ∆ vuông A’AE bằng ∆

vuông A’AF (A’A chung và góc A’AE bằng góc A’AF) ⇒ HE = HF ⇒ H thuộc đường phân giác góc BAD ⇒ H ∈ AC

0,25

6

a

2

a

Từ ∆AHE ⇒ HE = AE.tan300 =

6

a

Diện tích ABCD là 2 3

2

a

Suy ra thể tích hộp: 3 6

6

a

B Phần dành riêng cho từng ban:

5a(3đ) 1(1đ) Giải PT

log (4x + = 4) log 2 (2x x+ − 3)

⇔ 4x + = 4 2 (2x x+1 − 3)

0,25

Đặt 2x = t > 0, ta có:

t2 + 4 = t(2t − 3) ⇔ t2− 3t − 4 = 0 ⇔ t = 4 hoặc t = −1(loại) 0,5

2(2đ) a) Viết phương trình mp(β)

mp(α) có 1 vectơ pháp tuyến nuurα = (2; 2; 1) − − ; uuurAB= (4;0; 2) − 0,5

F

E H

C'

C D

A

B

B' A'

D'

⇒ mp(β) có 1 vectơ pháp tuyến là nuur uur uuurβ =nα ∧AB= (4;0;8)

⇒ phương trình mp(β): x + 2z − 3 = 0

0,5

b) Viết phương trình mặt cầu

Gọi (γ) là mp trung trực của AB thì (γ)đi qua trung điểm M(1 ; 2 ; 1) của

AB và có 1 vectơ pháp tuyến uuurAB= (4;0; 2) −

⇒ PT mp(γ): 2x − z − 1 = 0

Gọi I là tâm mặt cầu thì I là giao điểm của 3 mặt phẳng (α), (β), (γ)

⇒ toạ độ I là nghiệm của hệ:

x z



 + − =



 − − =



⇒ I(1 ; 1 ; 1)

0,5

Bán kính mặt cầu R IA= = 6 ⇒ PT mặt cầu:

5b(3đ) 1(1đ) Giải phương trình

Đặt 2x = t > 0, ta có PT: t2 + 1 = t(8t2− 6) = 0

⇔ 8t3− t2− 6t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)(8t2 + 7t + 1) = 0 ⇔ t = 1

0,5

2(2đ) a) Viết phương trình mặt phẳng

Vì OABC là hình vuông nên C(1; 1; 0) mặt phẳng cần tìm đi qua O và có 1 vectơ pháp tuyến SCuuur= (1;1; 2) − 0,5

b) Chứng minh Viết PT mặt cầu

Vì OA’ ⊥ (SAC) nên OA’ ⊥ A’C

Tương tự: OB’ ⊥ B’C Như vậy: các điểm A, B, A’, B’, C’

nhìn đoạn AC dưới một góc vuông ⇒

O, A, B, C, A’, B’, C’ thuộc mặt cầu (S) đường kính OC

0,5

Tâm I của mặt cầu (S) là trung điểm OC ⇒ 1 1; ;0

2 2

R= OC= Vậy phương trình mặt cầu (S):

2

0,5

C’

I

B’

C B

S

A’