LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN HÌNH GIẢI TÍCH 12

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN HÌNH GIẢI TÍCH 12

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I Vector trong không gian

1 Định nghĩa và phép toán

Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vector trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có AB BC AC   

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có AB AD AC 

   + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có AB AD AA' AC'  

    + Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho M là trung điểm của đoạn AB, C là điểm tùy ý

Ta có: IA IB 0  

và CA CB 2CM 

   + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, D là điểm tùy ý

Ta có: GA GB GC 0  

   

và DA DB DC 3DG  

    + Hệ thức trọng tâm của tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, E là điểm tùy ý

Ta có: GA GB GC GD 0   

    

và EA EB EC ED 4EG   

     + Điều kiện cùng phương của hai vector: Hai vector a và b khác vector không cùng phương khi và chỉ khi  !k R : b ka 

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ 1, N là điểm tùy ý Ta có MA kMB

và khi đó

ta cũng có NM NA kNB

1 k







 



2 Sự đồng phẳng của ba vector

Ba vector trong đó không có hai vector nào cùng phương được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng có thể cùng song song với một mặt phẳng Điều kiện đồng phẳng của ba vector a, b, c   trong đó không có hai vector nào cùng phương là !m, n R : c ma nb   

Nếu ba vector a, b, c   không đồng phẳng, một vector d tùy ý có thể biểu diễn được qua ba vector đó Khi đó: !m, n, p R : d ma nb pc     Đây là cơ sở thiết lập hệ tọa độ vector trong không gian ba chiều

3 Tích vô hướng của hai vector

Góc giữa hai vector trong không gian: Cho hai vector u, v  tùy ý khác không; lấy điểm A, B, C sao cho AB u, AC v 

thì (u, v) BAC   ˆ (0° ≤ BACˆ ≤ 180°)

Tích vô hướng của hai vector trong không gian: Cho u, v  khác không; khi đó tích vô hướng hai vector là u.v u v cos(u, v)   

Với u 0 hoặc v 0, qui ước u.v 0 

Nếu hai vector vuông góc thì tích vô hướng bằng không u v u.v 0 

II Hệ tọa độ trong không gian

1 Hệ tọa độ vuông góc Oxyz – tọa độ vector

Nếu ta chọn   i, j, k là ba vector đơn vị đôi một vuông góc, có chung một điểm đặt O, sao cho

từ điểm ngọn của vector k thì chiều quay từ i sang j là ngược chiều kim đồng hồ, thì bộ ba số duy nhất (x, y, z) thỏa mãn vector a bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng a xi yj zk    là tọa độ của vector a Khi đó ta viết a (x, y, z) Hệ tọa độ có ba trục Ox, Oy, Oz hướng theo ba vector đơn vị như trên là hệ tọa độ vuông góc Oxyz

Lưu ý: i j k 1  và  i j j.k k.i 0 

2 Phép toán vector trong không gian

Cho a = (a1; a2; a3) và b = (b1; b2; b3)

(i) a b (a  1b ;a1 2b ;a2 3b )3 ; a b (a  1 b ;a1 2 b ;a2 3 b )3

(ii) ka (ka ; ka ; ka ) 1 2 3

(iii)

1 1

2 2

3 3

a b

a b







   

 







(iv) 0 (0;0;0), i (1;0;0), j (0;1;0), k (0,0,1)   

(v) a, b  cùng phương (b 0) khi và chỉ khi

a kb

!k R : a kb a kb

a kb







 







Nếu b1, b2, b3 khác không thì điều kiện trên trở thành 1 2 3

a

b b b (vi) a.b a b 1 1a b2 2a b3 3 và ab a b1 1a b2 2a b3 30

a a a a ; a  a a a

(viii) 2 1 12 22 2 2 3 32 2

a b a b a b a.b

cos(a, b)













3 Tọa độ điểm trong không gian

Định nghĩa: M(x; y; z)  OM (x; y; z)



Tính chất:

Cho A(xA; yA; zA), B(xB, yB, zB)

(i) AB (x  B x , yA B y , zA B z )A

AB (x  x ) (y  y ) (z  z ) (ii) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: MA kMB M(xA kxB;yA kyB;zA kzB)

(iii) Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M(xA xB;yA yB;zA zB)

(iv) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G(xA xB xC;yA yB yC;zA zB zC)

(v) Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

4 Tích có hướng hai vector:

Tích có hướng hai vector a, b  là một vector c vuông góc với cả hai vector đó sao cho ba vector a, b, c   khi đặt chung gốc sẽ tạo thành tam diện thuận và ca b sin(a, b)  

Kí hiệu: c [a, b] a b    

Cho a = (a1; a2; a3) và b = (b1; b2; b3)

a a







= (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 – a2b1) Chú ý: [a, b] [b,a]    

Tính chất và ứng dụng:

(i) [i, j] k;   [ j, k] i;   [k, i]  j

(ii) [a, b] 0   khi a, b  cùng phương

(iii) Điều kiện đồng phẳng của ba vector a, b, c  : [a, b].c 0  

(iv) Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD [AB, AD]

 

(v) Diện tích tam giác ABC: ABCD 1

2



 

(vi) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: VABCD.A'B'C'D'[AB, AD].AA '

  

(vii) Thể tích của tứ diện ABCD: ABCD 1

V [AB, AC].AD

6



  

5 Phương trình mặt cầu

Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:

(S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

Phương trình tổng quát: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a² + b² + c² – d > 0

R = a2b2c2 d

Vấn đề 1: Các phép toán về tọa độ vector, tọa độ điểm, khoảng cách hai điểm

Bài 1 Viết tọa độ các vector sau đây

a2i  j



b 5i 4k   c 3i 4 j k    Bài 2 Cho a= (2; –3; 3), b = (0; 2; –1), c = (1; 3; 2) Tìm tọa độ vector u với

a u 2a 3b 4c    b u a 2b c  

Bài 3 Tìm tọa độ vector u, biết

a a u 0   với a = (–1; 2; 1) b a 2u b  với a = (3; 2; –1) và b = (1; 4; 1)

Bài 4 Cho a = (1; –2; 2), b = (2; 0; 1)

a Tìm y, z sao cho c = (2; y; z) cùng phương với a

b Tìm x, y sao cho u = (x; y; 3) cùng phương với b

c Tìm vector c vuông góc với a và b, đồng thời có độ lớn bằng 3 5

d Tính cosin góc giữa hai vector a và b

Bài 5 Cho a = (1; –1; 1), b = (3; 0; –1), c = (2; 2; –1)

a Tìm u (a.b).c   b Tìm u 1(a)3 2(a) b2 3 (b) c2

      



Bài 6 Tính góc giữa hai vector sau

a a = (2; 1; 2) và b = (–1; 2; 0) b a = (1; 3; 2 3) và b = (0; 4; 3)

c a = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1)

Bài 7 Cho a = (3; 3; 2), b = (4; 3; –5), c = (1; 1; –1) Tìm vector u thỏa mãn điều kiện sau:

a a.u 2;b.u 0;c.u   1 b u a, u b, u.c  5

Bài 8 Cho hai vector a = (3; –2; 1) và b = (2; 1; –1) Tìm m để ma 3b  và 3a 2mb  cùng phương Bài 9 Cho a = (2; 3; 1), b = (5; 6; 4), c = (m; n; 1) Tìm m, n sao cho c [a, b] 

Bài 10 Cho a = (1; –3; 2), b = (m + 1, m – 2, 1 – m), c = (0; m – 2; 2) Tìm m sao cho ba vector

đó đồng phẳng

Bài 11 Cho a = (1; 0; 1), b = (0; –1; 1), c = (1; 1; 0), u = (8; 9; –1)

a Chứng minh a, b, c không đồng phẳng

b Biểu diễn u theo ba vector a, b, c

Bài 12 Cho M(1; 2; 3) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx Bài 13 Cho M(3; –1; 2) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng Oyz và qua trục Oy Bài 14 Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1)

a Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

b Tìm tọa độ trọng tâm G của ΔABC.ABC

c Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

d Tìm tọa độ trực tâm ΔABC.ABC

e Tính số chu vi và diện tích ΔABC.ABC

f Tính chiều dài đường cao hạ từ đỉnh A của ΔABC.ABC

Bài 15 Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm:

a A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0), C(3; 1; –1) b A(1; 0; 2), B(–2; 1; 1), C(1; –3; –2)

Vấn đề 2: Ứng dụng tọa độ vector và điểm vào hình học Bài 16 Cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1)

a Chứng minh A, B, C, D lập thành tứ diện

b Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện

c Tính thể tích khối tứ diện ABCD

d Tính diện tích ΔABC.BCD và suy ra đường cao của tứ diện ABCD hạ từ A

Bài 17 Cho 4 điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0)

a Chứng minh SA vuông góc với (SBC), SB vuông góc với SC

b Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều

c Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) Từ đó tính chiều cao SH

Bài 18 Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4)

a Chứng minh SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau

b Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB Chứng minh SMNP là tứ diện đều

c Vẽ SH vuông góc với (ABC) tại H Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua S Chứng minh H’ABC là

tứ diện đều

Bài 19 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH Gọi I là tâm của hình hộp

a Phân tích vector AI

theo các vector AB, AC, AD  

b Phân tích vector CI theo các vector GF,GH,GI  

Bài 20 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BB’ Chứng minh

MN vuông góc với A’C

Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 Trên các cạnh BB’, CD, A’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B’M = CN = D’P = x (0 < x < 1) Chứng minh A’C vuông góc với mặt phẳng (MNP)

Vấn đề 3: Phương trình mặt cầu – Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu Cách lập phương trình mặt cầu:

Cách 1: Tìm tâm và bán kính rồi viết theo phương trình chính tắc: (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² Cách 2: Viết phương trình dạng tổng quát mặt cầu: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 rồi sử dụng các điều kiện hay điểm cho trước tìm a, b, c, d

Bài 22 Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau:

a x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0 b x² + y² + z² + 4x + 8y – 2z – 4 = 0

c x² + y² + z² –6x + 2y – 2z + 10 = 0 d 2x² + 2y² + 2z² + 12x – 6y + 30z – 5 = 0

Bài 23 Viết phương trình mặt cầu có

a Tâm I(1; –3; 5) và bán kính R = 3

b Tâm I(0; 3; –2) và đi qua điểm A(2; 1; –3)

c Đường kính AB với A(3; –2; 1) và B(1; 2; –3)

Bài 24 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nếu

a A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1) b A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)

Bài 25 Viết phương trình mặt cầu có

a Tâm thuộc mặt phẳng Oxz và đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3), C(2; 0; –1)

b Có tâm I(–5; 1; 1) và tiếp xúc với mặt cầu (T): x² + y² + z² – 2x + 4y – 6z + 5 = 0

Bài 26 Xét vị trí tương đối hai mặt cầu sau

a (S1): x² + y² + z² – 8x + 4y – 2z – 4 = 0 và (S2): x² + y² + z² + 4x – 2y – 4z + 5 = 0

b (S1): x² + y² + z² – 2x + 4y – 10z + 5 = 0 và (S2): x² + y² + z² – 4x – 6y + 2z – 2 = 0

c (S1): x² + y² + z² + 4x – 2y + 2z – 3 = 0 và (S2): x² + y² + z² – 6x + 4y – 2z – 2 = 0

Bài 27 Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt cầu:

a (S1): x² + y² + z² – 4x – 2y + 6z – 50 = 0 và (S2): x² + y² + z² – 8x + 4y – 6z – m² – 4m + 25 = 0

b (S1): (x + 2)² + (y – 2)² + (z – 1)² = 25 và (S2): (x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = (m – 1)²

Bài 28 Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –1) Tìm tập hợp điểm M sao cho

a MA² + MB² = 3 b MA = 2MB

Bài 29 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu sau đây

a (S): x² + y² + z² + 2x – 2y + 2(m + 1)z + m² + m + 6 = 0

b (S): x² + y² + z² + 2(m – 1)x + 4(m – 2)y – 2mz + 17 = 0

III Phương trình mặt phẳng

1 Vector pháp tuyến – vector chỉ phương

Vector n 0 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của ) nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng (α) nếu giá của ) Vectơ u 0 là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (α) nếu giá của ) nếu giá của u song song với mặt phẳng (α) nếu giá của ) Nếu có cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (α) nếu giá của ) là a, b  thì một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của )

là n [a,b]

2 Phương trình của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 với A² + B² + C² > 0

Khi đó: n = (A, B, C) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(xo; yo; zo) và nhận n = (A, B, C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là (P): A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0

Nếu mặt phẳng (α) nếu giá của ) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) sao cho abc ≠ 0 thì phương trình mặt phẳng là x y z 1

a b c  Đây là phương trình theo đoạn chắn

3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (α) nếu giá của ): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β): A): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

(α) nếu giá của ), (β): A) cắt nhau khi và chỉ khi [n , n ] 0 1 2 

(α) nếu giá của ), (β): A) song song khi và chỉ khi [n , n ] 0 1 2  và D n1 2 D n2 1

(α) nếu giá của ), (β): A) trùng nhau khi và chỉ khi [n , n ] 0 1 2  và D n1 2 D n2 1

4 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M(xo; yo; zo) đến mặt phẳng (α) nếu giá của ): Ax + By + Cz + D = 0 là

d(M, α) nếu giá của )



5 Góc tạo bởi hai mặt phẳng

Góc tạo bởi hai mặt phẳng là góc nhọn bằng hoặc bù với góc tạo bởi hai pháp tuyến

Cho hai mặt phẳng (α) nếu giá của ): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β): A): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Góc tạo bởi (α) nếu giá của ), (β): A) là góc φ thỏa mãn

cos φ

 

 

6 Vị trí tương đối giữa điểm và mặt phẳng

Một điểm nằm trong mặt phẳng sẽ có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng

Hai điểm A(x1; y1; z1) và B(x2; y2; z2) nằm về hai phía của mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D

= 0 nếu (Ax1 + By1 + Cz1 + D)(Ax2 + By2 + Cz2 + D) < 0

7 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt phẳng (α) nếu giá của ): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

có tâm I(a; b; c) và bán kính R

mặt phẳng (α) nếu giá của ) cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến là đường tròn nếu d(I, α) nếu giá của ) < R Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến bằng r = R2 d (I, α) nếu giá của )2

mặt phẳng (α) nếu giá của ) tiếp xúc (S) khi và chỉ khi d(I, α) nếu giá của ) = R

mặt phẳng (α) nếu giá của ) và (S) không giao nhau khi và chỉ khi d(I, α) nếu giá của ) > R

8 Phương trình tiếp diện của mặt cầu

Mặt phẳng (α) nếu giá của ) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² tại điểm M(xo; yo;

zo) nhận IM = (xo – a; yo – b; zo – c) làm vectơ pháp tuyến

(α) nếu giá của ): (xo – a)(x – xo) + (yo – b)(y – yo) + (zo – c)(z – zo) = R²

hay (α) nếu giá của ): (xo – a)(x – a) + (yo – b)(y – b) + (zo – c)(z – c) = 0

Bài 30 Viết phương trình mặt phẳng (P) nếu

a (P) đi qua điểm M(3; 1; 1) và có một vectơ pháp tuyến là n = (1; –1; 2)

b (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(2; 1; 1) và B(2; –1; 3)

c (P) đi qua điểm M(1; 2; –3) và có cặp vectơ chỉ phương a = (2; 1; 2), b = (3; 2; –1)

d (P) đi qua M(–1; 1; 0) và song song với mặt phẳng (β): A): x – 2y + z – 10 = 0

e (P) đi qua hai điểm A(3; 1; –1), B(1; 3; –2) và vuông góc với mặt phẳng (β): A): 2x – y + 3z – 1 = 0

f (P) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; –1; 0), C(0; 0; –3)

g (P) đi qua điểm A(2; –4; 0) và vuông góc với đoạn thẳng BC, có B(5; 1; 7) và C(3; 1; 5)

h (P) đi qua M(1; 0; –2) và vuông góc với hai mặt phẳng (α) nếu giá của ): 2x + y – z – 2 = 0, (β): A): x – y – z – 3 = 0

i (P) đi qua điểm M(1; 2; –3), chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (α) nếu giá của ): 2x – 3y + z – 5 = 0 và (β): A): 3x – 2y + 5z – 1 = 0

Bài 31 Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (P): y + 2z – 4 = 0, (Q): x +

y – z – 3 = 0 và vuông góc với mặt phẳng (R): x + y + z – 2 = 0

Bài 32 Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng sau:

a (P): 2x + 3y – 2z + 5 = 0 và (Q): 3x + 4y – 8z – 5 = 0

b (P): x – y – 2z + 1 = 0 và (Q): 4x – 4y – 8z + 9 = 0

Bài 33 Định m, n để hai mặt phẳng sau song song

a (P): x + my – 2z + 2 = 0 và (Q): 2x + 4y + 4nz – 3 = 0

b (P): 2x + y + 3z – 5 = 0 và (Q): 4mx – 3y – 3nz – 2 = 0

Bài 34 Xác định m để hai mặt phẳng sau vuông góc nhau

a (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – 3 = 0 và (Q): mx + (m – 1)y + 4z – 5 = 0

b (P): x + my – z + 2 = 0 và (Q): mx + 2y – mz – 12 = 0

Bài 35 Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 8 = 0 và điểm M(–2; –4; 5)

a Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)

b Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên (P)

c Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P)

Bài 36 Cho hai mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + 1 = 0 và (Q): 2x – 4y + 6z + 7 = 0

a Chứng minh (P), (Q) song song

b Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q)

Bài 37 Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 7 = 0 một đoạn d = 3

Bài 38 Cho hai mặt phẳng (P): 3x + 6y – 3z + 7 = 0 và (Q): x + 2y – z + 1 = 0

a Chứng minh (P)//(Q)

b Tìm tập hợp các điểm cách đều (P) và (Q)

c Tìm tập hợp các điểm M sao cho d[M, (P)] = 2d[M, (Q)]

Bài 39 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 5 = 0 và cách điểm A(2; – 1; 4) một đoạn bằng 4

Bài 40 Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 1 = 0 và (Q): y – z = 0

Bài 41 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) biết

a I(1; 5; 2) và (P): 2x + y + 3z + 1 = 0

b I(1; 1; 2) và (P): x + 2y + 2z + 5 = 0

Bài 42 Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm M biết

a (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 và M(4; –3; 1)

b (S): x² + y² + z² – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và M(1; 2; –4)

Bài 43 Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) biết

a (S): x² + y² + z² – 6x + 4y + 2z – 11 = 0 và (Q): 4x + 3z – 17 = 0

b (S): x² + y² + z² – 2x – 4y + 4z = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 5 = 0

Bài 44 Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)

a Viết phương trình các mặt của tứ diện ABCD

b Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD.

c Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD)

d Viết phương trình mặt phẳng trung trực của cạnh AB

e Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

f Tính bán đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 45 Cho 4 điểm A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3)

a Chứng minh ABCD là tứ diện đều

b Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD)

c Tính góc giữa các cặp mặt phẳng (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD)

IV Phương trình đường thẳng

1 Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng:

Phương trình tham số đường thẳng đi qua M(xo; yo; zo) và có vectơ chỉ phương u = (a, b, c)

có dạng

(d):

o o o

x x at

y y bt (t R)

z z ct







  



Nếu abc ≠ 0 thì phương trình chính tắc của đường thẳng trên là (d): x xo y yo z zo

2 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng (d1), (d2) có phương trình lần lượt là

d1:

1 1

1 1

1 1

x x a t

y y b t (t R)

z z c t

 







  



d2:

2 2

2 2

2 2

x x a s

y y b s (s R)

z z c s







  



Ta có u1 = (a1; b1; c1), u2 = (a2; b2; c2) lần lượt là vectơ chỉ phương của (d1), (d2) Trên (d1) lấy điểm

M1(x1; y1; z1), trên (d2) lấy điểm M2(x2; y2; z2)

d1 // d2 khi và chỉ khi [u , u ] 0 1 2  và [M M , u ] 01 2 1 

d1 cắt d2 khi và chỉ khi 1 2

1 2 1 2

[u , u ] 0 [u , u ].M M 0











 



 

d1 trùng d2 khi và chỉ khi 1 2

1 2 1

[u , u ] 0 [M M , u ] 0











 

d1 và d2 chéo nhau khi và chỉ khi [u , u ].M M 1 2  1 20

3 Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (α) nếu giá của ): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng (d):

o o o

x x at

y y bt (t R)

z z ct







  

 Giả sử (d) ∩ (α) nếu giá của ) = M M thuộc (d) nên M(xo + at; yo + bt; zo + ct)

Mặt khác M thuộc (α) nếu giá của ) nên ta có phương trình

A(xo + at) + B(yo + bt) + C(zo + ct) + D = 0 (theo ẩn t) (*)

(d) // (α) nếu giá của ) khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm

(d) cắt (α) nếu giá của ) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất

(d) thuộc (α) nếu giá của ) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm với mọi t

4 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Xét đường thẳng (ΔABC.) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R

(ΔABC.) và (S) không có điểm chung khi và chỉ khi d(I, ΔABC.) > R

(ΔABC.) và (S) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi d(I, ΔABC.) = R

(ΔABC.) và (S) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi d(I, ΔABC.) < R

Để tìm giao điểm (ΔABC.) và (S) có thể lập phương trình tham số của ΔABC sau đó thay (x; y; z) theo t vào phương trình mặt cầu và giải được giá trị của t Sau đó suy ra tọa độ giao điểm

5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng (ΔABC.) đi qua Mo và có vectơ chỉ phương a và điểm M ngoài đường thẳng ΔABC d(M, ΔABC.) = [MM ,a]o

a

 



6 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Cho hai đường thẳng ΔABC.1 và ΔABC.2 Cho đường thẳng ΔABC.1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương a1 Cho đường thẳng ΔABC.2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương a2 Khoảng cách giữa chúng là

d(ΔABC.1, ΔABC.2) = 1 2 1 2

1 2

[a ,a ].M M [a ,a ]

 

 

7 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) nếu giá của ) // d bằng khoảng cách từ một điểm trên d đến mặt phẳng (α) nếu giá của )

8 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2 có các vectơ chỉ phương lần lượt là a ,a  1 2

Góc giữa d1, d2 là góc nhọn bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương

1 2

1 2

1 2

a a cos(a ,a )

a a



 

 

 

9 Góc giữa một đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) nếu giá của ) bằng góc giữa d và hình chiếu vuông góc d’ của d lên mặt phẳng (α) nếu giá của ) Góc giữa chúng là góc nhọn sao cho góc tạo bởi d và pháp tuyến của (α) nếu giá của ) phụ với góc đó

Aa Bb Cc sin(d,α) nếu giá của )



Vấn đề 1: Lập phương trình đường thẳng

Cách lập phương trình đường thẳng: cần tìm một điểm đường thẳng đi qua và xác định vectơ chỉ phương

Vectơ chỉ phương có thể tạo thành từ hai điểm đường thẳng đi qua hoặc từ tích có hướng hai vectơ pháp tuyến, tìm được từ các quan hệ vuông góc hoặc song song

Bài 46 Viết phương trình đường thẳng d biết

a (d) đi qua M(1; 2; –3) và có vectơ chỉ phương a = (1; –3; 2)

b (d) đi qua hai điểm A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2)

c (d) đi qua điểm A(3; 2; –4) và song song với Ox

d (d) đi qua điểm A(4; –2; 2) và song song với đường thẳng ΔABC.: x 2 y 5 z 2

e (d) đi qua điểm A(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – 5y + 4 = 0

f (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0 và (Q): x + y + z – 1 = 0

g (d) đi qua điểm A(1; 0; 5) và vuông góc với đường thẳng (d1): x 1 y 3 z 1

 và đường thẳng (d2): x 1 y 2 z 3

h (d) đi qua điểm A(1; 2; –2), vuông góc và cắt đường thẳng ΔABC.: x y 1 z



i (d) đi qua điểm A(2; 1; –1) và cắt các đường thẳng ΔABC.1: x 1 y 2 z 3

  , ΔABC.2: x y z

1 1 2

 Bài 47 Viết phương trình đường thẳng d biết

a (d) nằm trong mặt phẳng (P): x + 2z = 0; cắt đường thẳng d1: x 1 y z



 

 và d2:

x 2 t

y 4 2t

z 1

 





 



 



b (d) song song với ΔABC.: x y 1 z 1

 , cắt đường thẳng d1: x 1 y z 1

 

 và cắt đường thẳng d2:

x 2 y 1 z 1



c (d) là đường thẳng vuông góc chung của d1: x 2 y 1 z 3

 và d2: x 1 y 3 z 1

d (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng ΔABC.: x 2 y 2 z 1

  lên mặt phẳng (P): x + 2y + 3z + 4 = 0

e (d) đi qua điểm A(0; 1; 1), vuông góc với d1: x 1 y 2 z

  và cắt d2:

y t

z 1 t











  

 Bài 48 Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1)

a Viết phương trình đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABD)

b Viết phương trình đường thẳng qua A và qua trọng tâm tam giác BCD

Bài 49 Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2; 5); phương trình của hai đường trung tuyến lần lượt là

d1: x 3 y 6 z 3

 và d2: x 4 y 2 z 2



a Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC

b Viết phương trình đường phân giác trong của góc BAC

Bài 50 Cho tam giác ABC có A(3; –1; –1), B(1; 2; –7), C(–5; 14; –3)

a Viết phương trình đường trung tuyến AM

b Viết phương trình đường cao BH

c Viết phương trình đường phân giác trong của góc ABC

d Viết phương trình đường trung trực của cạnh BC trong ΔABC.ABC

Bài 51 Cho bốn điểm S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5)

a Chứng minh S.ABC là một tứ diện đều

b Viết phương trình hình chiếu vuông góc của SA, SB lên mặt phẳng (ABC)

Bài 52 Cho 4 điểm S(1; 2; –1), A(3; 4; –1), B(1; 4; 1), C(3; 2; 1)

a Chứng minh SABC là một tứ diện

b Viết phương trình đường vuông góc chung của SA, BC

c Viết phương trình đường cao hạ từ S của tứ diện SABC

Vấn đề 2: Vị trí tương đối giữa đường thẳng với điểm, mặt phẳng và mặt cầu

Bài 53 Cho điểm A(1; 0; 1) và đường thẳng d: x y z

2  1 1

a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d

b Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d

Bài 54 Cho đường thẳng d: x 3 y 4 z 1

  và mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 6 = 0

a Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)

b Viết phương trình d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P)

Bài 55 Cho đường thẳng d: x 2 y 1 z 1

  và điểm I(4; 2; –1) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với (d)

Bài 56 Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3 Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (S) biết (d) đi qua A(0; 0; 5) thuộc (S) và (d) song song với mặt phẳng (α) nếu giá của ): 3x – 2y + 2z + 3 = 0

Bài 57 Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0) Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với các cạnh của tứ diện ABCD

Vấn đề 3: Khoảng cách và góc Bài 58 Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z

  Tính khoảng cách từ A đến (d) Bài 59 Cho hai đường thẳng d1: x 2 y 1 z

 và d2: x y 1 z 1

a Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau

b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2

Bài 60 Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 3 = 0 và (Q): 4x – 3y + 4z + 2 = 0 Chứng minh rằng (d) song song với mặt phẳng (α) nếu giá của ): 2x – y – 2z – 2 = 0 Tính khoảng cách giữa (d) và (P)

Bài 61 Tính góc giữa hai đường thẳng sau

a d1: x 1 y 2 z 4

 và d2: x 2 y 3 z 4

 Bài 62 Cho đường thẳng d: x 1 y 1 x 3

 và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 10 = 0 Tính góc tạo bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P)

Bài 63 Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1)

a Tính góc giữa AD và mặt phẳng (ABC)

b Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD

c Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Tính thể tích của tứ diện ABCD

Bài 64 Cho tứ diện SABC có đỉnh S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5)

a Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC)

b Tính góc tạo bởi SC và AB

c Tính khoảng cách từ C đến (SAB)

d Tính khoảng cách từ C đến cạnh AB và khoảng cách giữa SA, BC

Vấn đề 4: Quan hệ nhiều yếu tố, hình chiếu và đối xứng

Bài 65 Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A(1; 4; –3) và đường thẳng d: x 2 y 1 z 1

Bài 66 Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng song song d1: x 1 y 3 z 2

d2: x 2 y 1 z 4

Bài 67 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1: x y 1 z 3

 và d2: x 1 y z 4

 Bài 68 Cho hai đường thẳng d1: x 2 y 1 z

 và d2: x y 1 z 1

  Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với d2

Bài 69 Cho điểm M(2; 3; 1) và đường thẳng d: x 1 y 2 z 1

a Tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của M lên (d)

b Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua (d)

Bài 70 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P) và điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P) biết

a (P): 2x – y + 2z – 6 = 0, M(2; –3; 5)

b (P): x – y + z – 4 = 0, M(2; 1; –1)

Bài 71 Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d: x 1 y 2 z 2

a Chứng minh đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc một mặt phẳng