BÀI TẬP PHÂN THỨC Bài 1... bTìm x để giá trị của các pthức trên bằng 0... Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?. bTìm x để giá trị của các pthức trên bằng 0..
Trang 1BÀI TẬP PHÂN THỨC Bài 1 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 3 3 4
7
x y x y
xy
2 2
2
2 2
x
x x
2 2
x x x
d)
x
5 20
y xy x
x
Bài 2:Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau
a)
2 2
2
2 3
;
Bài 3:Ba phân thức sau có bằng nhau không?
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
a)
3
7 ( 2 )
14 ( 2 )
xy x y
x y x y
b)
18 (2 3)
12 (3 2 )
x y x
xy x
c)
2
16 9
4 3
x x
d)
2 3
2(2 )
a ab
b a
e)
2 2
16 ( 7)
6 9
x
x x
f)
3 4
1
x x x
g)
2 2
6
4 3
x x
x x
h)
c
b
a
c
b
a
2 2
i)
y x xy x
y x xy x
2
2
2
(x 2)(x 3)
(2 4)( 3) ( 2)(3 27)
l) x y z xz
xy z
y x
2
2
2 2 2
2 2 2
Bài 2:Thực hiện phép tính và rút gọn:
x y x y x y
2) 52 32 3
x
x y xy y ; 3) 1 1
2 ( 2)(4 7)
4( 2) 4 8
x
6) 2
3 5 25
5 25 5
x y x y
2
x y y x
;
10)
5x y 5y x
x y xy
6 2
3
x
6 2
6
2
x x
x
6 6
2
2
-
4 4
1
2
Bài3: Rút gọn các biểu thức sau:
x x x 3/
2
1
x
1
x
y x
x
2
+ x y
x
2
+ 2 2
4
4
x y
xy
7/
2
3
1
6 3 2 3
1
x
x
2
x
2
1
x
x
xx x x
x x x x
x
3 6
4
2 3
3
1 x1 x1 x 1 x 1 x
Bài 3:Tính và rút gọn các biểu thức đại số sau :
2 8
2 2
:
2
:
x xy y x y
x xy y x y
5/
1 2
9 :
4
4
15
5
2
2
x x
x x
x
6/
1 2
64 :
7 7
48 6
2
2
x x
x x
x
7/
1 2
36 :
5 5
24 4
2
2
x x
x x
x
1 2
49 :
5 5
21 3
2
2
x x
x x
x
10/
:
Bài 4:Rút gọn các biểu thức đại số sau:
Trang 2A =
2
:
2
+ 3x + 9 ) – x2( x – 1
2
) 1 2 )(
1 (
3
2
x
x x x
:
4 4 4
1 2
2
x x
x
B = ( x 2 2x y2) : (1 1)
xy y xy x x y
x
2
2
2
Bài 5:Chứng minh đẳng thức
1/
2
x y xy y xy y
x xy y x y
x xy y
x x y xy y x y
x
Bài 6:*CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
xy yz zx
x y y z y z z x z x x y
Bài 7: Tìm ĐKXĐ của phân thức
Cho các phân thức sau:
A =
) 2 )(
3
(
6 2
x
x
x
B =
9 6
9 2
2
x x
x
C =
x x
x
4 3
16 9
2
2
D =
4 2
4 4 2
x
x x
E =
4
2 2
2
x
x x
F =
8
12 6
3
3
2
x
x
x
G =32 1
5
x x
; H =
2
2 1
x x x
2 2
3 2 1
x x x
J =
2 2
2
4 4
x x
x x
;
a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định
b)Tìm x để giá trị của các pthức trên bằng 0
c)Rút gọn phân thức A,B,C,D,E,F
Tìm số chưa biết
Bài 1:Tìm x, biết:
4 ( 2)
x
1
1 0
1 x
x x
Bài 2:Với giá trị nào của x thì giá trị các biểu thức sau bằng 0
5
x x
x
x x x
Bài 3: Với giá trị nào của x thì 2 biểu thức sau có giá tri bằng nhau:
x 1 và 2
2 ( 1)
x
3 1
2(x 3)
và 2
2 9
x
Trang 3Bài 4:
1
x A x
có giá trị bằng 1
B
1 2
Bài 5:Tìm giá trị của x để :
2
x có giá trị dương, giá trị âm
2x 1
có giá trị dương, giá trị âm
2
x x
có giá trị dương, giá trị âm
1
x x
Bài 6:a)Tìm các số a và b sao cho phân thức
2 3
5
3 2
x
x x
2 ( 1)
x x
b)Tìm A, B, C để có :
2
2
ax b c
x x x x x x
Tính giá trị của biểu thức
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
4 4
ax a x
a ax x
1
3; b)
3 2 3
6 4
x x
3
3 5
3 3
x x
x x
1 2
; d)
2 3
2
2
x x
x x
1 2
; e)
2 2
10 5
16 8
ab a
b ab
1
6, b = 1
7; f)
7
15 8 1
a
a a
0, 2 0,8
x y
9
1, 5 4, 5
x y
x y
xy y xy x
1 2
:
2/ Tính giá trị của biểu thức
y y
b Tính giá trị các biểu thức :
a
b)2a 3b
b
c)
2 (a b)
a b
A
5/ Cho 3x – y = 3z và 2x + y = 7z Tớnh giỏ trị của biểu thức :
2
2 2 2
x xy M
x y
( với x0,y0)
Trang 4Tìm x nguyên để biểu thức có giá trị nguyên
Tìm những giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên
2x1 2/ 2
5 1
x
3 2
x
3 2 4
a a
2 2
2 4
x x
2
3 6 5
x x x
7/
2 (x 3)
x
Tìm GTNN,GTLN
Bài 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
2
3
4
A
x
2
2
2 4
B
x x
3
6 15
C
x x
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau :
2
1
3
A
x
2
1
2 4
B
x x
4
4 5
C
x x
x 3
BÀI TẬP TỔNG HỢP
2 3 2 1 (2 3)(2 1)
x
2
3
; x
2
1
)
Câu 2:Cho phân thức A =
) 5 )(
5 (
10 2 5
2 5
1
x x
9
18 3
1 3
3
x x
Câu 4:Cho phân thức A =
x x
x x
x x
x
5
5 50 10 2 25
2
Câu 5: Cho
1 x
x x 2 x 3 x
5 x 1 x
1 x 2 x 3 x
1 x 2 A
2 2
2
a) Rút gọn A
b) Tìm x Z để A Z
2 2
2
2x 2x x 3 P(x)
x x 9 x 1
a) Tìm t p xác định của phân thức
b) Rút gọn và tính giá trị của (x) khi x = 0,5
c) Tìm x sao cho (x) = 0
2
1 4
2 2
1
2
x x x
x x
A
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x2
+ x = 0 c) Tìm x để A=
2 1
d) Tìm x nguyên để A nguyên dương
Trang 5Câu 8:: Cho biểu thức :
3
1 1 : 3
1 3
4 9
21
2
x x
x x
x x
B
a) Rút gọn B
b) Tính giá trị của biểu thức B tại x thoả mãn: 2x + 1 = 5
c) Tìm x để B =
5
3
d) Tìm x để B < 0
Câu 9::Cho phân thức A =
2
2
1
x
a) Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức A được xác định?
b) Rút gọn phân thức trên
c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức A là một số nguyên
Câu 10 Cho biểu thức:
2
4 : 4
4 2
8
8
2 3
3
x x
x x
x
x x
x P
a) Rút gọn
b) Tìm x để < 0
e) Tính trị nhỏ nhất của
2
2 2
x xy
y x
b, 2 2
2 2 2
x y
x xy y
1
x và
4 2 1
x
x
Câu 13: Biến đổi biểu thức sau thành một phân thức:
1 1 1 1
x
2
:
P
a, Tìm điêu kiện của x để xác định ?
b, Rút gọn ?
x
x x
; b 1 1 1
x
x y y y
;c
2
:
Câu 15: Cho phân thức:
2
1
x
a Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?
b Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức tại x = 2010
Câu 16:Phát biểu quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức?
Ap dụng: Tính:
3
10 3
1
x x
x x
x
Câu 17: Rút gọn các phân thức sau:
a)
3
3
5
5
x
x
2
9
3
y x
xy x
Trang 6Câu 18: Rút gọn các phân thức sau rồi quy đồng mẫu thức:
x x
x
3 5 5
và
32 4
4 2 3
2
x
x x
x x
x
x
1
4 1 1
1 2
a) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
x
1
x
1 1
1 1
Câu 21: Cho các phân thức sau:
A =
) 2 )(
3
(
6 2
x
x
x
B =
9 6
9 2
2
x x
x
C =
x x
x
4 3
16 9
2
2
D =
4 2
4 4 2
x
x x
E =
4
2 2
2
x
x x
F =
8
12 6
3
3
2
x
x
x
a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định
b)Tìm x để giá trị của các pthức trên bằng 0
c)Rút gọn phân thức trên
Câu 22: Thực hiện các phép tính sau:
a)
6
2
1
x
x
+
x x
x
3
3 2
2
b)
6 2
3
x
6 2
6
2
y x
x
2
+ x y
x
2
+ 2 2
4
4
x y
xy
d)
2
3
1
6 3 2 3
1
x
x
Câu 23:Tính giá trị của biểu thức:
3
2
x x 4
1
x
x 2 x 2
x
với x = -1/2 B =
1 y y 3 y
y y xy x
2 3
2
với x = -3/4, y = ½
4 4
x ax
a
x a
ax
với a = 3, x = 1/3 Câu 24:Rút gọn phân thức
a)
x
a
a
x
b)
3 2
2 5 ) (
) (
a x
a x
c)
yx y
x y x
2
) 3 2 )(
(
d)
yz xy xz x
yz xy xz x
2 2
Câu 25: Rút gọn biểu thức rồi thay giá trị của biến vào biểu thức đã thu gọn
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
4 4
x ax
a
x a
ax
với a = 3, x = 1/3 Câu 26:Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y
1
2 2 3 3 3
1
1
9 2
y
y x xy x
x
với x ≠ 1/3 ; y ≠ 1 Câu 27:Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a)
a b
a b
; b
x
b
x
;
x
a
x
a
2 2
2
y x
1
; ) y x (
y x
c)
ax x
a x
; a ax 2 x
x
2 2
x 2 3
; x x 2
1 x 7
2
x 2 y 8
y x
; y
2
x
4
;
x
7
2
; 1 x x
x
; 1 x
1 x
2
Câu 28:: Thực hiện phép tính:
Trang 7a) 2
x 4
2 x 2 x
3
2
x
4
9
) 1 ( 3
2 1 3
1
x
x x x
x x
x
c)
1 2
2 3 1
6 1 2
2 3
2 2
x x
x x
x x x
Câu 29:: Thực hiện phép tính:
4
2 5 2
3
2
4
x
x x
9
) 1 ( 3
2 1 3
1
x
x x x
x x
x
c)
1 x 2 x
2 x 1
x
6 1 x 2 x
2 x
2 2
Câu 30: Rút gọn biểu thức sau:
a)
2 x
x 1 10 x
1 x 2 x
x
10
x
1
2
2 2
2
2 2
2
x
y x y x
y x
y x y x
y
Câu 31:: Cho biểu thức:
A = x2x102x xx5 50x(xx5)
2
a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định
b) Tìm x để giá trị của biểu thức A bằng 1
c) Tìm x để giá trị của biểu thức A bằng -1/2
d) Tìm x để giá trị của biểu thức A > 0
Câu 32:Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:
a) A =
a b
b b a
a 2 b 2 a 2
b a b
a
ab
2
2
b) B =
2 3
y x
y y
x
x y x
xy x y
x
x
x
4 x 2 x
x2 2
nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Câu 34 rút gọn phân thức sau:
Câu 35: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a/ 2x 14
12xy
và y 22 3
9x y
b/ 7 6x;
4
x 2y ; 2 2
y x 8y 2x
x x x
x
1
2
; 4 5
5 2
d/
) 5 )(
2 (
2
; ) 1 )(
2
(
5
3
x x
x x
x
x
e/
1 2
1
;
1 2
x x
x x
x
1
; 1
2
;
1 2
y x
x
x x
xy
e/
x x
x x
x
x
12 3
; 16
8
3
2
5
; 5
3
Câu 36: Tính tổng
6x y 12xy 18xy 2/
2
2x 1 32x 1 2x 2x x 1 4x 2x x
x x 6 x 6x
Trang 84/ 1 3x 62
3x 2 4 9x
4 4 6 3
2
x x
x
6/
8 2
3 4
6
2 x x
1
2 2 2
1
2
x
x x
x
8/
x x x
x
6
6 36 6
12
2
9/
xy y
x xy
x
y
2
4
x x
x
3
3 2 6 2
1
2
1
1 2
x
12/
x x
x x
x
2 2
1 1
3
13/
x x
x
6 6
2
3
2
x
2 2
1 4 2 2
b)
2 3 2
2
2 1 2
a a
a a a
a
a a
e)
x
x x
x2 2 2 2
f) 2 32 32 2
y x
y y
x
x
g)
5
2 15
3
4 5
x
x x
x
h)
4
2 4
2
4
2
x
x x
x
2 1
2 1
1 1
1
x
x x
1
1 2
1 )
2 (
1
x x
x
x
1
2 4
1
2
2
x
x x x
x x
2 2
3
2 10
5
9
x x
x x x
x
x x
x
x x
1
1
1 2
3
n)
2
1 4 4
6 3
x
x x
x
w)
8 4
1 2 2
6 3
x
x x
x
o)
x x
x x
1
1 2
2
2
– 1) :
x
1
y y
x y
x
3
2 3
2 : 9
4 2
2
r)
b a
b a b a b a
b a
3
1 3
2 2
s)
1
2 2 2
3 2
2
x x
x x
x
t)
1
3 1
1 2 1
3
2
x
x x
x x
x
y)
x x
x
3
6 3
2
z)
1
1
1 2
x
x x
x
v)
2
1 : 7
7 49
49 7
2
a a
a
a b
2
x
x
) 2 (
) 1 ( 4
x x
x
#)
3
2 : 3 9
2 3
3
x x
x x
x x
2
3
x
a
x
2
1
x
6x y 12xy 18xy 2/
2
2x 1 32x 1 2x 2x x 1 4x 2x x
x x 6 x 6x
Trang 94/ 1 3x 62
3x 2 4 9x
4 4 6 3
2
x x
x
6/
8 2
3 4
6
2 x x
1
2 2 2
1
2
x
x x
x
8/
x x x
x
6
6 36 6
12
2
xy y
x xy
x
y
2
4
x x
x
3
3 2 6 2
1
2
1
1 2
x
x x
x
2 2
1 1
3
13/
x x
x
6 6
2
3
2
x
2 2
1 4 2 2
15/
1
2 2 2
3 2
2
x x
x x
x
1
3 1
1 2 1
3
2
x
x x
x x
x
Câu 39: Tìm x:
a)
a 4 a
9 a x 4 a
a 3 a
2
2 2
3 2
2 2
ab 3
b b a x b a
ab 2
với a0, b3, a2b
2
2
x
Câu 40 rút gọn phân thức sau:
a/ 2x 14
12xy
và y 22 3 9x y
b/ 7 6x;
4
x 2y ; 2 2
y x 8y 2x
x x x
x
1
2
; 4 5
5 2 2
d/
) 5 )(
2 (
2
; ) 1 )(
2 (
5 3
x x
x x
x
x
e/
1 2
1
;
1 2
x x
x x
x
1
; 1
2
;
1 2
y x
x
x x
xy
e/
x x
x x
x
x
12 3
; 16 8
3
2
5
; 5
3
Trang 10
2
2
3
2
7 /
x
x x
2
2
8 /
2
2
3 1
x
12/40 a)
b)
2
13/40: b)
2 2
10/40:
2
6/38:
2
b)
2
Trang 1125/4 a)
2
)
b
e)
f)
?4.Tính nhanh:
a)
b)
2
c)
y x
xy
Thay
vào:
2
4
2 5 2
3
2
4
x
x x
9
) 1 ( 3
2 1 3
1
x
x x x
x x
x
c)
1 x 2 x
2 x 1
x
6 1 x 2 x
2 x
2 2
4
2 5 2
3
2
4
x
x x
9
) 1 ( 3
2 1 3
1
x
x x x
x x
x
c)
1 x 2 x
2 x 1
x
6 1 x 2 x
2 x
2 2
a)
2 x
x 1 10 x
1 x 2 x
x
10
x
1
2
2 2
2
2 2
2
x
y x y x
y x
y x y x
y
a)
2
4 2
2 2
) b a
a a
b a
b)
y 15 x 15
y 8 x
y
2
x
2
y
x
a)
x 1
6 x : x 1
x
2 2 2
2
b a
b ab : b ab b a
Trang 12A =
2
1 a : 7 a
7 49 a
49 a 7
a
7
2
Cõu 45: Tỡm x, biết
a)
a 4 a
9 a x 4 a
a 3 a
2
2 2
với a0, a3, a4
3 2
2 2
ab 3
b b a x b a
ab 2
với a0, b3, a2b
2 2
x
x x
x
x y y y
2
1
x
a Với điều kiện nào của x thỡ giỏ trị của phõn thức được xỏc định?
b Rỳt gọn rồi tớnh giỏ trị của phõn thức tại x = 2010
Cõu 48 : Thực hiện phép tính:
a)5xy - 4y2 3 +3xy + 4y2 3
2x y 2x y
)
)
x c
2 2
1 4 2 4
h
)
d
x xyxy y x y
2
3 2
15 2 ) 7
x y e
y x
5 10 4 2
f
2
36 3
2 10 6
x g
1 2 3
) : :
2 3 1
x x x
i
1
x
Cõu 49: Cho biểu thức:
5
4 x 4 2 x 2
3 x 1 x
3 2 x
1 x B
2 2
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức đ-ợc xác định?
b) CMR: khi giá trị của biểu thức đ-ợc xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x?
Cõu 50 : Cho
4 x
100 x
10 x
2 x 10 x
2 x
2 2
a Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định ?
b Tính giá trị của A tại x = 20040 ?
Cõu 51: Biến đổi mỗi biểu thức sau thành 1 phân thức đại số:
1
1
)
1
x
a
x
x
1 2
1 ( : ) 4 4
1 4
4
1
x
x 1
x 1 (
:
)
1
1
x
x
2
)
d
3
x x e
Cõu 52: Chứng minh đẳng thức:
:
Cõu 53: Cho biểu thức:
2
B
Trang 13a) Tìm điều kiện xác định của B ?
b) Tìm x để B = 0; B =
4
1 c) Tìm x để B > 0; B < 0?
Cõu 54: Quy đồng mẫu thức cỏc phõn thức sau:
a) 252 , 14 5
102x y 34xy ; c) 3 14, 2 23
xy x y
x y x y xy
;
e) 3 24 , 52 2, 25
x
x y x y xy
2 ( 3) 3 ( 1)
x x x x
( 2) 2 ( 2)
,
3x 12x (2x4)(x3)
Cõu 55:Quy đụng mẫu thức cỏc phõn thức sau
a) 72 1 ,5 32
x x x
,
2 4 2
;
c)
2
x y
x x y y x
e)
2
x x x x x x ; f) 3 2 2
;
x ax a x ax a
a ab ad bd a ab ad bd
x xyy z x y yzz x xzy z ;
x x x x ; k)
2 2
2
x y
x y x xy y
l)
2
Cõu 56: Quy đồng mẫu thức cỏc phõn thức:
a) a 3x b, 2 x b a2 , 2
axb a xb axb
x ax a x ax
x ax a x ax a
a bc ac ab a bc ac b
;
Cõu 57: Quy đồng mẫu thức cỏc phõn thức (cú thể đổi dấu để tỡm MTC cho thu n tiện)
2 2 2 2 1
2
x a x ax a x a
;
x
x x x x x x; d) 2 4 4 2 7
x xy y x xyy x xy y
Cõu 58: Rỳt gọn rồi quy đồng mẫu thức cỏc phõn thức sau
a)
,
,
;
Trang 14c)
,
,
a) Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu của hai phân thức đã cho
b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho
mẫu thức
Câu 61 Cộng các phân thức cùng mẫu thức:
x y x y x y
2
( 1) ( 1)
x x x x
c)
2
Câu 62:Cộng các phân thức khác mẫu thức:
6x y12xy 18xy ; b) 4 32 5 2 3 13
x y x y xy
;
3
;
x xy y xy
x
2 ( 2)(4 7)
3 ( 3)( 2) ( 2)(4 7)
Câu 63:Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng
x
x
x x x x x
2
x
;
x y x y y x
Câu 64:Cộng các phân thức:
(x y y)( z)(y z z)( x)(z x x)( y)
(y x z)( x)(y x y)( z)(y z x)( z)
x x y x z y y x y z z z x z y
(a x c)( x)(a x a c)( )(a c x c)( )
a a b a c b b a b c c c a c b
Câu 65:Làm tính cộng các phân thức
2
x
x x x x x
;
d)
4
3 2
1 1
x
x x x
x
x
x y xy y ; f) 1 2 3
2 6 ( 3)
x x x
;
5 25 5
; h)
4 2
2
1 1 1
x x
x
; i)
2
;
Câu 66:Cho hai biểu thức: