TÀI LIỆU ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN năm 2015 2016

Viết phương trình Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng  đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD cho trước.. Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng  đi qua điểm A, B và song song v

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA - MÔN TOÁN

NĂM 2015-2016 ****************************

PHẦN I: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1

1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:

,2

B A B A B

A x y y z z x

,3

,3

C B A C B A C B

x G

16 Véctơ đơn vị:e1(1,0,0);e2 (0,1,0); e3(0,0,1)17

Oz z K Oy y

N Ox x

M( , 0 , 0 )  ; ( 0 , , 0 )  ; ( 0 , 0 , ) 

18

Oxz z

x K Oyz z

y N Oxy y

 d = r : () tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)

d < r : () cắt (S) theo đường tròn có phương trình      

II MẶT PHẲNG

1 Vect ơ pháp tuyến của mp  : n0 là véctơ pháp tuyến của mp()  Giá của n

mp()

2.P.trình tổng quát của mp(  ): Ax + By + Cz + D = 0(1) Mp(1) cĩ 1VTPT n = (A; B; C)

3.Một số trường hợp đặcbiệt của ph ươ ng trình mặt phẳng

*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D0 song song, D=0

*Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) ; B(0,b,0); C(0,0,c): axbycz  1 với a.b.c≠0

*Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0

4 Vị trí t ươ ng đ ối của hai mp (  ): A 1 x +B 1 y +C 1 z + D 1 = 0 và (  ) : A 2 x +B 2 y+C 2 z + D 2 =

0

3

6.Góc gi ữa hai mặt phẳng : 1 2

III ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x o ;y o ;z o ) có vtcp a= (a 1 ;a 2 ;a 3 )

t a z

z

t a y

y

t a x

x

(d)

3 o

2 o

1 o

2.Phương trình chính tắc của (d)

3

2 a

z - z a y y a x x

1

3.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :

Cho 2 đường thẳng d1 : cĩ véctơ chỉ phương a và đi qua M1, d2 : cĩ véctơ chỉ phương

a b

( với a1.a2.a3 ≠0)

4

5 Khoảng cách giữa từ M đến đường d 1 :  1 1

6 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d 1 ;d 2 )=d(M 1 ;d 2 ).

7 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:   ; 1 2

I/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU:

Dạng toán 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:

Dạng toán 2: Tìm tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S(I ;R) và mp():

Phương pháp giải:

+ Tìm tâm H

B1: Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp()

B2: Tâm H là giao điểm của d và mp()

+ Bán kính 2 2 ( , )



I

d R

Dạng toán 3: Lập phương trình mặt cầu

Chú ý: Khi lập phương trình mặt cầu cần tìm:

Cách 1: Tâm I(a;b;c), bán kính r của mặt cầu phương trình là:x a  2y b  2z c  2r2

Cách 2: Các hệ số A, B, C, D trong phương trình: x2 y2 z + 2Ax + 2By + 2Cz2  D  0 ptr mặt cầu

Bài toán 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A

Phương pháp giải:

 Tìm bán kính mặt cầu là : r IA  (x A x I)2(y A y I)2(z A z I)2

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).

Giải:

B¸n kÝnh mÆt cÇu là: r IA  221202  5

Vậy phương trình của mặt cầu là : (x-3)2+ (y+3)2 + (z-1)2 = 5

Bài toán 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB

Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;-1 ;5), AB= ( 2) 242 ( 4)2 6

2

Bài toán 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp()

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (): 2x+2y+z-1=0

Vậy phương trình măt cầu là: x2+y2+z2-4x+2y-6z-3=0

Bài toán 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C có tâm nằm trên mp(P)

Phương pháp giải:

Mc(S) có ptr: x2 y2 z + 2Ax + 2By + 2Cz2  D  0 (2)

A,B,C  mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2) Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào ptr mp(P)

Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D  phương trình mặt cầu

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ) có tâm

Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S)

a)Đi qua điểm A(3; 2; 4) và có tâm I(2; –1; 1) b)Đi qua điểm A(1; 2; -3) và có tâm I(2; –1; 1)

Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB

a) Với A(4; 5; 7), B(2; 1; 3) b) Với A(4; 2; 1), B(0; 4; 7)

Bài 4: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x-2y + z - 4=0 Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) ñi qua boán ñieåm A(5 ;2 ; 3 ), B(0;1;4), C(2;0;-1); D(4; 1; 0)

Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(3;-2 ;0), B(0;1;2), C(2; 0;-1 ) có tâm I

thuộc mp(P) : x-2y+2z-5=0

Bài 7: Cho mặt cầu (S): (x-1)2+ y2 + (z+2)2 = 9 và mp(P): x +2y +2z-3=0 Chứng minh

mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) Tìm tâm bán kính của đường tròn giao tuyến

II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:

Chuù yù :

- Muốn viết phương trình mặt phẳng thường tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến -Mặt phẳng qua 1 điểm M(x 0 ;y 0; z 0 ) và có 1 véctơ pháp tuyến n = (A; B; C)

phương trình là: A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 )= 0.

-Nếu không tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp() ta đi tìm 2 véctơ , a b 

không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp() khi đó n[ ; ]a b  là một

véctơ pháp tuyến của mặt phẳng().

Dạng 1: Viết phương trình mp ( ) điểm đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và 1 véctơ pháp tuyến

B1: Nêu rõ mặt phẳng đi qua M0(x0;y0;z0) và có 1 véctơ pháp tuyến n   ( ; ; ) A B C

B2: Viết phương trình mp() theo công thức: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)

Mặt phẳng (P) đi qua A và có 1 véctơ VTPT n ( 5;4; 2)    phương trình là:

-5(x-0)+4(y-1)-2(z-2)=0  -5x+4y-2z =0  5x-4y+2z=0

Dạng 3: Viết phương trình mp() đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và song song với mp(): Ax+By+Cz+D=0

Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) có dạng 2x-y+3z+D=0

(D≠4) Mặt khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;-2) nên ta có: 2.1-3+3(-2)+D=0  D=7 (nhận) Vậy phương trình mp cần tìm là: 2x-y+3z+7=0

Dạng 4: Viết phương trình mp ( ) song song với mp(): Ax+By+Cz+D=0 cho trước cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước (k>0).

Phương pháp giải:

dạng:Ax+By+Cz+m=0

(mD)

Ví dụ: : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp():5x+y-7z+3=0 Viết phương trình

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng( ) đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD

cho trước (với AB không cùng phương với CD )

B3: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT

Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng( )  đi qua điểm A, B và song song với đường thẳng d cho trước (AB không song song với d)

B3: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1),

C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0) Lập phương trình mặt phẳng( ) chứa đường thẳng CD và song song với đường thẳng AB

B3: Viết PT mặt phẳng()đi qua điểm A và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua A(-1 ,2 , 3) và chứa trục 0x.

phương trình là: 3(y-2)-2(z-3)=0  3y-2z=0.

Cách khác :

mặt phẳng () là: 3y-2z=0

Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ AB và toạ độ trung điểm I của đoạn AB

B3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực đi qua điểm I và nhận AB làm VTPT

Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với đoạn thẳng AB.

Phương pháp giải:

B1: Tìm toạ độ AB



 phương trình mặt phẳng (P) là: 1)-(y-3)+1(z-0)=0  2x-y+z+1=0

2(x-Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng( )  đi qua điểm M 0 cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho trước.

Phương pháp giải:

B1: Tìm VTCP u của d

B2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M0 và nhận u làm VTPT

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng( ) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng() cho trước (AB không vuông góc với ( ) )

B3: Viết phương trình mặt phẳng ()đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT

Ví dụ: Viết phương trình mp () đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(P): 2x-y+3z-1=0

-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0  -x+13y+5z-5=0  x-13y-5z+5=0

Dạng 10:

Viết phương trình mặt phẳng( )  //( )  : Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Phương pháp giải:

B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S)

B2:Do mp()//mp( )  phương trình mặt phẳng() có dạng Ax+By+Cz+m=0(*)(m≠D)

Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;-1), mặt phẳng (P ) :

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A(-2;3;1) và có một VTPT là n (3; 2;1) 

Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua A(-2;1;0),B(3;0;1),C(5;5;5)

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;2) và song song với mặt phẳng

(Q):3x+5y-2z+4=0

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp():2x+y-2z+3=0 Viết phương trình

Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua A(1, 0, 2) và chứa đường thẳng

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp( ) : x+3y-4z+3=0 và mp():

2x+2y-4z+1=0 Viết phương trình mp(P) đi qua A(2;0;1) và vuông góc với 2 mặt phẳng (), ()

Bài 9: Cho hai đường thẳng 1: 1 2 3

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và 1 d 2

Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:

b)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2

Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (S):

2 2 2 2 4 2  3 0

song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng : 2 1

B2 : Viết phương trình đường thẳng (d) theo yêu cầu

Ví dụ : Viết phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP

B2 : Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP AB

Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 4)

Giải:

Ta cóAB (3; 2; 1):

Đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3), có 1 VTCP là AB (3; 2; 1)

B1:Tìm véctơ chỉ phương a  của 

Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3) và song song với :

3 4

Dạng 4: Đường thẳng d qua A và vuông góc mp()

Phương pháp giải:

B1:Tìm véctơ pháp tuyến n  của mp()

Ví dụ : Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3) và vuông góc (P): x y z 5 0   

Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng

B2: Tính u[ ;n n p Q]

 

B3: Tìm một điểm đi qua A của giao tuyến bằng cách cho x=0 thế vào phương trình 2 mặt phẳng giải hệ 2 phương trình 2 ẩn y, z tìm được y0; z0  A(0; y0; z0) là một điểm thuộc giao tuyến

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua

điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2

= 0

Giải

Ta có nP = (2; 3; -2); nQ=(1; -3; 1) lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q) Do d //(P) và

d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là u= [ nP, nQ] = (-3; - 4; -9)

t y

t x

9 5

4 1

3 3

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d’ có phương trình

(t – 1 ; -t – 1 ; 2t + 2)

B1:Tìm giao điểm A của (P) và .

B2 :Tìm véctơ chỉ phương a  của đường thẳng .VTPT n  của mp(P)

B3: u[ ; ]a n 

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  : x 1 y 3 z 3

Bài 2: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A(1; -2; 3), B(3; 4; 5)

Bài 3: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(1; 2; 3) và song song với :

x t

y t

z t

Bài 4: Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và vuông góc (P): 2x y  2z  3 0

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2; 3) và đ) và đờng thẳng d:

Bài 9: Trong khụng gian Oxyz, cho đường thẳng d: x y 3 z 3    

IV/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TèM ĐIỂM:

Daùng 1: Tỡm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

B1: Đưa phương trỡnh đường thẳng d về dạng tham số

B2: Gọi M=d()  Md  toạ độ M theo tham số t.

B3: Mặt khỏc M(), thế toạ độ M vào phương trỡnh mặt phẳng () giải phương

Daùng 2: Tỡm hỡnh chieỏu H cuỷa M treõn mp(P)

Phương phỏp giải:

Phương phỏp giải:

B1: Tỡm VTPT của mp(P)

B2: Viết phương trỡnh đường thẳng d qua M và vuụng gúc mp(P)

B3: Hỡnh chiếu H là giao điểm của d và (P)

Gọi d là đường thẳng qua A và vuơng gĩc với (P) d cĩ VTCP n phương trình là:

 M/ đối xứng với M qua (P)  H là trung điểm của MM/ nên :

/

/

/

2 2 2

H M M

H M M

H M M

M trên mp) Vì A’ đối xứng A qua mặt phẳng (P) nên H là trung điểm của AA’

/

/

/

48 2

49 24 2

49 65 2

 Viết phương trình mp() qua M và vuông góc với d: ta có n  a d

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : Ptr d  

H là hình chiếu của A lên d nên H=d  (P)  Hd  H(2+t;-3-t;-t) mặt khác H(P)  ta có

/ / /

2 2 2

H M M

H M M

H M M

của A qua đường thẳng d.

B1: Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số (Nếu phương trình đường thẳng chưa

có dạng tham số), giả sử phương trình có dạng:

B2: Gọi Md M(x0at;y0bt;z0ct)

B3: Thiết lập phương trình hoặc hệ phương trình theo điều kiện bài cho để tìm ra điểm M.

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: 1

t t

B1: Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mp(P) A.a+B.b+C.c+D=0(1).

B2: Dựa điều kiện đầu bài lập 2 phương trình khác kết hợp với phương trình (1) ta được hệ phương trình theo 3 ẩn a, b, c giải hệ tìm được toạ độ M

mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho

AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến (P)

Giải Gọi M(a;b;c), ta có M( )P  2a 2b c 1 0  c2b 2a1(1)

Ta có:AM (a1;b1; ),c OA(1; 1;0)

, doAM OA  AM OA  0 a b 2

(2) Mặt khác AM  a12b12c2  a12b129 và d A P  ,( ) 1

DoAM 3 ( ,( ))d A P  a12b12c2 0(3) Giải hệ ba phương trình (1), (2), (3) ta được:

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM KHÁC

a) Trên trục Oy tìm điểm M cách đều hai điểm : A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1)

HD: MOy  M(0 ;y ;0) M cách đều hai điểm A, B AM=BM

b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).HD: MOxz  M(x ;0 ;z ) M cách đều 3 điểm A, B, C AM=BM=CM

c) Cho ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1) Tìm điểm D để tứ giá ABCD là

hình bình hành

HD:Tứ giác ABCD là hình bình hành AD BC 

d) Cho ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3) vµ ®; 1; -1) Tìm điểm M sao cho

Bài 1: Cho đường thẳng : x 2 y 1 z

2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).

Bài 2) TNTHPT 2010

Câu 4.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3).

1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

2) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B

2) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB

Bài 5) TNTHPT năm 2013

Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1; 2;1) và mặt phẳng( )P có phương trình x2y2z 3 0

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với ( )P

2) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với ( ) P

Bài 6) TNTHPT năm 2014

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (1; 1;0)A  và mặt phẳng ( )P có phương trình

2x 2y z 1 0

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( )P

Bài 9) ĐH KD-2014

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0 và mặt cầu (S) :

x2 + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = 0 Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến

là một đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm của (C)

PHẦN II: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP

1/ Hình vuông cạnh a : Đường chéo là a 2 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a

3 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là a2b2c2 ,

2/ Tam giác đều cạnh a: đường cao là 3

2

4

a

3/ Hình chóp đều : là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có

đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)

4/ Lăng trụ đều: là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

5/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABCvuông ở A ta có :

S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao

e/ Diện tích hình bình hành : S= đáy x chiều cao

d(M,) M

H

f/ Diện tích hình tròn : S.R2

8) Xác định góc giữa đường thẳng a và mp ():

Các bước xác định góc giữa đường thẳng a và mp ():

+ Xác định hình chiếu a’ của a trên mp ()

+ (a, ( )) a, a’     

9) Xác định góc góc giữa hai mặt phẳng () và ():

Các bước xác định góc:

+ Xác định giao tuyến c của () và ()

+ Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên

hai mặt phẳng () và () đồng thời cùng vuông góc với giao tuyến c

+ Xác định góc giữa a và b, góc giữa a và b là góc giữa () và ()



11) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

a) Định nghĩa 1 : AB được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

b) Định nghĩa 2 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc

chung của hai đường thẳng đó

c) Chú ý : Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau như sau:

- Dựng hoặc tìm một mặt phẳng () chứa b và vuông góc với a tại A

(P) chứa b và song song với a, hoặc bằng khoảng cách giữa b và mặt phẳng (Q) chứa a và songsong với b

song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

 M

H

 I M

H A

K



M

H A

K

Bài 1: Khối A năm 2013

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ·ABC 30 0, SBC là tam giác đều cạnh a

và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách

từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Giải

Gọi H là trung điểm BC do ∆ABC là tam giác đềuSHBC, mà

(SBC) (ABC) theo giao tuyến BC nên SH  (ABC)(1) và SH

a HK

Do H là hình chiếu vuông góc của trên(ABC)SH(ABC)HC

là hình chiếu của SC trên (ABC) (SC ABC ,( )) SCH 60  0

dựng D sao cho ABCD là hình thoi, AD//BC Vẽ HK AD(DAD), trong tam giác vuông SHK

ta kẻ HISK(ISK) (1), ta có AKHK, AKSH AK(SHK) AKHI(2) Từ (1) và (2)  HI(SAK) HI=d(H,(SAK)) Ta cũng có BC//(SAK) d(BC,SA) =d(B,(SAK))=

I

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt (SBD) tạo với đáy một góc

Bài 3 (đề thi TNTHPT – 2011 )

Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD=CD= a, AB=3a.

khối chóp SABCD theo a

Bài 4 (đề thi TNTHPT – 2012)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA= BC = a Góc

theo a

Bài 5 (đề thi TNTHPT – 2013 )

với mặt phẳng đáy Đường SD tạo với mặt phẳng (SAB một góc ) 30 Tính thể tích của0

khối chóp S ABCD theo a.

Bài 6 (đề thi TNTHPT – 2014 )

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (1; 1;0)A  và mặt phẳng ( )P có phương trình 2x 2y z 1 0

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( )P

khoảng cách từ A đến ( )P

Bài 7 (đề thi ĐHK A+A 1 – 2014 )

S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Bài 8 (đề thi ĐHK B – 2014 )

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt

theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

(ACC’A’)

Bài 9 (đề thi ĐHK D – 2014 )

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đềucạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC vàkhoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC

PHẦN III: GIẢI TÍCH CHUYÊN ĐỀ I: KHẢO SÁT HÀM SỐ & CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUANDẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (  ;  2) và (0 ; + )

+ Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2 ; 0)

0,25

6 Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu tại x = – 2 và yCT = y(–2) = 0

+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 4

0 0

3.Giới hạn: lim x  y; limx y

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số : y 2x 4

x 1

-=+

1 điểm

2 1

I

Bài tập luyện tập

1 Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1

2 Tìm các giá trị của m để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số

*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân

biệt khác nghiệm của mẫu

* Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ: Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + (2m + 1)x + 3 – m Tìm tất cả các giá trị của m để hàm

số có cực đại và cực tiểu

Đáp án

Cho hàm số y = mx 3 – 3mx 2 + (2m + 1)x + 3 – m Tìm tất cả các giá trị của m

để hàm số có cực đại và cực tiểu. 1 điểm

1/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [ a; b]

B1: Tìm các điểm x1, x2, … ,xn trên (a; b), tại đó y’=0 hoặc không xác định

B2: Tính f(x1), f(x2), …, f(xn), f(a), f(b)

B3: Kết luận GTLN =Max {f(x1), f(x2), , f(xn), f(a), f(b)}và GTNN=Min{f(x1), f(x2), … f(xn), f(a), f(b)}

2/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn (a; b)

B1: Tìm các điểm x1, x2, … ,xn trên (a; b), tại đó y’=0 hoặc không xác định

B2: Lập bảng biến thiên và kết luận GTLN và GTNN

3/ Chú ý:

- Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(b) và min f(x) = f(a)

- Nếu f(x) gỉam trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(a) và min f(x) = f(b)

- Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và chỉ cĩ một điểm cực trị x0 thuộc (a; b) thì

4 Tìm GTLN, GTNN của hàm số f (x) x 2  ln(1 2x) trên đoạn 2;0

5 Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

DẠNG 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình Fx,m  0

Phương pháp giải:

B1: Biến đổi đưa về phương trình hồnh độ giao điểm Fx,m 0  f(x)   (m)

B2: Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = ( ) m(cùng phương với trục hồnh vì ( ) m là hằng số) Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kếtluận số nghiệm

Ví dụ: Cho đồ thị (C): y = 8x4 – 9x2 + 1 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm củaphương trình: 8x4 – 9x2 + 1 = m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x3 + 3x2 1 = m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3  6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phânbiệt hoctoancapba.com

DẠNG 7: BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài toán Cho hai đồ thị  C :yf x và  L :yg x Tìm tạo độ giao điểm của hai đường



 và đường thẳng d: mx – y + 1 = 0 có hai điểm chung khác nhau.

 (2) có 2 nghiệm phân biệt khác – 2 0,25

2

1 00

m a







a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2

2

x y x





điểm phân biệt

tại 3 điểm phân biệt

DẠNG 8: LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các

trường hợp sau

1/ Tại điểm có toạ độ (x 0 ;f(x 0 )) :

B1: Tìm f ’(x)  f ’(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0))là: y = f (x ) (x–x/ 0 0) + f(x0)

2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x 0 :

B1: Tìm f ’(x)  f ’(x0), f(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là:y = f (x ) (x–x/ 0 0) + f(x0)

3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y 0 :

B1: Tìm f ’(x)

B2:Do tung độ là y0 f(x0)=y0 giải phương trình này tìm được x0 f /(x0)

B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = f (x ) (x–x/ 0 0) + y0

4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:

B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm

B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

f (x0)=k (*)

B3: Giải phương trình (*) tìm x0  f(x0)  phương trình tiếp tuyến

Chú ý:

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1

5/ Đi qua điểm A(x A ,y A ).

y x

x k x

) ( '

) (

) (

Giải hệ tìm k suy ra phương trình tiếp tuyến

CII

: Lập phương trình tiếp tuyến  d với đường cong C : yf x  đi qua điểm

A x y cho trước ( kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số)

b1 : Giả sử tiếp điểm làM x y , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: 0; 0

  0 0 0  

y f x x x y d

b2: Điểm A x y A; A   d , ta được: y A f x'  0 x A x0y0  x0.Từ đó lập được

phương trình tiếp tuyến  d

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạinhững điểm mà đồ thị giao với trục hoành có hoành độ âm

Đáp án Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại những điểm mà đồ thị giao với trục hoành có hoành độ âm. 1 điểm

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục Ox là:

x3 – 3x2 + 2 = 0 x 1 x 1 3 x 1 3

0,25

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biếttiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 9x + 1

Đáp án

Cho đồ thị (C): y = x 3 – 3x 2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 9x + 1. 1 điểm

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(0, 4)

 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết





qua điểm ( 1, 3)A  .

CHUYÊN ĐỀ II: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

aa

1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :

a/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :

Một số phương pháp giải Phương trình mũ, Phương trình logarit

o Phương Pháp 1 Đưa về cùng cơ số :

 af (x)= ag(x) (0<a≠1)  f(x) = g(x)

 logaf(x) = loga g(x) (0<a ≠1)  f (x) 0(g(x) 0)

 

 

 

.logax +.logax +  = 0 ; Đặt : t = logx

.logax +.log x a +  = 0 ; Đặt : t = logax  log x a =1

DẠNG 9: GIẢI PT- BPT MŨ VÀ LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP

BIẾN ĐỔI CƠ BẢN

Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 8x x x1 500



Đáp án Giải phương trình: 5 8x x x1 500

3

31

log 2log 5

Ví dụ 3: Giải phương trình: log3xlog9xlog7x11

 x36  x729 ( thỏa điều kiện *)

Vậy phương trình có nghiệm: x = 729

0,25

Chú ý: Bài toán trên có thể không đặt điều kiện (việc này nên dành cho học sinh khá, giỏi)

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log2 2 8 1 2

DẠNG 10: GIẢI PT- BPT MŨ VÀ LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP

ĐẶT ẨN PHỤ

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3.8x 4.12x 18x 2.27x 0

Đáp án Giải phương trình: 3.8 x 4.12x 18x 2.27x 0

Ví dụ 2: Giải phương trình: log 2 log4 7 0