01 phuong phap toa do khong gian ly thuyet 40 bai tap co giai

CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIANPHẦN I: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng Oxy t

CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

PHẦN I: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục

Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại O Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox, Oy, Oz lầnlượt là i, j, k  

II TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1 Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình là:

x a 2y b 2z c 2 R2

2 Phương trình: x2y2z22ax 2by 2cz d 0    với a2b2c2 d 0

là phương trình mặt cầu tâm I a; b;c , bán kính   R A2B2C2 D

3 Vị trí tương đối của mặt phẳng   và mặt cầu (S):

 d I,    R khi và chỉ khi   không cắt mặt cầu (S)

 d I,    R khi và chỉ khi   tiếp xúc mặt cầu (S)

 d I,    R khi và chỉ khi   cắt mặt cầu (S) (giao tuyến là một đường tròn) (H1)

V ĐIỀU KIỆN KHÁC: (Kiến thức bổ sung)

1 Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA kMB 

A B C  được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.0

 Phương trình mặt phẳng  P : Ax By Cz D 0    với A2B2C2  Có vectơ pháp0

tuyến là nA;B;C

 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M x ; y ;z và nhận vectơ 0 0 0 0 nA; B;C , n 0  làm véctơpháp tuyến có dạng  P : A x x  0B y y  0C z z  0 0

 Nếu (P) có cặp vectơ aa ;a ;a , b1 2 3 b ;b ; b1 2 3 không cùng phương, có giá song

song hoặc nằm trên (P) Thì véctơ pháp tuyến của (P) được xác định na, b

1 Các trường hợp riêng của mặt phẳng:

Trong không gian Oxyz cho mp  : Ax By Cz D 0    , với A2B2C2  Khi đó:0

 D 0 khi và chỉ khi   đi qua gốc tọa độ

 A0; B 0;C 0;D 0   khi và chỉ khi   song song với trục Ox

 A0; B 0;C 0;D 0   khi và chỉ khi   song song mp(Oxy)

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho   : Ax By Cz D 0    và  ' : A ' x B' y C 'z D' 0   

Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M x ; y ;z và có0 0 0 0

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

Vậy MA MB đạt giá trị lớn nhất khi M, A, B' thẳng hàng hay M là giao điểm của đườngthẳng AB' với mặt phẳng (P)

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A 1;1;1; , 

x y z 2ax 2by 2cz d 0,a    b c  d 0

Do A, B, C và A' thuộc mặt cầu (S) nên:

C. x 2 2y 3 2z 2 2 9 D. x 2 2y 3 2z 2 2 9

Lời giải

 2  22

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm I 2;3; 2   và mặt phẳng  P : x 2y 2z 9 0   

Phương trình của mặt cầu (S) là x 2 2y 3 2z 2 2 9 Viết phương trình của mặtphẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ?

Ví dụ 10: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (D) có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d  H 2 t;1 2t; t   

Gọi H' là điểm đối xứng với H qua A  H ' 5;1;13 

là vectơ pháp tuyến của (P)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A có vectơ pháp tuyến n1; 1; 1   có dạng

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính R của (S) là khoảng cách từ tâm A của (S)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x 7 2y 4 2z 6 24

Chọn đáp án C

Ví dụ 17: Trong không gian Oxyz, cho điểm I 7; 4;6 và mặt phẳng    P : x 2y 2z 3 0   

  S : x 7 2y 4 2z 6 2 4, d là đường thẳng đi qua I và  P Tìm tọa độ tiếpđiểm của (d) và (S) ?

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P)

Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud np 1; 2; 2 

Ví dụ 19: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P : 2x y 2z+1=0  và hai điểm

đường thẳng (d) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho AM 2 30 ?

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G 4;0; 2 Ta có: AG   6

Mặt cầu cần tìm có tâm A và bán kính AG 6 nên có phương trình:

x 2 2y 1 2z 3 2 6

Chọn đáp án B

Ví dụ 24: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A 2;1; 1 , B 1;3;1 ,C 1;2;0       Viết phươngtrình mặt phẳng qua A và vuông góc vsơi đường thẳng BC tại H và tính diện tích tam giácABH?

Chọn đáp án D

Ví dụ 25: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A 2;1; 1 , B 1;3;1 ,C 1;2;0       Phương trình

mặt phẳng  P : x y z 2 0    qua A và vuông góc với đường thẳng BC tại H Tính diệntích tam giác ABH ?

Ví dụ 26: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;3; 2 ; B 3;7; 18      và mặt phẳng (P)

có phương trình 2x y z 1 0    Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B vàtìm giao điểm cảu đường thẳng d với mặt phẳng (P)

Ví dụ 34: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : 6 x 3 y 2 z 1 0    và mặt cầu

  S : x 3 2y 2 2z 1 2 25 Tìm tọa độ tâm của đường tròn giao tuyến của mặtphẳng (P) và mặt cầu (S)

Tâm của đường tròn giao tuyến H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) Đường thẳng d qua I

và vuông góc với (P) có phương trình

Ví dụ 35: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 2;1;0 , B 0;3; 4 và     C 5;6;7 Tính 

khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Lời giải

Gọi M là trung điểm của AB, ta có M 1; 2; 2 

Mặt phẳng (P) vuống góc với AB tại M là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB Do

giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d ?