Chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào Đại họcVỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2008 Kiều Đình Minh GV.THPT Thanh Ba, Phú
Trang 1Chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào Đại học
VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG
KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2008
Kiều Đình Minh
(GV.THPT Thanh Ba, Phú Thọ)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức thường là bài toán khó trong các kỳ thi tuyển sinh đại học Học sinh hay gặp không ít khó khăn khi giải các bài toán dạng này Bằng kinh nghiệm giảng dạy và ôn luyện của mình, chúng tôi muốn nêu lên một số phương pháp giải cho bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong đề thi tuyển sinh đại học năm 2008 nhằm giúp các bạn củng cố thêm dạng toán này để chuẩn bị ôn tập tốt cho kỳ thi sắp tới
Bài toán (Câu IV.2 Khối D năm 2008)
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( 1 ) 2 ( 1 ) 2
) 1 )(
(
y x
xy y
x P
+ +
−
−
=
Lời giải 1 (Đáp án của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo)
1 4
1 4
1 ) 1 ( ) (
) 1 )(
( )
1 ( ) 1
(
) 1 )(
(
2 2
+ + +
+ +
≤ + +
−
−
xy y
x
xy y
x y
x
xy y
x P
Khi x= 0 ,y= 1 thì
4
1
−
=
Khi x= 1 ,y = 0 thì
4
1
=
Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng
4
1
− , giá trị lớn nhất của P bằng
4
1
Lời giải của đáp án tuy ngắn gọn nhưng không phải ai cũng nghĩ ra được đánh giá như vậy Hầu hết thí sinh lúng túng với bài toán này kể cả những bạn học khá Sau đây chúng tôi đưa ra thêm hai lời giải nữa
Lời giải 2 (Phương pháp khảo sát hàm số)
) ( ) 1 (
1 )
1 ( ) 1 (
) 1 ( )
1 (
)
1
2 2 2
2
2 2
x f y x
y
y x y x y y
x
xy y y
x
x
P
+
= +
+
− + +
−
= +
+
+
−
−
=
2 2
) 1 (
) 1 ( )
(
+
− + +
−
=
x
y x y x y x
f x∈[0 ; +∞), y≥ 0 là tham số
Ta có
Trang 2[ ] [ ]
3
2 3
2 2
3
2 2
2 2
2
4
2 2 2
2
) 1 (
) 1 ( ) 1 ( )
1 (
2 1 )
1 2
(
) 1 (
2 ) 1 ( 2 2
1 )
1 ( 2 2
) 1 (
) 1 ( 2 ) 1 ( )
1 ( 1 2
)
(
+
+
− +
= +
+ + +
−
−
−
=
+
+ +
− +
+ + + +
−
−
=
+
+
− + +
−
− + + +
−
=
′
x
x y
x
y y
x y y
x
y x y x
y y
x y x y x
y
x
x y x y x y x
y x y
x
f
1 0
)
f
Lập bảng biến thiên suy ra , [0 ; ), 0
2
1 )
(
2
≥ +∞
∈
∀
−
≤
≤
y
x
f( ) = − khi x= 0;
2
2
1 )
−
x
4
1 2
1 )
1 (
1 )
1 ( )
(
2 2
− +
≤
≤ +
−
y
P y
y y
h
2
) 1 (
) 1 (
)
(
+
−
=
y
y y
Ta có
1 0
) (
, ) 1 (
) 1 ( 4 )
1 (
) 1 2 1
( 2 )
1 (
) 1 )(
1 ( 2 ) 1 )(
1 ( 2 )
2 2
4
2 2
=
⇔
=
′
+
−
= +
− +
−
−
= +
− +
− +
−
=
′
y y
g
y
y y
y y y
y
y y y
y y
g
Lập bảng biến thiên suy ra g(y) ≤ 1 , ∀y≥ 0, dấu bằng xảy ra khi y= 0
4
P dấu bằng xảy ra khi
=
=
0
1
y x
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
4
1
khi
=
=
0
1
y x
) 1 (
1 )
1 (
2 1
) 1 (
) 1 ( 2 ) 1 ( )
2
=
⇔
=
′ +
−
= +
+
−
−
= +
+ + +
−
=
y
y y
y y y
y y y
y
h
Lập bảng biến thiên suy ra
0 ,
4
1
)
(y ≥ − ∀y≥
h , dấu bằng xảy ra khi y= 1 Do đó , , 0
4
1
≥
∀
−
khi
=
=
1
0
y
x
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
4
1
− khi
=
=
1
0
y x
Trang 3
Lời giải này tuy dài nhưng hoàn toàn tự nhiên và dễ hiểu Ở đây chúng ta đã dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến bằng cách coi biến còn lại là tham số Đây cũng là một cách giảm biến hiệu quả!
Lời giải 3 (Phương pháp lượng giác)
−
∈
=
=
2
; 2 ,
; tan ,
tan 2α 2β α β π π
y x
Khi đó
β α
β α
β α
β
α β
α
α β β
α
β α
β α
β α
4 4
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
1
.
sin sin
.
sin
sin
) tan 1 ( ) tan 1
(
) tan tan 1 )(
tan (tan
s co s co
s co s co
s co s co s
co s
co
s co s
co
P
−
−
=
= +
+
−
−
=
[2 ( )] [sin 2 ( )]
sin 4
1 ) ( ) ( ) sin(
) sin( α − β α + β α + β α − β = α − β α + β
P
Do đó
4
1 4
1
≤
≤
4
1
=
P khi và chỉ khi hoặc [ ]
= +
=
−
1 ) ( 2 sin
1 ) ( 2 sin
β α
β α
−
= +
−
=
−
1 ) ( 2 sin
1 ) ( 2 sin
β α
β α
Chẳng hạn
= +
=
−
2 ) ( 2
2 ) ( 2
π β α
π β
α
hoặc
−
= +
−
=
−
2 ) ( 2
2 ) ( 2
π β
α
π β
α
±
α tức x= 1 ,y = 0
4
1
−
=
P khi và chỉ khi hoặc [ ]
−
= +
=
−
1 ) ( 2 sin
1 ) ( 2 sin
β α
β α
= +
−
=
−
1 ) ( 2 sin
1 ) ( 2 sin
β α
β α
Chẳng hạn
4 ,
α = = ± tức x= 0 ,y= 1
Ngoài các phương pháp trên để biết thêm một số phương pháp khác các bạn tìm đọc bài : Một số phương pháp tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, đăng trên số 372 tháng 6 năm 2008 Mục đích của bài viết là lấy ví dụ một bài toán thi tác giả muốn nói rằng “cần linh hoạt trong giải toán”!
Cuối cùng, để luyện tập xin mời các bạn giải các bài tập sau
1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
, , R
) 1 )(
1 (
) 1 )(
(
2
+ +
− +
y x
xy y
x S
2 Cho 0 ≤x≤ 1 ; 0 ≤ y≤ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của
R= ( 1 −x)( 2 −y)( 4x− 2y)
Trang 43 Cho x,y∈ R : x 2 +y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
2 2 1
) 6 ( 2
y xy
xy x
P
+ +
+
4 Tìm giá trị lớn nhất của
) 1 )(
1 (
) ( 1
1 1
1
2 2
2 2
+ +
+
+ +
=
y x
y x y
x