thi thử vào 10 chuyên

Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn O, gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.. Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với nhau,

Phòng GD-ĐT Hải Hậu

đề dùng cho hs thi vào trờng chuyên

(Thời gian làm bài 150’)

Bài 1(1đ): Cho biểu thức

x

x x

x x

x

x x P

−

+ + +

) 3 ( 2 3 2 3

2 6 5

= +

− + +

−

0 4

0 2 5 2

2 2

2 2

y x y x

x y xy y x

Bài 5(1đ): Chứng minh rằng:

6 8 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

zx

x z yz

z y xy

y x P

2 2 2

2 2

= x 3 Khi đó tính góc tạo bởi đờng thẳng (d) với 0x

b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờngthẳng (d) lớn nhất

Bài 8(1đ): Cho góc vuông x0y và 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA

>0), điểm M bất kỳ trên cạnh Oy(M ≠ O) Đờng tròn (T) đờng kính

AB cắt tia MA,MB lần lợt tại điểm thứ hai:

C , E Tia OE cắt đờng tròn (T) tại điểm thứ hai F

1 Chứng minh 4 điểm: O, A, E, M nằm trên 1 đờngtròn

2 Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao?

Bài 9(1đ): Cho tam giác ABC nhọn có 3 đờng cao: AA1, BB1, CC1

Chứng minh rằng: 6

1 1

1

≥ +

+

HC

HC HB

HB HA

HA

Dấu "=" xảy ra khinào?

Bài 10(1đ): Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng, đôi một

vuông góc với nhau Lấy điểm A, B, C bất kỳ trên Ox, Oy và Oz

a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng: OH vuông góc với mặt phẳng ABC

b) Chứng minh rằng: S2ABC = S2OAB + S2OBC + S2OAC

0 3

0 3 2

x x x

* Rút gọn:

1 8

) 3 )(

1 (

24 8

3

) 3 )(

1 (

) 1 )(

3 (

) 3 (

− +

−

=

− +

+ +

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x P

0.25

0.250.250.25

0.250.25

0 5

≥

−

x x

x

* Phơng trình

0.250.250.25

0 3 7 2

0 2 5

3 7 2

0 ) 4 5

4 5

( ) 9 7 2 6 7 2 (

2 2

⇔

=

−

− +

− +

⇔

= +

−

−

− + + +

− +

⇔

x x x

x x

x x

x x

=

− +

−

− +

) 2 ( 0

4

) 1 ( 0 2 5

2

2 2

2 2

y x y x

y x y xy x

) 1 ( 3 5

2 4

) 1 ( 3 5

) 1 ( 9 ) 2 (

8 ) 5

y y

y x

y y

y x

y y

y y

1 2 2

0 4 2

2

2 2

−

=

y x y

y

y x

y x y x

y x

*Víi

2

1 +

+

=

5 13 5 4 1

0 4 5

1 2

0 4 2

1

2

2 2

y x

y x

x x

x y

y x y x

y x

0.25

0.25

0.25

3 3 3 3

3 3

1 1 3 3 ) 1 1 ( 3

3 6 ) ( 3 )

(

1

6

a a

a y

x xy y x y x a

y x

y x

y

>

+ +

=

+

= + +

+

= +

(v×: x > 1; y > 0 ⇒ a > 1)

⇒ a9 > 93.a ⇔ a8 > 36 (®pcm)

0.250.250.250.25

2 , 1

) 1 ( 2

1 3

1 1 2 2

2 1 2

1 ) 2 1 (

2 2

2 2

2 2

2

2 2

y x x

y xy

y x

y x y

x

DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y

T¬ng tù:

) 3 ( 2

1 3

1 2

) 2 ( 2

1 3

1 2

2 2

2 2

x z zx

x z

z y yz

z y

Suy ra: Pmin = 3 khi: x = y = z = 3

0.25

0.25

0.25

0.25

k y

Xét tam giác vuông AOB, ta có :

5 5 2 2 5

4 5

1 5

2 1

2 5

2

1 1

1

2 2

2 2

2

=

≤ +

k OH

OB OA

OH

Suy ra (OH)max = 5 khi: k = 1/5

Vậy k = 1/5 thì khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất

0.250.25

b) Tứ giác OAEM nội tiếp, suy ra: M∧1 = E∧1

*Mặt khác: A, C, E, F cùng thuộc đờng tròn (T) suy ra:

∧

∧

=C E

0.25

0.25

0.250.25

111

Do đó: M∧1 =C∧1⇒OM//FC⇒Tứ giác OCFM là hình thang.

Bài 9

(1điể

m)

b)* Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm trong tam giác

* Đặt S = S∆ABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB A

Ta có: C1 B1

1 1

1 1

1

1

1

2 1

2 1

HA

HA HA

AA BC HA

BC AA S

1

HB

HB S

S = + B A1

C

1 3

1

HC

HC S

S

+

= Suy ra:

3111)(

3111

3 2 1 3 2 1

3 2 1 1

1 1

=+

+

S S S S S S

S S S

S HC

HC HB

HB HA

HA

6 3 9

9 1

1 1 ) (

1 1

1

3 2 1 3 2 1

=

−

≥ +

+

=

HC

HC HB

HB HA

HA

S S S S S S

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều

0.25

0.25

0.250.25

Suy ra: AB ⊥ mp(ONC) ⇒ AB ⊥ OH (1)

Tơng tự: BC ⊥ AM; BC ⊥ OA, suy ra: BC ⊥ mp (OAM) ⇒ OH ⊥

BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OH ⊥ mp(ABC)

b) Đặt OA = a; OB = b; OC = c

0.250.25

0.25

Ta có: ( ).( )

4

1

4

1

2

OB OA ON OC AB

CN S

AB CN

Mặt khác: Do tam giác OAB vuông, suy ra:

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

4

1 4

1 4

1 ) (

4 1

1 1 1 1

1

OAC OAB

OBC

ABC

S S

S

c a b c b a b

a b a

b a c S

b a

b a ON b

a OB OA ON

+ +

=

= +

+

= +

= +

y x

y y

y

x

x P

− +

− + +

−

− +

=

1 1 1

) )

1 )(

(

a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P

b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2

Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m

đi qua điểm M(-1 ; -2)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại

hai điểm A , B phân biệt

b) Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung

= + +

= + +

27

1 1 1 1

9

zx yz xy

z y x

z y x

Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm

thuộc đờng tròn (C ≠ A;C ≠ B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa

điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chính

giữa của cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N

a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân

b) Khi MB = MQ , tính BC theo R

Bài 5: Cho x,y,z∈R thỏa mãn : 1x + 1y + 1z = x + 1y + z

Hãy tính giá trị của biểu thức : M =

Bài 1: a) Điều kiện để P xác định là :; x≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠ 1 ; x + y ≠ 0

=+

−

⇔

=+

−+

⇔

y x

y y

x

Ta có: 1 + y ≥ 1 ⇒ x− ≤ 1 1 ⇔ ≤ ≤ 0 x 4 ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4

Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn

Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ;

b) A và B nằm về hai phía của trục tung ⇔ phơng trình : x2 +

mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2

Bài 3 :

( ) ( )

= + +

= + +

3 27

) 2 ( 1 1 1 1

1 9

xz yz xy

z y x

z y x

ĐKXĐ : x ≠ 0 , y ≠ 0 , z ≠ 0

Ta thÊy x = y = z = 3 thâa m·n hÖ ph¬ng tr×nh VËy hÖ ph¬ng

tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = y = z = 3

− + +

z y x z y x

=> ( + + ) = 0

− + + +

+

z y x z

z z y x xy

(

0 1

1

2

= + +

+ + + +

⇒

z y x xyz

xy z zy zx

y

x

z y x z xy

y

z

Đề 4

Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định bởi y = 2x + 4 Đờng

thẳng d/ đối xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x là:

2) Một hình trụ có chiều cao gấp đôi đờng kính đáy đựng

đầy nớc, nhúng chìm vào bình một hình cầu khi lấy ra mực nớctrong bình còn lại

3

2

bình Tỉ số giữa bán kính hình trụ và bánkính hình cầu là A.2 ; B.3 2 ; C 3 3; D một kết quả khác

2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt là các điểm cố định

trên tia Ax, Ay sao cho AB < AC, điểm M di động trong góc xAysao cho

MB

MA

=

2 1

Xác định vị trí điểm M để MB + 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với

nhau, lấy điểm I bất kỳ trên đoan CD

a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I lagtrung điểm của MN

b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi

c) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN điqua hai điểm cố định

Hớng dẫn

M D

Ta cã (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11)Trêng hîp thø hai cho b = 3, c = - 5, a = 2

K O

Dấu "=" xảy ra <=> M thuộc đoạn thẳng DC

Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC

Bài 2) Cho biểu thức : M =x2 − 5x y+ 2 +xy− 4y+ 2014

Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá

Bài 4 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp

tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đờng tròn (O) cắt các tiếp tuyến

u v uv

+ =



 =

 ⇒ u ; v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh :

=



 =



⇒ Chu vi VCOD≥ chu vi VAMB

DÊu = x¶y ra ⇔ MH1 = OM ⇔ M≡O ⇒ M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a

cña cung »AB

⇒ + + ≥ + > MÆt kh¸c a b+ ≥ 2 ab > 0

2 2

d

c

m

b a

Gọi E là giao điểm của AD và (O)

2 −

x

x f

−

− +

=

−

) 3 )(

7 2 ( ) 7 2 )(

3 (

) 4 )(

2 ( ) 2 (

y x y

x

y x y

1 1

1

x

x x

x

x x

x x

với x > 0 và x

≠ 1

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị của x để A = 3

Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai

tiếp tuyến PA; PB Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến ờng kính BC

đ-a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH

b) Giả sử PO = d Tính AH theo R và d

Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

de

cb

a

Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm

2

10 2 10

)

(

x

x x

x x

f

c)

) 2 )(

2 (

2 4

) (

x x

x f

A

Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra

2

1 +

=

x A

Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra

2

1 +

−

=

x A

1 1

1

x

x x

x

x x

x x

) 1 ( : 1

1 )

1 )(

1

(

) 1 )(

1

(

x

x x

x x x

x x

x

x x

1 1

1

x

x x x x

x x

1 1

−

−

+

− +

−

x

x x

x x

x

=

1

: 1

Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)

=> ∠POB = ∠ACB (hai góc đồng vị)

=> ∆ AHC ∞ ∆ POB

Do đó:

OB

CH PB

2 (

2PB

AH.CB 2PB

2 2

2 2 2

2 2

2 2

d

R d 2.R 4R

) R 4(d

R d 8R

(2R) 4PB

4R.2R.PB CB

4.PB

4R.CB.PB AH

−

= +

11 4x 3x

2

1 m x x

2

1 2m x

x

2 1

2 1

2 1

7 7m 4 7

4m - 13 3

8m - 26

7 7m x

7

4m - 13 x

1 1

8m - 26

7 7m 4 7

4m - 13

Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m =4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏamãn: x1 + x2 = 11

b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho

nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia

Câu 3: a/ Giải phơng trình : 1

2 x− = 2b/ Cho a, b, c là các số thực thõa mãn :

0 0

2 4 2 0

a b

AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp VBCD Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K

a/ Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp

b/ Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao?

c/ Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình

bình hành

§¸p ¸n C©u 1: §iÒu kiÖn: x ≥ 0 vµ x ≠1 (0,25 ®iÓm)

x x

* Nếu xy = 1 thì x+ y = 2 Khi đó x, y là nghiệm của phơng

x x

− +

2

2

Là một số tự nhiên

b Cho biểu thức: P =

2 2

2 1

+

z y

yz

y x

xy

x

Biết x.y.z

= 4 , tính P

Câu 2:Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)

a Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C

không thẳng hàng

b Tính diện tích tam giác ABC

Câu3 Giải phơng trình: x− 1 − 3 2 −x = 5

Câu 4 Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R 2

Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Một góc ∠xOy = 450 cắt

A

x x

x x

x x

x

) 1 ).(

1 (

1

2 2

2

+ +

− +

+ +

−

− +

(

2 2

+ +

+ +

= +

+

+ + +

+ +

xy x xy x

z

z x

xy

xy x

xy

x

(1đ)

⇒ P =1 vì P > 0

Câu 2:a.Đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b

Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = 2

⇒AB2 = AC2 + BC2 ⇒∆ABC vuông tại C

Vậy S∆ABC = 1/2AC.BC = 10 10 5

2 −

x

x f

−

− +

=

−

) 3 )(

7 2 ( ) 7 2 )(

3 (

) 4 )(

2 ( ) 2 (

y x y

x

y x y

1 1

1

x

x x

x

x x

x x

với x > 0 và x ≠ 1a) Rút gọn A

2) Tìm giá trị của x để A = 3

Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai

tiếp tuyến PA; PB Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến ờng kính BC

®-a) Chøng minh r»ng PC c¾t AH t¹i trung ®iÓm E cña AH

2

10 2 10

)

(

x

x x

x x

f

c)

) 2 )(

2 (

2 4

) (

x x

x f

A

Víi x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra

2

1 +

=

x A

Víi x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra

2

1 +

−

=

x A

−

=

− +

−

−

− +

−

− +

=

−

2 y

-2 x

0 4

21 6 7 2 21 7 6 2

8 4 2 2

) 3 )(

7 2 ( ) 7 2 )(

3 (

) 4 )(

2 ( ) 2 (

y x

y x

x y xy x

y xy

x y xy x xy

y x y

x

y x y

1 1

1

x

x x

x

x x

x x

−

+

− +

1 1

) 1 ( : 1

1 )

1 )(

1 (

) 1 )(

1 (

x

x x

x x x

x x

x

x x x

− x 1 x 1 : x x x x

=

1

: 1

1 1

−

−

+

− +

−

x

x x

x x x

=

1

: 1

x

=

x

x x

Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)

=> POB = ACB (hai góc đồng vị)

=> ∆ AHC ∞ ∆ POB

Do đó:

OB

CH PB

)

2 (

2PB

AH.CB 2PB

2 2

2 2 2

2 2

2 2

d

R d 2.R 4R

) R 4(d

R d 8R

(2R) 4PB

4R.2R.PB CB

4.PB

4R.CB.PB AH

−

= +

11 4x 3x

2

1 m x x

2

1 2m x

x

2 1

2 1

2 1

7 7m 4 7

4m - 13 3

8m - 26

7 7m x

7

4m - 13 x

1 1

8m - 26

7 7m 4 7

4m - 13

Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125

thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt t

B = 35 + 335 + 3335 + +     

3 99

35

2) áp dụng : cho x+4y = 5 Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x 2 + 4y 2

Câu 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I là trung điểm của

BC, M là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ) Đờng thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD

−

+

− 1

3 4

2

Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.

đáp án Câu 1 :

1) A =

5 3

3 99

35

2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3

= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3

= (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x+4)-2

= [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]

= (x2+5x +3)(x2+5x +7)

3) a10+a5+1

= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1

- (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )

= a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2+a+1)

-a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)

=(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1)

DM

= => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1).

x

x x

) 3 )(

1 (

Đề 11

Câu 1 : a Rút gọn biểu thức 2 ( )2

1

1 1

1

+ + +

=

a a

2 2

2 2 2

1 99

1 1

3

1 2

1 1 2

1 1

a Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với ∀m

b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt Tìm GTLN, GTNN của bt

2

3 2

2 1

2 2

2 1

2 1

+ +

+

+

=

x x x

x

x x P

Câu 3 : Cho x≥ 1 , y≥ 1 Chứng minh.

xy y

2 1

1 1

1

2 2

Câu 4 Cho đờng tròn tâm o và dây AB M là điểm chuyển

động trên đờng tròn, từM kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) Gọi E và F lần lợt làhình chiếu vuông góc của H trên MA và MB Qua M kẻ đờng thẳngvuông góc với è cắt dây AB tại D

1 Chứng minh rằng đờng thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố

định khi M thay đổi trên đờng tròn

2 Chứng minh

BH

AD BD

AH MB

⇒

a a

a a

1 100

1

1 1 1

=

B

a a A

x

2

1 2

2 2

1

1 2

m GTLN

− +

+ +

−

⇔

xy y

y x y xy

x

x y x

.

.

2

2 1

MB h HF

MA h HE BH

AH MB

E A

F F' B

I D H

Câu 1: Cho biểu thức D = 

−

+

ab

b a ab

b a

1

+ + +

ab

ab b a

1

2 1

a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn Db) Tính giá trị của D với a =

3 2

2

−c) Tìm giá trị lớn nhất của D

Câu 2: Cho phơng trình

3 2

2

− x2- mx +

3 2

2

− m2 + 4m - 1 = 0 (1)a) Giải phơng trình (1) với m = -1

b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn

2 1

Cos bc

α = 2Sin Cos )

Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và một điểm N di động

trên một nửa đờng tròn sao cho N A ≤N B.Vễ vào trong đờng tròn

hình vuông ANMP

a) Chứng minh rằng đờng thẳng NP luôn đi qua điểm cố

định Q

b) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh

tứ giác ABMI nội tiếp

c) Chứng minh đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố

định

Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1

Hãy tính giá trị của:

B =

x

xyz y

zx z

ab b a

1

2 2

: − 

+ +

ab

ab b a

2 3 2 1 3 2 2

3 2 2

−

−

= + +

c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có

1 1

10 1

2 8

⇔

2 3 4

2 3 4

0 1 4 2

1

2 1 2

m m

m m

⇔

=

− +

⇔ +

=

+

0 1

0 0

) 1 )(

( 1

1

2 1

2 1 2

1 2 1 2

1 2

x x x

x x x x

x x

=

⇔

19 4

19 4

0 0

3 8

0

2

2

m m

m m

m

m

Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = 0 và m= − 4 − 19

1 2

1

2 1

F

I

Q P

N

M

B A

c

b a

I

C B

ABC S S

S∆ = ∆ + ∆

c b

bcCos c

b Sin

bcSin

AI

c b AISin

bcSin

+

= +

) ( 2

) ( 2

α

α α

α α

Câu 4: a) Nˆ 1 = Nˆ 2Gọi Q = NP ∩(O)

QA QB

⇒ ) = ) Suy ra Q cố định

b) Aˆ1 =Mˆ1( = Aˆ2)

⇒Tứ giác ABMI nội tiếp

c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố định

Tam giác ABF có: AQ = QB = QF

⇒∆ABF vuông tại A ⇒ Bˆ = 45 0 ⇒ A FˆB= 45 0

z y

Bµi 1: Cho biÓu thøc A =

2

1

1 4( 1)

a) §iÒu kiÖn x tháa m·n

2

1 0 4( 1) 0 4( 1) 0 4( 1) 0

x x x x

x x

B

C D

cho A= ( 1 - )

x2- 4(x-1)x-1

a/ rút gọn biểu thức A

b/ Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình

x2-(m+5)x-m+6 =0

Có 2 nghiệm x1 và x2 thoã mãn một trong 2 điều kiện sau:

a/ Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.

Câu 5: Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với

nhau một góc 450 Một tia cắt cạnh BC tại E cắt đờng chéo BD tại

P Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng chéo BD tại Q

a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một ờng tròn

m≥-7+4 3 (*)

a/ Giả sử x2>x1 ta có hệ x2-x1=1 (1)

1 1

Q

P M

F

E

B A

x1+x2=m+5 (2)

x1x2 =-m+6 (3)

Giải hệ tađợc m=0 và m=-14 thoã mãn (*)

b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’)

(y0-1)x2-6x+y0-1 =0 có nghiệm

*y0=1 suy ra x = 0 y0 ≠ 1; ∆’=9-(y 0 -1) 2≥0(y0-1)2≤ 9 suy ra -2 ≤ y0 ≤ 4

Vậy: ymin=-2 và y max=4

AQP

S

S = ( 2 )2 hay SAEF = 2SAQP

c/ Để thấy CPMD nội tiếp, MC=MD và ∠APD=∠CPD

x x

x

x

−

+ +

−

+ +

1 2 6 5

9 2

a Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M

b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2 2 2 2006

x

x

x − + (với x ≠ 0)

Bài 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay sao cho x ˆ A y = 450

Tia Ax cắt CB và BD lần lợt tại E và P, tia Ay cắt CD và BD lần lợt tại

Cho ba sè a, b , c kh¸c 0 tho· m·n:

0 1 1

1 + + =

c b a

x x

x

x

−

+ +

−

+ +

1 2 6 5

9 2

a.§K x≥ 0 ;x≠ 4 ;x≠ 9 0,5®

Rót gän M = ( )( ) ( )( )

2 1

2 3 3

9 2

−

−

− +

+

− +

−

−

x x

x x

x x

x x

M =

1 2

3

2 1

4 16

4 16

15 5

1

3 5

1

5 3

1 5

M b.

⇔

−

= +

x

x x

x x

x x

c M =

3

4 1 3

4 3 3

1

− +

x x

< > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96

< > (x + 2y)(3x + 4y) = 96

Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng và 3x + 4y > x + 2y ≥ 3

mà 96 = 25 3 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợcbiểu diễn thành tích 2 thừa số không nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 =

= +

24 4 3

6 2

y x

y x

= +

16 4 3

6 2

y x

y x

= +

12 4 3

8 2

y x

y x

Hệ PT vô nghiệmVậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm là (x, y) = (4, 1)

b ta có /A/ = /-A/ ≥A∀A

Nên /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/

3 / 3 / / 2008 2005

mà /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2)

Kết hợp (1 và (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/ ≤ 0 (3)

(3) sảy ra khi và chỉ khi

/ 2007 /

0 / 2006 /

y

x y

x

Bài 3

a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ

b Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có 2 2 ( )2 (*)

y x

b a y

b x

a

+

+

≥ +