sknn " phat trien tu duy cho HS Qua BDT"

Lý do chọn đề tài: Trong dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp giảng dạy phù hợp với trình độ học sinh đại trà và bồi dỡng cho học sinh khá giỏi trong các triết tự chọn vàtrong

Phần A : Mở đầu

I Lý do chọn đề tài:

Trong dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp giảng dạy phù hợp với trình

độ học sinh đại trà và bồi dỡng cho học sinh khá giỏi trong các triết tự chọn vàtrong ôn luyện học sinh giỏi, trang bị cho các em những kiến thức cơ bản nhữngphơng pháp giải toán là một yêu cầu rất quan trọng, đòi hỏi ngời giáo viên phảibiết lựa chọn, phối hợp tốt các phơng pháp giảng dạy Việc lựa chọn những ví dụ

điển hình mang bản chất minh hoạ lí thuyết, hệ thống các bài tập cơ bản, khôngnhững khắc sâu kiến thức mà còn phát triển t duy là rất quan trọng

Thông qua dạy học toán, ngời học đợc cung cấp những kĩ năng tính toán, nhữngthao tác t duy, đặc biệt là có điều kiện rèn luyện và phát triển t duy lôgíc Điềunày đợc thể hiện rõ trong việc giải các bài tập toán, mà đặc biệt là việc giải các bàitoán bất đẳng thức, nó là điều kiện tốt để phát triển những phẩm chất nói trên Thực trạng hiện nay học sinh học ở các trờng THCS khi giải các bài toán có liênquan đến bất đẳng thức, các em thờng gặp phải những khó khăn và rất lúng túngtrong việc xác định đợc các cách giải nguyên do là:

- Thời lợng và kiến thức đa vào chơng trình THCS tơng đối ít, không liền mạch,phơng pháp giải còn hạn chế Giáo viên khi dạy về vấn đề này thờng chỉ chữa cácbài tập chứ ít chú ý đến việc khai thác, phân tích, đa ra phơng pháp giải cho từngdạng toán cơ bản nhằm phát triển t duy cho học sinh

- Học sinh thờng ngại giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, việc tìm rahớng giải còn gặp nhiều khó khăn, việc áp dụng các bất đẳng thức cơ bản chathuần thục, xét các trờng hợp còn sai, lời giải lập luận cha khao học, cha rõ ràng

- Qua tìm hiểu thực tế, từ giảng dạy một số lớp trong các tiết luyện tập, các tiết

tự chọn, trong quá trình dạy ôn các đội tuyển học sinh giỏi, bản thân tôi đã tíchluỹ đợc một số kinh nghiệm phát triển t duy cho học sinh THCS qua bài toán bất

đẳng thức, tôi xin đợc trình bày ở đây một chút hiểu biết ở góc độ nhỏ, luôn mongmuốn những vấn đề này sẽ là kinh nghiệm bổ ích cho bản thân và các đồng nghiệptham khảo trong các giờ dạy cho lớp đại trà và bồi dỡng học sinh khá giỏi

II Mục đích nghiên cứu:

1 Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giảicác bài tập liên quan đến bất đẳng thức nói riêng, nhằm trang bị cho các em một

số kiến thức cơ bản về cách giải bài toán liên quan đến bất đẳng thức, các phơngpháp giải này làm công cụ cho các em phát huy tính sáng tạo trong việc giải các

bài toán liên quan từ rễ đến khó và phức tạp hơn, từ đó các em có thể áp dụngtrong các bài toán nh:

giải phơng trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức…

2 Tập cho học sinh có hứng thú khi giải các bài tập trong SGK, các tài liệu thamkhảo, giúp học sinh tự giải đợc các bài tập liên quan trong các kì thi học sinh giỏi,thi vào các trờng chuyên, thi vào trờng PTTH đồng thời trang bị cho các em nhữngkiên thức mở đầu làm nền tảng cho sau này học lên các lớp trên và chuẩn bị chothi vào các trờng chuyên nghiệp

3 Giải đáp đợc một số thắc mắc, sai lầm hay gặp ở giải bài toán bất đẳng thức

4 Nh tôi đã nói ở trên, nghiên cứu đề tài này cũng là một nội dung giáo án soạngiảng một chuyên đề tự chọn môn Toán cho học sinh khối 8, 9 Đồng thời cũng làmột nội trong giáo án bồi dỡng học sinh cácđội tuyển học sinh Toán THCS hàngnăm mà tôi đang trực tiếp ôn luyện

III Đối tợng nghiên cứu:

Đối tợng nghiên cứu của đề tài này hớng tới học sinh học môn Toán Trung họccơ sở Đặc biệt là học sinh khối 8, 9 và học sinh trong các đội tuyển học sinh giỏimôn Toán cuối cấp

Vi Những đóng góp về mặt lý luận, thực tiễn của đề tài:

Phần B: nội dung

I Thực trạng vấn đề:

Thực trạng hiện nay học sinh học ở các trờng THCS khi giải các bài toán cóliên quan đến bất đẳng thức thì các em thờng gặp phải những khó khăn và rất lúngtúng trong việc xác định đợc các cách giải nguyên do là:

Thời lợng và kiến thức đa vào chơng trình THCS tơng đối ít, không liền mạch,phơng pháp giải còn hạn chế Giáo viên khi dạy về vấn đề này thờng chỉ chữa cácbài tập chứ ít chú ý đến việc khai thác, phân tích, đa ra phơng pháp giải cho từngdạng toán cơ bản

Học sinh thờng ngại giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, việc tìm ra ớng chứng minh còn gặp nhiều khó khăn, cách trình bày cha logíc còn dài dònglời giải cha chặt chẽ, việc áp dụng các bất đẳng thức cơ bản cha thuần thục, xétcác trờng hợp khoảng nghiệm còn sai, lời giải lập luận cha khao học, cha rõ ràng Qua tìm hiểu thực tế, từ giảng dạy một số lớp trong các tiết luyện tập, các tiết

h-tự chọn, trong quá trình dạy ôn các đội tuyển học sinh giỏi trong những buổi đầuchất lợng học sinh còn nhiều hạn chế

(hoặc chứng minh A  B  ta chứng minh A – B  0 )

Đồng thời phải đi tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra ( A- B = 0 )

2 2

2 2

=

=

1

1 1 2

) 1 (

2

2 2

2

2 2

Do đó

1

2

2 2

Nhận xét : So với các ví dụ đã trình bày ở trên, yêu cầu học sinh biến đổi thành

bình phơng của tổng hoặc hiệu của hai số, thì trong ví dụ này nếu học sinh biến

đổi thành bình phơng của tổng, hoặc hiệu hai số thì tơng đối khó nhng biến đổi, đểtạo thành bình phơng của tổng 3 số thì đơn giản hơn nhiều Qua ví dụ này, nhằmtạo cho học sinh có hớng t duy sáng tạo đôi khi cần tạo thành bình phơng của haihay nhiều số Ví dụ đối với học sinh khá giỏi để phát huy tính t duy sáng tạo ta cóthể yêu cầu các em chứng minh bài toán ở mực độ cao hơn nh:

Ví dụ: Cho a, b, c thỏa mãn abc = 1 , a3 > 36 Chứng minh rằng:

Đối với ví dụ đã trình bày ở trên ta có thể sử dụng nhiều cách để chứng minh,

nh áp dụng các BĐT riêng…Song bằng phơng pháp này thì các em học sinh rễhiểu hơn và có thể áp dụng để chứng minh các bài toán khác tơng tự hoặc khó hơnnữa

Đối với dạng toán nh các ví dụ trên , ta nên chuyển vế theo định nghĩa sau đó

ta tách hoặc thêm bớt các số hạng để đa về dạng bình phơng của một tổng hoặcbình phơng của một hiệu, của hai hay nhiều số rồi đa ra câu kết luận

2 1



Chứng minh rằng :

b a

b a





b c

b c

2 1

  b =

c a

b a





c a

ac a

c a

ac a







 2 2

2

=

c a

ac ac a

c a

ac ac a

b c

b a





b c

b c

a

2

4 ) 2 (

) (

c a

( vì (a + c)2

 4ac) Dấu “=” xảy ra khi a = c = b

Vậy:

b a

b a





b c

b c

b c





2  4 ta đi chứng minh:

2 2

a(b a) b(a b)

0 (1 a )(1 ab) (1 b )(1 ab)

DÊu “=” x¶y ra khi a = b

VËy nÕu a, b > 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b = 1 th× (1 +

1

 0



) 1 )(

1 (

1 1

2

2

ab a

a ab

1 (

1 1

2

2

ab b

b ab

 a(b - a)(1 + b2) + b(a - b)(1 + a2)  0

 (a - b)[- a(1 + b2) + b(1 + a2)]  0

 (a - b)(- a - ab2 + b + ba2)  0

 (a - b)[ab(a- b) – (a - b)]  0

 (a - b)2(ab - 1)  0 (đúng vì (a - b)2

 0 và ab – 1  0 )Dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc ab = 1

2

với ab  1

Ví dụ : Cho ba số dơng a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 =

3 5

 2(ac + bc - ab) 

3 5

Dấu “=” xảy ra khi x – 2y = - 2 hoặc x – 2y = 3

rút x hoặc y thay vào (1), ta có (-2; 0) và (- 26/9; - 4/9)

Vậy nếu x, y thỏa mãn x2 + 5y2 – 4xy – x + 2y – 6 = 0

Thì - 1  x – 2y + 1  4

Kết quả và bàn luận :

Trong quá trình giảng dạy đối với phơng pháp biến đổi tơng đơng này, với những

ví dụ tôi đa ra từ đơn giản đến khó theo cấp độ tăng dần, tôi nhận thấy học sinhnắm bài tốt và các em vận dụng rất hiệu quả

1 (a + b)2  0 hoặc (a - b)2  0

Dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc a = - b

b

a   1

2 2



) (

VËy nÕu a, b > 0 tháa m·n a + b  0 th×

a  2

4

+

c a

b  2

4

+

a b

c  2

c b

a  2

c b

a  2

b  2

c  2

a  2

4

+

c a

b  2

4

+

a b

c  2



c b

b  2

4

+

a b

c  2

b  2

4

+

a b

c  2

Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng:

c b

a 

1

+

c b

a 

1

+

c b

a 

1

+

c b

a 

1

+

c b

a 

1

+

c b

2(

c b

a 

1

+

c b

a 

1

+

c b



c b

a 

1

+

c b

a 

1

+

c b

a 

1

+

c b

a 

1

+

c b



 2

 2 (a, b > 0) Đối với bài toán trên nếu các em dùng biện pháp biến

đổi tơng đơng thì rất phức tạp nhng nếu các em biết cách áp dụng một số BĐTriêng làm công cụ bài toán trở thành đơn giản hơn nhiều Qua đó nhằm khích lệcác em có những hớng t duy khác nhau trong khi chứng minh cùng một bài toán

Ví dụ : Cho x thỏa mãn

1

7 3

1

2 3

1

+

x

2 13

1

=

2 3

1

+

x

2 13

1

x x

Dấu “=” xảy ra khi 3x – 2 = 10 - x = 13 – 2x => x = 3 thỏa mãn điều kiện trên Vậy nếu x thỏa mãn

1

7 3

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =│2x - 5│+ │2x - 13│

Cách giải: áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối, ta có:

VÝ dô:

Cho 2a2 + b2 > 0 Chøng minh r»ng: 2 2

2a b

b a







2 2

2

1 2

1 2

b a

b a







2 2

2 2 2

2

2

] 1 ) 2

1 ][(

) 2 [(

b a

b a

2 2

2

) 1 2

1 )(

2 (

b a

b a

2 2

2

6 ).

2 ( 2 1

b a

b a

 y

) 1 ( 

 x

) 1 ( y

) 1 (  x y 

Cách 2: áp dụng BĐT phụ (BĐT Mincôpxki)

A = 2 ) 2

2

1 ( ) 2

1

2

1 ( ) 2

1 (x 

= 2 ) 2

2

1 ( ) 2

1

2

1 ( ) 2

1 ( ) 2

1 2

1 (x   x    4 = 2 (đpcm)

Câu b, c : Ta chứng minh tơng tự

Kết quả và bàn luận:

Khi các em đã nắm đợc phơng pháp chứng minh bằng các áp dụng một số BĐTcơ bản, hầu hết các em giải các bài toán với tốc độ nhanh hơn so với các phơngpháp sử dụng định nghĩa và biến đổi tơng đơng

4 Phơng pháp làm trội :

Đối với những bài tóan dạng này ta có thể làm tăng trội ở mẫu, hay làm trội ở tử

để so sánh hai phân số (phân thức với nhau)

m a

m a

-

5 , 3 1

VÝ dô: Cho a, b, c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng:

1 <

c b

a

 +

c a

b

 +

b a

a



 <

c b a

a a

a



 2

c b a

b



 <

c b a

b b

b



 2

c b a

c



 <

c b a

c c

c b a

c b a

a

 +

c a

b

 +

b a

c

 <

c b a

c b a

= 2

VËy: 1 <

c b

a

 +

c a

b

 +

b a



b

b +

2 2

2 2







b a

b a

1

2 2

2 2







b a

b a

2 2

b

a <

1

2 2



b

b +

2 2

1

b

) 1 (

2

2 2

2 2

b a

 1 <

1

2 2



b

b +

2 2



c b

a

 +

c a

b

 +

b a

a

 +

c a

b

 +

b a

x 

 a =

2

z y

x 

; c =

2

z y

x 

Ta cã:

c b

a

 +

c a

b

 +

b a

c

 =

x

z y x

a

 +

c a

b

 +

b a

3



c b

a

 +

c a

b

 +

b a

Giả sử các bất đẳng trên đều sai :

đồng thời đúng Vậy phải có ít nhất một đẳng thức trên là sai

Ví dụ: Cho ba số dơng a, b, c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng có ít nhất một trong

các bất đẳng thức sau là sai

Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn

Do đó có ít nhất một bất đẳng thức sai

Ví dụ: Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng

để áp dụng Trong quá trình giảng dạy, tôi đa phơng pháp này ra học sinh cảmthấy rễ hiểu và có thể áp dụng để giải các bài toán khác

6 Phơng pháp quy nạp toán học :

Cơ sở lí thuyết quy nạp:

để chứng minh an > b.n + c

* B ớc 1: Với n = 1 xét tính đúng đắn của bài toán

* B ớc 2: Giả sử bài toán đúng với: n = k => ak > b.k + c

* B ớc 3: Ta phải chứng minh bài toán đúng với: n = k + 1

* Bớc2: Giả sử bài toán đúng với: n = k (k  10), nghĩa là 2k > k3 (1)

* Bớc3: Ta phải chứng minh bài toán đúng với n = k + 1, nghĩa là ta chứngminh: 2k+1 > (k + 1)3

* Bớc 2: giả sử bài toán đúng với : n = k, nghĩa là k2 > k + 5 (1)

* Bớc 3: Ta phải chứng minh bài toán đúng với: n = k + 1, nghĩa là

7 Phơng pháp xét khoảng giá trị của biến :

Phơng pháp giải: Để chứng minh một đa thức F(x) > 0 (hoặc F(x) < 0) ta có

thể chia khoảng giá trị của biến để xét Từ đó, suy ra điều phải chứng minh đúng

trên toàn tập xác định

Ví dụ :

Chứng minh rằng: A= x8 – x7 + x2 – x + 1 > 0  x

8 Phơng pháp vận dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai:

phơng pháp giải: Đối với một số bài toán bất đẳng thức nhiều khi ta phải vận

dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai

+ NÕu  > 0 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt



3

3 2



 x 

3

3 2

Vấn đề dạy học nhằm phát triển t duy học sinh là yếu tố rất quan trọng trong cáctiết dạy nhằm vào đối tợng sinh khá và học sinh giỏi, phơng pháp này có tác dụngkích thích học sinh phát triển t duy, kích thích sự ham mê trong học toán, giúp các

em tự tin vào khả năng của bản thân, bởi vì những bài toán khó đều có cơ sở từnhững bài toán cơ bản đơn giản mà thôi hay từ một bài bất đẳng thức cơ bản ta cóthể phát triển nó trở thành bài toán khác tơng tự hay phức tạp tuỳ theo yêu cầu củangời dạy Sau đây là một vài ví dụ mà tôi đã và hay thực hiện trong các tiết dạynhằm phát triển t duy học sinh trong các tiết dạy

+ Thay đổi yêu cầu của bài toán để có các bài toán mới (đa về dạng cực trị, phơngtrình, phơng trình nghiệm nguyên, cực trị hình học…)

+ Đặc biệt hoá bài toán

+ Khái quát hoá - tổng quát hoá bài toán

+ Hệ thống những bài tập cho mỗi dạng

Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

1

2

2 2





x x

Bài toán 2: Tìm giá trị của x để

1

2

2 2

Đối với bài toán này, giáo viên có thể phát triển thành những bài toán sau:

Bài toán 1: Tìm giá trị của x để biểu thức:

B = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) đạt gí trị nhỏ nhất

Bài toán 2: Giải phơng trình (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = -1

Bài toán 3: Có hay không giá trị của x để (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = -15

Để giải đợc 3 bài toán này, ta áp dụng cách giải của ví dụ 2

Ví dụ 3: Cho x  1, y > 0 thỏa mãn x 1y2 + x 1 = y

3 4

Chứng minh rằng: x3

 64 125

Đối với bài toán này đã đợc trình bày cách giải ở phần trớc, ta có thể phát triểnthành các bài toán sau:

Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất của x để phơng trình:

x 1y2 + x 1 = y (x  1, y > 0) có nghiệm

Đối với học sinh khá, giỏi ta có thể đa ra yêu cầu cao hơn:

Nếu thay y bằng một biểu thức bất kì thoả mãn điều kiện của bài toán, thì ta sẽ

có bài toán khó hơn tuy nhiên cách giải vẫn không thay đổi

* Nếu y = 2a + 1 thì bài toán có dạng:

Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của x để phơng trình

* Từ bài toán trên ta có thể yêu cầu học sinh giải các bài toán tơng tự nh:

Bài toán 4: Tìm cặp (x, y) thoả mãn x(y2 + 1) = 2y2 – 2y, sao cho x đạt giá trịnhỏ nhất

Để giải đợc từ bài toán 1 đến bài toán 4 ta có thể vân dụng cách giải của ví dụ 3

ở đây yêu cầu của bài toán đã thay đổi, nhng cách giải không khác gì, qua đógiúp học sinh có suy nghĩ từ một bài toán cơ bản có thể vận dụng để giải các bàitoán có liên quan…

Bên cạnh đó ta có thể biên soạn các bài toán theo mức độ từ rễ đến khó, thôngqua đó giúp học sinh hiểu sâu sắc của vấn đề hơn

nh yêu cầu của bài toán giúp học nắm chắc bản chất của bài toán nh :

Bài toán 1: Chứng ming rằng n  N* Ta luôn có :

 9

b 1 a



b a

b a 9

b 1 a



b a

b a

Bài toán 2: Chứng minh rằng với n là số nguyên dơng bất kì thì :

Bài toán : Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số của số đó và tổng các chữ

* Để Klớn nhất  lớn nhất  1 + nhỏ nhất  lớn nhất

 b = 0, bằng cách thử ta thấy a = 9 thoả mãn bài toán

Vậy số cần tìm là 19

* Đôi khi chúng ta phát triển bài toán bằng cách thay đổi điều kiện, hoặc thay đổi

số hạng trong bài toán để đa ra bài toán khác hay hơn, phức tạp hơn Dới đây làmột số bài toán đã đợc phát triển theo hớng này: