1 BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A/- KIẾN THỨC CƠ BẢN.. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.. Định mọi giá trị của
Trang 11
BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A/- KIẾN THỨC CƠ BẢN
I Tính đơn điệu của hàm số
1) Định nghĩa: Cho hàm số y = ( )f x xác định trên K
Hàm số y= f x( ) đồng biến trên K nếu "x x1, 2Î K x: 1< x2Þ f x( )1 < f x( 2)
Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên K nếu "x x1, 2Î K x: 1< x2Þ f x( )1 > f x( 2)
Chú ý: K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng
2) Định lý: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên K
a) Nếu f¢( )x > 0, " Îx K thì hàm số ( )f x đồng biến trên K
b) Nếu f¢( )x < 0, " Îx K thì hàm số ( )f x nghịch biến trên K
Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K
a) Nếu f¢( )x ³ 0, " Îx K và f¢( )x = 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K
b) Nếu f¢( )x £ 0, " Îx K và f¢( )x = 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K
c) Nếu f¢( )x = 0," Îx K thì ( )f x không đổi trên K
3) Hai dạng toán cơ bản
Dạng 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
Quy tắc tìm:
Tìm tập xác định của hàm số
Tính đạo hàm f¢ Tìm các điểm (( )x x i i = 1, 2, , )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
Lập bảng biến thiên
Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
Dạng 2 Tìm các giá trị m để hàm số đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trên khoảng cho trước
Phương pháp: Xét hàm số y= f x( ) trên K
Tìm tập xác định của hàm số (nếu cần) Tính f¢ ( )x
Nêu điều kiện của bài toán:
+ Hàm số đồng biến trên K Û f¢( )x ³ 0," Îx K
+ Hàm số nghịch biến trên K Û f¢( )x £ 0," Îx K
Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm
m
f x ax bx c a
0
a
0 ( ) 0,
0
a
II Cực trị của hàm số
1) Định lí 1 Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng K (x0h x; 0h) và có đạo hàm trên
K hoặc K\{ }x0 (h > 0)
a) f¢( )x > 0 trên (x0h x; 0) và f¢( )x < 0 trên ( ;x x0 0h) thì x là một điểm CĐ của ( )0 f x
b) f¢( )x < 0 trên (x0h x; 0) và f¢( )x > 0 trên ( ;x x0 0h) thì x là một điểm CT của ( )0 f x
Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định
Qui tắc 1 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 1)
Tìm tập xác định
Tính f¢ Tìm các điểm tại đó ( ) 0( )x f¢x = hoặc f ¢ không xác định ( )x
Trang 22
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên dựa vào định lý 1 suy ra các điểm cực trị
2) Định lí 2 Giả sử y= f x( ) có đạo hàm cấp 2 trong (x0h x; 0h) (h > 0)
a) Nếu f¢(x0)= 0, f ¢¢(x0)> 0 thì x là điểm cực tiểu 0
b) Nếu f¢(x0)= 0, f¢¢(x0)< 0 thì x là điểm cực đại 0
Qui tắc 2 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 2)
Tìm tập xác định
Tính f¢ Giải phương trình ( ) 0( )x f¢x = và kí hiệu x là nghiệm i
Tìm f¢¢( )x và tính f¢¢( )x i
Dựa vào dấu của f¢¢( )x i suy ra tính chất cực trị của x i
3) Các dạng toán thường gặp
Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số cho trước
Phương pháp: Dựa vào quy tắc 1 hoặc quy tắc 2
Dạng 2 Điều kiện để hàm số đạt cực trị
Phương pháp:
Tìm tập xác định D của hàm số
Tính f¢ ( )x
Hàm số đạt cực trị tại x0Î DÛ f x¢( ) đổi dấu khi qua x 0
Một số chú ý:
Hàm số y= ax3+ bx2+ cx= d a, ¹ 0 có cực trị (cực đại và cực tiểu)Û y¢= có hai 0 nghiệm phân biệt
Xét hàm số trùng phương y= ax4+ bx+ c a, ¹ 0
2
0
2 0 (1)
x
ax b
é = ê
êë + Hàm số có ba cực trị Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û ab< 0
+ Hàm số có một cực trịÛ (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0
0
0
ab
b
é >
ê
Û
ê =
ë
B/-MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
VD1 Cho hàm số y x3 3x21 Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
GIẢI
TXĐ: D = ¡
y¢= - 3x2+ 6x; 0 3 2 6 0 0
2
x
x
é = ê
ê = ë
Giới hạn: lim , lim
Bảng biến thiên:
CĐ
2 0 -1
0 0
3
y
y'
x
Trang 33
Hàm số đồng biến trên (0; 2); hàm số nghịch biến trên (;0) và (2;)
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y CĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT = - 1
VD2 Cho hàm số y x4 3x21 Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
GIẢI
TXĐ: D = ¡
y¢= - 4x3+ 6x; 3
0
2
x
x
é = ê ê
ê = ± êë
Giới hạn: lim , lim
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên ; 6
2
6 0;
2
; nghịch biến trên
6
;0 2
6
; 2
Hàm số đạt cực đại tại 6
2
x , , Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT = 1
VD3 Cho hàm số
1
x y x
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
GIẢI
Tập xác định D \ 1
( )2
1
0, 1
x
¢= - < " Î
-
Giới hạn: lim lim 1
® - ¥ = ® + ¥ = ;
= - ¥ = + ¥
BBT
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1;
Hàm số không có cực trị
VD4. Cho hàm số ( ) ( )
3
3
x
y= m - + m+ x + x+ Tìm m để hàm số đồng biến trên ¡
GIẢI
CĐ CT
0 0
CĐ
1
y y'
x
CĐ
13 4
y y' x
1
1
1
Trang 4TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y¢= (m2- 1)x2+ 2(m+1)x+ 3
Nếu m = thì 1 y¢= 4x+ 3
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi y¢³ 0Û x³ 3
4 ( loại so với yêu cầu bài toán)
Nếu m = - 1 thì y¢= 3> 0 x" Î ¡ Hàm số đồng biến trên ¡ (nhận so với ycbt) (1)
Nếu m ¹ ± thì hàm số đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi 1
0
y¢³ x" Î ¡
2
1 0
íï = - >
ïï
Û ì
ïïî
Û 2
2 0
í < - Ú >
ïï ì
ï - - ³
í < - Ú >
ïï ì
ï £ - Ú ³ ïî
1 2
m m
é < -ê Û
ê ³
ë (2)
Từ (1) và (2) suy ra hàm số đồng biến trên ¡ 1
2
m m
é £ -ê Û
ê ³ ë
VD5. Cho hàm số y= - x3- 3 2( m+1)x2- (12m+ 5)x- 2 Định mọi giá trị của tham số m để
hàm số luôn luôn nghịch biến
GIẢI
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y¢= - 3x2- 6 2( m+1)x- (12m+ 5)
Biệt số D =¢ 9 2( m+1)2- 3 12( m+ 5)= 36m2- 6
Vì hệ số a của y¢ là 3 0, m- < " nên hàm số luôn luôn nghịch biến Û y¢£ 0, x" Î ¡
¢
Vậy các giá trị m cần tìm là: 6 6
VD6. Định a để hàm số 1 3 ( 1) 2 ( 3) 4
3
y= - x + a- x + a+ x- Đồng biến trên khoảng (0;3 )
GIẢI
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y¢= - x2+ 2(a- 1)x+ a+ 3
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;3)Û y¢³ 0, " Îx (0;3)
2
Û - + - + + ³ " Î (1)
Xét bất phương trình (1)
2
(1)Û x + 2x- 3£ a 2x+1
(0;3) 2 1 0
2
2 3 (1)
2 1
x
+
Xét hàm số g x trên khoảng ( ) (0;3 )
Trang 55
Có ( )
2
2
0, 0;3
2 1
x
¢ = > " Î
+
BBT:
Từ BBT suy ra ( ), (0;3) 12
7
a³ g x " Îx Û a³
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) 12
7
a
Û ³
VD7. Định m để hàm số y= x3+ 3x2+ (m+1)x+ 4m Nghịch biến trên khoảng (- 1;1)
GIẢI
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: 2
y¢= x + x+ m+
Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 1;1)Û y¢£ 0," Î -x ( 1;1)
Û 3x2+ 6x+ m+ £1 0," Î -x ( 1;1) (1)
Xét BPT (1): (1)Û m£ - 3x2- 6x- =1 g x( )
Xét hàm số g x( ), x Î -( 1;1)
Có: g x¢( )= - 6x- 6£ 0, " Î -x ( 1;1)
BBT:
Từ BBT suy ra m£ g x( ), " Î -x ( 1;1)Û m£ - 10
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (- 1;1)Û m£ - 10
VD8. Tìm điều kiện của m để hàm số y= 2x3- 3(m+ 2)x2+ 6(m+1)x- 3m+ 6 đồng biến trên khoảng (5;¥ )
GIẢI
TXĐ: D = ¡
y¢= x - m+ x+ m+
Hàm số đồng biến trên khoảng (5;¥ Û) y¢³ 0, " Îx (5;+ ¥ )
2
6x 6 m 2 x 6 m 1 0, x 5;
Û - + + + ³ " Î + ¥ (1)
Xét BPT (1): (1)Û 6x2- 12x+ ³6 6m x( - 1)
12 7 0
- 3
3
g(x)
g'(x)
x
1
0
- 1
g(x)
g'(x)
x
- 10
Trang 6Vì x Î (5;+ ¥ nên ) x - 1> 0 do đó:
1
x
Û £ " Î + ¥ Û £ - = " Î + ¥
Xét hàm số g x x Î( ), (5;0) ta có: g x¢( )= >1 0, " Îx (5;+ ¥ )
BBT:
Từ BBT suy ra m£ g x( ), " Îx (5;+ ¥ Û) m£ 4
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (5;+ ¥ Û) m£ 4
VD9. Cho hàm số: y= (m- 2)x3- mx- 2 Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu
GIẢI
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y¢= 3(m- 2)x2- m
Hàm số không có cực trị thì phương trình y¢= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Û D £ 0 Û 0+ 4.3m m( - 2)£ 0 Û 0£ m£ 2
VD10. Cho hàm số: 1 3 2 ( 2 )
3
y= x - mx + m - m+ x+ Tìm m để hàm số
a) Có cực đại và cực tiểu b) Đạt cực đại tại điểm x = 1
GIẢI
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y¢= x2- 2mx+ m2- m+ 1
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y¢= có 2 nghiệm phân biệt 0
1 0 0
1 0 0
y
y
a
¢
¢
í ¹
ïD¢ > ï - - - + >
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
y¢= x - mx+ m - m+ và y¢¢= 2x- 2m
Hàm số đạt cực đại tại ( )
( )
2
1
m
ï ¢¢ < ï - < ïïî >
î
Vậy khi m = 2 hàm số đạt cực đại tại x = 1
VD11. Cho hàm số 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1
y= mx - m- x + m- x+ Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x thỏa mãn 1, 2 x1+ 2x2= 1
GIẢI
TXĐ: D = ¡
x g'(x) g(x)
5
4
Trang 77
Đạo hàm: y¢= mx2- 2(m- 1)x+ 3(m- 2)
Hàm số có 2 cực trị
y y
¢
¢
ïD¢ > ïD =¢ - - - >
ïî
2
0
m
í ¹
ïï
Û ì
ï - + + >
ïî
0
m
m
í ¹ ïï ïï
Û ì
ï - < < + ïïïî
(*)
Vì x , 1 x là 2 nghiệm của phương trình 2 y¢= 0 nên: x1+ 2x2= (1) 1
và
1 2
(2)
m b
m c
x x
-ïï + = - =
ïïï
ì
-ïï = =
ïïî
và
Từ (1) và (2) x1 3 4
m
1
x
m
= - +
( ) 3
m
é =
Þ - +çç ÷÷çç - ÷÷= Û - + = Û ê
ê
êë Vậy: 2, 2
3
m= m= thỏa yêu cầu bài toán
C/-BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1 Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị của các hàm số:
a) y= x3- 6x2+ 9x- 4 b) y= x3- 3x2+ 3x+ 5 c) y= x3+ x2+ 2x- 3 d) y= - x3+ 3x2+ 2 e) 1 3 2
4 3
y= - x + x - x+ f) y= - x3+ 2x2- x+ 2
Bài 2 Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị của các hàm số:
a) y= x4- 2x2+ 5 b) y= x4+3x2- 4 c) y= - x4+ 4x2+ 3
d) 1 4 2
4
y= x - x + e) 2 1 4
4
y= x - x f) y= - x4- 5x2+ 1
Bài 3 Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị (nếu có) của các hàm số:
1
x
y
x
-=
+ b)
2 1 3
x y x
+
=
- e) 2
1 8
x y x
+
= + f)
2
1
y
x
=
-
Bài 4 Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị của các hàm số:
a) y= 2x- x2 b) y= x2- 4x+ 3 c)
2
1 1
x y
+
=
- +
d)
2
2
1
x
y
x
=
e) y= 5- x+ x- 1 f) y= x x2- 9
BÀI TẬP NÂNG CAO
Loại 1 Tính đơn điệu của hàm số
Trang 8Bài 1 Tìm m để hàm sốy= - x3+(m+ 2)x2- (2m- 1)x+ 2 nghịch biến trên ¡
Bài 2 Tìm m để hàm số 1 3 2
4 10 3
y= x + mx + x- đồng biến trên ¡
Bài 3 Cho hàm số
3
2
3
x
y= - mx + mx+ Xác định m để:
a) Hàm số đồng biến trên miền xác định
b) Hàm số đồng biến trên khoảng (- ¥ ;0)
Bài 4 Cho hàm số
3
2
3
x
y= - + x - mx+ Xác định m để :
a) Hàm số nghịch biến trên trên tập xác định của nó
b) Hàm số nghịch biến với mọi x > 1
Bài 5 Tìm m để hàm số 1 3 2
3
m
y= - x - - m x + - m x+ nghịch biến trên ¡
Bài 6 Tìm m để hàm số
3
2
3
x
y= + m+ x - m+ x+ đồng biến trên (1;+ ¥ )
Bài 7 Tìm m để hàm số y= x3- 3(2m+1)x2+(12m+ 5)x+ 2 đồng biến trên (2;+ ¥ )
Bài 8 Tìm m để hàm số 2
2
mx y x
-= + luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
Bài 9 Tìm m để hàm số x m
y
x m
+
=
- đồng biến trên (–1; +)
Bài 10 Tìm m để hàm sốy= x3+ 3x2+ mx+ m nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1
Loại 2 Cự trị của hàm số
Bài 1 Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu:
a) y= x3+ 3x2+ mx- 10 b)y= x3- 3mx2- 3(m2- 2)x+ 1
c) y= x3- (2m+1)x2+ (m2- 3m+ 2)x+ 4 d)y= (m+ 2)x3+ 3x2+ mx+ m
3
y= x + m - m+ x + m + x+ m đạt cực tiểu tại x = - 2
Bài 3 Tìm m để hàm số y= mx3+ (m2- 2)x2- 8x+ đạt cực đại tại 1 x = 2
Bài 4 Cho hàm số y= x4- mx2+ n Tìm m, n để hàm số đạt cực trị bằng 2 tại x = 1
Bài 5 Cho hàm số
3
2 ( 1) (6 2 ) 3
x
y= + m+ x + - m x+ m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm
cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy
Bài 6 Cho hàm số y= x3- 3(m+1)x2+ 3 (m m+ 2)+ Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai 1 điểm có hoành độ dương
Bài 7 Cho hàm số y= x3- 3x2- 3 (m m+ 2)x- 1 Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu
m
y= x - m- x + m- x+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là x x1, 2:x1+ 2x2= 1
Trang 99
Bài 9 Cho hàm số y= x3+ 2(m- 1)x2+ (m2- 4m+1)x- 2(m2+1) Tìm m để hàm số có cực trị tại 1 2 ( 1 2)
; :
2
Bài 10 Cho hàm số y= 2x3+ mx2- 12x- 13 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung
Bài 11 Cho hàm số y= x3+3mx2+ 3(m2- 1)x+ m2- 3m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu với hoành độ x x thỏa mãn: 1; 2 x12+ x22= 10
Bài 12 Tìm m để đồ thị hàm số y= 2x3- 3(2m+1)x2+ 6 (m m+1)x+ có hai điểm cực trị đối 1 xứng nhau qua đường thẳng :D y= x+ 4
“Trên đỉnh cao của vinh quang không có vết chân của những kẻ lười biếng”