Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày mà không nhìn vào trong hộp để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được.. Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được 1
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC: 2016 - 2017 PHẦN THI CÁ NHÂN Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1 Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ bên
Câu 2 Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây 1; 1; 2; 5; 29;
Câu 3 Có 5 đôi giày màu xanh và 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung trong một cái hộp Hỏi phải lấy
ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu
và đi được
Câu 4 Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được 1
9 tổng số cá câu được, bạn câu được nhiều nhất câu được 1
7 tổng số cá câu được Biết rằng số cá câu được của mỗi bạn
là khác nhau Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người
Câu 5 Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức x2 y 2 2 3
Câu 6 Giải phương trình 3 x 2 3 x 4 3 2
Câu 7 Giải hệ phương trình
x xy y
Câu 8 Cho các số x y , 0 thỏa mãn x 4 1
y
Tìm giá trị lớn nhất của P (x 2 )(2y y2 2 )x
x y
Câu 9 Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM, CE đồng quy
tại điểm K nằm trong tam giác (DBC E, AB) Biết AKE và BK E có diện tích lần lượt là
2
10m và 20m2 Tính diện tích ABC
Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A Biết đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác trong CD
đồng quy Tính AB
AC
II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11 Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn a b ab
a b
Câu 12 Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song Gọi F
là giao điểm của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD Đường phân giác góc BED cắt GH tại điểm I
a) Chứng minh rằng IH BD IG AC
b) Cho độ dài CD = 2AB Tìm tỉ số diện tích IAB
ICD
S S
Câu 13 Cho hình tròn (C) có bán kính bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao
cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình tròn (C) thì luôn tồn tại hai điểm trong
k điểm đó thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1
- HẾT -
Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
- Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN
Hướng dẫn chấm
Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải
- Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng
Câu 1 Đáp số: Số hình chữ nhật là (1+2+3+4+5).(1+2+3+4) =150
Cách tính: Xét các hình chữ nhật kích thước m.n 1.0
Câu 2
Đáp số: 750797
Quy luật 2 2
a a a với n1,n Suy ra 2 2 2 22 2
7 6 5 5 4 5 750797
1.0
Câu 4
Đáp số: 8
Giả sử có n bạn và số cá của các bạn là a1 a2 a n
Ta có 9a n a1 a2 a n 7a19a n na n; 7a1na1 n 8
1.0
Câu 5 Đáp số: 6, 1
2
Câu 6 Đáp số: x2; x4
Cách giải: Đặt ẩn phụ
1.0
Câu 7
Đáp số x y ; 1; 1 ; 3;7
Đặt t 2x y 0 Ta có phương trình 2
t t t
1.0
Câu 8
Đáp số: max 594
257
P
16
x x x
2
P
x y
x y
y x
2
257 257
P
1.0
Câu 9
75
ABC
S m
2
AKE
BKE
, suy ra SBCE 2SACE
M trung điểm AC nên
S S S S S S Vậy SABC 75m2
1.0
2
AB AC
Sử dụng định lý Ceva và hệ thức lượng trong tam giác vuông
1.0
Câu 11
Do ab
ab là số hữu tỉ và a b là số nguyên dương nên từ
ab
a b
là số chính phương
1.0
Trang 3Thử lại các trường hợp ta có a2;b7 suy ra số cần tìm là 27 0.75
Câu
12a
a) Ta có EBD và EACđồng
dạng nên các đường trung tuyến
tương ứng bằng tỉ số đồng dạng
Suy ra:
EH AC CH EC
1.0
Ta có EDGECH (cùng nhìn cung AB) EDG và ECHđồng dạng 0,75
Kéo theo DEGCEH , suy ra EI là phân giác góc GEH 0,5
Do đó BD EG GI IH BD IG AC
Câu
12b
Ta có FBD và FCA đồng dạng
FGD và FHAđồng dạngGFDHFA
FG GD BD IG
FH HA AC IH FI là phân giác góc GFH
Suy ra FI là phân giác góc AFD
0,75
Gọi M, N là chân đường vuông góc hạ từ I lên các đường thẳng AB, CD
Ta có
1 1 2
2
IAB ICD
IM AB S
S
IN CD
Câu 13
Xét k =7, vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6
điểm trên đường tròn tạo thành lục giác đều
Lúc đó khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ bằng 1
Với k =8, luôn tồn tại ít nhất 7 điểm không trùng tâm đường tròn
Ta kẻ các bán kính đi qua 7 điểm đó
Khả năng 1: Nếu có 2 điểm thuộc cùng một bán kính thì khoảng cách giữa hai
điểm đó nhỏ hơn 1 (vì không có điểm nào trùng tâm)
0.5
Khả năng 2: Không có 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đó có 7 bán
kính, suy ra có hai bán kính tạo với nhau một góc nhỏ hơn 600
Giả sử hai bán kính đó chứa A và B Vì góc AOB không là góc lớn nhất của
tam giác OAB nên ABmaxOA OB, 1
Vậy trường hợp k = 8 thỏa mãn
Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8
1.0
HẾT
-F I
E
C G
H B A
D
A
B O