dãy tỉ số bằng nhau

Lớp 7 các em đã đ-ợc học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tỉ lệ thức, các tính chất của các tỉ lệ thức tuy nhiên hầu hết các em cha nắm vững kiến thức cơ bản, còn hiểu lơ mơ về tính chấ

A - Đặt vấn đề

1 Lời mở đầu:

ở trờng phổ thông, dạy toán là một hoạt động toán học Đối với học sinh, có thể xem giải toán là một hoạt động đóng vai trò chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập là các phơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực t duy, hình thành và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo Hoạt động giải bài tập là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trờng phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với việc nâng cao chất lợng dạy và học Toán, đồng thời góp phần rèn luyện và phát triển trí tuệ cho học sinh

2 Thực trạng:

Khi dạy môn Toán tôi nhận thấy việc phát hiện, tìm tòi, suy luận để tìm ra h-ớng giải cho một bài toán của các em còn rất yếu, nguyên nhân chủ yếu là do các em cha biết cách phân loại, hệ thống kiến thức cũng nh mức độ khó của từng dạng bài tập và tìm ra cách giải phù hợp nên các em thờng rất mông lung khi gặp một dạng mới, một dạng biến đổi của các bài toán đặc trng Đối với các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau lớp 7 là một ví dụ, đây là một trong những dạng toán mà các hầu hết các em đều cảm thấy bỡ ngỡ và mông lung khi gặp phải Lớp 7 các em đã

đ-ợc học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tỉ lệ thức, các tính chất của các tỉ lệ thức tuy nhiên hầu hết các em cha nắm vững kiến thức cơ bản, còn hiểu lơ mơ về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, cha xây dựng đợc đờng lối giải bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ

số bằng nhau, phần đa các em cha biết áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nh thế nào cho đúng, hay cần phải biến đổi dãy tỉ số cho trớc nh thế nào để có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào bài toán cụ thể, vì vậy các em cho rằng đây là dạng toán khó, rắc rối và việc liên hệ giữa kiến thức cơ bản với phơng pháp giải các bài tập cha đợc hình thành, hơn nữa khả năng t duy liên hệ lý thuyết của các em còn kém

Qua giảng dạy và lắng nghe thông tin phản hồi từ các em kết hợp với công tác

dự giờ rút kinh nghiệm, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp tôi đã phần nào rút ra

đợc nguyên nhân và cách giải quyết vấn đề giúp các em dễ dàng phân loại dạng bài tập loại này để có hớng giải phù hợp với điều kiện bài cho

3 Kết quả:

Từ thực tế giảng dạy và qua khảo sát -kiểm tra đánh giá bớc đầu tôi thu đợc kết quả kiển tra nh sau:

Kết quả khảo sát- kiểm tra chất lợng giữa học kỳ I toán 7 – năm học 2007 –2008 Trờng THCS Nga Tân

4 Giải pháp thực hiện:

Vấn đề đặt ra đối với đa phần học sinh và mục đích chính trong sáng kiến này là h-ớng dẫn học sinh phân loại dạng bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài tập bằng cách áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau hay lập đợc các

tỉ số mới từ các tỉ số đã cho trong đó số hạng trên hoặc số hạng dới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán Vì thế tôi đã phân loại các bài toán

sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nh sau nhằm giúp các em có một cái nhìn sâu hơn về cách giải các bài tập dạng này

Từ thực trạng kết quả trên là tôi đã phân loại các bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ra các dạng cụ thể và cách giải của từng dạng để qua đó học

sinh có thể đễ dàng tiếp thu và vận dụng vào các bài tập Đó là:

Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.

Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sau khi đã lập đợc các tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho để sử dụng đợc dữ kiện bài toán.

Dạng 3: Dạng bài tập có sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà phần điều kiện cho thêm các biến có dạng luỹ thừa.

STT Lớp Sĩ

Số

Kết quả

Dạng 4: Từ dữ kiện bài cho rút ra đợc dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính chất

dãy tỉ số bằng nhau giải

Dạng 5: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh sự tồn tại của các dãy tỉ số mới từ các tỉ số ban đầu.

Dạng 6: Dạng bài tập không sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhng học sinh hay nhầm lẫn.

Từ việc phân lại nh trên và giới thiệu cho các em tôi thấy qua các tiết học các

em tiếp thu kiến thức và áp dụng vào các bài tập cụ thể tốt hơn, các em có thể thi đua nhau tìm cách giải cho một bài tập dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau làm cho không khí tiết học sôi nổi, vui vẻ hơn, không còn gò bó nặng nề, các em tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng

* Với học sinh đại trà: Sau khi học xong phần này các em nắm chắc và biết

cách giải các bài toán Dạng1, Dạng 2 , Dạng 4 và Dạng 6

* Với học sinh khá giỏi: Các em nắm đợc cả 6 dạng và có những cách giải

khác nhau cho những bài toán dạng này

B Giải quyết vấn đề:–

I Về kiến thức:

Yêu cầu các em cần nhớ:

* Về tỉ lệ thức:

+ Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số

d

c b

a = hoặc a:b=c:d(b≠ 0 ;d ≠ 0 )

(a,b,c,d là các số hạng của tỉ lệ thức, a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c

là các số hạng trong hay trung tỉ )

+ Các tính chất của tỉ lệ thức:

d

c b

(tích các ngoại tỉ bằng tích các trung tỉ)

+ Nếu ad =bcvà a,b,c,d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

a

b c

d a

c b

d d

b c

a d

c b

(hoán vị các trung tỉ, các ngoại tỉ, cả trung tỉ và ngoại tỉ ta sẽ đợc một tỉ lệ thức mới)

* Về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

+ Từ dãy tỉ số

d

c b

a

= hoặc b a =d c = e f Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

*

d b

c a d b

c a d

c b

a

−

−

= +

+

=

=

−

−

−

−

= + +

+ +

=

=

=

f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b

a

Lu ý: Nếu đặt dấu “- ” trớc số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “-” trớc số

hạng dới của tỉ số đó

II Về ph ơng pháp giải bài tập:

Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.

Dạng này tập trung chủ yếu vào đối tợng học sinh trung bình, yếu để các em củng cố và khắc sâu hơn kiến thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau

VD1: Tìm x,y biết:

a)

5

2

y

5 2

y

x = và x−y= 6

Cách giải:

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

a)







=

=

=

=

⇒=

= +

+==

15 5.3

6

2.3 3

7

21 52 5

x yx

y

x

b)







−=

−=

−=

−=

⇒−=

−

=

−

−==

10 5.2

4

2.2 2

3

6 52 5

x yx

y

x

VD2: Tìm x,y,z biết:

a) 2x = 3y = 4z và x+y+z= 18; b) 2x = 3y =4z và x−y−z = 15

Cách giải:

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

a)









=

=

=

=

=

=

⇒

=

= ++

+ +

=

=

=

8 4.2

6 3.2

4

2.2 2

9

18 4 3 2 4 3

2

z y

x z

y x z y x

b)









−=

−=

−=

−=

−=

−=

⇒−

=

−

=

−−

−

−

=

=

=

12 4.3

9 3.3

6

2.3 3

5

15 4 3 2 4 3

2

z y

x z

y x z y x

Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết a x =b y =c z và mx+ny+pz=d

Với a,b,c,d là các số cho trớc và m= ± 1 ;n= ± 1 ;p= ± 1

Phơng pháp giải là: ta chỉ cần áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau

để giải

Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sau khi đã lập đợc các tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho để sử dụng đợc dữ kiện bài toán.

VD1: Tìm x, y biết:

a) 2x = 3y và 5x+ 3y= 38; b) 2x = 3y và 2x− 3y= 10

ở đây học sinh sẽ băn khoăn vì không biết làm thế nào để áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Gợi ý: Vì bài cho điều kiện câu a) 5x+ 3y= 38 nh vậy muốn sử dụng dữ kiện này thì

từ dãy tỉ số 2x =3y ta phải biến đổi sao cho xuất hiện tỉ số mới bằng tỉ số đã cho trong

đó các số hạng trên của nó có dạng 5x và 3y

Cách giải:

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

a)







=

=

=

=

⇒=

= +

+

=

=

==

6 3.2

4

2.2 2

19

38 9 10

3

5 9

3 10

5 3

x y

x y x y x

b)







−=

−=

−=

−=

⇒−

=

−

=

−

−

=

=

==

6 3.2

4

2.2 2

5

10 9 4

3

2 9

3 4

2 3

x y

x y x y x

VD2: Tìm x, y,z biết:

a)

5

4

3

z

y

x = = và x+ 2y+ 4z= − 93; b)

5 4 3

z y

x = = và − 2x+y− 3z = 34

Cách giải:

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

a)









=

−=

=

−=

=

−=

⇒

−=

−=

+ +

+ +

=

=

=

=

=

15 5.3

12 4.3

9

3.3 3

31

93 20 8 3

4

2 20

4 8

2 5 4

3

z y

x z

y x z y z y x

b)









−=

−=

−=

−=

−=

−=

⇒

−=

−

=

− +

−

− +

−=

=

=

=

=

10 5.2

8 4.2

6

3.2 2

17

34 15 4 6

3

2 15

3 6

2 5 4

3

z y

x z

y x z x z y x

Dạng này học sinh rất dễ nhầm lẫn( đôi khi không biết vậy thì khi nào thì đặt dấu “-” trớc tử hay mẫu của tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau)

Nhấn mạnh: Dấu “-” đặt trớc số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt trớc số hạng dới

của tỉ số đó

Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết a x =b y =c z và mx+ny+pz=d

Với a,b,c,d là các số cho trớc và m≠ ± 1 ;n≠ ± 1 ;p≠ ± 1

Phơng pháp giải nh sau:

Từ a x =b y =c z⇒ma mx =nb ny = pc pz

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ sốma mx = nb ny = pc pz ta đợc

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz

nb

ny

ma

mx

+ +

= + +

+ +

=

=

=

Dạng 3: Dạng bài tập có sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà phần điều kiện cho thêm các biến có dạng luỹ thừa.

VD1: Tìm x,y biết:

a)

3

2

y

3 2

y

x = và 2x2 − 3y2 = − 19

Đến đây học sinh thấy ở phần dữ kiện bài toán có xuất hiện luỹ thừa của các biến Vậy phải biến đổi dãy tỉ số trên nh thế nào để sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau?

Gợi ý: Vì ở điều kiện bài cho x2 + 2y2 = 44 có luỹ thừa bậc hai của cả x và y nên để suất hiện hai luỹ thừa này ta có thể bình phơng các tỉ số của dãy tỉ số đã cho lên

Cách giải:

a) Ta có:

9 4 ) 1 ( 3 2

2

2 y x y

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:









±=

⇒=

±=

⇒=

⇒=

= +

+=

=

=

3 9

2

4 1 22

22 18 4

2 18

2 9

2 2

2 2 2 2

y y

x x y

x y y x

kết hợp với (1)







=

=

⇒

3

2

y

x

hoặc







−=

−=

3

2

y x

b) Ta có:

9 4 ) 1 ( 3 2

2

2 y x y

x

=

⇒

=

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:







±=

⇒=

±=

⇒=

⇒=

−

−=

−

−

=

=

=

=

3 9

2

4 1

19

19 27 8

3

2 27

3 8

2 9

2 2

2 2 2 2

2

y y

x x y

x y x y

x

kết hợp với (1)







=

=

⇒

3

2

y

x

hoặc







−=

−=

3

2

y x

VD2: Tìm x, y,z biết:

a)

5

4

3

z

y

x = = và x2 + 2y2 + 4z2 = 141

b)

5

4

3

z

y

x = = và − 2x2 +y2 − 3z2 = − 77

Cách giải:

a) Từ

25 16 9 ) 1 ( 5 4 3

2 2

2 y z x

z y x

=

=

⇒

=

=

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:











±=

⇒

=

±=

⇒

=

±=

⇒

=

⇒

=

= + +

+ +

=

=

=

=

=

5 25

4 16

3 9 1

141

141 100 32 9

4

2 100

4 32

2 25 16

2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

z z

y y

x

x z

y x z y z y

x

kết hợp với (1)









=

=

=

⇒

5 4 3

z y

x

hoặc









−

=

−

=

−

=

5 4 3

z y x

b) Từ

25 16 9 ) 1 ( 5 4 3

2 2

2 y z x

z y

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:











±=

⇒

=

±=

⇒

=

±=

⇒

=

⇒

=

−

−=

− +

−

− +

−=

=

=

=

=

5 25

4 16

3 9

1 77

77 75 16 18

3

2 75

3 18

2 25 16

2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

z z

y y

x

x z

y x z x z y

x

kết hợp với (1)









=

=

=

⇒

5 4 3

z y

x

hoặc









−

=

−

=

−

=

5 4 3

z y x

Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết a x =b y =c z và mx k +ny k +pz k =d

Với a,b,c,d,m,n, p,d,k là các số cho trớc và k∈N

Phơng pháp giải nh sau:

k k k k k

pc

pz nb

ny ma

mx c

z

b

y

a

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số k

k k

k k

k

pc

pz nb

ny ma

k k k k k k

k k k k k k

k

k

k

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz

nb

ny

ma

mx

+ +

= + +

+ +

=

=

=

Dạng 4: Từ dữ kiện bài cho rút ra đợc dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính chất

dãy tỉ số bằng nhau giải

VD1: Tìm x, y,z biết:

3

2

z y

y

3 2

z y y

x = = và − 2x+y− 3z= − 47

ở dạng này học sinh sẽ thấy bài cho hoàn toàn cha có dãy tỉ số bằng nhau, vậy làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau từ các tỉ lệ thức trên

Gợi ý: Vì ở cả hai tỉ lệ thức đều có y, vậy nên ta sẽ biến đổi hai tỉ lệ thức trên sao cho

chúng sẽ có cùng một tỉ số chứa y bằng cách chia cả hai vế của hai tỉ lệ thức trên cho

số nào đó để cả hai tỉ lệ thức thu đợc đều có tỉ số chứa y nh nhau tức là các mẫu của

các tỉ số chứa y sẽ là BCNN của các mẫu số ban đầu chứa y Cụ thể: Biến đổi để các

tỉ số chứa y ở câu a) có mẫu là BCNN(3;4) còn ở câu b) có mẫu là BCNN(3;2)

Cách giải:

a) Từ

15 12

8 15 12 5 4

12 8 3

z y z y

y x y x

=

=

⇒













=

⇒

=

=

⇒

=

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:









−=

−=

−=

⇒

−=

−=

+ +

+ +

=

=

=

15 12

8 1

92

92 60 24 8

4

2 15

12

8

z y

x z

y x z

y

x

b) Từ

15 6

4 15 6 5 2

6 4 3

z y z y

y x y x

=

=

⇒













=

⇒

=

=

⇒

=

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:









=

=

=

⇒

=

−

−=

− +

−

− +

−=

=

=

15 6

4 1

47

47 45 6 8

3

2 15 6

4

z y

x z

y x z y

x

VD2: Tìm x, y,z biết:

a)

5

4 4

3

3

2x = y = z và x+ 2y+ 4z= 220; b)

5

3 4

5 3

2x = y = z và − 2x+y− 3z = 216

ở đây vì dãy tỉ số đã cho có dạng không thuận tiện cho việc áp dụng tính chất dãy tỉ

số bằng nhau Vậy làm thế nào để sử dụng dãy tỉ số bằng nhau đã cho cho phù hợp

Gợi ý: Ta nên ta chia các tỉ số đó cho BCNN của các hệ số của tử số

Cụ thể Câu a) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;3;4)=12

Câu b) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;5;3)=30

Cách giải:

15 16 18 5

4 4

3 3

=

=

⇒

=

=

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:









=

=

=

=

=

=

⇒

=

= + +

+ +

=

=

=

30 15.

2

32 16.

2

36 18.

2 2 110

220 60 32 18

4

2 15 16

18

z y

x z

y x z y x

50 24 45 5

3 4

5 3

2x = y = z ⇒ x = y = z

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:









−=

−=

−=

⇒

−=

−

=

− +

−

− +

−

=

=

=

50 24

45 1

216

216 150 24 90

3

2 50 24

45

z y

x z

y x z

y x

VD3: Tìm x, y biết:

a) 5x= 7y và x+ 2y= 51; b) a.x=b.y(a ≠ 0 ,b≠ 0 ,b≠a)và x−y=b−a

Cách giải:

a) Từ

5 7 7

5x= y⇒ x = y

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:







=

=

⇒=

= +

+=

=

15

21 3

17

51 10 7

2 5

x y

x y

x

b) Từ

a

y b

x y b x

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:





=

=

⇒=

−

−=

−

−=

=

a y

b

x a

b

a

b a b

y

x a

y

b

x

1

Dạng 5: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh sự tồn tại của các dãy tỉ số mới từ các tỉ số ban đầu.

VD: Cho tỉ lệ thức: (a,b,c,d 0 ;a b;c d)

d

c b

a

±

≠

±

≠

≠

=

Chứng minh rằng:

a) a b+b =c+d d;a a−b =c−c d ; b)a a b b =c c−+d d

− +

Cách giải:

Từ

d

b c

a d

c b

a = ⇒ = áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

d c

b a d c

b a d

b

c

a

−

−

= +

+

=

=

a) Từ

d

d c b

b a d c

b a d

+

+

=

Từ c a c a d b ⇒ a a−b = c−c d

−

−

=

b) Từc a d b c a d b a a b b = c c−+d d

−

+

⇒

−

−

= + +

Dạng 6: Dạng bài tập không sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhng học sinh hay nhầm lẫn.

VD: Tìm x,y,z biết:

a) 2x = 3y và xy = 12; b) 2x = 3y =4z và xyz = − 48

Dạng này học sinh rất hay nhầm lẫn vì các em thấy có xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau

ở phần đầu, vì thế đa số các em áp dung luôn tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải

Ví nh các em đã giải nh sau:

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:







=

=

⇒=

=

==

6

4 2

6

12 6 3

x xy

y

x

b)









−=

−=

−=

⇒

−=

−=

=

=

=

8 6

4 2

24

48 24 4 3

2

z y

x xyz

z y x

Tuy nhiên kết quả trên không đợc chấp nhận vì tính chất dãy tỉ số bằng nhau không

đúng đối với phép nhân Vì vậy với dạng này các em nên giải nh sau:

Cách giải:

a) Đặt x y k x 2k;y 3k

3

Thay x= 2k;y= 3k vào xy = 24 ta đợc:

2 4

24 6

3

.

2k k = k2 = ⇒k2 = ⇒k = ±

-Với k= 2 ⇒x= 4 ;y= 6

-Với k = − 2 ⇒x= − 4 ;y= − 6

b) Đặt x y z k x 2k;y 3k;z 4k

4 3

Thay x = 2k;y = 3k;z = 4k vào xyz = − 48 ta đợc:









=

=

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

=

4 3

2 1

1 24

24 4.

3.

z y

x k

k k

k k

k

Vậy các giá trị x,y,z thoả mãn bài toán là: x=-2; y=-3; z=-4

Lu ý: Cách giải này học sinh có thể áp dụng cho hầu hết các bài toán áp dụng tính

chất dãy tỉ số bằng nhau ở trên, tuy nhiên trong quá trình giải bài tập cụ thể các em

có thể chọn lựa phơng pháp giải phù hợp nhất với bài

C- Kết luận:

1 Kết luận:

Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu và áp dụng sáng kiến trên vào công tác giảng dạy Toán ở trờng THCS tôi nhận thấy từ chỗ các em còn bỡ ngỡ, mơ hồ, cha hiểu, cha định hớng đợc phơng pháp giải các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì sau khi thể hiện sáng kiến trên học sinh đã nắm vững đợc tính chất dãy tỉ số bằng nhau và biết cách phân loại các bài tập loại này ra các dạng cụ thể để vận dụng đúng cách giải và bài Trên cơ sở đó nhen nhóm dần cho học sinh lòng ham mê, niềm tin vào khả năng của bản thân mình trong việc học toán, tự tin vào việc tiếp thu kiến thức mới và Vậy các giá trị x, y thoả mãn bài toán là:







=

=

6

4

y

x

và







−=

−=

6

4

y x

còn tự tìm đợc các phơng pháp giải khác nữa

Qua kết quả kiểm tra cuối học kỳ tôi thấy rằng kết quả học tập của các em đã

đợc năng lên rõ rệt Kết quả kiểm tra cuối kì nh sau:

Kết quả khảo sát chất lợng môn toán 7 năm học 2007-2008 sau khi học xong phần này nh sau:

2 Đề xuất:

STT Lớp Sĩ

Số

Kết quả