Dựng qua I hai dây cung bất kỳ MIN, EIF.. CMR: Đường tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi.. 3.Giả sử I cố định, các dây MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau.
Trang 1Phßng GD&§T yªn thÕ
Trêng THCS TT Bè H¹ §Ò thi gi¸o viªn giái c¬ së
N¨m häc 2007 - 2008
Hä vµ tªn: NguyÔn Xu©n H¶o
C©u 1: 3 ®iÓm
a/ Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + 2 = 0
Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 11 6 2− +3 7 5 2+
b/ Cho x 2 3 5 13 48
6 2
=
+ .TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A = (x - 2)
2008
C©u 2: 3 ®iÓm
a/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A = b4 - 14b3 + 71b2 - 154b +120
b/ Cho f(x) = x4− 6x2 + 3x + 4 T×m 4 sè a;b;c;d l c¸c sèà nguyªn víi a>c sao cho f(x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4− 6x2 + 3x + 4 = 0
C©u 3: 3 ®iÓm
Cho đường tròn(O) và điểm I ở trong đường tròn Dựng qua I hai dây cung bất kỳ MIN, EIF Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF
1.CMR: Tứ giác M'E'N'F' là tứ giác nội tiếp
2.Giả sử I thay đổi, các dây MIN, EIF thay đổi CMR: Đường tròn ngoại tiếp
tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi
3.Giả sử I cố định, các dây MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau Tìm vị trí của các dây MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn nhất
C©u 4: 1 ®iÓm
1) TÝnh chÝnh x¸c gi¸ trÞ tg22o30'
Trang 2Phòng GD&ĐT yên thế
Đề thi giáo viên giỏi cơ sở
Năm học 2007 - 2008
Câu 1: (3 điểm) Mỗi ý đúng đợc 1,5 điểm
a/ Ta có m = 11 6 2− + 37 5 2+
= ( ) (2 )3
3
3− 2 + 2 1+ = −3 2+ 2 1+ = 4 (1 điểm)
=> Phơng tình có dạng: x2 - 4x + 2 = 0
'
∆ = 4 - 2 = 2 > 0
=> Phơng trình có hai nghiệm x1 = 2+ 2; x2 = 2− 2 (0,5 điểm)
b/ Ta có x 2 3 5 13 48
6 2
=
+ = 2 3
5 13 4 3
6 2
2 3 5 2 3 1
6 2
+
= 2 3 5 2 3 1
6 2
+ = 2 3
4 2 3
6 2
+
2 3 3 1
6 2
+
= 2 3 3 1
6 2
+ = 2 22( 3 13)
+ + = (4 2 33 1)
+
2
3 1
3 1
+ +
= 3 1
3 1
+
=> A = (1 - 2)2008 = 1 (0,5 điểm)
Câu 2: (3 điểm) Mỗi ý đúng đợc 1,5 điểm
a/ A = b4 - 14b3 + 71b2 - 154b +120
= (b4 - 2b3) - (12b3 - 24b2) + (47b2 - 94b) - (60b - 120)
= b3(b - 2) - 12b2(b - 2) + 47b(b - 2) - 60(b - 2)
= (b - 2)(b3 - 12b2 + 47b - 60) (0,5 điểm)
= … = (b - 2) (b - 3) (b - 4) (b - 5) (1 điểm)
b/ Ta có f(x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
a c 0
ac b d 6
ad bc 3
bd 4
+ =
+ + = −
=
=> ac + ad + bc + bd + a + b + c + d = 1 (0,5 điểm)
(a + b) (c + d) + (a + b) + (c + d) = 1 (a + b + 1)(c + d + 1) = 2
Vì a, b, c, d là 4 số nguyên nên xảy ra 4 trờng hợp Ta chọn đợc trờng hợp
a b 1 1 a b 2
c d 1 2 c d 3
+ + = − + = −
a c 0 b.d 4
+ =
=>b + d = -5 và b d = 4
Có 2 trờng hợp xảy ra, ta chọn đợc b = -4 => d = -1 => a = 1; c = -1 (0,5 điểm)
Giải phơng trình: x4 − 6x2+ 3x + 4 = 0 (x2 + x - 4)(x2 - x - 1) = 0
=> Phơng trình có 4 nghiệm (0,5 điểm)
Trang 3Câu 3: (3 điểm) Mỗi ý 1 điểm
a/ Ta có
E'N 'M ' ENM ' EFM E'F'M'= = =
=> M’E’N’F’ là tứ giác nội tiếp
b/ Đờng tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’
chính là đờng tròn ngoại tiếp M’N’F’
M’N’F’ đồng dạng MNF theo tỉ số 1
2
=> R ' 1 R ' 1R
R = ⇒2 = 2 => Bán kính đờng
tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’có bán
kính không đổi
M 'E ' N 'F' MENF
Theo Cosi 1 ( 2 2)( 2 2) (1 2 2 2 2)
Dấu đẳng thức xảy ra khi OA = OB => ãOIF OIN 45=ã = 0
Vậy diện tích tứ giác M’E’N’F’ lớn nhất bằng 1( 2 2)
2R OI
4 − khi hai dây MN và EF vuông góc với nhau và tạo với OI một góc 450
(Câu 4: 1 điểm)
1) Tính tg22o30' m không dùng bảng sốà v máy tínhà
Dựng tam giác vuông cân ABC ( àA 90= 0, AC = AB = 1 đv),
kẻ phân giác AI ⇒ABI 22 30'ã = 0
Ta có BC = 2 ; theo tính chất phân giác
BA IA 1 IA
IC 2 IA
BC = IC ⇔ 2 = IC ⇔ =
mà IA + IC = 1 =>IA + 2 IA = 1 => IA = 1 2 1
2 1= −
+
Vậy tg22 30'= 2 10 −
Chú ý: Thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
O
I
E
F
B A
M'
E'
N'
F'
B
C