Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2014 - 2015

TÀI LI U ÔN THI  THPT QU C GIA ­ MÔN TOÁN Ệ Ố

NĂM  2014­2015  ****************************

A.C U TRÚC Đ  THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 (Tham kh o) Ấ Ề Ạ Ọ ả

Câu I (2 đi m):ể  

­ Kh o sát s  bi n thiên và v  đ  th  c a hàm s  ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố

­ Các bài toán liên quan đ n  ng d ng c a đ o hàm và đ  th  c a hàm s : chi u bi n thiên ế ứ ụ ủ ạ ồ ị ủ ố ề ế

c a hàm s ; c c tr ; giá tr  l n nh t và nh  nh t c a hàm s ; ti p tuy n, ti m c n (đ ng và ủ ố ự ị ị ớ ấ ỏ ấ ủ ố ế ế ệ ậ ứ ngang) c a đ  th  hàm s ; tìm trên đ  th  nh ng đi m có tính ch t cho trủ ồ ị ố ồ ị ữ ể ấ ước, tương giao 

gi a hai đ  th  (m t trong hai đ  th  là đữ ồ ị ộ ồ ị ường th ng)  ẳ

Câu II (1 đi m):ể

Bi n đ i lế ổ ượng giác, phương trình lượng giác

Câu III (1 đi m):ể

Phương trình, b t phấ ương trình; h  phệ ương trình đ i s ạ ố

Câu IV (1 đi m):ể

­ Tìm gi i h n.ớ ạ

­ Tìm nguyên hàm, tính tích phân

­  ng d ng c a tích phân: tính di n tích hình ph ng, th  tích kh i tròn xoay.Ứ ụ ủ ệ ẳ ể ố

Câu V (1 đi m):ể

Hình h c không gian (t ng h p): quan h  song song, quan h  vuông góc c a đọ ổ ợ ệ ệ ủ ường th ng, ẳ

m t ph ng; di n tích xung quanh c a hình nón tròn xoay, hình tr  tròn xoay; th  tích kh i ặ ẳ ệ ủ ụ ể ố lăng tr , kh i chóp, kh i nón tròn xoay, kh i tr  tròn xoay; tính di n tích m t c u và th  ụ ố ố ố ụ ệ ặ ầ ể tích kh i c u. Các bài toán v  kho ng cách t  m t đi m t i m t m t ph ng, kho ng cách ố ầ ề ả ừ ộ ể ớ ộ ặ ẳ ả

g a 2 đữ ường th ng chéo nhau.ẳ

Câu VI (1 đi m): ể

Bài toán t ng h p.(B t đ ng th c; c c tr  c a bi u th c đ i s ) ổ ợ ấ ẳ ứ ự ị ủ ể ứ ạ ố

Câu VII (1 đi m):ể Phương pháp t a đ  trong m t ph ng . ọ ộ ặ ẳ

­ Xác đ nh t a đ  c a đi m, vect  ị ọ ộ ủ ể ơ

­ Đường tròn, đường th ng, elip.ẳ

Câu VIII (1 đi m):ể Phương pháp t a đ  trong không gian: ọ ộ

­ Vi t phế ương trình m t ph ng, đặ ẳ ường th ng, m t c u. Tìm đi m tho  đi u ki n cho ẳ ặ ầ ể ả ề ệ

trước

­ Tính góc, tính kho ng cách t  đi m đ n m t ph ng; v  trí tả ừ ể ế ặ ẳ ị ương đ i c a đố ủ ường th ng, ẳ

m t ph ng và m t c u. ặ ẳ ặ ầ

Câu IX (1 đi m):ể S  ph c ­ T  h p, xác su t. ố ứ ổ ợ ấ

 B.CÁCH LÀM BÀI THI:

     Khi làm bài thi chú ý không c n theo th  t  c a đ  thi mà theo kh  năng gi i đầ ứ ự ủ ề ả ả ược câu  nào trước thì làm trước. Khi nh n đậ ược đ  thi, c n đ c th t k  đ  phân đ nh đâu là các câuề ầ ọ ậ ỹ ể ị  

h i quen thu c và d  th c hi n  u tiên gi i trỏ ộ ễ ự ệ ư ả ước, các câu h i khó nên gi i quy t sau. Cóỏ ả ế  

th  ta đánh giá m t câu h i nào đó là d  và làm vào gi y thi nh ng khi làm m i th y là khóể ộ ỏ ễ ấ ư ớ ấ   thì nên d t khoát chuy n qua câu khác, sau đó còn thì gi  hãy quay tr  l i gi i ti p. Khi g pứ ể ờ ở ạ ả ế ặ  

đ  thi không khó thì nên làm r t c n th n, đ ng ch  quan đ  x y ra các sai sót do c u th ;ề ấ ẩ ậ ừ ủ ể ả ẩ ả  

1

cịn v i đ  thi cĩ câu khĩ thì đ ng nên n n lịng s m mà c n kiên trì suy nghĩ. Ph i bi t t nớ ề ừ ả ớ ầ ả ế ậ  

d ng th i gian trong bu i thi đ  ki m tra các sai sĩt (n u cĩ) và t p trung suy nghĩ đ  gi iụ ờ ổ ể ể ế ậ ể ả   các câu khĩ cịn l i (n u g p ph i). Khi làm bài thi b ng nhi u cách khác nhau mà đ n đoạ ế ặ ả ằ ề ắ   khơng bi t cách nào đúng sai thì khơng nên g ch b  ph n nào h t đ  giám kh o t  tìm chế ạ ỏ ầ ế ể ả ự ỗ  đúng đ  cho đi m.ể ể

PH N I: Ầ  HÌNH H C KHƠNG GIAN OXYZ Ọ

TĨM T T LÝ THUY T Ắ Ế

     1.To  đ  đi m to  đ  véc t :ạ ộ ể ạ ộ ơ  

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 1

2 2

3 3

1 1 2 2 3 3

2 2 2

1 2 3

Cho a (a;a ;a ),b (b ;b ;b )

1 a b a b ,a b ,a b

2 k.a ka ,ka ,ka

a b

3 a b a b

a b

4 a.b a b a b a b

5 a a a a

a.b

6 cos(a;b)

a.b

7 a cu�ng ph��ng

=

=

=

= � =

=

= + +

=

r r

r

r r

r r

r

r r

r r

ur uur

r

1 1 2 2 3 3

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a1 a2 a3

b a k.b a b 0

b1 b2 b3

8 a b a.b 0 a b a b a b 0

a a a a a a

9 a b a;b , ,

b b b b b b

� �

r r r r r r

r r r r

r r r r

uuur

B A B A B A

10 AB (x x ,y y ,z z )

AB AB= uuur= (x −x ) (y+ −y ) (z+ −z )

12. a,b,c  đ ng ph ng  r r r ồ ẳ �( )a b cr r r� =0

13 a,b,cr r r  khơng đ ng ph ng  ồ ẳ ٹ�( )a b cr r r 0 14.M là trung đi mc a AB thìể ủ

2

, 2

, 2

B A B A B

x M

15.  G là tr ng tâm tam giác ABCọ

3

, 3

, 3

C B A C B A C B

x G

16.  Véct  đ n v :ơ ơ ị eur1=(1,0,0);euur2=(0,1,0);eur3=(0,0,1)

17. M(x,0,0) Ox;N(0,y,0) Oy;K(0,0,z) Oz

18. M(x,y,0) Oxy;N(0,y,z) Oyz;K(x,0,z) Oxz

∆ = uuur uuur� = + +

20.  VABCD 1(AB AC).AD

6

= uuur uuur uuur

/ / / / (AB AD).AA

V ABCD A B C D

2/ Mặt cầu :

2.1.Phương trình mặt cầu tâm  I(a ; b ; c), bán kính r

( − ) (2 + − ) (2 + − )2 =r2

x a y b z c (1)

    Phương trình  x 2 + + y 2 z +2Ax+2By+2Cz 2 + = D 0(2) (v��i A2+ + − >B C D2 2 0) là

phương trình mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) và r= A B C D2+ + −2 2   

2 2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho ( − ) (2+ − ) (2+ − )2=r2

(S): x a y b z c và mp( ): Ax + By + Cz + D = 0

2

G i d = d(I,(ọ )) là kh ang cách t  tâm mc(S) đ n mp(ỏ ừ ế  ):

 d > r    : (S) ( ) =

 d = r    : ( ) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)

 d < r    : ( ) cắt (S) theo đường tròn có ph ng ươ trình

+ + + =

r

α

(S): x a y b z c

: Ax By Cz D 0

1. Vect  pháp tuy n c a mp   ơ ế ủ      :nr 0r là véct  pháp tuy n c a mp(ơ ế ủ ) Giá của nr

mp( )

2.P.trình  t ng quát c a mp(   ổ ủ     ):       Ax + By + Cz + D = 0(1). Mp(1) cĩ 1VTPT nr = (A;

3.M t s  tr ộ ố ườ ng h p đ cbi t c a ph ợ ặ ệ ủ ươ ng trình m t ph ng  ặ ẳ

*Ph ươ ng trình m t ph ng song song ho c ch a ox:   ặ ẳ ặ ứ By+Cz+D=0 ( D 0 song song, D=0 

ch a)ứ

*Ph ươ ng trình m t ph ng song song ho c ch a oy:  Ax ặ ẳ ặ ứ +Cz+D=0 ( D 0 song song, D=0 

ch a)ứ

*Ph ươ ng trình m t ph ng song song ho c ch a oz:  Ax ặ ẳ ặ ứ +By+D=0 ( D 0 song song, D=0 

ch a)ứ

*Ph ươ ng trình m t ph ng  ặ ẳ đi qua A(a,0,0) ; B(0,b,0); C(0,0,c): ax yb cz 1  v i ớ

*Ph ươ ng trình các m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ:  (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ;   (Oxy) : z = 0

4. V  trí t   ị ươ ng đ i c a hai mp ( ố ủ     ):    A   1x  +B   1y  +C   1z + D 1 = 0  và ( )   : A 2x  +B   2y+C2z +   D   2

= 0

° ( )ca�α t( )β ۹ A :B :C1 1 1 A :B :C2 2 2

( )/ /( )

( ) ( )

� �

Đặc biệt

1 2 1 2 1 2 ( ) ( )α ⊥ β �A A +B B C C+ =0

5.KC t  M(x   ừ   0 ,y 0 ,z 0 ) đ n    ế  (     ) :  Ax + By + Cz + D = 0    

2 2 2

Ax    By    Cz    D

d(M,( ))

6.Góc gi

    a  ữ    hai     mặt phẳng     : 1 2

1 2

n n

α β

n n

=

r r

r r cos( , ) v i ớ n ; nrlà VTPT c a 2 m t ph ng1 r2 ủ ặ ẳ

1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp ar= 

(a1;a2;a3)      

t a z z

t a y y

t a x x (d)

3 o 2 o 1 o

:

2.Phương trình chính tắc của (d)  

3

z -z a

y y a

x x

1

:

3 ( v i aớ 1.a2.a3 ≠0)

Cho 2 đường th ng dẳ 1 : có véct  ch  phơ ỉ ươ a  và đi qua Mng 1, d2 : có véct  ch  phơ ỉ ươngb  

và đi qua  M2

 * d1// d2     r r=r

r uuuuur r

1 2

a^b 0 a^M M 0      *d1  d2     =

=

r r r

r uuuuur r

1 2

a^b 0 a^M M 0

*  d1 c t dắ 2    ( ) =

r r r

r r uuuuur

1 2

a^b 0 a^b M M 0       *d1 chéo d2      ( )r r uuuuur

1 2 a^b M M 0   

 * Đ c bi t dặ ệ 1 d2     r ra b=0

4.Góc gi a 2 đữ ường th ngẳ  :    =

r r

r r

1 2

a.b cos(d ;d )

a b

4

5. Kho ng cách gi a t  M đ n đả ữ ừ ế ường d1:    ( ) 1

1

;

; M M a

d M d

a

=

uuuuur r r

6. Kho ng cách gi a 2 đả ữ ường th ng song songẳ :   d(d1 ;d2)=d(M1 ;d2)

7. Kho ng cách gi a 2 đả ữ ường th ng chéo nhauẳ :    ( ) ; 1 2

;  = � �a b M M a b;

� �

d d d1 2

r r uuuuuur

r r

D ng toán 1ạ :  Tìm tâm và bán kính c a các m t c u có phủ ặ ầ ương trình: 

D

2 2 2

x y z +2Ax+2By+2Cz 0

Ph ươ ng pháp gi i: ả

Tìm tâm: hoành đ  l y h  s  c a x chia (­2), tung đ  l y h  s  c a y chia (­2), cao đ  l y ộ ấ ệ ố ủ ộ ấ ệ ố ủ ộ ấ

h  s  c a z chia (­2)ệ ố ủ  Tâm m t c u là I(­Aặ ầ  ;­B ;­C)

Tím bán kính r= A +B +C ­D2 2 2

Ví d : ụ   Tìm tâm và bán kính c a các m t c u  sau:ủ ặ ầ

a)  x2+y2+ −z2 8x−2y+ =1 0

Gi i:ả

a/Tâm m t c u là I(4;1;0), bán kính c a m t c uặ ầ ủ ặ ầ là:

+ + − + + − = � + + − + + − =

b x/ 3 2 3y2 3z2 6 8 15 3 0x y z x2 y2 z2 2x 8y 5 1 0z

3 Tâm m t c u là I(1; ­4/3; ­5/2), bán kính c a m t c u là: ặ ầ ủ ặ ầ

D ng toán 2:ạ   Tìm tâm H và bán kính r  c a đ ủ ườ ng tròn giao tuy n gi a m t c u S(I ế ữ ặ ầ  ;R) 

và mp( ):

Ph ươ ng pháp gi i: ả

+ Tìm tâm H 

B1: Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua I và vuông góc mp(ế ươ ườ ẳ )  B2: Tâm H là  giao đi m c a d và mp(ể ủ ). 

+  Bán kính r R2 d2(I, )

Ví d :  ụ Cho m t c u ( ặ ầ S) : (x−3)2+ +(y 2)2+ −(z 1)2 =100 và m t ph ngặ ẳ  

( ) : 2α x−2y z− + =9 0. Ch ng minh r ng (ứ ằ S) và ( ) c t nhau theo giao tuy n là đắ ế ường tròn  (T). Tìm tâm và bán kính đường tròn (T)

Gi i:ả

M t c u (ặ ầ S) có tâm  I(3;­2;1) và bán kính R = 10. Ta có :   ( ,( )) 2.3 2( 2) 1 9 6

4 4 1

d I α = − − − + =

+ +

<10=R   mc(S) c t (ắ ) theo giao tuy n  là đế ường tròn (T). 

Mp ( )α  có 1 VTPT là nr=(2; 2; 1)− −

Đường th ng d qua I vuông góc v i mpẳ ớ ( )α  có m t VTCP là  ộ nr=(2; 2; 1)− −    phương trình

A +B +C ­D ( 4) +(­1) +0 ­1 4

2 2

A +B +C ­D ( 1) + + +1

r= = − � � � �� � � � =

� � � �

tham s  là: ố

3 2

2 2 1

= +

= − −

= −

. G i H= dọ ( )α    H d   H(3+2t;­2­2t;1­t). M t khác Hặ mp ( )α  ta 

có: 2(3+2t)­2(­2­2t)­(1­t)+9=0 9t=18   t=2   H(7;­6;­1).Tâm c a đủ ường tròn (T) chính là  H(7;­6;­1)

Bán kính đường tròn giao tuy n làế  : r= R2−d I2( ;( ))α = 102−62 =8

D ng toán 3ạ : L p phậ ương trình m t c u ặ ầ

Chú ý: Khi l p ph ng trình m t c u c n tìm:ậ ươ ặ ầ ầ

Cách 1: Tâm I(a;b;c), bán kính r c a m t c u ủ ặ ầ phương trình là:( − ) (2 + − ) (2 + − )2 =r2

Cách 2: Các h  s  A, B, C, D trong phệ ố ương trình: x 2 + + y 2 z +2Ax+2By+2Cz 2 + = D 0 ptr mặt cầu

Bài toán 1: L p phậ ương trình m t c u tâm I đi qua Aặ ầ

Ph ươ ng pháp gi i: ả

Tìm bán kính m t c u làặ ầ  : r IA= = (x A−x I)2+(y A−y I)2+(z A−z I)2

L p phậ ương trình m t c u tâm I bán kính r.ặ ầ

Ví d : ụ   L p phậ ương trình m t c u ặ ầ đi qua đi m A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).ể

Gi i:ả

B¸n kÝnh mÆt cÇu là:  r IA= = 22+ +12 02 = 5

V y phậ ương trình  c a m t c u là :    (x­3)ủ ặ ầ 2+ (y+3)2 + (z­1)2 = 5  

Bài toán 2: L p phậ ương trình mặ ầt c u đường kính AB

Ph ươ ng pháp gi i: ả

 Tìm trung đi m I c a đo n AB v i ể ủ ạ ớ ( ; ; )

x x y y z z

, tính đo nạ

AB (= x x B− A) (+ −y y B A) (+ −z z B A)

 L p phậ ương trình m t c u tâm I bán kính  ặ ầ

2

AB

r=

Ví d : ụ   L p phậ ương trình m t c u ặ ầ có đường kính AB v i A(4; –3; 7), B(2; 1; 3).ớ

Gi i:ả

Trung đi m  c a đo n th ng AB là I(3;­1ể ủ ạ ẳ  ;5), AB= ( 2)− 2+ + −42 ( 4)2 =6

M t c u đặ ầ ường kính AB có tâm I(3;­1 ;5), bán kính  AB 3

2

r= =  phương trình  c a m t c u là :ủ ặ ầ

Bài toán 3: L p phậ ương trình m t c u tâm I ti p xúc mp(ặ ầ ế ) 

Ph ươ ng pháp gi i: ả

Tìm bán kính m t c u làặ ầ  :  = α = + + +

+ +

B.y C.z D

I I I

2 2 2

A B C

A.x

r d(I,( ))

L p phậ ương trình m t c u tâm I bán kính r.ặ ầ

Ví d : ụ   L p phậ ương trình m t c u tâm I(1ặ ầ  ; 2 ; 4) ti p xúc v i m t ph ngế ớ ặ ẳ  (α): 2x+2y+z­1=0

Gi i:ả

Bán kính m t c u làặ ầ  :  + + −

+ +

r d(I,( )) ﾠ2.1 2.2 4 1 1

2 2 2

2 2 1

Phương trình m t c u làặ ầ  : (x−1)2+ −(y 2)2+ −(z 4)2 =1

Bài toán 4: L p phậ ương trình mặ ầt c u đi qua 4 đi m A, B, C, Dể

Ph ươ ng pháp gi i: ả

(x−3) + +(y 1) + −(z 5) =9

Ptr mc có d ng ạ x 2 + + y 2 z +2Ax+2By+2Cz 2 + = D 0(1).  A,B,C,D   mc(S)  th  t a đ  các ế ọ ộ

đi m A,B,C,D vào (1). ể Gi i h  pt,  tìm A, B, C, D.ả ệ

Ví d : ụ   

  L p phậ ương trình m t c u (S) ặ ầ ñi qua boán ñieåm A(6 2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0

;-1 ); D( 4 ; ;-1 ; 0 ). 

Gi i:ả

Phương m t c u (S) có d ng: ặ ầ ạ x 2 + + y 2 z +2Ax+2By+2Cz 2 + = D 0, ta có :

(6; 2;3) ( ) 49 12 4 6 0(1)

(0;1;6) ( ) 37 2 12 0(2)

(2;0; 1) ( ) 5 4 2 0(3)

(4;1;0) ( ) 17 8 2 0(4)

  .L y (1)­(2); (2)­(3); (3)­(4) ta đấ ược h :ệ

�− + + = − �� = � = −

V y phậ ương trình măt c u là: xầ 2+y2+z2­4x+2y­6z­3=0

Bài toán 5:  L p phậ ương trình  m t c u đi qua 3 đi m A, B, C có tâm n m trên mp(P) ặ ầ ể ằ

 Ph ươ ng pháp gi i: ả

  Mc(S) có ptr:  x 2 + + y 2 z +2Ax+2By+2Cz 2 + = D 0(2)

A,B,C   mc(S): th  t a đ  các đi m A,B,C vào (2). Th  to  đ  tâm m/c I(­A, ­B, ­C) vào ptr ế ọ ộ ể ế ạ ộ mp(P)

 Gi i h  phả ệ ương trình trên tìm A, B, C, D   phương trình m t c u. ặ ầ

Ví d : ụ   L p phậ ương trình m t c u (S) ặ ầ đi qua ba đi m A(6 ;­2 ; 3 ),  B(0;1;6), C(2 ; 0 ;­1 ) có ể tâm I thu c mp(P)ộ  : x+2y+2z­3=0 

Gi i:ả

Phương m t c u (S) có d ng: ặ ầ ạ x 2 + + y 2 z +2Ax+2By+2Cz 2 + = D 0, ta có :

A S A B C D

I A B C P A B C

� − − − � � − − − =

.L y (1)­(2); (2)­(3); k t h p(4) ta đấ ế ợ ược h :ệ

7 5

12 6 6 12

4 2 14 32

A

= −

� − + + = − � � = � = −

� − − − = � = −

V y phậ ương trình m t c u là: xặ ầ 2+y2+z2­ 14

5 x +

22

5 y ­ 6z

27 5

− =0 BÀI T P Đ  NGHẬ Ề Ị

Bài 1:  Tìm tâm và bán kính c a các m t c u  sau:ủ ặ ầ

a) x2+y2+ +z2 6x−2y− + =4z 5 0      b) 2x2+2y2+2z2+12 8 16 8 0x− +y z− =

c) (x­2)2+(y+3)2+(z­1)2= 9       d) (x+2)2+(y+5)2+ z2 = 8

Bài 2:  L p ph ng trình m t c u (S) ậ ươ ặ ầ

a)Đi qua đi m A(3; 2; 4) và có tâm I(2; –1; 1)         b)Đi qua đi m A(1; 2; ­3) và có tâm I(2; –1; ể ể 1)

Bài 3:  L p ph ng trình m t c u ậ ươ ặ ầ có đường kính AB

a) V i A(4; 5; 7), B(2; 1; 3).      b) V i A(4; 2; 1), B(0; 4; 7).ớ ớ

Bài 4:  L p ph ng trình m t c u tâm I(1; 2; 4) ti p xúc v i m t ph ngậ ươ ặ ầ ế ớ ặ ẳ  (P): 2x­2y + z ­ 4=0

Bài 5:  L p ph ng trình m t c u (S) ậ ươ ặ ầ ñi qua boán ñieåm A(5 ;2 ; 3 ), B(0;1;4), C(2;0;-1); D(4; 1; 0). 

Bài 6:  L p ph ng trình m t c u (S) ậ ươ ặ ầ đi qua ba đi m A(3;­2 ;0),  B(0;1;2), C(2; 0;­1 ) có tâm I ể thu c mp(P)ộ  : x­2y+2z­5=0 

Bài 7:  Cho m t c u (S): (x­1)ặ ầ 2+ y2 + (z+2)2 = 9 và mp(P): x +2y +2z­3=0. Ch ng minh ứ

m t ph ng (P) c t m t c u (S).ặ ẳ ắ ặ ầ  Tìm tâm bán kính c a đủ ường tròn giao tuy n.ế

II/ M T S  BÀI TOÁN V  PH Ộ Ố Ề ƯƠ NG TRÌNH M T PH NG: Ặ Ẳ

Chuù yù :

      ­ Mu n vi t ph ố ế ươ ng trình m t ph ng th ặ ẳ ườ ng tìm:      1 đi m đi qua và 1 ể  véct  pháp  ơ

tuy n ế

      ­M t ph ng qua  ặ ẳ 1 đi m M(x ể 0 ;y 0; z 0 ) và có 1 véct  pháp tuy n  ơ ế nr  =  (A; B; C) 

phương trình là:    A(x­x0) + B(y­y0) + C(z­z0)= 0

­N u không tìm đ ế ượ c ngay  véct  pháp tuy n c a mp ơ ế ủ ( ) ta đi tìm 2 véct   ơ , a br r không cùng ph ươ ng có giá song song ho c n m trong mp ặ ằ ( )  khi đó  nr=[ ; ]a br r  là m t  ộ

véct  pháp tuy n c a m t ph ng ơ ế ủ ặ ẳ ( ).

D ng 1ạ :  Vi t phế ương trình mp( )α   đi m đi qua   Mể 0(x0;y0;z0) và 1 véct  pháp tuy nơ ế   ( ; ; )

=

r

n A B C   

Ph ươ ng pháp gi i: ả

B1: Nêu rõ m t ph ng đi qua Mặ ẳ 0(x0;y0;z0) và có 1 véct  pháp tuy n ơ ế n r = ( ; ; ) A B C   

B2: Vi tế ph ng trình  mp(ươ α ) theo công th c: A(x­xứ 0)+B(y­y0)+C(z­z0)=0 

B3:  Rút g n đ a v  d ng: Ax+By+Cz+D=0.ọ ư ề ạ

Ví d :   ụ

Vi t phế ương trình m t ph ng (ặ ẳ α) đi qua A(2;3;1) và có m t VTPT là ộ n (2;3;1)r=

Gi i:ả

M t ph ng (ặ ẳ α) đi qua A(2;­1;1) và có 1 véct  VTPT ơ n (2; 3;5)r= −    phương trình là:

      2(x­2)­3.(y+1)+5(z­1) = 0   2x­3y+5z­12 =0 

D ng 2ạ : Vi t phế ương trình mp( )α  đi qua 3 đi m không th ng hàng A, B, C.ể ẳ

Ph ươ ng pháp gi i: ả

B1: Tìm to  đ  ạ ộ AB, ACuuur uuur B2: Tìm nr=��AB;ACuuur uuur��

B3: Vi t phế ương trình  mp(P) đi qua đi m A và nh n ể ậ nr làm VTPT

Ví d : ụ    Vi t ph ng trìnhế ươ   mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;­1)

Gi i:ả

Ta có:  AB (2;2; 1), AC (2;1; 3)uuur= − uuur= −

  nr= ��AB;ACuuur uuur��= −( 5;4; 2)−

M t ph ng (P) đi qua A và có 1 véct  VTPT ặ ẳ ơ n ( 5;4; 2)r= − −    phương trình là:

      ­5(x­0)+4(y­1)­2(z­2)=0   ­5x+4y­2z =0    5x­4y+2z=0

D ng 3:ạ  Vi t phế ương trình mp( ) đi qua đi m M(xể 0;y0;z0) và song song v i mp(ớ β):  Ax+By+Cz+D=0 

Ph ươ ng pháp gi i: ả

B1:Do   mp ( )α //mp(β):   Ax+By+Cz+D=0   phương   trình   mp( )α có 

d ng:Ax+By+Cz+m=0ạ

(m D)

B2: mp ( )α  đi qua đi m Mể 0   ta có Ax0 + By0 + Cz0 + m=0  m tho  đi u ki n mả ề ệ D

   phương trình mp( )α

Ví d : ụ    

Vi t phế ương trình m t ph ng (P) đi qua M(1;3;­2) và song song v i m t ph ng (Q):2x­ặ ẳ ớ ặ ẳ

y+3z+4=0

Gi i: ả

 M t ph ng (P)//mp(Q): 2x­y+3z+4=0 nên ph ng trình c a mp(P) có d ng 2x­y+3z+D=0 ặ ẳ ươ ủ ạ (D≠4). M t khác mp(P) đi qua đi m M(1;3;­2)ặ ể  nên ta có:   2.1­3+3(­2)+D=0   D=7 (nh n). ậ

V y phậ ương trình mp c n tìm là: 2x­y+3z+7=0ầ

D ng 4:ạ  Vi t phế ương trình mp( )α  song song v i mp(ớ β): Ax+By+Cz+D=0 cho trước  cách đi m M cho trể ước m t kho ng k cho trộ ả ước (k>0)

Ph ươ ng pháp gi i: ả

B1:   Do   mp ( )α //mp(β):   Ax+By+Cz+D=0   phương   trình   mp( )α có 

d ng:Ax+By+Cz+m=0ạ

(m D)

B2: Gi i phả ương trình d(M;( )α )= k tìm được m tho  mả D phương trình mp(α). 

Ví d : ụ     :  Trong không gian v i h  t a đ  Oxyz cho mpớ ệ ọ ộ (β):5x+y­7z+3=0. Vi t ph ngế ươ   trình mp( ) //mp(β) và cách đi m A(1;2;3) m t kho ng b ng 2. ể ộ ả ằ

Gi iả

Mp( ) có m t VTPT là  ộ urn1=(5;1; 7)− , mp ( ) //mp(β)   ph ng trình mp(ươ ) có d ng:ạ

5x+y­7z+D = 0 (D≠3)

 Do mp( ) cách đi m A(1;2;3) m t kho ng b ng 2 ể ộ ả ằ   d(A;( ))=2 

5.1 2 - 7.3 D D-14

5 3

= = =� � ۱� �=

 phương trình c a mp(ủ ) là:   5x y 7z+14 10 3 0+ − =

D ng 5: ạ Vi t phế ương trình m t ph ngặ ẳ ( )α đi qua 2 đi m A, B và song song v i đo nể ớ ạ  

CD cho trước. (v i ớ ABuuur không cùng phương v i ớ CDuuur).  

Ph ươ ng pháp gi i: ả

B1: Tìm to  ạ đ  ộ ABuuur và  CDuuur B2: Tìm  nr=��AB,CDuuur uuur��. B3: Vi t phế ương trình m t ph ng (ặ ẳ α) đi qua đi m A (ho c B) và  nh n ể ặ ậ nr làm VTPT

T ng quát:ổ  Vi t phế ương trình m t ph ngặ ẳ ( ) α  đi qua đi m A, B và song song v iể ớ  

đường th ng d cho trẳ ước. (AB không song song v i d).ớ   

Ph ươ ng pháp gi i: ả

B1: Tìm to  đ  ạ ộ ABuuur và véct  ch  phơ ỉ ương ar c a d.ủ B2: Tìm  nr=��AB,duuur r��.

B3: Vi t phế ương trình m t ph ng (ặ ẳ α) đi qua đi m A (ho c B) và  nh n ể ặ ậ nr làm VTPT

Ví d : ụ   Trong không gian v i h  t a đ  Oxyz cho b n đi m  A(­1 ,2 , 3), B (0 , ­3, 1), ớ ệ ọ ộ ố ể  C(2 ,0 ,­1), D(4,1, 0). L p phậ ương trình m t ph ngặ ẳ ( )α  ch a đứ ường th ng CD và song ẳ song v i đớ ường th ng AB.ẳ

Gi iả

 Ta có  uuurAB= − −(1, 5, 2 ;) CDuuur=(2,1,1)       

    nr=��uuur uuurAB CD; ��= − −( 3, 5,11)  là VTPT c a mpủ ( )α        

M t ph ng ặ ẳ ( )α  ch a đứ ường th ng CD và song song v i đẳ ớ ường th ng ABẳ  đi qua C có 1 VTPT 

( 3, 5,11)

= − −

r

n    Phương trình mp( )α  là: 

­3(x – 2) – 5(y – 0) + 11(z + 1) = 0   ­3x – 5y + 11z + 17 = 0    3x+5y­11z ­17 = 0  

D ng 6ạ : Vi t phế ương trình m t ph ngặ ẳ ( ) α  đi qua đi m A và ch a để ứ ường th ng d choẳ  

trước. (A d )