Giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể của học sinh trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN ĐÌNH PHƯƠNG GIẢ THUYẾT VÀ CHỨNG MINH TRONG KHÁM PHÁ TỰ NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN CÓ TÍNH KHÔNG THỂ CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN ĐÌNH PHƯƠNG

GIẢ THUYẾT VÀ CHỨNG MINH TRONG KHÁM PHÁ

TỰ NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN CÓ TÍNH KHÔNG THỂ CỦA HỌC

SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các dữ liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, chưa từng được công bố trên bất kì công trình nào khác

Tác giả Trần Đình Phương

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần Vui, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin chân trọng cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng đào tạo sau đại học, quý thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô thuộc chuyên ngành Lí luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy, chia

sẻ cho tôi nhiều tri thức, kinh nghiệm quý báu trong những năm học vừa qua

Sau cùng, tôi xin cám ơn các em học sinh yêu quý của trường THPT Phan Đăng Lưu đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình thực nghiệm

Do sự hạn chế về thời gian, cũng như khả năng của bản thân nên luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong sẽ nhận được nhiều sự góp ý chân thành

để luận văn này trở nên hoàn thiện và có ý nghĩa hơn

Xin trân trọng cám ơn

MỤC LỤC

TRANG PHỤ BÌA i

LỜI CAM ĐOAN ii

LỜI CẢM ƠN iii

MỤC LỤC iv

Chương 1 GIỚI THIỆU 1

1.1 Giới thiệu và đặt vấn đề 1

1.2 Các thuật ngữ chính 4

1.3 Mục đích nghiên cứu 5

1.4 Câu hỏi nghiên cứu 5

1.5 Ý nghĩa nghiên cứu 5

1.6 Tiểu kết chương 1 5

Chương 2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 6

2.1 Các kết quả nghiên cứu liên quan 6

2.2 Nền tảng lý thuyết 8

2.2.1 Toán học là giải quyết vấn đề 8

2.2.2 Toán học là đặt các giả thuyết 9

2.2.3 Toán học là đưa ra chứng minh 11

2.2.4 Chứng minh tính không thể 19

2.2.5 Khám phá tự nghiệm 20

2.2.6 Chứng minh phản chứng 22

2.3 Tiểu kết chương 2 23

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 24

3.1 Phương pháp nghiên cứu 24

3.2 Công cụ nghiên cứu 25

3.2.1 Các phiếu học tập được sử dụng trong nghiên cứu 25

3.2.2 Thang mức đánh giá khả năng đặt giả thuyết thông qua khám phá tự nghiệm 25

3.2.3 Thang mức đánh giá khả năng tìm con đường chứng minh thông qua khám phá tự nghiệm 27

3.3 Tiểu kết chương 3 29

Chương 4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 30

4.1 Phiếu thực nghiệm số 1 30

4.2 Phiếu học tập 2 38

4.3 Tiểu kết chương 4 44

Chương 5 THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN 45

5.1 Thảo luận các câu hỏi nghiên cứu 45

5.1.1 Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 45

5.1.2 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai 46

5.1.3 Câu hỏi nghiên cứu thứ 3 46

5.2 Hướng phát triển đề tài 47

5.3 Tiểu kết chương 5 48

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 PHỤ LỤC

Chương 1 GIỚI THIỆU 1.1 Giới thiệu và đặt vấn đề

Ta thừa nhận rằng giữa triết lí, toán học, giáo dục toán học có mối quan hệ biện chứng với nhau

Các nhìn nhận về triết lí của một người ảnh hưởng đến quan điểm về toán học

và việc dạy học toán của người đó Tuy nhiên tính trung tâm của triết lí và mối quan

hệ phức tạp của nó với việc phát triển lí thuyết trong giáo dục toán học chỉ được đề cập cách đây hai thập kỉ, khi Ernest (1991, [6]) và Steiner (1987, [24]) đã nhìn nhận được tầm quan trọng của các vấn đề nhận thức luận có ảnh hưởng đến việc dạy và học toán Câu hỏi toán học là gì, với những quan tâm đến việc dạy và học toán, đã đưa đến nhu cầu phát triển một triết lí về toán học tương thích với giáo dục toán Có nhiều lí thuyết gia đã đóng vai trò trực tiếp hay gián tiếp trong vấn đề này, nhưng chúng tôi xin đề cập đến ba lí thuyết gia tiêu biểu: Lakatos, Hersh và Ernest

Hersh bắt đầu quảng bá cuốn sách: “Các Chứng minh và Bác bỏ” của Lakatos

đến cộng đồng toán học trong một bài báo có tựa đề “Giới thiệu về Imre Lakatos” (1978, [8]) và kêu gọi cộng đồng các nhà toán học quan tâm đến việc xem xét lại triết lý của toán học Hersh (1979, [9]) đã định nghĩa “triết lý của toán học” như là một triết lý để làm việc của nhà toán học chuyên nghiệp, thái độ triết học đối với công việc của mình được ngầm định bởi nhà nghiên cứu, giáo viên, người sử dụng toán học và đặc biệt là vấn đề trọng tâm: “phân tích tính đúng đắn và ý nghĩa của các vấn đề toán học” Sau này, Hersh (1991, [10]) đã viết: So với toán học trong quá trình phát triển (toán học mặt sau) thì toán học chính thức (toán học mặt trước)

là hình thức, chính xác và trừu tượng Nó được phân biệt rõ ràng theo định nghĩa, định lý và nhận xét Đối với mọi câu hỏi đều có một câu trả lời hay ít nhất cũng được gán cho cái nhãn là: “câu hỏi mở” Mục đích được phát biểu ở phần đầu của mỗi chương, và đạt được ở phần sau So với toán học mặt trước, toán học mặt sau là rời rạc, không hình thức, trực quan, nhạy cảm Chúng ta thử cái này hay cái kia, chúng ta nói “có thể xảy ra” hoặc “nó trông giống như” Như vậy, Hersh không quan tâm quá nhiều đến những vấn đề có tính bản thể luận khô khan về bản chất của toán học và của các đối tượng toán học, mà lại quan tâm nhiều đến phương pháp luận về việc làm toán, nó làm cho toán học trở thành một hoạt động của con người Ernest (1991, [6]) đã dựa trên quan điểm triết lý của Lakatos về toán học để thiết lập Triết lý của giáo dục toán và lý thuyết kiến tạo xã hội như là một triết lý của toán học Ernest tuyên bố triết lý chấp nhận sai lầm và kiến tạo xã hội của toán học được trình bày bởi Lakatos không chỉ đạt được những thực hành giáo dục, mà Lakatos đã tiên liệu trước về các ứng dụng này (tr 208) Ernest quan niệm toán học nhà trường cần phải theo bản chất được kiến tạo mang tính xã hội được trình bày bởi Lakatos, và cũng cho rằng giáo viên và học sinh nên cùng tham gia theo cách của mình vào các tranh luận, đặc biệt là đặt và giải quyết vấn đề, nối kết và đối mặt với các giả thuyết, và tham gia vào những thảo luận khởi đầu

Như là một triết lý của toán học, Ernest (1991, [6]) cho rằng kiến tạo xã hội xem toán học như là một cấu trúc mang tính xã hội Nó dựa vào “thuyết qui ước của cộng đồng” để thừa nhận “ngôn ngữ của con người, các qui tắc và thỏa thuận đóng một vai trò quan trọng trong việc thiết lập và kiểm chứng tính đúng đắn của toán học” (tr 42) Ernest đưa ra ba căn cứ cho triết lý này:

- Kiến thức có tính ngôn ngữ, các qui ước của cộng đồng và qui tắc định hình nền tảng của kiến thức toán học

- Các quá trình có tính xã hội giữa các cá nhân là cấn thiết để chuyển một kiến thức toán học chủ quan của cá nhân thành kiến thức toán học khách quan được thừa nhận

- Tính khách quan được hiểu là mang tính xã hội

Điều cơ bản để phân biệt lý thuyết kiến tạo xã hội với các triết lý khác của toán học là nó quan tâm đến sự tương tác giữa kiến thức toán học chủ quan và kiến thức toán học khách quan Khi một kiến thức toán học được khám phá bởi một cá nhân, kiến thức chủ quan này trở thành kiến thức được thừa nhận bởi cộng đồng, như vậy nó trở thành khách quan Rồi thì, khi kiến thức này được phổ biến cho những người khác, họ phải tiếp thu nó và nó lại trở thành chủ quan

Kiến thức toán học là những gì được con người sáng tạo hay khám phá theo bối cảnh xã hội Thuyết kiến tạo xã hội dựa vào việc có thể chấp nhận sai lầm của các chứng minh như là chứng cứ để quan niệm rằng toán học là một cấu trúc mang tính xã hội và như thế thì toán học thiếu sự chắc chắn Nếu việc kiểm chứng các kết quả toán học có thể là sai, như thế các kết quả toán học là chủ quan ngay cả đối với câu hỏi Thuyết kiến tạo xã hội cho rằng một chứng minh toán học trở thành đúng khi nó được thừa nhận bởi cộng đồng, và được thể hiện ở những trạng thái “kết quả

x, y, z… tồn tại” Nói cách khác, đối với giáo dục toán, học sinh cần biết rằng gánh

nặng của chứng minh là thuyết phục được người khác và nó sẽ gánh nặng này sẽ thay đổi ở những thời điểm khác nhau, phụ thuộc vào tính chặt chẽ đòi hỏi bởi các cộng đồng toán học cụ thể Theo cách này, học sinh sẽ nhận ra được rằng các em cần nhạy bén với những gì được xem là chứng minh trong cộng đồng của mình Nó trái ngược với ý tưởng cho rằng chứng minh là một suy diễn có hệ thống chặt chẽ từ các kết quả toán học đã biết

Cùng với sự phát triển của giáo dục thế giới, giáo dục nước ta nói chung và giáo dục toán nói riêng cũng đang có những chuyển biến tích cực Định hướng quan trọng trong đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay là phát huy tính tích cực, chủ

động, sáng tạo của học sinh, “lấy học sinh làm trung tâm”

Theo quan điểm của nhiều nhà giáo dục toán học hiện nay, giải quyết vấn đề

là kĩ năng trọng tâm của việc học toán Casti (2001, [4]) cho rằng: “lí do tồn tại của toán học đơn giản là để giải quyết vấn đề” Và Schoenfeld (1979, [22]) đã chỉ ra

rằng việc giảng dạy giải quyết vấn đề thông qua “khám phá tự nghiệm” giúp nâng

cao khả năng giải quyết vấn đề toán học Khám phá tự nghiệm toán học được đặc trưng bởi phỏng đoán, đưa ra các giả thuyết, chứng minh và bác bỏ Margolis (1987,

được coi là một sản phẩm toán học thì nó phải được chứng minh chặt chẽ bởi lập luận logic Điều đó cho thấy việc đặt giả thuyết và chứng minh là cực kì quan trọng trong sự phát triển của toán học

Việc sử dụng “tính không thể” trong toán học để học sinh khám phá tự nghiệm

là rất cần thiết bởi: Bản thân các giả thuyết về “tính không thể” là những tình huống

có vấn đề, nó khuyến khích học sinh tìm tòi, đặt giả thuyết, đưa ra các chứng minh, bác bỏ các giả thuyết, các bổ đề, đưa ra các phản ví dụ; trong quá trình đưa ra các bác bỏ, các giả thuyết mới cũng sẽ được hình thành Và nó lại tiếp tục nảy sinh các tình huống có vấn đề Các phản ví dụ đưa ra cũng có thể được phát triển thành một giả thuyết mới Quá trình này cứ liên tục lặp lại, các tình huống có vấn đề liên tiếp được tạo ra một cách hết sức tự nhiên trong quá trình phát triển tri thức toán Học sinh sẽ bị mê hoặc bởi các vấn đề do chính mình đặt ra Từ đó các em có sự hứng thú hơn trong việc học kiến thức Toán đó nói riêng, cũng như Toán học nói chung Các bài toán về “tính không thể” sẽ tạo cho các em sự tò mò trong khám phá tri thức, linh động hơn trong tư duy

Với những lí do trên, tôi thấy thật sự cần thiết có một nghiên cứu về khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh của học sinh trong khám phá tự nghiệm toán về tính không thể như thế nào, nhằm để giáo viên có thể giúp học sinh

của mình nâng cao khả năng giải quyết vấn đề Vì vậy tôi chọn: “Giả thuyết và

chứng minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có “tính không thể” của học sinh trung học phổ thông” làm đề tài cho luận văn này

1.2 Các thuật ngữ chính

Giả thuyết là những phương án suy luận giả định từ những ý tưởng nảy sinh có thể áp dụng để giải quyết vấn đề Giả thuyết được hình thành trên cơ sở nhận diện vấn đề, tổng hợp và phân tích thông tin, đánh giá điều kiện chủ quan và khách quan cùng mức độ phù hợp với mục tiêu đề ra

Chứng minh là quá trình đưa ra các lập luận để chứng tỏ giả thuyết đã đặt ra là đúng cho mọi trường hợp không trừ một trường hợp cụ thể nào

Khám phá tự nghiệm là quá trình học sinh đưa ra các phương án để giải quyết vấn đề dựa trên các phỏng đoán, đặt giả thuyết

1.3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài: Giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm các

bài toán có tính không thể của học sinh trung học phổ thông là nhằm:

Đánh giá khả năng đặt giả thuyết và chứng minh của học sinh trung học phổ thông trong khám phá tự nghiệm thông qua các bài toán về tính không thể

Từ đó, đề xuất những phương án nhằm nâng cao khả năng đặt giả thuyết và chứng minh của học sinh

1.4 Câu hỏi nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu ở trên, đề tài này nhằm mục đích trả lời cho các câu hỏi sau đây:

 Khả năng đặt giả thuyết của học sinh trung học phổ thông trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể là như thế nào?

 Khả năng tìm con đường chứng minh của học sinh trung học phổ thông trong khám phá tự nghiệm các bài toán cótính không thể như thế nào?

 Làm thế nào để giúp học sinh nâng cao khả năng đặt giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể?

1.5 Ý nghĩa nghiên cứu

Nghiên cứu này được mong đợi sẽ góp phần làm sáng tỏ khả năng đặt giả thuyết và chứng minh của học sinh THPT qua khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể Tìm kiếm và đề xuất được một số phương án nhằm nâng cao khả năng đặt giả thuyết và chứng minh của học sinh

1.6 Tiểu kết chương 1

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày những lập luận ban đầu cho thấy được sự cần thiết phải thực hiện nghiên cứu này Chúng tôi cũng đã trình bày mục đích và ý nghĩa của nghiên cứu, đồng thời đưa ra các câu hỏi nghiên cứu, định nghĩa một số thuật ngữ được sử dụng trong luận văn

Chương 2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 2.1 Các kết quả nghiên cứu liên quan

Có nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc đặt giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm Nổi bật là công trình nghiên cứu của Imre Lakatos (1976, [14]): “Các chứng minh và bác bỏ” Công trình này đặt ra những vấn đề cần quan tâm khi sử dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học toán Lakatos đề xuất tiếp cận kiến thức toán học dựa vào khám phá tự nghiệm thông qua việc học sinh tự đặt các giả thuyết và nổ lực đi chứng minh hay bác bỏ bằng các phản ví dụ Công trình của Lakatos nhấn mạnh quan điểm có thể sai lầm của toán học, nó đi ngược lại với quan điểm của những người theo lý thuyết Plato (427-347 TCN),cho rằng toán học là một thực thể kiến thức thống nhất với sự chắc chắn mang tính bản thể luận và là một cấu trúc không có sai lầm Công trình của Lakatos đã thúc đẩy sự phát triển của nghiên

cứu lý thuyết của giáo dục toán, đặc biệt là lý thuyết kiến tạo

Một nghiên cứu khác về chứng minh trong khám phá tự nghiệm là kết quả nghiên cứu của Reiss và Renkl (2002, [19]) đề cập đến việc sử dụng các ví dụ có tính khám phá tự nghiệm để học sinh đưa ra các giả thuyết và đi chứng minh các giả thuyết đó Một ví dụ được nêu trong bài báo là bài toán về tổng số các góc trong một tam giác Một số ý tưởng khám phá tự nghiệm có thể thực hiện để dẫn đến việc đặt giả thuyết tổng các góc trong của một tam giác là 180 :

 Vẽ ra một tam giác, dùng thước đo và cộng số đo tất cả các góc trong của tam giác đó, các kết quả thu được có thể là các số chẳng hạn như:

'

181 , 180 5 , 179 , 180 , Lập lại quá trình này một số lần, nhận thấy các kết quả này đều giao động quanh 180 , dẫn đến việc đưa ra giả thuyết rằng tổng các góc trong một tam giác là 180

Hình 2.1

 Vẽ một tam giác lên giấy, dùng kéo cắt các góc trong của tam giác rồi ghép chúng lại thành một góc mới, sau đó đo góc vừa mới tạo thành Lập lại quá trình này một vài lần, các kết quả có được cũng như trên, nằm trong lân cận của 180

Hình 2.2

 Vẽ một tam giác rồi cắt nó ra, cắt tiếp hai tam giác nữa bằng tam giác vừa cắt, ghép chúng lại sao cho các cạnh dính nhau phải bằng nhau, dùng thước thẳng để kiểm tra xem hai cạnh và một đỉnh của các tam giác có nằm trên cùng một đường thẳng hay không Kết quả thu được có thể là gần như nằm trên một đường thẳng, từ đó học sinh đưa ra giả thuyết của mình

Hình 2.3

Rõ ràng có nhiều nghiên cứu về vấn đề đặt giả thuyết và chứng minh trong

khám phá tự nghiệm nhưng việc nghiên cứu cụ thể vấn đề “Giả thuyết và chứng

minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể của học sinh trung

2.2 Nền tảng lý thuyết

Có nhiều quan niệm khác nhau về: Toán học là gì? Trong đó có quan niệm

cho rằng toán học có những đặc trưng chính: Giải quyết vấn đề, đặt giả thuyết, chứng minh

2.2.1 Toán học là giải quyết vấn đề

Theo Krulik và Rudnick (1980, [12]): “Giải quyết vấn đề chỉ quá trình một cá nhân sử dụng kiến thức, kỹ năng và hiểu biết đã học trước đó để đáp ứng đòi hỏi của những tình huống không quen thuộc đang gặp phải”

Theo Polya (1965, [18]) thì “bản chất toán học là giải quyết vấn đề” Có nhiều phương án giải quyết vấn đề, việc chọn những phương án phù hợp với đối tượng học sinh là rất cần thiết Sau đây là một số phương án giải quyết vấn đề thường gặp (Krulik và Rudnick, 1980, [12]) :

- Phát hiện quy luật

- Phân tích đi lên

- Suy luận logic

Ví dụ 2.1: Cho n là một số tự nhiên chia hết cho 4 Viết các số tự

nhiên từ 1 đến n lên bảng, ta tiến hành xóa hai số bất kì và thay

bằng tổng của chúng Làm như vậy cho đến khi còn lại một số

trên bảng Hỏi liệu có tồn tại một chiến lược thay thế nào mà số

cuối cùng còn lại trên bảng là một số lẻ không?

Đề giải quyết vấn đề này, ta đưa bài toán về một số trường hợp

cụ thể; chẳng hạn với n4, dù chọn chiến lược thay thế như thế

nào đi nữa thì số cuối cùng luôn là số chẵn, hơn nữa, ta sẽ phát

hiện thêm rằng số này là không đổi dù thực hiện theo chiến lược

nào và chính là tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 4 Từ đó dẫn

đến việc phát hiện tính bất biến của số hạng cuối cùng ứng với

mỗi giá trị của n khi thay đổi cách thức thay số nào đi chăng nữa

Đây chính là cơ sở cho việc đưa ra giả thuyết và định hướng con

đường chứng minh

Ta có: với mọi số tự nhiên n, số hạng cuối cùng của quá trình

thay số là tổng của các số tự nhiên từ 1 đến n và bằng ( 1)

chia hết cho 2, hay số

hạng cuối cùng của quá trình này không thể là số lẻ Vấn đề đến

đây đã được giải quyết

Hiện nay, giải quyết vấn đề là một phần chính trong việc dạy học toán Việc giải quyết vấn đề không chỉ là mục đích mà còn là phương tiện chính của việc học toán Giải quyết vấn đề không đảm bảo sự thành công trên con đường đi đến lời giải, nhưng nó sẽ giúp học sinh tự tin tìm tòi, học hỏi trong quá trình khám phá tự nghiệm của mình

Để phát triển được năng lực tư duy toán học cho học sinh, giáo viên cần phải chọn các vấn đề hoặc các bài toán có những đặc điểm sau (Trần Dũng, 2007, [1]):

 Hấp dẫn và thách thức học sinh

 Đòi hỏi phân tích, phê phán và những kỹ năng quan sát

 Tạo cơ hội cho thảo luận và tương tác

 Gắn liền với việc hiểu một khái niệm toán và áp dụng một kỹ năng toán

 Có nhiều hướng tiếp cận khác nhau

 Có thể đưa đến một quy tắc hay một sự tổng quát

2.2.2 Toán học là đặt các giả thuyết

Margolis (1987, [15]) cho rằng: “mọi định lý đều xuất phát từ các giả thuyết” Các giả thuyết được đặt ra không phải là những phỏng đoán lung tung, không có căn cứ; các nhà toán học thường cố gắng để chứng minh chỉ những giả thuyết mà họ

tin là đúng Trước khi đưa ra các lập luận để chứng minh, đôi khi họ thường mô tả một cách mường tượng chứng minh của nó

Người có công lớn nhất trong việc kêu gọi sự quan tâm đến tầm quang trọng của tư duy quy nạp và tư duy giả thuyết, có lẽ không ai làm vượt hơn George Polya, nhà toán học người Mỹ gốc Hungary Polya (1954a, [16]) phân biệt giữa “toán học hoàn thành” và “toán học đang hình thành” Toán học đã hoàn thành bao gồm các suy luận của các chứng minh suy diễn Toán học đang hình thành gồm những kiến thức khác của nhân loại đang hình thành: “Bạn phải dự đoán định lý toán học trước khi chứng minh nó: bạn phải dự đoán ý tưởng của chứng minh trước khi bắt tay vào chứng minh chi tiết Bạn phải kết hợp các quan sát và theo đuổi các phép tương tự: bạn phải thử đi thử lại nhiều lần Kết quả của công trình sáng tạo của nhà toán học là đưa ra chứng minh; nhưng chứng minh được khám phá bởi suy luận có lý, bằng dự đoán” (Polya, 1954a, [16])

Polya khuyên học sinh không chỉ học cách phân biệt giữa một chứng minh với một dự đoán, mà còn phải biết nói lên sự khác biệt giữa các dự đoán có lý nhiều hay

ít “Để trở thành một nhà toán học giỏi, hay một người chơi bài giỏi, hay giỏi bất kỳ việc gì, bạn phải là một người dự đoán giỏi” (Polya, 1954a, tr 111, [16])

Không phải giả thuyết nào cuối cùng cũng trở thành định lý Có rất nhiều giả thuyết nổi tiếng đã là giả thuyết trong một thời gian dài và vẫn như vậy mặc dù các nhà toán học đã mất rất nhiều thời gian để cố gắng chứng minh chúng Một số khác thì được chỉ ra là sai Không ai biết được tỉ lệ phần trăm của các giả thuyết mà các nhà toán học chứng minh là đúng là bao nhiêu Việc nghiên cứu các giả thuyết sai lầm thường dẫn ta đến những khám phá quan trọng và sự phát triển của các khía cạnh mới của các câu hỏi mang tính toán học

Ví dụ 2.2: Vào thế kỷ V trước công nguyên, các nhà toán học Trung Quốc đã

đưa ra giả thuyết rằng nếu 2n 2 chia hết cho n thì n là số nguyên tố Người ta đã

2  2, 3

2  2, 5

2  2, 7

2  2 chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5, 7; trong khi 4

2  2, 6

2  2, 8

2  2 không chia hết cho các hợp số 4, 6, 8 Họ tiếp tục kiểm tra cho các trường hợp lớn hơn của n và thấy nó vẫn còn đúng Mãi đến năm 1819, giả thuyết này đã bị bác bỏ khi người ta nhận thấy với n341 thì 341

2  2 chia hết cho 341, nhưng 341 11 31  là hợp số

2.2.3 Toán học là đƣa ra chứng minh

Toán học dường như là một sự thống nhất hoàn toàn chặt chẽ với sự hòa hợp hoàn toàn trên tất cả các vấn đề, đặc biệt là các quan điểm về các minh chứng, một quy trình mà theo đó một đề xuất về thực tại vô hình có thể được thành lập với sự dứt khoát và được chấp nhận bởi tất cả mọi người Có thể thấy được rằng nếu một vấn đề toán học có một câu trả lời xác định thì những nhà toán học khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau, làm việc ở những thời điểm khác nhau sẽ tìm được một câu trả lời giống nhau (Davis & Hersh, 1981, tr 112, [5])

Chứng minh là quá trình đưa ra các minh chứng cho giả thuyết đã đặt ra là đúng cho mọi trường hợp không trừ một trường hợp cụ thể nào Và khi giả thuyết được chứng minh thì nó có thể được sử dụng để chứng minh các mệnh đề khác Một luận cứ trong chứng minh phải đúng đắn (dựa trên các lập luận logic vững chắc) và đầy đủ (rõ rằng và chi tiết) dựa trên những thiết lập không thể chối cải Khi đó chúng ta sẽ tránh những ngộ nhận từ chính bản thân chúng ta và cũng như bất cứ ai đều có thể kiểm định kết quả

Để thiết kế một môi trường học tập hiệu quả cho chứng minh toán học, chúng

ta cần một khung lí thuyết dạy học dựa trên lớp học cho chứng minh toán học, ở đó cung cấp cơ hội học tập được tổ chức tốt cho học sinh, đó là điều cần thiết cho thấy không chỉ kết quả mong đợi là các chứng minh toán học, mà còn là quá trình chứng minh toán học để đạt được kết quả đó Quá trình chứng minh một định lý có thể mất một thời gian dài và bao gồm cả những tiến bộ cũng như những thất bại bất ngờ Quá trình chứng minh có thể bao gồm những nổ lực khác nhau Mặc dù chứng minh cuối cùng chứa đựng những lập luận chặt chẽ được sắp xếp theo một chuỗi suy diễn, nhưng một phiên bản được công bố như vậy thì sẽ khó phản ánh được quá trình sản sinh của nó Tương tự, chứng minh trong sách giáo khoa cũng được trình bày như là một chuỗi các lập luận phù hợp cung cấp bằng chứng trực tiếp hợp lý cho một mệnh đề Tuy nhiên, cần lưu ý rằng điều này không cho thấy cái cách mà học sinh thành công trong việc đưa ra những chứng minh

Nhận thấy đặc trưng lặp đi lặp lại của việc thực hiện một chứng minh, các nhà giáo dục toán thường cho rằng việc dạy và học chứng minh không nên bị hạn chế

trong việc đưa ra một kết quả chính xác mà nên nhấn mạnh những khía cạnh quy trình trong chứng minh Nó cũng được biết đến qua một số báo cáo của các nhà toán học về cách mà quá trình này có thể diễn ra chẳng hạn như của: Waerden (1954); Wertheimer (1945); Reiss & To¨rner (2007, [20]) Đặc biệt, các nhà toán học nhấn mạnh rằng chứng minh là một quá trình trong đó không chỉ có suy luận suy diễn mà

sự khám phá cũng đóng vai trò cốt yếu (Polya, 1957, [17]) Các tính chất lặp đi lặp lại của chứng minh có thể được coi là cơ sở cho mô hình chứng minh toán học được trình bày bởi Boero (1999, [3])

Để phân biệt giữa quá trình và kết quả của chứng minh thì Boero phân biệt những giai đoạn khác nhau và cung cấp cái nhìn sâu sắc về sự kết hợp của khám phá thực nghiệm-quy nạp và giả thuyết-các bước suy diễn trong suốt quá trình tạo ra một chứng minh toán học

Giai đoạn đầu tiên được mô tả trong mô hình này là:

(1) Đưa ra một giả thuyết

Điều này bao gồm sự khảo sát vấn đề dẫn đến giả thuyết cũng như việc xác định các lập luận hỗ trợ cho những chứng cứ của nó Boero đề cập đến giai đoạn này như là “phần công việc dành riêng cho các nhà toán học” Công việc này sẽ không được công khai chia sẻ với cộng đồng toán học nhưng có thể được dựa vào đó để thảo luận với các nhà toán học khác

(2) Trình bày một quan điểm dựa vào những quy ước

Giai đoạn này nhằm cung cấp một phỏng đoán được phát biểu một cách chính xác và là cơ sở cho những hoạt động tiếp theo Nó có thể được sửa đổi trong những quá trình tiếp theo nhưng giả thuyết mới này sẽ ảnh hưởng đến hầu hết những hoạt động đã được thực hiện của các nhà toán học

(3) Khảo sát những phỏng đoán, nhận ra các lập luận toán học thích hợp và

sự sinh ra của một ý tưởng chứng minh thô

Đây cũng là một phần của “công việc dành riêng” vì sự khám phá có thể dẫn đến những sai lầm và chỉ là những ý tưởng sơ bộ trong chứng minh

Chỉ có 3 giai đoạn sau đây là phải trao đổi công khai, chúng bao gồm:

(4) Lựa chọn và kết hợp của các lập luận mạch lạc trong một chuỗi suy diễn

(5) Tổ chức các lập luận dựa theo các tiêu chuẩn toán học

(6) Đề xuất một chứng minh chính thức

Mô hình của Boero mô tả một quá trình chứng minh của một nhà toán học chuyên nghiệp, nhưng nó cũng có thể được xem như là một mô hình cho việc học chứng minh Bốn giai đoạn đầu tiên của mô hình được xem là đặc biệt quan trọng đối với người học như là việc họ mô tả quá trình tìm kiếm một giải pháp và các bằng chứng chứng minh nó đúng Dường như rõ ràng rằng thực hiện quá trình này trong các giai đoạn khác nhau phụ thuộc vào những điều kiện tiên quyết nhất định liên quan đến các kiến thức về những cơ sở lập luận và quy trình toán học Những học sinh có thể thiếu kiến thức và cần sự trợ giúp cụ thể liên quan đến những cơ sở lập luận và quy trình đó Thêm nữa, nó giúp cho học sinh hiểu rõ được quá trình chứng minh và các giai đoạn khác nhau của nó để hỗ trợ cho việc chứng minh Bản chất của chứng minh và quá trình đưa ra chứng minh cũng như những chứng minh không được chấp nhận được sửa chửa, đã được nghiên cứu trong công trình đầy thú vị của Lakatos (1976, [14]) Mục đích nghiên cứu tình huống của Lakatos của phương pháp luận về toán học theo lời ông là để chi tiết hóa các vấn đề không hình thức, toán học thực nghiệm gần như không phát triển được bởi vì sự gia tăng nhanh của số lượng các định lý, nhưng sẽ phát triển thông qua việc không ngừng cải tiến bằng việc suy đoán và phê phán, bằng những chứng minh logic và bác bỏ

Luận án tiến sĩ của Lakatos kể lại một cuộc thảo luận dài giữa một nhóm các sinh viên và một giáo viên trong lớp học Cuộc đối thoại này diễn ra trong một lớp học tưởng tượng, nhưng các cuộc thảo luận cho thấy sự phát triển của tư duy toán học qua nhiều thế kỷ liên quan đến những vấn đề trọng tâm của lớp học

Vấn đề mà lúc đầu lớp học chú ý đó là câu hỏi về liệu có một mối liên hệ giữa số

đỉnh (Đ), số cạnh (C), số mặt (M) của một khối đa diện Học sinh khám phá thông qua

quá trình khám phá tự nghiệm “thử và sai” cho khối đa diện đều, và phát hiện được

mối liên hệ giữa chúng là theo công thức Đ-C+M=2 (Cả Euler và Descartes đã nhận

thấy được đều này, Euler là vào năm 1752, Descartes là vào năm 1640)

Giáo viên đã đề xuất một chứng minh cho mối liên hệ này cho tất cả các khối

đa diện Các học sinh không thừa nhận tính hợp lệ của chứng minh (mà thực sự đã được cho là đáng tin cậy bởi một vài nhà toán học nổi tiếng ở thế kỉ 19) bằng việc đặt nghi vấn về tính đúng đắn của một số lập luận Họ làm điều này bằng cách tìm các phản ví dụ cho một hoặc nhiều lập luận

Các bước mà giáo viên đã thực hiện:

1 Bao phủ bề mặt hình đa diện bằng một màng cao su, sau đó cắt bỏ một mặt,

và trải màng cao su lên mặt phẳng, lúc đó, các cạnh có thể bị biến dạng thành đường cong, nhưng số cạnh và số đỉnh thì không đổi, số mặt giảm đi một, và

đo đó, cần chứng minh sau khi trải thì: Ð-C+M=1

2 Vẽ các đường chéo (có thể là cong) của các đa giác (các cạnh của nó có thể cong) để tạo thành một mạng lưới gồm các tam giác (các cạnh có thể cong)

Khi đó, số cạnh và số mặt đều tăng lên 1, số đỉnh không đổi, do dó, Đ-C+M

không thay đổi

3 Từ mạng lưới các tam giác, cắt bỏ lần lượt các tam giác bằng cách hoặc bỏ

đi một cạnh khi mà một mặt và một cạnh sẽ biến mất hoặc là bỏ đi hai cạnh và

một đỉnh khi mà một mặt, hai cạnh và một đỉnh sẽ biến mất Do đó, Đ-C+M

cũng không thay đổi cho đến khi quá trình này dừng lại khi chỉ còn một tam

giác duy nhất; lúc này, Đ-C+M=1 Và ta đã chứng minh xong giả thuyết: với mọi đa diện thì Đ-C+M=2

Sau đây là hình ảnh minh họa cho trường hợp hình lập phương

Bước 1:

Hình 2.4

Bước 2:

Hình 2.5 Bước 3:

Hình 2.6 Học sinh cảm thấy chứng minh này chưa thực sự thuyết phục, học sinh nghi ngờ về tính đúng đắn của các bước chứng minh cũng như tính đúng đắn của giả

thuyết ban đầu (tất cả các hình đa diện đều có Đ-C+M=2)

Phản ví dụ (hình 2.7) mà học sinh đưa ra để bác bỏ bước thứ 3 của chứng minh (phản ví dụ cục bộ) đó là khi thực hiện loại bỏ các tam giác theo thứ tự như hình vẽ sau thì cuối cùng sẽ còn lại hai tam giác 9 và 10 rời nhau

Một phản ví dụ khác vừa là cục bộ-bác bỏ chứng minh giáo viên đưa ra, vừa là toàn cục khi bác bỏ giả thuyết ban đầu học sinh đã đưa ra được minh họa

ở hình sau:

Hình 2.8 Đặc trưng Euler: Đ-C+M=4

Ở trường hợp này, không thể dùng màng cao su để phủ và trải ra theo cách mà

giáo viên trình bày được Hơn nữa, Đ-C+M=4

Lakatos đưa ra sự khác biệt giữa một phản ví dụ cục bộ-cái bác bỏ một bổ đề, một đề xuất bổ trợ cho định lý, một chứng minh hay một giả thiết để đơn giản hóa việc chứng minh định lý-của một chứng minh mà không nhất thiết là giả thuyết chính người ta đang cố gắng để chứng minh, với một phản ví dụ toàn cục, bác bỏ chính bản thân giả thuyết chính Một phản ví dụ toàn cục chỉ ra rằng giả thuyết chính là sai, trong khi đó một phản ví dụ cục bộ chỉ ra rằng chỉ một vài bước chứng minh là sai, nhưng không loại trừ khả năng giả thuyết chính là đúng) Giáo viên thừa nhận rằng học sinh đã thực sự chỉ ra được chứng minh cũng như giả thuyết ban đầu là chưa chính xác, nhưng thay vì loại bỏ nó, họ cố gắng cải thiện nó để nó có thể “đứng dậy” được sau những phê phán

Ví dụ như: khi nhận ra các khối đa diện có lỗ hổng (như hình 2.8), dạng khung ảnh (như hình 2.9), dạng đa cấu trúc (như hình 2.10) đều không có đặc trưng Euler

(Đ-C+M) khác 2, học sinh đã cải thiện giả thuyết ban đầu lại thành: Tất cả các khối

đa diện mà không có lổ hổng, dạng khung ảnh, đa cấu trúc đều có Đ-C+M=2 Và sau đó là: Tất cả các khối đa diện lồi đều có Đ-C+M=2

Hình 2.9 Đặc trưng Euler: Đ-C+M=0

Hình 2.10 Đặc trưng Euler: Đ-C+M=3

Nâng cao khả năng của học sinh trong việc suy luận một cách chính xác và lập luận một cách mạch lạc được coi là một mục tiêu quan trọng trong giảng dạy Kỹ năng suy luận và lập luận là rất quan trọng đối với nhiều lĩnh vực khác nhau, và giữ một vai trò đặc biệt trong toán học Tuy nhiên, nhiều học sinh phải đối mặt với những khó khăn nghiêm trọng trong việc suy luận và lập luận chặt chẽ và đặc biệt là trong chứng minh toán học (Reiss, Klieme, & Heinze, 2001, [21])

Những nghiên cứu giáo dục toán đã phân tích các lĩnh vực lập luận, suy luận

và chứng minh toán học từ nhiều quan điểm khác nhau Đặc biệt, những vấn đề của học sinh trong việc học chứng minh toán học dẫn đến một nghiên cứu sâu sắc trong việc phân biệt các khái niệm lập luận, suy luận và chứng minh toán học Sự phân biệt khái niệm này rất quan trọng trong việc thảo luận về những tác động có thể cho việc dạy và học toán Ví dụ, Hanna và de Villiers (2008, [7]) định nghĩa lập luận là:

“một diễn giải hợp lý không nhất thiết là một suy diễn nhưng sử dụng những lập luận có vẻ hợp lý” Có hai quan điểm khác nhau trong cộng đồng giáo dục toán học, một nhóm xem lập luận và chứng minh như là một sự phân đôi và một nhóm khác

những quan điểm này có liên quan đến những vận dụng đặc biệt trong việc học Trường hợp tranh luận đầu tiên có thể được xem như là một chướng ngại nhận thức trong việc học chứng minh toán học và theo đó, việc dạy chứng minh nên chú trọng vào tính chặt chẽ của các lập luận trong một kết quả chứng minh và trong khung khái niệm để xây dựng bằng chứng giải quyết vấn đề Nhóm thứ hai tập trung chủ yếu vào những lập luận trong bối cảnh giải quyết vấn đề, thực nghiệm và thăm dò, nhưng mong chờ những lập luận được tổ chức một cách hợp lý để tạo ra một chứng minh toán học hợp lệ (Hanna & de Villiers, 2008, [7])

Đối với nghiên cứu này, chúng tôi chọn quan điểm thứ hai Chúng tôi xem xét chứng minh toán học là sự kết hợp của suy luận-khả năng tư duy một cách logic và lập luận-khả năng suy diễn mệnh đề từ những lập luận trước đó Các nghiên cứu cho thấy rằng khả năng để lập luận toán học một cách hợp lý và tạo ra một chứng minh phụ thuộc vào các điều kiện tiên quyết nhất định, bao gồm các kiến thức về khái niệm toán học và phương án khám phá tự nghiệm, những áp dụng của chúng trong các tình huống có vấn đề, việc sử dụng các chiến lược điều khiển nhận thức, cũng như một sự hiểu biết đầy đủ về bản chất của chứng minh trong toán học (Schoenfeld, 1983b, [23]) Một vài nghiên cứu thực nghiệm từ các quốc gia và nền văn hóa khác nhau cho thấy rằng nhiều học sinh thiếu một hoặc nhiều hơn các khía cạnh của năng lực chứng minh

Nhiều học sinh tiếp cận một nhiệm vụ chứng minh bằng việc sử dụng các lập luận dựa trên các bằng chứng thực nghiệm hay khái quát hóa từ một vài trường hợp

cụ thể, ví dụ như phân tích một hay hai ví dụ hay đặc biệt trong hình học, bằng cách

đo góc và đoạn thẳng Đôi khi họ sử dụng những suy luận dựa vào tình huống mà

có thể bao gồm những ý tưởng thích hợp cho một chứng minh Tuy nhiên, hầu hết học sinh đặc biệt khó khăn trong việc thu hẹp khoảng cách giữa suy luận quy nạp và suy diễn trong toán học Họ thiếu các chiến lược có thể giúp họ xác định lập luận toán học hỗ trợ ý tưởng thực nghiệm của họ và tạo ra bằng chứng toán học Các nghiên cứu về chứng minh và lập luận không chỉ cho thấy rằng nhiều học sinh khó khăn trong việc chứng minh, mà còn cung cấp bằng chứng về bản chất của năng lực chứng minh

2.2.4 Chứng minh tính không thể

Theo Miklós Laczkovich (2001, [13]), những chứng minh về tính không thể là những giới thiệu tốt nhất về “linh hồn của toán học” Khi chúng ta chứng minh một điều gì đó là không thể xảy ra, một vấn đề nào đó là không thể giải quyết được hay một đối tượng nào đó là không tồn tại thì những lập luận của chúng ta luôn rất tổng quát, rõ ràng, dứt khoát Mark Kac và Stanislaw Ulam (1969, [11]) thì cho rằng: Tính duy nhất và riêng biệt trong suy luận toán học được phơi bày trong những chứng minh về tính không thể

Để chỉ ra rằng một giả thuyết là sai, ta phải tìm một một trường hợp (phản ví dụ) mà nó không đúng Có rất nhiều giả thuyết nổi tiếng trong toán học đã tồn tại rất lâu trước khi người ta tìm được phản ví dụ chứng minh nó là sai Một trường hợp nổi bật đó là giả thuyết của Fermat rằng mọi số có dạng 2

2 n 1 đều là số nguyên tố Điều này là rất thú vị vì Fermat đã nghĩ ra nó chỉ dựa trên cơ sở của một số ít các giá trị

của n mà nó đúng Euler đã chứng minh giả thuyết này là sai bằng cách chỉ ra rằng số

Định lý cuối cùng của Fermat (định lý Fermat lớn) là một ví dụ về việc chứng minh tính không tồn tại Định lý cuối của Fermat là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán học Định lý này phát biểu như sau:

Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn

x n + y n = z n trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2

Định lý này đã làm hao mòn không biết bao bộ óc vĩ đại của các nhà toán học lừng danh trong gần 4 thế kỉ Cuối cùng nó được Andrew Wiles chứng minh vào năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển từ việc chứng minh

các giả thiết có liên quan Tuy nhiên chứng minh này còn thiếu sót và đến năm 1995 Wiles mới hoàn tất, công bố chứng minh trọn vẹn

Một ví dụ nổi tiếng khác về tính không tồn tại là “định lý bất toàn” của Gödel

được chứng minh năm 1930:

Định lý 1: “Nếu một lý thuyết dựa trên một hệ tiên đề phi mâu thuẫn thì trong

lý thuyết ấy luôn luôn tồn tại những mệnh đề không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ.”

Định lý 2: “Không tồn tại bất cứ một quy trình suy diễn nào cho phép chứng

minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề.”

Gödel đã chỉ ra rằng có những bài toán không thể giải được bằng bất kỳ một tập hợp quy tắc hoặc quy trình nào; để giải những bài toán đó, người ta luôn luôn phải mở rộng hệ tiên đề Điều này đã phủ nhận một niềm tin phổ biến vào thời đó rằng các ngành toán học khác nhau có thể tập hợp lại và đặt trên một nền tảng logic duy nhất

Người ta thừa nhận rằng: Gödel là một trong những nhà logic xuất sắc nhất của mọi thời đại, với công trình của mình, ông đã gây ra một va chạm vô cùng lớn đối với tư duy khoa học và triết học thế kỷ 20, vào lúc mà rất nhiều người, như Bertrand Russell, Alfred Whitehead và David Hilbert đang cố sử dụng logic và lý thuyết tập hợp để hiểu được toàn bộ nền tảng của toán học

Định lý Gödel đã chấm dứt những nỗ lực kéo dài một trăm năm nhằm thiết lập một hệ tiên đề cho toàn bộ toán học Nỗ lực chủ yếu đã được thực hiện bởi Bertrand Russell trong cuốn Principia Mathematica (1910-1913) Một nỗ lực khác là chủ nghĩa hình thức của Hilbert, nhưng nỗ lực này đã bị giáng một đòn chí tử bởi những kết quả của Gödel Định lý Gödel là một bước ngoặt trong toán học thế kỷ XX, nó chỉ ra rằng toán học không phải là một cái gì đó hoàn hảo như ta vẫn tưởng

2.2.5 Khám phá tự nghiệm

Khám phá tự nghiệm là quá trình học sinh đưa ra các phương án để giải quyết vấn đề dựa trên các phỏng đoán trong khi tìm đường đi đến lời giải Khám phá tự nghiệm toán học được đặc trưng bởi phỏng đoán, chứng minh và những bác bỏ

Theo Lê Văn Tiến (2005, [2]) thì đặc trưng cơ bản của việc dự đoán chính là

sự “bấp bênh” của các kết quả đạt được từ thực nghiệm Nhưng chính tính bấp bênh này làm nảy sinh nhu cầu phải giải thích để thuyết phục người khác, từ đó tạo nên nhu cầu lập luận và chứng minh, đồng thời nêu bậc vai trò của công cụ chứng minh (vai trò hợp thức hóa) Chẳng hạn khi đo và tính tổng các góc của một tam giác mà tất cả các học sinh đều cho cùng một kết quả là 180 thì phỏng đoán „tổng các góc trong của một tam giác là 180 ” mất đi đặc trưng “bấp bênh” Và do đó, nhu cầu phải giải thích, phải chứng minh ở các em có thể bị mất đi Ngược lại, phỏng đoán

có được từ việc các em nhận xét được dù các kết quả khác nhau nhưng luôn giao động quanh 180 sẽ có giá trị hơn trong việc tạo động cơ chứng minh ở các em Các giai đoạn của khám phá tự nghiệm (Worrall và Zahar (1976, [14]))

- Đưa ra giả thuyết ban đầu dựa trên những quan sát cụ thể

- Chứng minh (thông qua các ý tưởng thực nghiệm, giả thuyết nhỏ hơn hoặc các bổ đề)

- Đưa ra các phản ví dụ toàn cục (phản ví dụ về phỏng đoán ban đầu)

- Kiểm chứng lại các chứng minh: cải thiện những phỏng đoán, thay thế những bổ đề lỗi bằng những giả thuyết tốt hơn

Không giống như tiếp cận bằng suy diễn, khám phá tự nghiệm đi từ những cái

cụ thể, qua sự vận động của bản thân để khám phá tri thức Nó giúp người học đến với tri thức một cách tự nhiên nhất Nó đề cao các phản ví dụ toàn cục, coi nó là một yếu tố giúp khám phá tri thức Nó nhấn mạnh các tình huống có vấn đề cũng như sự hình thành các tri thức mới một cách có hệ thống

Một số quy tắc trong khám phá tự nghiệm:

- Nếu bạn có một giả thuyết, hãy chứng minh hoặc bác bỏ nó Kiểm tra các bằng chứng một cách cẩn thận để chuẩn bị một danh sách các bổ đề không tầm thường (bằng chứng phân tích); tìm phản ví dụ cho cả giả thuyết (phản ví dụ toàn cục) và các bổ đề nghi ngờ (phản ví dụ cục bộ)

- Nếu một phản ví toàn cục loại bỏ giả thuyết, hãy thêm vào các phân tích chứng minh của bạn một bổ đề phù hợp,và thay thế các giả thuyết bị loại bỏ bởi một giả thuyết tốt hơn

- Nếu bạn có một phản ví dụ cục bộ, hãy kiểm tra để xem liệu nó có là một phản ví dụ toàn cục không

- Nếu bạn có một phản ví cục bộ nhưng không phải toàn cục, hãy cố gắng cải thiện bằng chứng phân tích của bạn bằng cách thay thế bổ đề bác bỏ bởi một bổ đề khác

Các nghiên cứu chỉ ra rằng khám phá tự nghiệm là một công cụ hữu ích để cải thiện thành tích của học sinh trong suy luận và chứng minh trong lớp học toán nói riêng và thúc đẩy sự hiểu biết của học sinh về một chủ đề toán học phức tạp nói chung

2.2.6 Chứng minh phản chứng

Để chứng minh mệnh đề A là đúng ( nghĩa là chứng minh A là sai), ta giả sử ngược lại A sai (nghĩa là A đúng) và chỉ ra rằng việc A đúng sẽ dẫn tới mâu thuẫn Như vậy, A phải sai, tức là A đúng

Mệnh đề A trong chứng minh thường có dạng A   P Q P Q và do đó,

Trong dạy học toán người ta thường chỉ viết: giả sử ngược lại Q sai, việc P

đúng được xem như ngầm ẩn

Ví dụ 2.4: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác sao cho

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3.1 Phương pháp nghiên cứu

Để trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên các học sinh THPT Phan Đăng Lưu, Thừa Thiên Huế, gồm 4 học sinh lớp 10, 4 học sinh lớp 12 (tên của các em đã được mã hóa) Trong đó,

 4 học sinh lớp 10 cùng nhau giải quyết bài toán ở phiếu thực nghiệm số 1

 4 học sinh lớp 12 cùng nhau giải quyết bài toán ở phiếu thực nghiệm số 2 Các nhóm tiến hành thảo luận các bài toán trên các phiếu thực nghiệm và trình bày bài làm của nhóm lên phiếu học tập mà không có sự can thiệp của nhà nghiên cứu

Chúng tôi tiến hành quan sát, ghi âm, ghi chú những thảo luận liên quan đến việc các em đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh trong quá trình giải quyết bài toán Tiến hành phỏng vấn học sinh để nắm rõ hơn những cơ sở mà các em dựa vào để đưa ra các giả thuyết, cũng như tìm con đường chứng minh cho các giả thuyết đó

Dữ liệu thu thập bao gồm file ghi âm, những ghi chú về quá trình thảo luận của học sinh cộng với kết quả từ cuộc phỏng vấn và bài làm của học sinh

Các dữ liệu thu thập được phân tích định tính, cụ thể:

 Dựa vào file ghi âm, những ghi chú về quá trình thảo luận cũng như kết quả phỏng vấn liên quan đến vấn đề đặt giả thuyết của học sinh cộng với thang mức đánh giá khả năng đặt giả thuyết trong khám phá tự nghiệm mà chúng tôi sẽ đề xuất

ở mục tiếp theo để đánh giá khả năng đặt giả thuyết trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể của học sinh

 Dựa vào file ghi âm, những ghi chú về quá trình thảo luận cũng như kết quả

từ cuộc phỏng vấn vấn đề liên quan đến việc tìm con đường chứng minh của học sinh, cộng với thang mức đánh giá về khả năng tìm con đường chứng minh trong khám phá tự nghiệm mà chúng tôi sẽ đề xuất ở mục sau và bài làm của học sinh để đánh giá khả năng tìm con đường chứng minh của học sinh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể

3.2 Công cụ nghiên cứu

Tôi sẽ thiết kế các công cụ nghiên cứu dưới dạng các phiếu học tập là cácbài toán chứa đựng khả năng khám phá tự nghiệm về tính không thể xảy ra để thu thập

dữ liệu từ học sinh THPT

3.2.1 Các phiếu học tập đƣợc sử dụng trong nghiên cứu

PHIẾU THỰC NGHIỆM SỐ 1 Bài toán 1:

Tồn tại hay không các số nguyên dương a b a1, , , 1 2 b sao cho 2 2 2 2 2

1 1 3( 2 2)

a b  a b

Bài làm:

PHIẾU THỰC NGHIỆM SỐ 2 Bài toán 2:

Cho hình chóp S ABCD đáy ABCDlà hình vuông, SA vuông góc với đáy Gọi H ,

K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB , SD Liệu rằng hai mặt phẳng (AHK) và (SBD) có khả năng vuông góc với nhau hay không? Hãy chứng minh điều đó

Thang mức mà chúng tôi sử dụng là kiểu thang 4 mức, từ mức 0 đến mức 3 tăng dần theo khả năng đặt giả thuyết, như sau:

0 Không đặt được giả thuyết hoặc đặt giả thuyết

nhưng không dựa trên một chứng cứ nào

1

Đặt giả thuyết nhưng chỉ dựa vào sự mường tượng về hình ảnh hoặc việc thử một vài trường hợp cụ thể

2

Đặt giả thuyết dựa trên một số bằng chứngtrong tập hợp các bằng chứng tổng quát cho phép chứng minh giả thuyết (ví dụ như một vài ràng buộc để có được kết quả trong một định lí)

3 Đặt giả thuyết dựa trên đầy đủ các ràng buộc cho

phép mường tượng một chứng minh

Ví dụ 3.1: Các em hãy đặt giả thuyết về vấn đề tổng các góc trong của một tứ giác

Học sinh không đưa ra giả thuyết, học sinh đạt mức 0

Học sinh đặt giả thuyết: tổng các góc trong của một tứ giác bằng 0

360 thông qua việc dùng thước đo góc đo và tính tổng các góc trong của một tứ giác (tổng các góc mà em đo được có thể không chính xác là 0

360 mà nằm trong lân cận của 0

360 ), học sinh đạt mức 1

Học sinh dựa vào việc phát hiện một đường chéo có thể phân tứ giác thành 2 tam giác và kết quả đã biết về tổng số đo các góc trong một tam giác, đưa ra giả thuyết về tổng số đo các góc trong một tứ giác là 0

360 , học sinh đạt mức 2