ĐỊNH lý KOENIG TRONG các bài TOÁN cơ học vật rắn

Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng như chương trình vật lý đại cương, tôi thấy phần các bài tập cơ học vật rắn là phần kiến thức khó và đặc biệt là phần Định lý Koenig để xác định mô men động lượng và mô men lực đối với một trục quay hay một điểm thì càng khó hơn vì đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng toán học tốt về phần giải tích vec tơ. Đây là phần kiến thức khó nhưng cũng rất cơ bản giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán cơ học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn hơn. Chính vì vậy tôi biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng vận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình Dương cũng như Olympic quốc tế. Sau đây là nội dung của chuyên đề: Cơ sở lý thuyết. Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức. Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết. Các bài tập tự luyện tập với đáp số.

ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN

LỜI NÓI ĐẦU:

Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng như chương trình vật lý đại cương, tôi thấy phần các bài tập cơ học vật rắn là phần kiến thức khó và đặc biệt là phần Định lý Koenig để xác định mô men động lượng và mô men lực đối với một trục quay hay một điểm thì càng khó hơn vì đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng toán học tốt về phần giải tích vec tơ Đây là phần kiến thức khó nhưng cũng rất cơ bản giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán cơ học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn hơn Chính vì vậy tôi biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng vận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình Dương cũng như Olympic quốc tế.

Sau đây là nội dung của chuyên đề:

- Cơ sở lý thuyết

- Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức

- Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết

- Các bài tập tự luyện tập với đáp số

Các điểm MI cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc vri

trong hệ quy chiếu R.Tổng động lượng urp của S trong R bằng tổng cộng động lượng của các chất điểmcấu tạo nên hệ S:

b) Tổng động lượng trong HQC trọng tâm R*

Theo định nghĩa, điểm G là điểm cố định trong R*

uur uuur uuuur uuur

4 Động năng của hệ, định lý Koenig đối với động năng

Chọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G là khối tâm của hệ, ta có:

(6)

Vì là động năng toàn phần của hệ hạt đối với khối tâm G, nên ta có:

Định lý Koenig đối với động năng:

5 Mô men động lượng Định lý Koenig đối với mô men động lượng

a) Mô men động lượng của hệ đối với điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S trongHQC R) bằng tổng mô men động lượng của tất cả các điểm tạo nên hệ S

(8)b) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G của S trong R*, theo định nghĩalà:

(9)c) Định lý Koenig đối với mô men động lượng

Mô men động lượng đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng tổng của:

+ Mô men động lượng đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối lượngbằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R

+ Mô men động lượng đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa làtrong chuyển động của nó quanh G)

(10)d) Mô men động lượng trọng tâm

Nếu A là một điểm bất kỳ nào đó, ta có thể viết trong R*:

Dùng định lý Koenig ta có: LurG Lur*G urL*

e) Mô men động lượng tại một điểm của trục

Giả sử vật rắn S là một cánh cửa như hình vẽ HQC RS (O,xS, yS, zS) gắn với vậtrắn, quay với vận tốc góc    ur eurz 'eurz trong HQC R

Ta viết biểu thức của mô men động lượng LurA

của vật rắn này tại một điểm A cốđịnh của trục Oz (A cũng là một điểm cố định trong HQC gắn với vật rắn) trong R:

Ta đưa vào điểm H là hình chiếu của M trên

+ Một thành phần vuông góc với vec tơ quay, đó là: LurA  � �S(uuuur ur uuuurAM e HM dm )z )

f) Mô men động lượng đối với trục  - Mô men quán tính:

Theo định nghĩa, L không phụ thuộc vào vị trí

của điểm A trên trục 

+ Khoảng cách HM = r của điểm M đến trục quay

là không đổi khi vật rắn quay và ta cũng định nghĩa mô men quán tính J của vật rắn đối với trục quay  như sau: J � �S r dm2

Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trưng cho mức quán tính của chuyển động quay của vật rắn quanh trục đó (bất biến theo thời gian), chỉ phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng trong vật rắn.

6 Mô men lực, định lý Koenig đối với mô men lực

+ Mô men lực MuurO

tại điểm O của hệ S trong R có biểu thức là: MuurO �OMuuuuri�m a i iur

+ Mô men lực tại G trong R* (R* là tịnh tiến đối với R)

Từ công thức cộng gia tốc ta có: aur uuri a M e( i)a MuurC( ) auuri* auurG auuri*

Gia tốc Coriolis bằng không còn gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào chỉ số i và

Vì �m GM iuuuur ri 0 và �m a i iuur uur r* F*  0 nên ta suy ra định lý Koenig đối với mô men

uuuur uuur uuur

Định lý Koenig đối với mô men lực: Mô men lực đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng tổng của:

+ Mô men lực đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối lượng bằngkhối lượng tổng cộng của hệ trong R

+ Mô men lực đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là trongchuyển động của nó quanh G)

(10)

7 Mô men lực trọng tâm:

Cũng như đối với mô men động lượng, mô men lực của S trong HQC trọng tâm R*

không phụ thuộc vào điểm mà ta tính Chúng ta có thể viết mô men này mà khôngcần nói rõ chỉ số của điểm đó: MuurA Muur*G Muur*

Dùng định lý Koenig ta có: MuurG Muur*G Muur*

8 Mối liên hệ giữa mô men động lượng và mô men lực

Ta xét trường hợp tổng quát, điểm được chọn để tính mô men là điểm bất ký P,điểm này có thể đứng yên hoặc chuyển động đối với điểm cố định O chọn làm gốctọa độ (hình vẽ)

Theo định nghĩa mô men động lượng toàn phần của hệ đối với điểm P là:

Lấy đạo hàm theo thời gian, ta được

Thay là tổng hợp các ngoại lực và nội lực tác dụng lên hạt I, ta được:

Bây giờ ta bàn tiếp số hạng thứ hai trong công thức (6) Số hạng này chỉ triệt tiêunếu một trong ba điều kiên sau đây được thỏa mãn:

a) arP 0r Điểm P đứng yên (hay chuyển động thẳng đều)

O

y

x 2

1

P

ex G

Cho hai vec tơ: urA( , , )a a a x y z , Bur ( , , )b b b x y z

+ Tích vô hướng của hai vec tơ: ur urA B. (a b x xa b y y a b z z)

+ Tích có hướng của hai vec tơ: ur ur rA B i a b�  ( y za b z y)rj a b( z xa b x z)k a br( x y a b y x)

Với i j k, ,

r r r

là các vec tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz

II BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1.

Hai chất điểm A và B giống hệt nhau, có khối

lượng m liên kết với nhau bằng một thanh chiều dài

là b, khối lượng không đáng kể A dịch chuyển trên

vòng tròn tâm O bán kính b và thanh AB có thể dao

động quanh một trục đi qua A và vuông góc mặt

phẳng như hình vẽ Tính tổng động lượng và mô

men động lượng đối với O của hệ AB theo các góc

,  và đạo hàm của chúng theo thời gian

uur uuur r uuur r

Với OAuuur( cos , sin ,0)b  b 

suy ra v Ar( )OAuuur' ( b'sin , b c' os ,0)

và OBuuur( (cosb  cos ), (sin b  sin ),0)

Suy ra urp mv A r( )mv Br( )m b( (2 'sin     'sin ), (2 ' os b  c    ' os ),0)c 

Và uur uuurL OOA�mv Ar( )OBuuur�mv Br( )mb2(2 '   ' 2 ' os( c    ))eurz

A

Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G:

Một thanh AB đồng nhất, có tâm G, khối lượng m

được treo trên hai dây nhẹ giống nhau AA’ và BB’ có

chiều dài b Thanh dao động trong mặt phẳng thẳng

đứng, hai dây AA’ và BB’ luôn song song với nhau

a) Tính động năng của thanh theo đạo hàm  ' của góc

nghiêng  của các dây ở một thời điểm cho trước.

b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ của thanh

+ Cơ năng của hệ là:

Với  10o �sin  � (rad)

A’

B’

G

thì phương trình (4) trở thành:    "  2  0 với

2 g b

Một vòng tròn đồng nhất có tâm O, khối lượng m, bán

kính a quay với tốc độ  không đổi quanh trục cố định

của nó Tính mô men động lượng của vòng tròn ở O và

động năng của vòng tròn đó

Giải

Điểm M của vòng tròn được xác định bởi các tọa độ cực:OMuuuuraeurr

Vận tốc của M là: v Mr( )a euur

Từ đây suy ra:

+ Mô men động lượng đối với O:

2 òng

Với HH G a là khoảng cách giữa hai trục  và G và

Để ý rằng vec tơ uuuuurHH G

là độc lập với điểm M, từ đó lấy tổng cho cả vật rắn S ta suyra:

Xét một con lắc treo ở điểm O cố định gồm thanh OA

khối lượng không đáng kể và chiều dài là R, người ta hàn

vào thanh một dây thuần nhất khối lượng m có dạng là một

nửa vòng tròn mà thanh OA là bán kính Vị trí của con lắc

được xác định theo góc  giữa thanh OA và đường thẳng

đứng hướng xuống Xác định tổng động lượng, mô men

động lượng đối với O, mô men lực đối với O và động năng

của con lắc phụ thuộc vào  và các đạo hàm của chúng

Giải

Một điểm M của nửa vòng tròn được xác định

bởi góc      với  = const (hình vẽ)

Từ đó: OMuuuurReurr và v Mr( ) R e 'uur

Từ đây ta suy ra:

Ví dụ 6

Một thanh AB đồng nhất chiều dài 2b và

khối tâm G là trung điểm của AB Thanh tựa lên

mặt đất nằm ngang và gối lên một bức tường

thẳng đứng Vị trí của thanh được xác định theo

góc  Ox,OGuuur uuur

, góc này thay đổi khi thanhtrượt ở A và B

1) Xác định các thành phần của vận tốc v Gr( )

của

điểm G theo  và đạo hàm của 

2) Tìm vec tơ quay ur của thanh.

Chú ý: cần chú ý đến dấu của các biểu thức khi tính toán

B y

G

O

+

Biết rằng OAuuur2 cos b  euurx suy ra ( ) 2 'sin x

Một con lắc kép gồm hai thanh OA và AB giống

nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài 2b và

nối khớp ở A Hai thanh chuyển động trong mặt

phẳng thẳng đứng Oxy và góc nghiêng của chúng

được xác định bởi các góc ,  so với đường thẳng

đứng Ox hướng xuống Tính mô men động lượng

đối với O và động năng của con lắc kép này

x’

x

y

B + G2

lý tưởng giữa các vật Sau va chạm, các vật thực hiện chuyển động tịnh tiến, quay

và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận tốc góc của vật thứ nhất bằng  1, của vật thứ hai

bằng  2 Mô men quán tính của chúng tính theo các trụ thẳng đứng đi qua khối tâm

lần lượt là I1 và I2

a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định bất kìcủa mặt bàn bằng tổng mô men xung lượng của vật tính theo khối tâm củanó

b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vậtchuyển động sau va chạm

c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất là 2

v

còn vậtthứ hai không quay Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d

G +

uur uur ur uur ur

Nhận xét:

00

nên L uur uurO  LG  M r uur uurG � vG (ĐPCM)

b) Gọi v1' là vận tốc của vật 1 (của G

Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G2

Do không có ngoại lực nên mô men động lượng trước và sau va chạm là bằngnhau

Ta có, ban đầu thì L G2 mvd

G1 m

G2

I v

Xét một hình bán trụ D đồng nhất, tâm C, khối

tam G, bán kính R và khối lượng m Hệ quy chiếu

Trái Đất (Oxyz) được xem là quán tính Tất cả đều

nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (Oxy) Ta kí hiệu I

là điểm tiếp xúc giữa mặt đất và D Ta xác định vị trí

của D theo tọa độ x của tâm C của nó theo góc

( ,CI CG)

  uur uuur .

Cho

4 3

R

CG b



 

Hãy xác định phương trình chuyển động của D bằng cách:

a) Tính mô men lực của đĩa D đối với I

b) Vận dụng định lý mô men lực đối với I để tìm phương trình vi phân bậc hai của



c) Giả sử  rất nhỏ Tuyến tính hóa phương trình vi phân có được ở câu b) để từ đósuy ra chu kỳ T0 của các dao động nhỏ của D quanh vị trí cân bằng

Giải

a) Tính mô men lực của D ở I

+ Cách 1 Dùng định lý Koenig đối với mô men lực

Ta tìm được: MuuurI (J m R ( 2  2bRcos )) "   mRb ' sin 2 eurz

+ Cách 2 Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng của D đối với I

(J m R (  2bRcos )) "   mRb ' sin   mgbsin 

c) Nếu  rất nhỏ, phương trình trên được đơn giản thành:

2

(J mR  2mbR) "   mgb

Như vậy vật hình bán trụ D thực hiện dao động nhỏ điều hòa quanh vị trí cân bằng

 = 0 với chu kỳ:

2 0

Xét một khối lăng trụ đáy là lục giác đều, dài và cứng,

giống như một cái bút chì thông thường Khối lượng của

nó là M và được phân bố đều Tiết diện thẳng của nó là

ấy bị đẩy cho dịch chuyển và bắt đầu lăn xuống trên mặt nghiêng Cho rằng do masát mà khối trụ không trượt và luôn chạm vào mặt nghiêng Vận tốc góc của nóngay trước khi một cạnh của nó đập vào mặt nghiêng là i và ngay sau khi cạnh ấyđập vào mặt nghiêng là f Chứng minh rằng ta có thể viết : f = si , tìm s

b) Động năng của khối trụ ngay trước và ngay sau khi một cạnh đập vào mặtnghiêng là Ki và Kf Chứng minh rằng : Kf = r Ki Tìm r

c) Để có lần va đập tiếp theo thì Ki phải vượt qua giá trị Ki min , mà ta có thể viếtdưới dạng: Ki min = Mga, trong đó g = 9,81 m/s2 Tính giá trị của  theo gócnghiêng  và hệ số r

d) Giả sử điều kiện trong phần c) được thỏa mãn, động năng Ki sẽ dần tới mộtgiá trị không đổi Kio khi khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng Biết rằng giátrị ấy tồn tại, chứng minh rằng Kio có thể viết dưới dạng : Kio = kMga, tìm biểu thứccủa k theo  và r

e) Tính chính xác đến 0,1o góc nghiêng thối thiểu o để cho quá trình lăn một

khi đã được khởi động, sẽ tiếp diễn mãi mãi.

Giải.

a) Cách 1.

- Trước va đập, khối trụ quay quanh trục I, sau va đập nó quay quanh trục F Xunglực xuất hiện khi va chạm đi qua F, vậy : Mômen động lượng L của khối trụ đối vớitrục F được bảo toàn trong quá trình va chạm Ta có :

Trước va đập : Li = Mômen động lượng quanh khối tâm C + Mômen động lượngcủa khối tâm quanh trục quay F bằng (theo định lý Koenig)

+ Thành phần song song với mặt nghiêng là N//

+ Thành phần vuông góc với mật nghiêng là N

Lấy trục song song với mặt nghiêng hướng từ thấp đến cao, trục vuông góc với mặtnghiêng hướng từ dưới lên trên

C

vci

 

ta suy ra điều kiện :

Kf = r.Ki > Eo = Mga(1-cos(30o - ))  r.Ki min = Mga =Eo

Ki,o = r.Ki,o +  (12)  

Ta có thể giải bài toán một cách tường minh bằng cách viết các biểu thức một cáchđầy đủ :

Ki,2 = r.Ki,1 + 

Ki,3 = r.Ki,2 +  = r(r.Ki,1 + ) +  = r2.Ki,1 + (1+r)

Ki,4 = r.Ki,3 +  = r (r2.Ki,1 + (1+r)) +  = r3.Ki,1 + (1 + r + r2)

Ki,n = rn-1.Ki,1 + (1 + r + r2 + + rn-2) = (14)Khi n  , vì r < 1, nên ta có :

Nếu ta tính biến thiên động năng trong một chu kí nghĩa là từ trước lần đậpthứ n tới trước lần đập thứ n + 1, ta được:

Ki,n = Ki,n+1 – Ki,n = (r – 1)rn-1Ki,1 + rn-1 = rn-1[ - (1 – r)Ki,1] (16)

Đại lượng này dương nếu giá trị ban đầu Ki,1 < Ki,o và khi ấy Ki,n tăng dần tới giá trịgiới hạn Ki,o Ngược lại, nếu Ki,1 > Ki,o thì động năng trước va đập Ki,n sẽ giảm tớigiá trị giới hạn Ki,o

a) Để khối trụ lăn mãi, giá trị giới hạn Ki, trong phần d) phải lớn hơn giá trị nhỏnhất để có thể tiếp tục lăn đã tìm được trong phần c):

đặt ta có : Asin > 1- cos(30o - ) = 1 – cos30ocos - sin30osin

 (18)

Giải phương trình lượng giác này ta được o  6,58o

+ Nếu  > o và động năng trước lần va đập đầu tiên đủ lớn như đã nói ở câu c) thì

ta sẽ có một quá trình lăn liên tục

+ Chú ý: do đầu bài nói  là góc nhỏ nên cũng có thể áp dụng các công thức gầnđúng: sinx x ; cosx  1- x2/2 để giải bất phương trình (18)

III BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1

Một bánh xe to ở chỗ chơi ngày lễ hội

có bán kính R quay với tốc độ góc 

không đổi quanh trục nằm ngang của bánh

xe Ta xét một cái thùng treo (móc nối rất

có khối lượng m, có khối tâm G nằm trên

đường thẳng đứng qua điểm A, cách A một

khoảng b Xác định mô men động lượng đối với O, mô men lực đối với O và động

năng của hệ thùng treo và hành khách

Đáp số: LuurO mR e2uury với vec tơ euury

Bài 2

Bốn thanh OD, OE, AC và BC có khối lượng

không đáng kể nối khớp với nhau tại các điểm O, A,

B và C Điểm O là cố định, ống C được xem là một

chất điểm khối lượng m trượt theo trục thẳng đứng

(Oz) Ở các đầu mút D và E có hai chất điểm giống

nhau, cùng khối lượng m Ta xác định vị trí của hệ

bằng góc  Hãy tìm tổng động lượng, mô men động

lượng đối với O và động năng của hệ theo đạo hàm ’

của góc  Cho biết: OA = OB = AC = BC = AD = BE

= b

Đáp số: urp 6mb'sineurz ;uurL O  8mb2  'euury và K  2mb2  ' (2 sin 2  2  )

Bài 3

Một thanh AB có khối lượng không đang kể, chiều dài 4a được treo ở điểm giữa

O cố định Ở A và b có khớp nối với hai thanh giống nhau CD và EF, khối lượng

không đáng kể, chiều dài 2a (A là điểm giữa của CD, B là điểm giữa của EF)

Ở các đầu mút C, D, E và F có bốn khối

điểm giống hệt nhau m Tính mô men động

lượng đối với O và động năng của hệ phụ

thuộc vào các góc ,,  và các đạo hàm của

chúng

z C

B A

+