HƯỚNG DẪN CHUNG - Mọi cách giải khác đáp án, mà đúng và đủ các bước đều cho điểm tương ứng; - Ban Giám khảo có thể thống nhất phân chia các ý để cho điểm đến 0,25; - Điểm toàn bài không
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH VỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN 9
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
I HƯỚNG DẪN CHUNG
- Mọi cách giải khác đáp án, mà đúng và đủ các bước đều cho điểm tương ứng;
- Ban Giám khảo có thể thống nhất phân chia các ý để cho điểm đến 0,25;
- Điểm toàn bài không quy tròn
II ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1 (6.0 điểm)
a Tìm chữ số thập phân thứ 20142015 sau dấu phẩy trong phép chia 2017
2016
b Viết số 2016 thành tổng của các số nguyên dương liên tiếp
1a 2017 1, 00049(603174)
2016 = , chu kỳ tuần hoàn là 6 Số thập phân thứ 20142015 sau dấu phẩy
tương ứng với số thập phân thứ 20142015 – 5 trong các bộ số tuần hoàn
Ta có 2014≡ −2(mod 6)⇒20145 ≡ − ≡ −32 2(mod 6)
2014 =(2014 ) ≡ −( 2) ( 2)− ≡ −( 2) ( 2)− ≡ −( 2) ( 2)− ≡ −( 8)(4) 4(mod 6)≡
suy ra 20142015 – 5 chia 6 dư 5 Do đó số cần tìm là 7
3
1b
6 3
(n+ + + +1) (n 2) (n k+ =) 2016⇔(2n k+ +1)k =4032 2 3 7.=
Ta thấy 2n k+ + >1 k; 2n k+ + − =1 k 2n+1 là số lẻ nên chỉ có thể có 5 trường hợp sau
k= n k+ + = ⇒ =n 670
k= n k+ + = ⇒ =n 284
k= n k+ + = ⇒ =n 219
k= n k+ + = ⇒ =n 85
k= n k+ + = ⇒ =n 0
Do đó ta có: 2016 = 671+672+673 = 285+ +291= =1+2+3+ +63
3
Bài 2 (4.0 điểm) Theo kết quả điều tra dân số thì dân số trung bình Việt Nam qua một số năm như
sau (đơn vị tính 1000 người)
a Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm qua các giai đoạn 1976-1980; 1980-1990; 1990-2000; 2000-2010; 2010-2015, giả sử rằng tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm không đổi trong mỗi giai đoạn (Kết quả tính chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy)
b Nếu cứ duy trì tỉ lệ % tăng dân số hàng năm như giai đoạn 2010 – 2015 thì đến năm 2020 dân số của Việt Nam là bao nhiêu?
c Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2015, mỗi năm phấn đấu giảm bớt x% (x không đổi) so với tỉ lệ tăng dân số của năm trước đó (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ tăng dân số là a% thì năm sau tỉ lệ là (a-x)%) Tìm x để đến năm 2020 dân số của Việt Nam là 94784
Trang 2ngàn người Nêu quy trình bấm phím để tìm x (Kết quả x lấy đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy
và tỉ lệ tăng dân số của năm 2015 lấy kết quả ở câu a)
2a Gọi x là tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm của giai đoạn 1976-1980
Ta có dân số năm 1980 là 49160(1+x)4 = 53722 suy ra x = 2,24%
Tương tự tỉ lệ của giai đoạn 1980-1990 là 2,08%; giai đoạn 1990-2000 là 1,63%;
Giai đoạn 2000-2010 là 1,31%; giai đoạn 2010-2015 là 0,78%
1
2b Nếu mức tăng dân số hàng năm là 096% thì đến năm 2020 dân số của Việt Nam là
91944(1+0,0078)5 = 95586,19 ngàn người
1
2c Năm 2015 dân số là 91944 ngàn, tỉ lệ tăng của năm 2015 là 0,78%
Năm 2016 tỉ lệ tăng dân số là 0,78-x, dân số năm 2016 là 91944(1,78-x)
Năm 2017 tỉ lệ tăng dân số là 0,78-2x, dân số năm 2017 là 91944(1,78-x)(1,78-2x)
Năm 2020 tỉ lệ tăng dân số là 0,78-5x, dân số năm 2017 là
91944(1,78-x)(1,78-2x)(1,78-3x)(1,78-4x)(1,78-5x) = 94784
Dùng lệnh shift solve ta có x = 0,24%
2
Bài 3 (6.0 điểm) Cho dãy số
1 1
2016
n n
n
u
u
u
+
=
a Lập quy trình bấm phím liên tục để tính u và tính n u u2, , 3 u (nói rõ trên máy tính lại nào)? 10
Kết quả lấy 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy
b Lập công thức tính u theo n n
c Tìm n biết [ ]u =1, trong đó ký hiệu n [ ]u là phần nguyên của n u n
2a Quy trình bấm phím trên CASIO fx – 570VN PLUS
2016→A A; /(2A+1) →A; nhấn phím bằng 1 lần để tính u ; 2 lần để tính 2 u ……; n – 1 lần 3
để tính u n
2 0, 49988; 3 0, 24997; 4 0,16665; 5 0,12499; 6 0,10000;
7 0,08333; 8 0, 07143; 9 0,06250; 10 0,05555;
2
2b Từ công thức xác định dãy ta có:
1
1 1
2
n n
u + =u + ;
1
1 1
2
n n
u =u − + ; ….
1 1
2
u =u + ; suy ra
2
2016 n 4032( 1) 1 4032 4031
n
n
+
2
≤ < ⇔ < ≤
2
Bài 4 (8.0 điểm)
a Tìm các số tự nhiên n biết: n S n+ ( ) 2016,= trong đó S(n) là tổng các chữ số của n.
b Cho số nguyên dương n Biết rằng ! n có đúng 2014 chữ số 0 ở vị trí cuối cùng Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của n ( ! 1.2 n = n )
c Cho các số thực ,x y thỏa mãn 2( x2+ −1 x)( y2 + −1 y) 1= Tìm giá trị nhỏ nhất của
F = +x y
Trang 3Câu Sơ lược cách giải Điểm
4a Nếu n là số tự nhiên có ít hơn 4 chữ số
Khi đó: n S n+ ( ) 999 9.3 1026 2016≤ + = < (vô lý)
Lại có n S n n + ( ) ≥ suy ra n có ít hơn 5 chữ số
Vậy n là số tự nhiên có 4 chữ số
Ta có: 1≤S n( ) 36≤
Do đó: n S n+ ( )= 2016⇔1980≤ ≤n 2015
Suy ra n=19ab hoặc n=20ab
Với n=19ab, ( ) 1910 11 2 2016 1910 11 2 11 2 106 8
9
a
b
=
7
a
b
=
KL: n = 1989; n = 2007
3
4b Ta có n! 5= 2014.22014 ;m với m không chia hết cho 10
Số mũ của 2 lớn hơn số mũ của 5 nên số mũ cao nhât của 10 bằng số mũ cao nhất của 5 trong n!
Số mũ cao nhất của 5 trong phân tích ra thừa số của n! là
S = + + +
với
1
5k ≤ <n 5k+ Bằng cách thứ ta có 8070≤ ≤n 8074
3
a b
+ = + − − ÷= + ≥ =
có “=” khi 2
2
a b= = Vậy giá trị nhỏ nhất là 2
2
2
Bài 5 (6.0 điểm) (lấy 4 chữ số sau dấu phẩy)
a Cho hình vuông ABCD có tâm O Biết góc · MON =900 và S MONC =10cm2 Tìm chu vi hình vuông
b Cho tam giác ABC có AB = 4,1cm; BC = 5,2 cm; CA = 6,3cm Đường phân giác trong góc A, đường phân giác trong góc B, đường phân giác trong góc C lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại M, N,
P Tính tỉ số
ABC
MNP S
S
∆
∆
4a Sử dụng phép đối xứng tâm ta có S ABCD =4.S MONC =40
suy ra cạnh hình vuông là 2 10
suy ra chu vi hình vuông là 8 10 25, 2982cm=
3
4b
( )( )( )
MNP ABC
S = a b b c c a
MNP ABC
S S
∆
∆
HẾT