Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8

Ví dụ: Giải bài tập sau: “Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm các đáy của hì

Ngô Thị Loan Giáo viên trường THCS Thọ Hải, Thọ Xuân

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI NÓI ĐẦU

Trong giai đoạn hiện nay, Đảng ta đã nhận định: “Cùng với khoa học và công nghệ cần phải đưa giáo dục và đào tạo trở thành quốc sách hàng đầu”;

“Giáo dục phải đào tạo những con người có trình độ cao về tri thức, phát triển cao về trí tuệ, thích ứng nhanh với sự phát triển mạnh mẽ của xã hội”

Để đáp ứng kịp thời sự phát triển ấy, giáo dục không chỉ cần đổi mới về nội dung mà còn cần phải đổi mới và hiện đại hoá cả về phương pháp dạy học

và phương tiện dạy học; giáo dục phải tiếp thu bằng nhiều cách khác nhau và bằng chính thái độ chủ động, tích cực sáng tạo của người học

Trong “Đổi mới giáo dục”, điều rất quan trọng là sự đổi mới về phương pháp Giáo dục phải chuyển từ “Cung cấp kiến thức” sang “Luyện cách tự mình tìm ra kiến thức” Vì vậy, giáo dục phải đề cao việc rèn óc thông minh sáng tạo, giảm sự “nhồi nhét”, “ghi nhớ” Giáo viên phải từ vị trí truyền thụ kiến thức chuyển sang vị trí người hướng dẫn học trò tự tìm lấy kiến thức; còn học trò, từ vị trí thụ động tiếp thu kiến thức, trở thành người chủ động tìm học, tự học, tự nghiên cứu để chiếm lĩnh kiến thức Dạy kiến thức phải phát huy lòng say mê ham thích học tập của người học Xét cho cùng, giáo dục là quá trình cung cấp kiến thức, hướng dẫn người học tìm kiến thức mới để làm

cơ sở cho sự phát triển năng lực tư duy và hành động

Đổi mới phương pháp dạy học (nói chung) phải phát huy tính tích cực trong dạy học, tích cực hoá hoạt động của người học Quá trình giáo dục là một quá trình nhận biết - thuyết phục - vận dụng để tiếp thu những kiến thức mới từ chưa biết, chưa biết sâu sắc, đến biết, biết sâu sắc và vận dụng vào thực tiễn, “phải biết kết hợp giữa học đi đôi với hành, học hành phải kết hợp với nhau; học và hành ở mọi lúc mọi nơi”, lý thuyết phải gắn với thực tế Người giáo viên phải thực hiện tốt nhiệm vụ thường xuyên, liên tục cập nhật đổi mới nội dung, phương pháp phù hợp với sự phát triển và những biến đổi

to lớn của thời đại

Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và dạy môn toán nói riêng, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học, đào tạo những con người yêu lao động, có vốn kiến thức hiểu biết sâu sắc về những thành tựu khoa học mới nhất, tiên tiến nhất trên thế giới

để hoà nhập với quốc tế trong xu hướng hiện nay

Từ lý do trên, tôi đã mạnh dạn tiến hành nghiên cứu chuyên đề “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8: Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Năm học 2010 – 2011 1

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.

- Quy luật của quá trình nhận thức là: Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng Song, quá trình nhận thức đó có đạt hiệu quả cao hay không, có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo của chủ thể

- Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có thiên hướng vươn lên làm người lớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức Ở độ tuổi học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau Các em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất

“Người lớn” Tuy nhiên, nhược điểm của các em là chưa nắm được các phương cách thực hiện các hình thức học tập mới Vì vậy, cần có sự hướng dẫn, điều chỉnh một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô

Lý luận về phương pháp dạy học đã cho thấy: Dạy học theo phương pháp mới, phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học

- Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo trong dạy học toán cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, thông qua nhiều năm học và thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học

- Hiện nay, trong nhà trường nói chung vẫn còn không ít học sinh lười học, lười tư duy trong quá trình học tập

- Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, chưa có những hoạt động đích thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động Trong những năm qua, các trường trung học cơ sở đã có những chuyển biến tích cực trong việc đổi mới phương pháp dạy học Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu, tìm tòi, khám phá kiến thức Song, mới chỉ dừng lại ở những bài tập cơ bản trong sách giáo khoa Định lý Talét là một phần kiến thức khó đối với các em, đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài tập

- Hậu quả của thực trạng trên là: Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập, học sinh còn gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng

Vậy, làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập

có nội dung mở rộng và nâng cao?

Ví dụ: Giải bài tập sau: “Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm các đáy của hình thang”

Khi chưa thực hiện loại bài tập này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả: Lúc đầu: 100% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiến thức nào để chứng minh Do đó, các em không giải được Sau đó, tôi gợi mở: “Bài toán đề cập đến hình thang mà không phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng ta có được gợi ý gì ?” Lúc này, đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùng định lý Talét (vì hình thang có 2 cạnh đáy song song) Nhưng các em cũng chưa thể giải được, bởi vì, để giải được bài tập này, không phải dùng trực tiếp

định lý Talét hay hệ quả của định lý Talét mà cần gián tiếp thông qua tính chất của chùm đường thẳng đồng quy

Tôi nghiên cứu, hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học sinh trong lớp đã xác định ngay được hướng chứng minh bài toán và có khoảng 60% - 70% học sinh chứng minh được Ngoài ra, các em còn có khả năng áp dụng chùm đường thẳng đồng quy vào giải một số bài tập khó hơn, phức tạp hơn Đặc biệt, các em còn biết áp dụng vào giải những bài tập như chứng minh đường thẳng vuông góc, các điểm thẳng hàng, tia phân giác, diện tích, nhất là các đường thẳng đồng quy Sau đây là phần trình bày nội dung

và các bước tiến hành chuyên đề của tôi:

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I - Bước thứ nhất: Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát hiện ra kiến thức mới tiềm ẩn trong kiến thức của sách giáo khoa mà các em đã biết:

1 Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa đã chứng minh được là:

a/ Định lý Talét trong tam giác:

* Định lý thuận: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác

và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

* Định lý đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định

ra trên hai cạnh này những đoạn thẳg tương ứng tỷ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

a // BC ⇔

AB AC

AB AC

AB AC

BB CC

BB CC

AB AC





b/ Hệ quả của định lý Talét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho

Năm học 2010 – 2011 BC 3

C B AC

AC AB

AB BC

a





∆

B’

ABC

2 Tìm hiểu thấy rằng:

Từ định lý Talét, đã chứng minh được hệ quả, vậy thì một vấn đề đặt ra là:

Từ đỉnh A của tam giác ABC ở trên ta kẻ thêm một số đường thẳng cùng cắt đường thẳng a và đường thẳng BC thì có những điều gì xảy ra Chẳng hạn từ

A ta vẽ thêm AD, D∈đường thẳng BC và AD cắt đường thẳng a tại D’

Ta có thể suy ra

CD

D C BC

C

B' ' ' '

=

vì cùng bằng

AC AC'

Ngược lại: Nếu có ' ' = ' ' =k(k ≠ 1 )

CD

D C BC

C B

thì ba đường thẳng BB’, CC’, DD’ đồng quy

tại một điểm A hay không? Nếu C là trung

điểm của BD thì C’ có là trung điểm của B’D’ hay không?

Từ những suy nghĩ đó, tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những bài

tập về đường thẳng đồng quy, các điểm thẳng hàng

Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học sinh có thể tích cực, độc lập suy nghĩ, tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổng hợp kiến thức cần thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói trên Sau đây là hệ thống các câu hỏi, bài tập cơ bản dẫn dắt học sinh II Bước thứ hai:

Xây dựng hệ thống bài tập, giúp cho học sinh tư duy phân tích tổng hợp, khái quát hoá kiến thức mới, từ đó làm cơ sở cho việc vận dụng khi giải bài tập * Bài số 1: Cho ba tia Ox, Oy, Oz cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt tại: A, A’ ∈ Ox ; B, B’ ∈ Oy ; C, C’∈ Oz Chứng minh rằng: ' ' ' ' AB BC A B = B C

A B C

Chứng minh:

A/ B/ C/ Xét tam giác OAB ta có: x y z

A B =OB (1) (Hệ quả của định lý Talét)

Xét tam giác OBC ta có:

B C =OB (2) (Hệ quả của định lý Talét)

Từ (1) và (2) suy ra:

' ' '

BC B

A

AB = (đpcm)

m

m/ O

* Bài số 2: Vấn đề đặt ra là:

Bài toán trên còn đúng không nếu có bốn tia Ox, Oy, Oz, Ot cắt hai đường thẳng song song m và m’ ? Hãy phát biểu và chứng minh bài toán

Đến đây học sinh đã có thể dựa vào bài toán 1 để trả lời; “Cho bốn tia

Ox, Oy, Oz, Ot cắt hai đường thẳng song song m và m’ tại các điểm theo thứ

tự tại A, A’ ∈ Ox; B, B’ ∈ Oy; C, C’∈ Oz; D, D’∈Ot.

Chứng minh rằng:

' ' ' ' ' '

AB BC CD

A B = B C =C D

A B C D

A/ B/ C/ D/

Chứng minh: x y z t

Tacó:

' ' ' '

AB BC

A B = B C (Như bài số 1)

' ' ' '

BC CD

B C =C D (Chứng minh tương tự bài 1)

Từ đó suy ra

' ' ' ' ' '

AB BC CD

A B = B C =C D (đpcm)

Đến đây đặt câu hỏi? Hãy phát biểu khái quát bài toán trên thành một tính chất?

HS trả lời: “Nếu các đường thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ”

GV giới thiệu với học sinh tính chất trên, chính là tính chất của ba đường thẳng đồng quy Sau đó giáo viên cho học sinh lập mệnh đề đảo và chứng minh (phát biểu thành bài toán đảo của bài toán trên) chính là nội dung của bài toán 3 sau đây:

* Bài số 3: Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m, m’

lần lượt tại A, A’ ∈ a ; B, B’ ∈ b ; C, C’∈ c sao cho ( 1 )

' ' '

C B

BC C

A AC

Chứng minh rằng các đường thẳng a, b, c đồng quy tại một điểm

Chứng minh:

Giả sử hai đường thẳng a, b cắt nhau tại

O, ta cần chứng minh đường thẳng c đi qua

O Gọi giao điểm của đường thẳng OC với

m’ là C” Khi đó, theo định lý thuận, ta có:

Năm học 2010 – 2011 5

m

m/ O

' ' '' B C

BC AC

AC = Mặt khác theo GT:

' ' '

' B C

BC C

A

AC

=

Từ đó suy ra A’C” = A’C’ và B’C’ = B’C” ⇒C ' C≡ '' Vậy c đi qua O hay a, b, c đồng quy tại O

Đến đây GV cho học sinh phát biểu khái quát bài toán trên

HS: “Nếu ba đường thẳng cắt hai đường thẳng song song và định ra trên hai đường thẳng đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy”

Như vậy, học sinh đã được phát triển tư duy độc lập, khái quát lên hai nội dung kiến thức cần thiết cho việc chứng minh một số bài tập có liên quan đến định lý Talét Đến đây GV cho học sinh làm bài tập vận dụng những điều vừa chứng minh được vào giải quyết bài tập

* Bài số 4: Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường

thẳng nối trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy.

Chứng minh:

Vì M là trung điểm của AB nên: MA = MB

Vì N là trung điểm của CD nên: NC = ND

từ đó suy ra:

NC

MB DN

Theo kết quả bài 3 ta được AD, BC, MN đồng

quy,

đến đây GV cho học sinh tiếp tục làm bài tập sau

đây

* Bài số 5: Chứng minh rằng: Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên, giao

điểm hai đường chéo và trung điểm của hai đáy thẳng hàng.

Chứng minh:

Gọi giao điểm của AD và BC là O ; giao

điểm của AC và BD là I Gọi M là trung điểm

của AB, N là trung điểm của CD

Ta có: O, M, N thẳng hàng (áp dụng bài 4)

Ta có I, M, N thẳng hàng (tương tự bài 4)

Suy ra: O, M, N, I thẳng hàng (đpcm)

Đây là bài toán, sau khi làm bài, 4 học

sinh đã làm được bài làm một cách dễ dàng

O

mà không cần phải gợi ý thêm gì cả Sau đó tôi cho học sinh làm bài toán mà tôi đã đặt vấn đề ở trên:

* Bài số 6:

a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang.

b/ Hãy nêu ra cách dùng chỉ một cái thước (không dùng com pa) để dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi cho một đường thẳng d song song với AB và dựng qua điểm M cho trước một đường thẳng song song với đoạn thẳng AB cho trước mà đã biết trung điểm I của AB.

Lời giải:

a/ Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD,

BC cắt nhau tại E và hai đường chéo AC, BD cắt

nhau tại F Gọi giao điểm của EF với AB, CD theo

thứ tự là M, N Với hai đường thẳng song song

AB, CD và ba đường thẳng đồng quy ED, EN, EC

ta có

NC

MB DN

AM = ,

Do đó

NC

DN MB

AM = (1) Với hai đường thẳng song

song AB, CD và ba đường thẳng đồng quy AC,

MN, BD

Ta có

DN

MB NC

AM

= , do đó

ND

NC MB

AM

= (2)

Từ (1) và (2) Suy ra

DN

NC NC

DN = do đó DN = NC

nên N là trung điểm của CD

Từ DN = NC và (2) suy ra AM = MB nên M là trung điểm của AB

b/ Nếu có đường thẳng d song song với đoạn thẳng

AB thì ta lần lượt nối A, B với cùng một điểm E nào

đó ở ngoài d và khác phía đối với A Gọi giao điểm

của d với EA, EB theo thứ tự là C, D Nối AD, BC và

gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là F Nối F với

E thì theo chứng minh ở phần a giao điểm của EF với

AB là trung điểm M của đoạn thẳng AB

Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AB thì không

thể có đường thẳng song song với AB và đi qua M

Nếu điểm M không nằm trên đường thẳng AB thì ta chọn một điểm O tuỳ ý trên đường thẳng AM (không trùng với A, M), gọi K là giao điểm của OI và

MB, gọi N là giao điểm của AK và OB Khi đó MN//AB Thật vậy, giả sử đường thẳng song song với AB sẽ qua M cắt OB tại N’ và hai đường thẳng

Năm học 2010 – 2011 7

MB, AN’ cắt nhau tại K’ Khi đó, theo chứng minh ở phần a đường thẳng OK’phải đi qua trung điểm I của AB Do đó K’ trùng với K và vì vậy N’ trùng với N nên MN//AB

Đến đây giáo viên đặt câu hỏi: Hãy phát biểu khái quát phần a của bài toán trên:

“Nếu ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song, tạo ra trên đường thẳng thứ nhất hai đoạn thẳng bằng nhau thì cũng tạo ra trên đường thẳng thứ hai hai đoạn thẳng bằng nhau”.

Làm xong bài tập trên, học sinh đã nắm chắc về tính chất của ba đường thẳng đồng quy Tôi tiếp tục cho học sinh làm một số bài tập vận dụng có yêu cầu cao hơn, phức tạp hơn trong đó có sử dụng đến tính chất của ba đường thẳng đồng quy mà các em đã được chứng minh ở trên

III Bước thứ ba: Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng và bài tập vận

dụng.

Với mục tiêu giúp học sinh hiểu sâu hơn về định lý Talét và áp dụng tính chất của ba đường thẳng đồng quy, phần bài tâp vận dụng tôi chỉ xin đưa ra những ý chính của việc chứng minh:

* Bài số 7: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD,BE,CF Gọi I, K, M,

N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA Chứng minh rằng bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng.

Giải:

Gọi H là giao điểm của AD, BE, CF

KE

BK DC

BD IF

BI

//

⇒

=

Tương tự MN//FE (2)

EA

NE HA

DH FA

IF

//

⇒

=

Từ (1), (2) và (3) suy ra I, K, M, N

thẳng hàng

* Bài số 8: Cho hình thang ABCD (AB//CD; AB,CD) Đường thẳng qua A

song song với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B song song với AD cắt CD tại H, đường thẳng qua H song song với BD cắt BC tại I Chứng minh rằng: a) EI // AB b) Ba đường thẳng EI, BH, ACđồng quy

Giải:

Gọi F là giao điểm của BH và AC, G là giao điểm của AE và CD

a/ Vì HI // BD ⇒

HC

DH IC

BI

= (1)

Vì DG // AB ⇒

DG

AB EG

AE ED

BE

=

Các tứ giác ABHD, ABCG là hình bình hành nên DH = AB = GC

Suy ra DG = HC thay vào (1) ⇒

DG

AB

IC

BI = (3) Từ (2) và (3) ⇒

ED

BE

IC

BI =

Từ đó suy ra EI // DC hay EI // AB (4)

b/ Từ (2) và (3) ta có

HC

AB DG

AB ED

BE

IC

BI = = = , lại có HC // AB ⇒

FC

AF HC

AB

= do đó

FC

AF IC

BI

= suy

ra FI // AB hay FI // CD (5)

từ (4) và (5) ⇒ EI, BH, AC đồng quy

* Bài số 9: Cho M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh AB, BC, CA (hoặc trên

các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là

1

PA

PC NC

NB

MB

MA

(định lý Mê-nê-la-úyt)

Giải:

Điều kiện cần: Giả sử M, N, P thẳng hàng

Từ A kẻ AQ // BC cắt MN ở Q ta có:

Từ ∆MBN ⇒

NB

AQ MB

Từ ∆PNC ⇒ PC PA =NC AQ

Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được

.

Nhân 2 vế với

NC

NB

PA

PC NC

NB MB

MA

Điều kiện đủ:

Cho ba điểm M, N, P trên ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện

MA NB PC 1

MB NC PA =

Nối MP kéo dài cắt BC ở N’, theo (cm trên) . ' 1

'

MA N B PC

MB N C PA =

từ đó suy ra

NC

NB C N

B

N = '

'

Vì N’ và N cùng ở trong đoạn BC nên N’ ≡ N, tức là M, P, N thẳng hàng

Năm học 2010 – 2011 9

* Bài số 10: Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm

tương ứng M, N Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN với MD Chứng minh rằng ba điểm C, P, Q thẳng hàng.

Giải:

Vì ba điểm N, Q, B thẳng hàng nên theo bài 3 ta có: . . =1

MA

BM QM

QD ND

NA

Gọi K là giao điểm của CD với đường thẳng MP Khi đó BCKM, NDKP

là các hình bình hành nên:

PK

PM ND

NA = và

CD

CK

BA

BM

=

Do đó

1 NA QD BM . PM QD CK . PM CK QD .

ND QM BA PK QM CD PK CD QM

thẳng chứa các cạnh của tam giác MDK theo bài toán 9 và đẳng thức trên suy

ra C, P, Q thẳng hàng

* Bài số 11: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng các

điểm P, Q, R sao cho ba đường thẳng AP, BQ và CR cắt nhau tại một điểm Chứng minh rằng: AR BP CQ 1

BR PC QA =

Giải: (Định lý Xê-va) E A F

Qua A kẻ một đường thẳng song song với BC

cắt các đường thẳng CR và BQ tại E và F

Gọi O là giao điểm của AP, BQ và CR O

ARE

∆ ∆BRC ⇒ AR AE

RB = BC (1) BOP

∆ ∆FOA⇒ PB OP

AF = OA (2) B POC

∆ ∆AOE ⇒ OP PC

OA= AE (3)

Từ (2) và (3) ⇒ PB AF

PC = AE (4) ∆AQE ∆CQB ⇒ CQ BC

QA = AF (5)

Từ (1), (4) và (5) ta có AR BP CQ . AE AF BC 1

RB PC QA = BC AE AF = (Điều phải c/m)