TOAN CAO CAP XD (1)

CHƯƠNG I GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐCác tập hợp thường được ký hiệu: A,B,C,.... Mỗi đối tượng trong một tập hợp nào đó gọi là một phần tử của tập hợp, ký hiệu một phần t

CHƯƠNG I GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

Các tập hợp thường được ký hiệu: A,B,C,

Mỗi đối tượng trong một tập hợp nào đó gọi là một phần tử của tập hợp, ký hiệu một phần tử x thuộc tập hợp A là x∈A, ngược lại ta ký hiệu x∉A

Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu: ∅.

Xét hai tập hợp A và B, nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói A chứa trong B, ký hiệu A⊂B, hoặc là ta nói A là một bộ phận của Bhay là tập con của B.

Một ánh xạ từ tập Avào tập Blà một tương ứng f sao cho ∀x∈A có phần

tử duy nhất y∈B ứng với x Ký hiệu f :A x→y B

x: gọi là tạo ảnh của yqua f

y: gọi là ảnh của x qua f , ký hiệu y= f (x)

A:gọi là tập nguồn (tập xác định), Bgọi là tập đích (tập giá trị) của ánh xạ f

Dạng z a ib= + gọi là dạng đại số của số phức

Cho số phức z a ib= + thì a gọi là phần thực ký hiệu Re(z), b gọi là phần ảo

ký hiệu Im(z), i gọi là đơn vị ảo của số phứcz a ib= + .

Ta ký hiệu z là modun của số phức z a ib= + và z = a2+b2 .

Cho số phức z a ib= + , số phức z gọi là số phức liên hợp của z nếuz a ib= − .

/

i z z

ii z z z z iii z z z z

iv

=+ = +

z z

b Biểu diễn hình học của số phức:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M a b( , ) và số phức z a ib= + , ta gọi

OM = =z a +b =r

(OM Ox, ) Argument(z)

ϕ = uuuur uur = , ký hiệu Arg z( ) và 0 Arg(z) 2π≤ ≤

Lúc này ta có thể xem số phức z a ib= + là một điểm M a b( , )trên mặt phẳng Oxy với hoành độ và tung độ tương ứng là phần thực và phần ảo của số phức

Từ đây ta có a r b rcossinϕ

c Lũy thừa và căn số của số phức:

i/ ∀ ∈x R ta ký hiệu: eix =cosx+isinx, từ đây ta có một số tính chất sau:

ii/ Từ công thức ∀ ∈ ∀ ∈n Z, x R e:( )ix n =eixn , ta có:

( )eix n =eixn ⇔(cosx+isinx)n =cosnx+isinnx(Công thức Moivre)

iii/ Cho số phức z C∈ , xét n z , đặt Z =n z suy ra Z n =z.

n n

iv/ Hãy biểu diễn cos 2 ,sin 2 , os3x,sin3x,cos4x,sin5x, x x c qua lũy thừa của

sinx,cosx

5 Hàm số

a.Khái niệm hàm số

Cho D⊂R Ánh xạ f :D→Rđược gọi là một hàm số xác định trên D

+Dgọi là miền xác định của f

+T ={f(x)x∈D} gọi là miền giá trị của f

ii/ f >gkhi và chỉ khi f , gcó cùng miền xác định Dvà ∀x∈D: f(x)>g(x)

iii/ F = f +g⇔∀x∈Dlà miền xác định của Fthì F(x)= f(x)+g(x).

Hiệu, tích, thương của f , gđược định nghĩa tương tự.

iv/ Hàm sốy= f (x)gọi là tăng hay đồng biến ⇔∀x1,x2∈D:x1<x2⇒ f(x1)< f(x2)v/ Hàm sốy= f (x)gọi là giảm hay nghịch biến ⇔∀x1,x2∈D:x1<x2⇒ f(x1)> f(x2)

Ví dụ:+ Hàm số y=x3tăng trên toàn miền xác định của nó.

+ Hàm số y= x2tăng trên (0,+∞), và giảm trên (−∞,0)vi/ Hàm sốy= f (x)gọi là bị chặn trong D nếu ∃k >0: f(x) <k,∀x∈D.

Ví dụ: Hàm số y=cosx,y=sinx là bị chặn trong [ ]−1;1

vii/ Hàm sốy= f (x)gọi là hàm số chẵn trên miền đối xứng(−a;a)nếu

)()(:)

;( a a f x f x

∀

viii/ Hàm sốy= f (x)gọi là hàm số lẻ trên miền đối xứng (−a;a)nếu

)()(:)

;( a a f x f x

∀

y x x y x y

x

y= 2, =cos , = sin , =2 là các hàm số chẵn +y=x3,y=xcosx,y=sinx là các hàm số lẻ

ix/ Hàm sốy= f (x)gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số l ≠0 sao cho

)(

= y

2

2+

y= α,α∈ , miền xác định của nó phụ thuộc vào α

,

cot anx

y= xác định khi x≠kπ,k∈Z

* Lưu ý các công thức lượng giác cơ bản.

e Các hàm số lượng giác ngược

y= cot là hàm số ngược của y cot= anx

Nếu y sin= x thì hàm ngược của nó là x arcsin= y

Ta có hai đẳng thức sau:

2arccosarcsinx+ x=π ,

2cot

arctanx+arc anx=πChứng minh:

2sin(

cossin

arccos,

Vậy

22

=1

2,2

1

+

n n

lim hay u n →a khi n→∞, nếu ∀ε >0,∃N >0:∀n≥Nthì u n−a <ε.

Dãy số có giới hạn thì gọi là hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.

110

111

4 4

⇒

<

n n

n a

chọn N =104−1, lúc này ta sẽ có u n −1<ε

Định nghĩa 3: Dãy { }u n dần dến vô cùng khi n tiến đến vô cùng nếu với0

2 Các định lý về giới hạn của dãy

a Các tính chất:

+ Nếu dãy { }u n có giới hạn là a và a> p(a> p)thì tồn tại Nsao cho với mọi

N

n> thì u n > p(u n < p).

+ Nếu dãy { }u n có giới hạn là a và u n ≤ p(u n ≥ p),∀n thì a≤ p(a≥ p)

+ Nếu dãy { }u n có giới hạn là a thì a là duy nhất.

+ Nếu dãy { }u n có giới hạn thì nó bị chặn, tức là ∃k >0:u n ≤k,∀n.

3

12

11

1(lim

2 2

n n n

n n

v n

++++

++

++

=

2 2

2 2

1

3

12

11

1

Và

n n

n v

∞

n n

n

n n

Theo định lý trên thì limn→∞v n =1

c.Các phép tính của giới hạn dãy số :

Nếu các dãy { }u n , { }v n hội tụ

n n n

n

v

u v

u

Một số công thức giới hạn dãy số thường gặp:

0lim

x

x y

πsin

=

5)1(,1)0(,0)2(

)

f f

f

c bx ax x f

f

−

=1

1)

6 Tìm f (x) nếu a f(x+1)= x2 +3x+2, b 2 12

)

1(

x

x x x

7 Chứng minh đẳng thức sh x a( + =) shx cha chx sha +

8 Hãy biểu diễn sh x ch x2 , 2 qua shx chx,

9 Hãy biểu diễn sh x ch x2 , 2 qua ch x2

II Giới hạn dãy số

1 Tìm các giới hạn:

a.

64

32

−

∞

n n

72

lim 2 4

+

−

−+

∞

n n

123

32lim

∞

n n n

(

1lim

Áp dụng: Tìm các giới hạn: a n n n

n 5 7.3

3.42lim

11(lim −

1(lim+

−

∞

1(

Định nghĩa 1: Số a được gọi là giới hạn của hàm số y= f (x) khi x dần về

142

→ x

x

x x

→ x

x

x

Định nghĩa 3: Ta nói hàm số y= f (x) có giới hạn bằng vô cùng khi x→x0

nếu: ∀M >0,∃δ >: x >δ ⇒ f(x) >M Ký hiệu lim→ ( )=∞

0

x f

x x

Đặc biệt;

+xlim→x f(x)=+∞⇔∀M >0,∃ >0: x−x0 < ⇒ f(x) >M

0

δδ

+xlim→x f(x)=−∞ ⇔∀M >0,∃ >0: x−x0 < ⇒ f(x) <−M

0

δδ

x

3 Giới hạn một phía

Định nghĩa: Số a được gọi là giới hạn phải (trái) của f (x) tại x0 khi x tiến

về bên phải (trái)x0 Ký hiệu: xlim→x+ f(x)=a

1

sinlim

x

x

x và lim→0−sin = lim→0+sin−x =−1

x x

x

x x

Định lý: Điều kiện cần và đủ để ∃xlim→x0 f(x)là ∃xlim→x0+ f(x),∃xlim→x0− f(x) và

)(lim

)

(

lim

0 0

x f x

f

x x

)((

x f

i x x

n

i i x

x x

x x

x n

x

Đặc biệt: xlim→x0(f(x))n =(xlim→x0 f(x))n

c Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

+ Tiêu chuẩn Cauchy ( Tiêu chuẩn 1): Điều kiện cần và đủ để tồn tại giới

hạn của f (x) khi x→x0 là: ∀ε >0,∃δ >0sao cho ∀x1, x2 thỏa

+ Tiêu chuẩn 2: Cho f (x) xác định ∀x>0 Nếu

* f (x) đơn điệu tăng

* f (x) bị chặn trên Thì ∃xlim→x0 f(x)

+ Tiêu chuẩn 3: Nếu

x x x

x

0 0

)(lim)(lim

)()()(

x→ ∞ Ta có 0 sin2(2! ) 12

x x

ii/Ví dụ + limx→0sinx=0⇒ f(x)=sinx là VCB

+ limx→0tanx=0⇒ f(x)=tanx là VCB

+

x x f x

x

1)(0

+ Nếu A=+∞ thì ta nói g (x)là VCB bậc cao hơn f (x) hay f (x) là VCB bậc thấp hơng (x), khi đó ta ký hiệu g(x)=O(f(x)).

Ngược lại nếu giới hạn trên không tồn tại thì ta nói g (x)vàf (x)không so sánh được.

vi/ Định lý:

i/ Nếu f(x)~g(x),h(x)~t(x) trong đó f(x),g(x) là hai VCB khi x→x0 thì

))(

)((lim)

g

x

f

x x x

ii/Giả sử f i(x),g j(x),i=1,n;j=1,m là các VCB khi x→x0 Khi đó

))(

)((lim))(

)()

(

)(

)()

2 1

x g

x f x

g x

g

x

g

x f x

n x

+++

+++

.Trong đó ( )

0 x

f i là VCB bậc thấp nhất trong các f i (x)và g j0(x) là VCB bậc thấp nhất trong các g j (x)

Ví dụ: Khi x→0 thì các VCB sau là tương đương:

a x a

ax x

x e

x x

x x x

x x

5lim1

5sinlim

0 2

x e

x

x x x

x

1)(

1lim

Trong đó BC- đại lượng bị chặn, HT- đại lượng hội tụ

iv/ So sánh các vô cùng lớn: Cho f(x),g(x) là hai VCL khix→x0 Giả sử

tồn tại → =A ≤ A≤+∞

x g

x f

x

)(

)((

lim

+ Nếu A=0 thì ta nói f (x)là VCL bậc thấp hơn g (x)hay g (x)là VCL bậc cao hơn f (x)

+ Nếu 0<A<+∞ thì ta nói f (x)vàg (x) là hai VCL cùng hay cùng cấp, đặc biệt khi A=1 ta nói f (x) và g (x)là hai VCL tương đương, khi đó ta ký hiệu

)((lim)

g

x

f

x x x

ii/ Giả sử f i(x),g j(x),i=1,n;j=1,m là các VCL khi x→x0 Khi đó

))(

)((lim))(

)()

(

)(

)()

2 1

2 1

x g

x f x

g x

g

x

g

x f x

n x

+++

+++

.Trong đó ( )

0 x

f i là VCL bậc cao nhất trong các f i (x)và ( )

0 x

g j là VCL bậc cao nhất trong các g j (x)

Ví dụ: Tính

2342

72

lim 5 73 62

−+

−+

x x x x

2

lim2342

72

0 6

7

2 3 5

−

=+++

−

−+

−+

→

x x

x x

x x x x

x x

Lưu ý: Trong quá trình giải các bài tập ta sẽ gặp các dạng vô định:

0

−+

x x x

x

e

12

+

++

+∞

x x x

)45(

2lim 2

0

)51()1(lim

x x

x x

+

−+

)5)(

4)(

3)(

2)(

1(lim

x

)12(

)23()3

2 1

3 2

)1)((

)1) (

1)(

1)(

1(

+

+

n n

n

x

nx

x x

x x

−+++

+

n x x

32

1+ + + + = n n+

n

a x

a x a x

a

−+

lim

0

−+

3 Tìm các giới hạn:

x x x

0

→

nx x

x x

!

sin

3sin.2sin

∞

32(lim −

∞

)1

1(lim 2

x

→Nếu y= f (x) không liên tục tại x=x0ta nói y= f (x)gián đoạn tại x=x0

f x liên tục phải tại x= 0,

nhưng không liên tục trái tại x=0.

Định nghĩa: Cho hàm số y= f (x) xác định trên D Khi đó tập hợp các điểm( ,( ( ))

M x f x trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khi x thay đổi trong D được gọi là đồ thị của hàm số y= f (x) trên D

Định lý: Đồ thị của hàm số liên tục là một đường liền nét.

Định lý: Nếu y= f (x) liên tục trên đoạn [ ]a b; thì y= f (x)bị chặn trên [ ]a b; , tức là ∃ >M 0 : ( )f x ≤M,∀ ∈x D

Định lý: Nếu y= f (x) liên tục trên đoạn [ ]a b; thì y= f (x)đạt giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất trên [ ]a b; , tức là 1

2

( ) ( ),, :

Định lý: Nếu y= f (x) liên tục trên đoạn [ ]a b; và f a f b( ) ( ) 0< thì có c∈( ; )a b

để f c( ) 0= , nói cách khác phương trình f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm trong ( )a b;

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình x9−3x4+ =1 0 có ít nhất một nghiệm trong (0;1).

4.2 Phân loại điểm gián đoạn:

0

x là điểm gián đoạn của y= f (x) khi

+ y= f (x) không xác định tại x0

+ Không tồn tại giới hạn của y= f (x) khi x→x0

+ Tồn tại giới hạn của y= f (x) khi x→x0, nhưng giới hạn này khác f x( )0Như vậy ta có thể phân loại các điểm gián đoạn như sau:

+ x0là điểm gián đoạn loại 1 khi ∃f x( ), ( )0 − f x0 + Đặc biệt khi f x( )0− = f x( )0+ thì

ta nói x0 là điểm gián đoạn có thể bỏ được.

+ Các trường hợp khác gọi là điểm gián đoạn loại 2.

CHƯƠNG II ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ

I Đạo hàm

1 Khái niệm

a Bài toán mở đầu:

Xét đường cong (C) :y= f(x), một điểm M0(x0,y0)cố định trên (C)và một cát tuyến MM0 Nếu M ( y x, )chạy trên đường cong (C) đến điểm M0(x0,y0)mà cát tuyến MM0dần tới một vị trí tới hạn TM0, thì đường thẳng TM0gọi là tiếp tuyến của

đường cong (C) tại điểm M0(x0,y0) Vậy khi nào thì (C) :y= f(x)có tiếp tuyến tại

)()

0

0

x f x x f x f x f y y y

x x x

y

∆

−

∆ +

y x x

−

∆ +

lim lim

tan lim

0 0

y x

lim lim

)

0 0

0 /

x x

x f x f x

lim ) (

− +

) ( ) (

) ( ), ( )

(

0

/ 0 /

0

/ 0 / 0

/

x f x f

x f x f x

f

2 Các quy tắc tính đạo hàm:

(

)

(

)()(

)(

0)

(

2

/ /

/

/ /

/

/ /

/ / / /

≠

−

=+

+

=+

=+

V V

V U V U V

U

V U V U V

U

U C CU

V U V U

x u u y x

x x

x

1)

(lnsin4))(ln(sin

3.)4.(

5))4((

3 4

2 4 3 /

5 3

=+

+

=+

+ Hàm ngược x=g ( y)liên tục tại y0 = f(x0)

Khi đó hàm số ngược của hàm số y= f (x)sẽ có đạo hàm x/y(y0) tại y0 và

) (

1 )

(

0 / 0

/

x y y

/ 2

/

2

1(arcsin )

11(arccos )

11

11(arctan )

1

11

x

x x

x arc anx

x x

x shx chx

chx shx

thx

ch x cthx

* Định lý: Hàm số sơ cấp có đạo hàm trên miền xác định của nó

* Định lý: Nếu hàm số y= f (x) có đạo hàm tại x=x0thì f (x)liên tục tại x=x0

Nếu y= f (x)khả vi tại x x= 0 thì ∆ =f f x/( ).∆ +x α( )x Vì vậy khi ∆xkhá bé ta

có công thức xấp xỉ như sau: /

1 Đạo hàm cấp cao:

Khái niệm: Gọi đạo hàm của y= f x( )là f x/( ) thì f x/( ) là một hàm số theo biến x Nếu f x/( ) cũng có đạo hàm thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm cấp hai của( )

Cho y= f x( ) xác định trên D Ta nói y= f x( ) đạt cực đại(cực tiểu) tại x0∈D

nếu có một lân cận V của x0sao cho: f x( )0 ≥ f x( ),∀ ∈x V f x( ( )0 ≥ f x( ),∀ ∈x V)

Các điểm cực đại, cực tiểu nói chung gọi là cực trị địa phương.

5 Định lý Cauchy: Giả sử f x g x( ), ( ) là hai hàm số thỏa

+ f x g x( ), ( )liên tục trên [ ]a b; , khả vi trong ( )a b;

+ g x/( ) 0≠ với mọi x thuộc lân cận của x0

Lúc này, nếu tồn tại

0

/ /

( )lim( )

x→ x

2 Khảo sát hàm số.

a.Tính tăng, giảm của hàm số.

Ta có định lý sau: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm(khả vi) trên khoản ( )a b, khi đó

i/ Nếu hàm số tăng trên khoản ( )a b, thì f x/( ) 0,≥ ∀ ∈x ( )a b,

ii/ Nếu hàm số giảm trên khoản ( )a b, thì f x/( ) 0,≤ ∀ ∈x ( )a b,

Ví dụ: Xét tính tăng giảm của y= 4−x2

b Cực trị của hàm số:

Định lý: Cho y= f x( ) liên tục tại điểm x0∈( )a b, (x0gọi là điểm dừng) khi đó i/ Nếu y= f x( ) có f x/( )đổi dấu từ dương sang âm khi x chạy qua điểm x0thì hàm số đạt cực đại tại x0.

ii/ Nếu y= f x( ) có f x/( )đổi dấu từ âm sang dương khi x chạy qua điểm x0

Bên cạnh đó ta còn có thể đánh giá cực trị bằng định lý sau:

Định lý: Cho y= f x( )có đạo hàm trong ( )a b, ,x0∈( )a b, là điểm dừng của hàm số và y= f x( ) có đạo hàm cấp hai tại x0 Khi đó:

f x > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

Lưu ý rằng định lý trên không thể áp dụng trong trường hợp / //

ii/Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Để tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ]a b, ta thực hiện như sau:

+ Tìm các điểm cực trị (điểm dừng)của của hàm số

+ Tính các giá trị của các điểm dừng và trên biên của đoạn [ ]a b, , so sánh chúng và ta sẽ có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn.

d Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong.

+Định lý: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm cấp hai trên khoản ( )a b, Khi đó:

Nếu f//( ) 0,x < ∀ ∈x ( )a b, thì đường cong y= f x( ) lồi trên khoản ( )a b,

Nếu f//( ) 0,x > ∀ ∈x ( )a b, thì đường cong y= f x( ) lõm trên khoản ( )a b,

+Định lý: Giả sử hàm số y= f x( )liên tục tại x0∈( )a b, và có đạo hàm cấp hai tại mọi điểm x∈( ) { }a b, \ x0 , y= f x( ) có tiếp tuyến tại điểm M x f x0( , ( ))0 0 Khi đó nếu f//( )x đổi dấu khi x qua x0 thì M0là điểm uốn của đường cong y= f x( ).

+ Tìm phương trình các đường tiệm cận(nếu có)

+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm và lập bảng biến thiên

+ Tìm đạo hàm cấp hai, xét dấu đạo hàm cấp hai, xác định các khoản lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị.

+ Vẽ đồ thị của hàm số.

Ví dụ: Khảo sát các hàm số sau

3 2

2 1

x y

a Định lý: Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm hữu hạn đến cấp (n+ 1) trong một khoảng chứa xvà x0, thì ta có công thức:

+(1) gọi là công thức Taylor, hàm f x( ) khai triển theo công thức (1) gọi là

khai triển Taylor hàm f x( ) xung quanh điểm x0.

+(2) gọi là công thức Maclarrin, hàm f x( ) khai triển theo công thức (2) gọi

là khai triển Maclarrin hàm f x( ) xung quanh điểm 0.

b Ví dụ: Khai triển Taylor các hàm số sau tại x0 =0:

x x

x e

lim

x

x x

x e

x e

2 0

lim ln

→9.5 lim(0 1 1 )

x

e e x

−

→

−+

limsin 5

lim

xarctanx-sinx-

x

x x

HD: Dùng công thức sau: u v =e v uln ⇒ limu v =elim lnv u

10 a Cho hình nón tròn xoay có đường sinh là l Tìm bán kính R ( theo l)của mặt đáy để hình nón có thể tích cực đại.

b Trong tam giác cân có chu vi là 12 Hãy xác định cạnh của tam giác để diện tích của nó là lớn nhất.

c Tìm trên x=y2các điểm gần điểm (0,3) nhất.

d Một cái gương có hai phần, phần dưới là một hình chữ nhật, phần trên là một nửa hình tròn Biết rằng chu vi của gương là p, tìm bán kính của hình tròn sao cho gương có diện tích lớn nhất.

11 Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

3 2

3 2

( 1)

( 1)

4

1.3 Khái niệm tích phân bất định

Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f x( ): {F x( )+C}C R∈ được gọi là tích phân bất định của f x( ) Ký hiệu ∫ f x dx F x( ) = ( )+C C R,( ∈ )

1

lnx+ ,

1

arctanx+ ,1

dx arcsinx+C,1

x

C R x

C R c

a Phương pháp đổi biến: Cho tích phân I =∫ f x dx( )

Dạng 1: Đặt x=ϕ( )t , ϕ( )t khả vi đối với biến t Từ đó ta có

* Nếu bậc của p x( ) bé hơn bậc của q x( )thì ta xét định lý sau:

Định lý: Phân thức thật sự q x p x( )( ) luôn có thể phân tích thành tổng hữu hạn các phân thức có dạng sau:

2 2

Đối với tích phân ( 2 )

∫ ta thực hiện phép đổi biến Đối với tích phân ( 2 )

* Phần mở rộng:Tích phân các phân thức hữu tỉ nhờ phân tích thành các phân

Q x = −x a ax + +bx c trong đó ax2+ +bx c có nghiệm liên hợp

phức(không có nghiệm thực) Khi đó:

Ta có thể chia thành các trường hợp sau:

+ Mẫu số chỉ có những nghiệm thực khác nhau(các nghiệm chỉ là nghiệm đơn):

21

* Một số trường hợp đặc biệt:

+ Nếu R( sinx,cosx)=− −R(sinx,cosx) hàm lẻ theo s inx, đặt t c= osx

+ Nếu R(sinx, cosx)=− −R(sinx,cosx) hàm lẻ theo cosx, đặt t =sinx

+ Nếu R( sinx, cosx)= (sinx,cosx)− − R hàm chẵn theo s inx và cosx, đặt t=tan xhoặctan x

Nếu n lẻ dương thì đặt t=sinx, nếu m lẻ dương thì đặt t c= osx

Nếu cả m và n đều là số chẵn dương thì ta dùng các phép biến đổi sau để biến đổi hàm dưới dấu tích phân

sin 2 2sin osx

cos2x cos sin 2 cos 1 1 2sin

21

21sin sin cos( ) sin( )

Ví dụ: Tính các tích phân sin 2 , os5xdx; osx.cos osx x

2 2 2

1.1 Bài toán tính diện tích hình thang cong.

Cho hàm số y= f x( ) xác định dương trên [ ]a b; .

Hình phẳng giới hạn bởi y= f x x a x b y( ), = , = , =0(Ox)được gọi là hình thang cong Bài toán là hãy tính diện tích của hình thang cong đó.

Ta chia đoạn [ ]a b; thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a x= 0 < < <x1 x n =b,

như vậy hình thang cong cũng đã được chia thành n cột nhỏ Ta gọi ∆x i đồng thời

là độ dài và đoạn thẳng [x i−1;x i i], =1, ,n và d =max{ }∆xi , trên mỗi ∆x ita lấy một

điểm titùy ý Nếu ∆x i khá bé ta có thể xem diện tích của cột cong thứ i xấp xỉ với diện tích của hình chữ nhật có hai kích thước ∆x i, f t( )i Suy ra S i ; f t( ).i ∆x i

Do đó diện tích của hình thang cong ban đầu có thể xấp xỉ với

1

( )

n

i i i

lim n ( ).i i

n

i d

Cho hàm số y= f x( ) xác định dương trên [ ]a b; Ta chia đoạn [ ]a b; thành n

đoạn nhỏ bởi các điểm chia a x= 0 < < <x1 x n =b Ta gọi ∆x i đồng thời là độ dài và

đoạn thẳng [x i−1;x i i], =1, ,n và d m= ax{ }∆xi , trên mỗi ∆x ita lấy một điểm titùy ý, lập tổng

hạn không phụ thuộc và phép chia đoạn [ ]a b; và cách lấy điểm ti trên mỗi ∆x i, thì

I được gọi là tích phân xác định của hàm số y= f x( ) trên đoạn [ ]a b; , và khi đó ta nói y= f x( )khả tích trên [ ]a b; Ký hiệu: ( )

Định lý 2: Nếu y= f x( ) liên tục trên [ ]a b; thì y= f x( )khả tích trên [ ]a b; .

Định lý 3: Nếu y= f x( ) bị chặn và đơn điệu trên [ ]a b; thì nó khả tích trên [ ]a b;

1.4 Các tính chất

( )

( ( )) ( ) ( ) , ( )

u b b

Ví dụ: Tính

1 arctanx 2

=

 ≤ ≤

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x y= 2, =0,x=0,x=1

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x y x= 3, =

c Tính diện tích mặt tròn xoay:

dx x

+

3 2

dx x

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:y x y x y= 3, = , =2x

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y2+x2 =4 ,x y2 =2x

4 Tính độ dài đường cong phẳng: ln cos ,0

I Tích phân suy rộng cận vô tận.

1.1 Định nghĩa: Giả sử y= f x( )xác định trên [a;+∞] và khả tích trên đoạn

[ ]a b b a; ( > )bất kỳ Ta gọi giới hạn: lim ( )

b

b a

f x dx

→∞∫ (1) nếu tồn tại là tích phân suy rộng

của hàm số y= f x( )trên [a;+∞] Ký hiệu: ( )