hinh hoc oxy ly thuyet 50 bai tap co giai

Trong mặt phẳng Oxy, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát - Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là vectơ có phương vuông góc với đường thẳng đó.. Tính chất trung điểm: - Điểm I là

CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH HỌC OXY

Hình học Oxy là một chuyên đề khó, để học tốt phần này học sinh cần có kiến thức tốt

về hình học phẳng Thường thì câu hỏi ở phần này sẽ là những câu hỏi phân loại học sinh

• Công thức tính tọa độ vectơ:

Nếu có hai điểm A x ; y , B x ; y thì ( A A) ( B B) ABuuur=(xB−x ; yA B−yA)

Cho vectơ arkhi đó kar với k là số thực khác 0:

- Nếu k 0 : ka> r là vectơ dài gấp k lần vectơ ar và cùng hướng với ar

- Nếu k 0 : ka< r là vectơ dài gấp k lần vectơ ar và ngược hướng với ar

Về mặt tọa độ: nếu ar=(a ;a1 2) thì kar =(ka ; ka1 2)

• Tích vô hướng của haivectơ:

Định nghĩa Người ta gọi tích số a b cos a; br r ( )r r

là tích vô hướng của hai vectơ a.r và

b

r

và kí hiệu là a.br r= a b cos a; br r ( )r r

Về mặt tọa độ: Nếu có ar=(a ;a , b1 2) r=(b ; b1 2) thì a.b a ar r= 1 2+b b1 2

• Hai vectơ vuông góc:

Nếu có ar=(a ;a , b1 2) r =(b ; b1 2) thì ar ⊥ ⇔br a b1 2+a b2 2 =0 (hoành nhân hoành cộngtung nhân tung = 0)

• Cos góc giữa hai vectơ:

Nếu có ar=(a ;a , b1 2) r=(b ; b1 2) thì ( ) 1 1 2 2

a b a ba.b

• Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

Nếu có đường thẳng d : ax by c 0+ + = và A x ; y( A A) thì khoảng cách từ điểm A đến

đường thẳng d được tính theo công thức [ ] A A

• Vị trí tương đối của một điểm so với đường thẳng:

Cho đường thẳng d : ax by c 0+ + = với 2 2

a +b ≠0 và hai điểm A x ; y ;B x ; y( A A) ( B B)+Nếu (axA+byA+c ax) ( B+byB+ >c) 0 thì A, B nằm cùng một bên (cùng một nửamặt phẳng bờ là đường thẳng d)

+ Nếu (axA+byA+c ax) ( B+byB+ <c) 0 thì A, b nằm khác bên (mỗi điểm nằm mỗinửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d)

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng d : a x b y c1 1 + 1 + =1 0 và d : a x b y c2 2 + 2 + =2 0 (giả sử a , b2 2 ≠0)

a =b =c thì hai đường thẳng trùng nhau.

PHẦN II: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Định nghĩa Trong mặt phẳng Oxy, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát

- Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là vectơ có phương vuông góc với đường thẳng đó

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có phương song song với đường thẳng đó

- Nếu vectơ chỉ phương là nuurd =( )a; b ⇒uuurd = −( b;a)

Dưới đây là hai bài toán viết phương trình đường thẳng biến thể, ở đó chúng ta sẽ sử dụngcông thức khoảng cách, hoặc công thức góc để giải quyết

Bài toán viết phương trình đường thẳng sử dụng khoảng cách:

Nếu đường thẳng d đi qua điểm A x ; y( A A) và khoảng cách từ điểm I (biết tọa độ)đến d bằng h thì ta luôn viết được phương trình đường thẳng d

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng DM đi qua E 2; 1(− − ) và khoảng cách từ I 13 7;

Gọi nr =( )a; b với a2+b2 ≠0 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng DM.

Suy ra, phương trình đường thẳng DM là x 2y 0− =

Bài toán viết phương trình đường thẳng sử dụng góc:

Nếu đường thẳng d1 đi qua điểm A x ; y( A A) và tạo với d : ax by c 02 + + = một góc αthì ta luôn viết được phương trình đường thẳng d1

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng EC tạo với đường thẳng CN một góc 450? Biết CN cóphương trình: y 1 0− = và E 1;7(− )

Gọi nr =( )a; b là vtpt của đường thẳng EC a( 2+b2 ≠0)

Do góc giữa EC và CN bằng 450 nên: 2b 2 2 4b2 2b2 2a2 a b

a b2

* Với a= −b, chọn nr = −(1; 1) suy ra phương trình EC : x y 8 0− + =

Do C là giao điểm của CN và EC nên C 7;1(− ) (loại)

* Với a b= , chọn nr=( )1;1 suy ra phương trình EC : x y 6 0+ − =

PHẦN III: BỔ SUNG CÁC KIẾN THỨC HÌNH HỌC PHẲNG

Định lý hàm số cos: Cho tam giác ABC ta có:

AB =AC +BC −2AC.AB.cos C∠

Tính chất phân giác: Cho tam giác ABC có phân

giác trong góc A là AD, ta có:

+ BD AB

DC =AC

+ Điểm đối xứng của M (bất kì) thuộc AB qua

phân giác AD thuộc AC

+ Điểm đối xứng của N bất kì thuộc AC qua phân

giác AD thuộc AB

Tính chất trung điểm:

- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA IB 0uur uur r+ =

- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có 2MI MA MBuuur uuuur uuur= +

Tính chất trọng tâm:

- Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0uuur uuur uuur r+ + =

- Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có 3MG MA MB MCuuuur uuuur uuur uuur= + +

Tính chất đường trung bình của tứ giác:

- Cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC

Ta luôn có: 2EF AB DCuur uuur uuur= +

Điều kiện để ba điểm thẳng hàng:

- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có một số

k khác không sao cho AB kACuuur= uuur

Hệ thức vectơ liên hệ giữa trực tâm, trọng tâm, tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác:

Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, trọng tâm G Ta có:

- OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + =

- HA HB HC 2HOuuur uuur uuur+ + = uuur

- OH 3OGuuur= uuur

PHẦN IV: MỘT SỐ CÂU HỎI LÍ THUYẾT

Ví dụ 1: Cho tam giác MNP có E là trung điểm MN Phát biểu nào sau đây là đúng ?

A. ME MN 0uuur uuuur r+ = B. PM PN 2PEuuur uuur+ = uuur

C. PM PN 3PEuuur uuur+ = uuur D. PM PN NM 0uuur uuur uuuur r+ + =

Dựa theo tính chất trung điểm ta thấy

Chọn đáp án B

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm là G, biết GAuuur=( )0;1 , GBuuur= −( 2;3) Tính tọa độvectơ GCuuur ?

Ta có: GA GB GC 0uuur uuur uuur+ + = =( )0;0 do đó

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của AD và

BC Biết ABuuur=( )1; 2 , DCuuur= −( 3;1) và E 1;0 Tìm tọa độ điểm F ( )

Theo tính chất đường trung bình của tứ giác ta có

F F

F F

C. HA HB HC 3HOuuur uuur uuur+ + = uuur D. OA OB OC OGuuur uuur uuur uuur+ + =

Chọn đáp án A

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có góc ∠ =A 600, bán kính đường tròn ngoại tiếp R 2= Phátbiểu nào sau đây đúng nhất ?

A. Cạnh BC có độ dài lớn hơn 3 B. Cạnh AC có độ dài lớn nhất

C. Cạnh AB có độ dài lớn nhất D. Cạnh AC có độ dài lớn hơn 4

Ta có 2R a BC BC 2R.sin 60 4 3 2 3

Chọn đáp án A

Tại sao b, c, d không đúng ?

Vì ∠ =A 600 nên hai góc còn lại sẽ có một góc lớn hơn hoặc bằng 60 chúng ta không thể0

xác định được đó là góc B, hay góc C nên không thể khẳng định được b hay c đúng Chú ýcạnh nào đối diện với góc lớn nhất sẽ là cạnh dài nhất

Còn d sai vì 2R b AC AC 2R.sin B 2R 4

sin B sinB

Ví dụ 6: Phát biểu nào sau đây đúng:

A. Góc giữa hai vectơ nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ

B. Góc giữa hai đường thẳng có thể lớn hơn 90 độ

C. Hai vectơ dài bằng nhau và cùng phương thì bằng nhau

D. 2ar là vectơ cùng hướng với vectơ ar

Chọn đáp án D

PHẦN V: MỘT SỐ BÀI TOÁN VÍ DỤ.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 1;3 Gọi N( )

là điểm thuộc cạnh AB sao cho AN 2AB

3

= Biết đường thẳng DN có phương trình

x y 2 0+ − = và AB 3AD= Đáp án nào sau đây chính xác nhất:

- Dùng công thức trung điểm suy ra được B

- Làm sao tính cos BDN ? Khi đề cho hình chữ nhật có mối quan hệ giữa chiều rộng mà chiều·dài thì nên đặt chiều rộng AD x= , sau đó tính các cạnh còn lại theo x, sau đó sẽ tính được

·

cos BDN

Lời giải

Đặt AD x x 0= ( > ⇒) AB 3x, AN 2x, NB x, DN x 5, BD x 10= = = = =

Xét tam giác BDN theo định lý cos có:

Gọi n a; b ar( ) ( 2+b2 ≠0) là vectơ pháp tuyến của BD,

BD đi qua điểm I 1;3( )

M 4; 1 , N 0; 5− − lần lượt thuộc AB, AC và phương trình đường phân giác trong góc A là

x 3y 5 0− + = , trọng tâm của tam giác ABC là G 2; 5

- Tìm M' viết được phương trình AC từ đó suy ra A Có A, M viết được phương trình AB

- Gọi B, C và tham số hóa dựa vào B thuộc AB, C thuộc AC Áp dụng công thức trọng tâm sẽtìm ra được tọa độ B, C

Lời giải

Từ M kẻ MM' vuông góc với phân giác trong góc A tại I, M ' AC∈ ⇒I là trung điểm MM'.Phương trình MM' là: 3x y 11 0+ − =

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

Gọi B b;3 b , C c;7c 5( − ) ( − ) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

- Có tọa độ I, H nên ta dễ dàng viết được phương trình IH

- Có BM, CI là trung tuyến của tam giác BCD nên H là trọng tâm tam giác BCD, từ đây ta có

IA 3HI=

uur uur

nên suy ra được tọa độ điểm A

Vẽ hình chính xác ta thấy BM vuông góc với AC (phải chứng minh), BM lại đi qua H nênviết được phương trình BM Tham số hóa điểm B, lại có IA IB= từ đó giải ra được tọa độđiểm B.

Lời giải

Ta có IHuur= − −( 1; 1)

Nên đường thẳng IH có phương trình x y 3 0− + =

Từ giả thiết suy ra H là trọng tâm của BCD∆

A. Chỉ có một cặp B, C thỏa mãn yêu cầu bài toán là B 2;1 ,C 1; 5(− ) ( − )

B. Chỉ có một cặp B, C thỏa mãn yêu cầu bài toán là B( 7; 1− − 7 ,C 1) (− − 7;1 3 7+ )

C. B 2; 2(− )

D. B( 7; 1− − 7 ,C 1) (− − 7;1 3 7+ ) hoặc B 2;1 ,C 1; 5(− ) ( − )

Phân tích:

- Có O, A nên viết được phương trình OA : 2x y 0+ = , và

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình

AB, AC lần lượt là x 2y 2 0, 2x y 1 0+ − = + + = , điểm M 1; 2 thuộc đoạn thẳng BC Tìm( )tọa độ điểm D sao cho tích vô hướng DB.DCuuur uuur có giá trị nhỏ nhất

A. Không tồn tại điểm D B. Có hai điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán

C. Có một điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán D. D 0;3 hoặc ( ) D 1; 2( )

Phân tích:

- Đầu tiên ta thấy BC đi qua M 1; 2 và góc B bằng góc C nên có thể viết phương trình BC( )dựa vào góc.

- Gọi trung điểm của BC là I

Ta có DB.DCuuur uuur=(DI IB DI ICuur uur uur uur+ )( + ) (= DI IB DI IBuur uur uur uur+ )( − )

uuur uuur uur uur uur uur uur uur uur uur

Dấu bằng xảy ra khi D I≡ Vậy D 0;3( )

Gọi M là trung điểm của KM / / d1

Đường thẳng KM đi qua K 3; 1

2 2

− − 

  và có vectơ chỉphương u 4;3r( )



= ⇒  = −

 ta có điểm (2; 1− )Với m 1 x 1

y 32

= −



= − ⇒  =

 ta có điểm (−1;3)Vậy tọa độ 2 đỉnh còn lại B và C có tọa độ là B 2; 1 , C 1;3( − ) (− )

Đáp án D

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứađường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là3x 5y 8 0, x y 4 0+ − = − − = Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC có đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D 4; 2( − ) Viết phương trình các đườngthẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3

Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và AD, E

là giao điểm của BH và AC Ta kí hiệu n , uuur uurd d

lần lượt làvtpt, vtcp của đường thẳng d Do M là giao điểm của AM và

BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

7x

M ;

y2

Tứ giác HKCE nội tiếp nên ·BHK KCE=· , mà ·KCE BDA=· (góc nội tiếp chắn cung »AB ).Suy ra ·BHK BDK=· , vậy K là trung điểm của HD nên H 2; 4 ( )

Do B thuộc BC⇒B t; t 4( − ), kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C 7 t;3 t( − − )

A. 5x 3y 7 0− + = B. 5x y 7 0− + = C. 5x 3y 8 0− + = D. x 3y 7 0− + =

Lời giải

Gọi AI là phân giác trong của ·BAC

Ta có: ·AID ABC BAI=· +·

IAD CAD CAI= +

Mà ·BAI CAI, ABC CAD=· · =· nên ·AID IAD= ·

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của

AD, N DC∈ sao cho NC 3ND= , đường tròn tâm N qua M cắt AC tại J 3;1 ,( )

J I AC BD≠ = ∩ , đường thẳng đi qua M, N có phương trình ( )d : x y 1 0+ + = Tìm tọa độđiểm B

MN cắt đường tròn tâm N tại K Ta chứng minh được tứ giác

MIJK nội tiếp

tìm được A 3; 4(− ) Vì A là trung điểm của IP nên I 1; 2( )

Ta có AB 2MIuuur= uuur⇒B 3;6( )

Tương tự với ta tìm được A 6; 5 , I 4; 1( − ) ( − ) và B 8;1( )

Vậy tọa độ điểm B 3;6 hoặc ( ) B 8;1( )

Đáp án

Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M làtrung điểm BG, G là trọng tâm tam giác ABM, điểm D 7; 2( − ) là điểm nằm trên đoạn MC saocho GA GD= Tìm tọa độ điểm A, lập phương trình AB? Biết hoành độ của điểm A nhỏ hơn

Ta có tam giác ABC vuông cân đỉnh A nên tam giác ABM vuôngcân đỉnh M

Suy ra GB GA= Theo giả thiết GA GD= nên tam giác ABM nộitiếp đường tròn tâm G bán kính GA

Ta có: ·AGD 2ABD 90= · = 0, suy ra DG⊥AG suy ra GD= 10

Suy ra tam giác AGD vuông cân đỉnh G suy ra AD 2 10=

Trong hai trường hợp trên xét thấy d D, AB( ) >d A, AG( ) nên AB : x 3 0− =

Vậy: A 3; 4 , AB : x 3 0( − ) − =

Đáp án C

Ví dụ 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đườngtròn (T) có phương trình: x2+y2−6x 2y 5 0− + = Gọi H là hình chiếu của A trên BC.Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N Tìm tọa độ điểm A và viết phươngtrình cạnh BC, biết đường thẳng MN có phương trình: 20x 10y 9 0− − = và điểm H có hoành

IAC ANM ICA AHM MHB AHM 90+ = + = + =

Suy ra: AI vuông góc MN

Với a 2= ⇒A 1; 2( ) (thỏa mãn vì A, I khác phía MN).

Với a 0= ⇒A 5;0( ) (loại vì A, I cùng phía MN)

Gọi E là tâm đường tròn đường kính AH

Gọi H là trực tâm tam giác ACD, suy ra CH⊥AD nên CH / /AB (1)

Mặt khác AH//BC (cùng vuông góc với CD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCH là hình bình hành nên CH AB= (3)

Ta có: ·HCE BAF=· (so le trong) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ∆HCE= ∆BAF (cạnh huyền và góc nhọn)

Đường thẳng DE qua E và nhận EF 2; 4uur( )

làm một vectơ pháp tuyến, DE có phương trình:

BAD 60= Điểm đối xứng với A qua B là E 2;9(− ) Tìm tọa

độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết rằng A có hoành độ âm?

+) Với b 0= , chọn a 1= , khi đó AB có phương trình x 2 0+ = , suy ra IB có phương trình

y 5 0− = Do B AB IB= ∩ nên B 2;5(− ), mà x 4 3y 2 36 3 0+ + − = trung điểm của AEnên A 2;1(− )(thỏa mãn điều kiện xA<0).

Do I là trung điểm của AC và BD nên ta suy ra C 4 3 2;9 , D 4 3 2;5( − ) ( − )

+) Với b 4 3a= , chọn A 1= ⇒ =b 4 3, khi đó AB có phương trình, suy ra IB có phương

x 2− + −y 3 =25 Chân các đường vuông góc hạ từ

B và C xuống AC, AB thứ tự là M 1;0 , N 4;0 Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết đỉnh A có( ) ( )tung độ âm?

Lời giải

Kẻ tiếp tuyến At với đường tròn (C) tại A Ta có tứ giác BCMN nội tiếp nên góc

ABC AMN= (cùng bù với góc ·NMC )

Lại có ·ABC MAt· 1sdAC»

2

= = , suy ra ·MAt AMN=·

Mà chúng ở vị trí so le trong nên MN / / At, hay

IA vuông góc với MN (I là tâm đường tròn (C))

Ta có MN 3;0 , I 2;3uuuur( ) ( ) ⇒AI : x 2= A là giao của

IA và (C) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

x 3y 7 0− + = Tìm tọa độ điểm A, biết A có hoành độ dương

A. A 2( + 2;6 3 2+ ) B. A 1( + 2;6 3 2+ ) C. A 1( + 2;8 3 2+ ) D. A 1( + 2;6 3 3+ )

Lời giải

Gọi I là trung điểm AH Tứ giác AEHF nội tiếp và bốn

điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn nên

IM⊥EF (đoạn nối tâm vuông góc với dây chung)

Ta có: ¶IEF ABE= · (cùng phụ góc A hoặc cùng phụ góc

EHF)

Và: ·ABE 1EMF IME· ·

2

· 0 · · 0

MEI 90 MFI MEI 90

Do đó tứ giác MEIF nội tiếp đường tròn đường kính IM, tâm là trung điểm J của IM

(Đường tròn (J) là đường tròn Euler)

Đường thẳng IM qua M và vuông góc với EF nên có phương trình: 3x y 9 0+ − =

I là giao điểm của AH và IM nên có tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi I là giao điểm của BM và AC

Ta thấy BC 2BA= ⇒EB BA, FM 3FE= = ⇒EM BC=

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ

13x

y5

 =

+ − =

Ví dụ 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và

AD 2BC= Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trungđiểm của đoạn HD Giả sử H 1;3(− ) , phương trình đường thẳng AE : 4x y 3 0+ + = và

- Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I.

Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK⊥AE

+) K là trung điểm của AH nên KE || 1AD

2

= hay KE || BC=

Do đó: CE⊥AE⇒CE : 2x 8y 27 0− + =

Mặt khác E là trung điểm của HD nên

- Khi đó BD: y 3 0− = , suy ra AH : x 1 0+ = nên A 1;1(− )