VIET e sharing chuyên đề tiếp tuyến của hàm số

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn CHUYÊN ĐỀ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I... Viết phương trình các tiếp tuyến của  C tại những giao điểm của  C

Trang 1

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn

Trang 2

CHUYÊN ĐỀ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I Lý thuyết

1 Hệ số góc của tiếp tuyến

  : ykx b là tiếp tuyến của (C) Khi đó k là hệ số góc của tiếp tuyến và k được định ng

với  là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và phần đường thẳng   nằm phía trên Ox

Lưu ý: * VABOcân thì k 1

M C tiếp tuyến tại M có hệ số góc k  f x '( M)

 Tiếp tuyến tại M có dạng:   :yk x x My M

tan

Trang 3

 Ox y: 0 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C :y f x 

Loại 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số C : y f x 

1 Tại điểm M x y 0; 0 trên đồ thị

B3: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y7

2 Tại điểm có hoành độ x trên đồ thị 0

Trang 4

1

x x y

Trang 5

 tiếp tuyến của (C) tại M2là:  d2 :y y' 2 x    2 2 y 2

B4: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:  d1 :y  3x 1 và  d2 :y 2

4 Tại giao điểm của đồ thị với trục tung Oy

Tiếp tuyến của (C) tại A0; 1 là  d :yy' 0 x   0 1 y 2x1

B4: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:  d :y2x1

5 Tại giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox

Bài mẫu: Cho yx34x25x2  C Viết phương trình các tiếp tuyến của  C tại những

giao điểm của  C với trục hoành

Trang 6

B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là d1:y x 2và d2:y0

6 Tại một điểm đặc biệt

Bài mẫu 1: Cho hàm số y x3 mx2 m1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm cố định

0 0

1 0

1; 0 , 1; 21

2

x y x

B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y (2m3)x(2m3)và y (3 2 )m x  1 2m1

Bài mẫu 2: Cho hàm số   3 2

C y x  x  Viết phương trình tiếp tuyến () với đồ thị  C tại điểm uốn của đồ thị và CMR () là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Trang 7

B4: Bảng biến thiên của y’

Từ bảng biến thiên ta thấy min ' ' 1 3

y  y    

 

  tiếp tuyến tại U có hệ số góc nhỏ nhất

B5: Vậy tiếp tuyến cần tìm là   3 3

:

Bài mẫu 3: Cho hàm số yax3bx2cxd

(C) CMR: trong số các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn khi a > 0 có hệ số góc nhỏ nhất

  là điểm uốn của đồ thị

Vì a0 nên ta có bảng biến thiên của y’ như sau:

Trang 8

B3:  Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là nhỏ nhất

Bài mẫu 4: Cho  C m : 4 3 1 2 2

24

ymx  m x 

  Gọi A và B lần lượt là các điểm có

hoành độ bằng 1 và 2 của  C m Tìm m để các tiếp tuyến của  C m tại A và B vuông góc với nhau

là hệ số góc của các tiếp tuyến tại A và B của  C m

B3: Các tiếp tuyến của  C m tại A và B vuông góc với nhau

m m

  Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại điểm có hoành độ x 1 vuông góc với đường thẳng  d :y2x3

Trang 9

 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm

số tại giao điểm với trục Ox song song với đường thẳng  d :y x 1

3

m m



 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M

cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng 1

4 Viết phương trình tiếp tuyến tại M

B1: TXĐ: \ 1

Trang 10

B2: Tính

 2

2'

0 0

B B

B5: Vậy tiếp tuyến cần tìm là  1

đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt A(1;0) ,B,C sao cho tiếp tuyến tại B,C song

song với nhau

Trang 11

B5: Vậy m=2 thỏa mãn đề bài

Bài mẫu 9: Cho đồ thị (C): 1

2

x y x

 



 Tìm trên đồ thị hai điểm A và B sao cho AB= 8 và

tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A và B song song với nhau

B1: TXĐ: \ 2 Tính

 2

1'

2

y x

Trang 12

Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

1 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

B1: TXĐ

B2: Tính 'y và giải phương trình y' k x0

B3: Thay giá trị x vào hàm số để tìm 0 y0  y x  0  x y0; 0 là tiếp điểm

 tiếp tuyến tại x y0; 0 là: yk x x0y0

B4: Kết luận

Bài mẫu: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

B3: Tiếp tuyến tại M 2;3 là  d1 :y 1(x     2) 3 y x 5

Tiếp tuyến tại N 0;1 là  d2 :y 1(x     0) 1 y x 1

B4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là  d1 :y  x 5và  d2 :y  x 1

2 Tiếp tuyến song song, vuông góc với đường thẳng  d :yax b 

Trang 13

B4: Thay giá trị x vào hàm số để tìm 0 y0  y x 0

 tiếp tuyến tại x y0; 0 là: yk x x0y0

B5: Vậy tiếp tuyến cần tìm là   :y  6x 10

Bài mẫu 2: Cho  C : 1 2

x y

x





 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song

song với đường thẳng  d : 4x  y 1 0

Trang 14

Theo đề bài    

0 0

4/ /

1

k d

B5: Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  4x 1 và y  4x 7

Bài mẫu 3: Cho  C : 1 3 1 2

Gọi   : yk x x0y0 là tiếp tuyến của  C tại điểm x y0; 0

Theo đề bài góc giữa   và  d bằng45o

Trang 15

B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến   của  C tại điểm x y0; 0là: yk x( x0)y0

Theo bài ra ,Ox45o  k tan 45o  1

1

k k

Trang 16

B4: Vậym4 thỏa mãn đề bài

Bài mẫu 6: Viết phương trình tiếp tuyến của   3 1

1

y x







B2: Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng  d :x1

Giả sử   : yk x x0y0 là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại x y0; 0

41

B3: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y x 2 hoặc y x

Bài mẫu 7: Cho hàm số:

( 1)( ) :C y mx m x m m

x m



 Tìm điểm x0 để với mọi m0,

tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x0 song song với một đường thẳng cố định Tìm hệ

số góc của đường thẳng đó

0 0 2 2 0 0

2

2 2

)(

22

)(')

(

22

'

m x

m x m mx x

y m

x

m x m mx y

Trang 17

0 0

2

00

3 Tiếp tuyến có hệ số góc thỏa mãn một điều kiện nào đó

Bài mẫu 1: Cho   3 2

Do đó hệ số góc nhỏ nhất của  C bằng 15 , đạt được khi và chỉ khi x0 1

B4: Ta đi viết phương trình tiếp tuyến của  C khi hệ số góc k 15

Tínhy 1  9 tiếp tuyến của  C tại 1; 9 là:   :y 15x    1 9 y 15x6

Trang 18

 Phương trình tiếp tuyến là: y 10(x 3) 17  y 10x13

B5: Vậy m 3 và phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 10x11 và y 10x13

Bài mẫu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2

2

x y x



 biết tiếp tuyến cắt Ox,

Oy lần lượt tại A và B mà tam giác OAB thỏa mãn AB 2OA

B1: TXĐ: \ 2 

B2: Tính

 2

4'

Giả sử tiếp tuyến cần tìm có dạng  d :yk x x0y o với M x y 0; 0 là tiếp điểm

Vì VABO vuông tại O, lại có AB 2OAVABOvuông cân tại O

 góc giữa tiếp tuyến (d) với trục Ox: y = 0 là 45 tan 45 1 1

1

k k

Phương trình tiếp tuyến tại M là  d :y 1(x     4) 4 y x 8

B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là  d :y  x 8

Bài mẫu 4: Cho 1

x y

Trang 19

B2: Tính

 2

3'

y x

13

3

y y

3

y y

Trang 20

3 23

11

x

x x

3 25

:

11

x

x x

4112

y y

Trang 21

B2: Tính

 2

3'

3

11

x

x x

11

x x

9

11

x x

Trang 22

phương trình tiếp tuyến tại M là  d :y y x'( )(0 xx0)y0  1

B3: Vì tiếp tuyến đi qua A x A;y Ay A y x'( )(0 x Ax0)y0 x0

Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

1 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Bài mẫu 1: Cho   3 2

Trang 23

x x

0

15'

4916

Trang 24

B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là   :y3x và   :y 24x27

Bài mẫu 3: Cho hàm số:

 CMR: Có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0)

và vuông góc với nhau

Trang 25

( 1)

x k x

 Hai tiếp tuyến tại A vuông góc với nhau

Bài mẫu 4: Cho   3 2

C y x  x  x Tìm những điểm thuộc  C mà tiếp tuyến tại

đó đi qua gốc tọa độ

Trang 26

1

y x







B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến qua I 1; 1 có hệ số góc k là   :yk x(  1) 1

B3: Xét hệ điều kiện tiếp xúc của  với (C) là

 

1

( 1) 12

11

1

2

x x x

k x k

 Hệ phương trình vô nghiệm không tồn tại tiếp tuyến của (C) đi qua I

Bài mẫu 6: Cho hàm số: 2 2

)2

y  (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua A(0; 4)

B1: TXĐ:

B2: Phương trình đường thẳng qua A(0;4)có dạng: y kx4 (d)

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ

Trang 27

2 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước

Bài mẫu 1: Cho   2

Vậy  C có tiếp tuyến đi qua A1; 2  khi và chỉ khi m 4

B4: Vậy m 4thỏa mãn đề bài

Bài mẫu 2: Tìm m sao cho  :

 

Trang 28

x y

0 0

1:

11

3 Tìm m để từ một điểm kẻ được n tiếp tuyến đến đồ thị

Bài mẫu 1: Cho   2

2

y x







Trang 29

5:

22

x

x x

B3: Điểm A nằm trên đường thẳng x3  tọa độ A có dạng A 3;a

Qua A có tiếp tuyến tới  C

 2  0 0

0 0

53

22

x

x x

B4: Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là A 3;a a7

Bài mẫu 2: Cho hàm số:   3 2

Trang 30

 và điểm A(0; a) Xác định a để từ A kẻ được hai

tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía so với trục Ox

B1: TXĐ: \ 1  Tính

 2

3'

1

y x







B2: Phương trình đường thẳng qua A 0;a có dạng:  d :ykx a

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C)

 

 2

2

11

3

2( 1)

x

kx a x

k x

Trang 31

4)(

20

1

2.1

2

2 1 2 1

2 2

x x x x x

x x

10

1

45012

44

t

t t

)1(5

695

41

25

B2: Gọi điểm B 2;b là điểm bất kì nằm trên đường thẳng x2

Phương trình đường thẳng qua B(2; b) có dạng:  d :yk x(  2) b

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C )

Trang 32

Bài mẫu 5:Cho hàm số

1

12

y (C) Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được 2

tiếp tuyến đến đồ thị (C)

B1: TXĐ: \ 1 Viết lại

1

12

 2

1' 1

B2: Gọi B(0;b)OyPhương trình đường thẳng qua B có dạng:  d :ykx b

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C)

2

1

2

11

1

3

)2

3

(

1

02

3

2 2

b k k k b

B4: Vậy các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đó kẻ được 2 tiếp

 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị

hàm số CMR: không có tiếp tuyến nào đi qua I

 Giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(-1; 1)

B3: Phương trình đường thẳng qua I(-1; 1) có dạng:   :yk x  1 1

Trang 33

Đường thẳng   là tiếp tuyến của đồ thị (C )

 

 2

( 1) 1 11

1

2( 1)

x

k x x

k x

 Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm số

(C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau

B1: TXĐ: \ 1 Tính 2

)1(

11'





x y

B2: Gọi M1(x1;y1),M2(x2;y2)(C) x1  1,x2  1,x1 x2

Để tiếp tuyến của (C) tại M M song song với nhau thì 1, 2

)(')

Loại 4: Điều kiện tiếp xúc

Bài mẫu 1: Cho   2 1 2

1:

x x

m x

Trang 34

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhĩm tại lớp- Live.edu.vn

là nghiệm của

B3: Vậy  C tiếp xúc với d  m1

Bài mẫu 2: Cho   3 5

x x x

x x

Trang 35

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhĩm tại lớp- Live.edu.vn

x x

m x

là nghiệm của

m

m m

Trang 36

Loại 5: Tiếp tuyến hàm bậc 3 (Xem phần 2)

Loại 6: Tiếp tuyến hàm bậc nhất/bậc nhất (Xem phần 2)

Loại 7: Tiếp tuyến hàm trùng phương(Xem phần 2)

Loại 8: Casio và tiếp tuyến(Xem phần 2)

y ; 5) y4, 9 7

y  x

Bài 2 Cho yx42x2  C

1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C ;

2) Tìm những điểm trên đường thẳng y3 mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C

x x y

Trang 37

2)  C là đồ thị hàm số 1 2

x y

y x  x mà tiếp tuyến tại đó

vuông góc với đường thẳng : 1 2

y mx  m x  m x  C m Tìm điều kiện của m để  C m có

tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2012 ĐS: 1

y x

Bài 10 Cho 2

x y x





  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cắt các

trục tọa độ tại các điểm A, B sao cho tam giác OAB cân tại O ĐS: y  x 2

Bài 11 Cho

 3

x y

x





  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cắt các

trục tọa độ tại các điểm A, B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O





 ,viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp

tuyến của đồ thị hàm số cách đều 2 điểm A(2;4) ,B(-4;-2)

Trang 38

a Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1) ,D,E

b Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số đó cho tại D và E vuông góc với nhau

ĐS: m=0 hoặc m=-16

Bài tập trắc nghiệm

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	1,49 MB