LÝ THUYẾT NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 11

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM. ① Khái niệm nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K F’(x)= f(x), . ▪ ▪ . ▪ ② Bảng các nguyên hàm: Cho k, b là các số thực ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ③ Một số phương pháp tìm nguyên hàm: ⓐ Phương pháp phân tích và sử dụng bảng nguyên hàm:  Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu các hàm số mà ta đã biết nguyên hàm.  Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: ⓑ Phương pháp đổi biến số: Nếu mà dễ tìm thì ta thực hiện các bước sau: + Đặt . + Tìm . + . + Tìm .  Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: . ⓒ Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:   Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau: ④ Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp: Ⓐ Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ: ▪ Nếu bậc của P(x) > bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức P(x) cho Q(x). ▪ Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) ta phân tích Q(x) thành nhân tử sau đó ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức bẳng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp giá trị riêng. Ví dụ như:  Đối với ta chia ba trường hợp: i) Nếu tam thức có hai nghiệm thì ta sử dụng công thức (1) ở trên để phân tích. ii) Nếu tam thức có nghiệm kép thì Chú ý rằng 2ax+ b là đạo hàm của ax2+bx+c iii) Nếu tam thức vô nghiệm thì chọn k > 0 thì sau đó sử dụng PP đổi biến số với Với → đặt  Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: Ⓑ Nguyên hàm của hàm số vô tỉ: ▪ → ▪ → đặt ▪ →

−−-NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG

I NGUYÊN HÀM.

① Khái niệm nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)

trên K Û F’(x)= f(x), " Îx K Û ò f x dx( ) =F x( )+C C, Î R.

▪ ( ò f x dx( ) )'= f x( ); ▪ ò ( f x( )±g x dx( )) =òf x dx( ) ±òg x dx( ) .

▪ òk f x dx ( ) =kòf x dx k( ) ( ¹ 0)

② Bảng các nguyên hàm:

Cho k, b là các số thực (k¹ 0)

▪ òdx= +x C

1

x

x dxα α C α

α

+

-+ ò

▪ dx ln | |x C

ò

▪ òkdx=kx C+

1

1

kx b

k

α

α α

+ +

-+ ò

+ ò

▪ òsinxdx=- cosx C+

▪ òcosxdx=sinx C+

2

1

(1 tan ) tan cos x dx = + x dx = x C+

2

1

sin x dx = + x dx =- x C+

▪ sin(kx b dx) 1cos(kx b) C

k

ò

▪ cos(kx b dx) 1sin(kx b) C

k

ò

cos (kx b)dx=k kx b+ +C

+ ò

sin (kx b)dx=- k kx b+ +C

+ ò

▪ òe dx x =e x+C

ln

x

a

ò

▪ e kx b dx 1e kx b C

k

ò

ln

kx b

+

ò

③ Một số phương pháp tìm nguyên hàm:

ⓐ Phương pháp phân tích và sử dụng bảng nguyên hàm:

 Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu các hàm số mà

ta đã biết nguyên hàm.

 Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:

4

2x 3x 5

x

2

x

I =ò dx I3=òtan2xdx

4

1 sin cos

=ò I6 =òsin 5 cosx xdx

ⓑ Phương pháp đổi biến số: Nếu f x( )=g u x u x[ ( ) '( )] mà òg t dt( ) dễ tìm thì ta thực hiện các bước sau:

+ Đặt t=u x( ).

+ Tìm dt=u x dx'( ) .

−−-+ ò f x dx( ) =òg u x u x dxêë( ) '( )úû =òg t dt( ) .

+ Tìm òg t dt( ) =G t( )+ =C G u x[ ( )]+C.

 Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:

4

1 sin cos

1

x

x

=

+ ò

3 2

1

dx I

=

+

4 cos

dx I

x

=ò 3

I =ò xdx.

ⓒ Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

 òudv=uv- òvdu

 Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:

I =òx xdx I2 =ò (2x- 1 cos) xdx I3=òx e dx x

ln ln x

x

=ò

7 sin

I =ò x + dx

n Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau:

( )2 1

ln x

x

cos

x

x

÷

3 sin

B =ò xdx

1

x

x

=

+

1

x

dx B

e

=

+ ò

2

cos

x

e

x

10

sin

4 sin 2 2(1 sin cos )

x

π

æ ö÷

ç - ÷

=

ln x

x

=ò

④ Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

Ⓐ Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ: ( ) ( )

( )

P x

f x

Q x

=

▪ Nếu bậc của P(x) > bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức P(x) cho

Q(x).

▪ Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) ta phân tích Q(x) thành nhân tử sau đó ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức bẳng phương pháp hệ số bất định hoặc phương

pháp giá trị riêng Ví dụ như:

(1)

+

-2

x d

- Đối với 2Bx C dx

ax bx c

+

i) Nếu tam thức ax2+ +bx c có hai nghiệm x x1; 2 thì

2

ax + + =bx c a x x x x- - ta sử dụng công thức (1) ở trên để phân tích.

ii) Nếu tam thức ax2+ +bx c có nghiệm kép x=x0 thì 2 2

0

ax + + =bx c a x x

0

ax b C

÷

ç

Chú ý rằng 2ax+ b là đạo hàm của ax2+bx+c

iii) Nếu tam thức ax2+ +bx c vô nghiệm thì

2

2

b

a

+ + = êêëççè + ø÷÷+ úúû

2

2

ax b C

a

ç

ç êçè ÷ø ú ÷

b

a

ç + = ççè- < < ÷÷ø

Với 2dx 2

x +k

x t æç π t πö÷

= ççè- < < ÷÷ø

 Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:

1

( 1)

dx I

x x

=

+

dx I

=

dx

x- x -ò

dx I

=

1

x dx I

x

=

-ò

Ⓑ Nguyên hàm của hàm số vô tỉ: òf x dx( )

1

dx

x

x t æç π t πö÷

= ççè- £ £ ÷÷ø ▪ òg(n u x u x dx( )) '( ) → đặt t=n u x( )

x a x b

▪ ,n ax b

cx d

t

cx d

+

=

dx

x ±a

ò → đặt t= +x x2±a2

▪ ò x2 ±kdx → dùng pp tích phân từng phần.

▪ 2dx 2

x - a

cos

x

t

=

−−- Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:

1

dx I

x

=

dx I

=

ò

dx I

=

+

1 1

x dx I

x x

-=

+

4

dx I

x

=

+ ò

n Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau:

x

+

=

ò

( 1)(2 1)

x

=

ò ( )

dx B

=

dx B

x

=

ò

dx B

=

dx B

=

ò

Ⓒ Nguyên hàm của hàm số lượng giác: òf x dx( ) trong đó f(x) là hàm số lượng giác.

Ta dùng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản Như:

▪ Các công thức hạ bậc nâng cung, công thức nhân đôi, công thức biến đổi, …

sin( )sin( ) sin( )sin( )sin( ) sin( ) sin( )sin( )

cos( )cos( ) sin( )cos( )cos( ) sin( ) cos( ) cos( )

sin( )cos( ) cos( )sin( )cos( ) cos( ) sin( )cos( )

● Khi ( )f x =g(sin ,cos )x x

+ ( sin ,cos )g - x x =- g(sin ,cos )x x (hàm lẻ đ/v sinx)  t=cosx

+ (sin , cos )g x - x =- g(sin ,cos )x x (hàm lẻ đ/v cosx)  t =sinx

+ ( sin , cos )g - x - x =g(sin ,cos )x x (hàm chẵn theo sinx và cosx)  t=tanx hoặc cot

t= x

● Ngoài ra ta có thể đưa tích phân hàm số lượng giác về tích phân hàm số hữu tỉ bằng phép đặt tan

2

x

t= , khi đó

2

 Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:

3

1 sin

cos

dx I

x

=ò

4

sin

dx

I

x

sin

dx I

x

cos

dx I

x

=ò

dx I

x

=

+

sin 2 (2 sin )

x

x

=

+

sin sin cos 2

x

-=ò

sin cos

dx I

=ò

II TÍCH PHÂN.

 Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên K và ,a b thuộc K Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì ( ) ( ) ( )

b

a

f x dx=F b - F a

ò

 Các phương pháp tính tích phân: Ta cần tính ( )

b

a

I =òf x dx

Để tính tích phân ta có thể phân tích f(x) thành tổng (hiệu) các hàm số có mặt trong

bảng nguyên hàm sau đó dùng định nghĩa để tính

ⓐ Đổi biến số:

• Dạng 1: Nếu f x( )=g u x u x[ ( ) '( )] mà hàm số ( )g t có nguyên hàm là G(t) dễ tìm

hơn hàm số ( )f t thì ta thực hiện theo các bước sau:

o Đặt t=u x( ), tính dt=u x dx'( )

o Đổi cận x= Þ =a t u a x( ); = Þ =b t u b( )

( ) ( )

u b

u b

u a

u a

I= ò g t dt=G t =G u b - G u a

● Dạng 2: * Đặt x=x t( )Þ dx=x t dt'( )

* Đổi cận x= Þa x t( )= giải PT tìm t a = ; α x= Þb x t( )= b Þ =t β

* I f x t x t dt( ( ) '( )) g t dt( ) G t( )

β α

=ò =ò = trong đó g t( )= f x t x t( ( ) '( ))

Dạng 2 thường gặp các trường hợp sau:

2 2

hoặc x=| | cos , 0a t £ £t π

1

= - < <

ⓑ Tích phân từng phần: Sử dụng công thức b ( )b a b

I =òudv= uv - òvdu

 Ví dụ và bài tập: Tính các tích phân sau:

2

1

3x 2

x

+

=ò

5 2

dx I

=

0 1 sin

dx I

x

π

= + ò

4

1

ln

e

1

1 ln

x

+

0

cos sin

1 sin

I

x

π

=

+ ò

0 4

x

x

=

8 0 ( sin )cos

π

2 2

1

1

x

x

-=ò

4

10 1 2

(1 )

dx I

=

+

0

(4 11)

x

+

=

0

sin 2 cos

1 cos

x

π

=

+ ò

3

6

sin cos

dx I

π

π

dx I

x x

=

-ò

1

2 15

0 1

I =ò +x dx

1

1 1

x

x

-=

+

4

tan cos 1 cos

x

π

π

=

+ ò

1 2

dx

x + ò

 Một số bài toán tích phân đặc biệt:

① Nếu ( )f x là hàm số lẻ và liên tục trên [- a a; ] (a> thì: 0) ( ) 0

a

a

f x dx

-=

② Nếu ( )f x là hàm chẵn và liên tục trên [- a a; ] (a> thì: 0)

0

a

f x dx f x dx

-=

③ Nếu ( )f x là hàm số liên tục trên đoạn 0;1[ ] thì:

(sin ) (cos )

=

ò ò . ⓑ 0 xf(sin )x dx 2 0 f(sin )x dx

④ Nếu ( )f x là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ thì

0

( )

1

x

f x

a

α

+

▪ Ngoài ra ta còn có thể dùng tích phân liên kết để giải các bài toán về tích phân

 Ví dụ và bài tập: Tính các tích phân sau:

2

1

0

cos

cos sin

n

x

π

+

+

0 sin

π

=ò

3

12x 1

x

-=

+

0

sin

4 cos

x x

x

π

= -ò

III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN.

Ⓐ Tính diện tích hình phẳng: ● Công thức:

+ Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y= f x y( ); =g x( ); x=a x; =b

(a< với các hàm số ( ), ( )b) f x g x liên tục trên ;[a b là: ] | ( ) ( ) |

b

a

S=ò f x - g x dx

+ Diện tích hình phẳng gới hạn bởi các đường x=g y x( ); =h y( ); y=a y, =b

(a< với các hàm số b) x=g y x h y( ), = ( ) liên tục trên ;[a b là: ] | ( ) ( ) |

b

a

S =ò g y - h y dy

 Để tính diện tích hình (H) cần xác định đủ phương trình 4 đường trong đó có 2 đương

y=… và hai đường x =…

| ( ) ( ) |

b

a

S =ò f x - g x dx

| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |

S=ò g x - h x dx+ò f x - h x dx

| ( ) ( ) |

b

a

S=ò h y - g y dy

Ⓑ Tính thể tích vật thể:

● Công thức:

thể tích được tính theo công thức:

( )

b

a

V =òS x dx

▪ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi

hình (H) giới hạn bởi các đường y= f x( ),

trục hoành, x = a, x =b quay quanh trục Ox là:

−−-[ ]2 ( )

b

a

V =πò f x dx

▪ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi hình (H) giới hạn bởi các đường x=g y( ),

trục hoành, y = a, y =b quay quanh trục Oy là:

[ ]2 ( )

b

a

V =πò g y dy

 Ví dụ và bài tập:

① Tính diện tích của các hình phẳng giới

hạn bởi các đường sau:

1) y=x e ,x trôchoµnh,x=- 1, x= 2

3

y= x y= x=π x=

3) sin cos ;2 3 0; 0;

2

y= x x y= x= x=π

= = = = 5) y=x 1+x Ox x2; ; =1

1

x

x

-

-=

8) y=x2- 2 ;x y=- x2+4x 9) y=- x2+2 ;x y=- 3x

10) y2+ -x 5=0;x+ - =y 3 0 11) 2 2 8

;

8 vµ

x

x

12) x=- 2 ;y2 x= -1 3y2 13) y=|x2- 4x+3 |; y= + (ĐH k.A − 2002)x 3

14) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=x2- 4x+ và hai tiếp tuyến của 5 (P) tại các điểm A(1; 2), B(4;5)

15) Cho parabol (P): y=x2và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2 Tìm A, B sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất

② Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0, x = 3, biết rằng thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x < 3) là một hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài là x và 2 9 x- 2 .

③ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox mỗi hình phẳng giới hạn

bởi các đường sau:

a) y=ln ;x y=0;x=1; x= 2. b) 1 sin4 cos4 , 0; 0;

2

y= + x+ x y= x= x=π c) y=cos ;x y=0;x=0; x=π. d) y2=x y3; =0; x=1

e) y=sin ,2x y=0, x=0, x=π f) x2+ -y 5=0;x+ - = y 3 0

g) y=2 ;x y2 =2x+4

④ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Oy mỗi hình phẳng giới hạn

bởi các đường sau:

1

y

y

2

y= - x Oy y=

−−-CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC

−−−−−−−−

▪ Khối B − 2002: Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường: 4 2, 2

▪ Khối A−2003:

2 3

2

dx I

x x

=

+

0

1 2sin

1 sin 2

x

x

π

-=

+ ò

▪ Khối D − 2003: I=

2 2 0

x - x dx

2

x dx x

-ò

▪ Khối B − 2004: I =

1

1 3ln ln

dx x

+

3 2 2 ln(x - x dx) ò

▪ Khối A − 2005: I =

/2 0

sin 2 sin

1 3cos

dx x

+

/2 0

sin 2 cos

1 cos

dx x

π + ò

▪ Khối D − 2005: I =

/2 sin 0 (e x cos )cosx x dx

π

+

/2

0

sin 2

cos 4sin

x

dx

π

+

ò

▪ Khối B − 2006: I =

ln 5

ln 3 x 2 x 3

dx

e + e-

1

2 0

(x- 2)e dx x

ò

▪ Khối A − 2007: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

y= +e x y= +e x

▪ Khối B − 2007: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=x x yln , =0, x= Tính e của thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox

▪ Khối D − 2007: 3 2

1 ln

e

I=òx x dx ▪ Khối A − 2008: 6 4

0

tan cos 2

x

x

π

=ò

▪ Khối B − 2008: 4

0

sin

4 sin 2 2(1 sin cos )

I

ç - ÷

=

▪ Khối A − 2009: Tính tích phân: 2 ( 3 ) 2

0 cos 1 cos

π

-▪ Khối B − 2009: Tính tích phân:

( )

3

2 1

3 ln 1

x

x

+

=

+

3 1

1

x

dx I

e

=

-ò

▪ CĐ 2009: 1( )

2 0

x x

e− +x e dx

∫

A2010

0

2

1 2

x

dx e

+ + +

ò B2010

( )2 1

ln

2 ln

dx

ò

D2010

1

3

e

x

ç - ÷

ò CĐ2010

1 0

1

x dx x

-+ ò

A2011 I = 4

0

sin ( 1)cos sin cos

dx

π

+ + +

ò B2011 3 2

0

1 sin cos

x x

x

π +

=ò

D2011

4 0

x

x

-=

+ +

ò CĐ2011 2

1

( 1)

x

x x

+

=

+ ò

A 2012

3

2 1

1 ln(x 1)

x

=ò B 2012

0

x

=

ò

D 2012

/4 0

(1 sin 2 )

I =πòx + x dx CĐ 2012 I =

3

x dx

x+

A 2013

2 2 2 1

1 ln

x

x

−

= ∫ B 2013

1

2 0

2

I = ∫x −x dx

D 2013 ( )2

1

2 0

1

x

x

+

= ∫

A 2014 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2

3

y x= − +x và đường thẳng

y= x+

B 2014

2 2

2 1

=

+

0

( )sin

π

= ∫ +