Báo cáo chuyên đề một số bài toán về cực trị của hàm số (phân loại theo chủ đề, các ví dụ minh họa có lời giải, các bài tập tương tự để học sinh luyện tập)

Báo cáo chuyên đề một số bài toán về cực trị của hàm số (phân loại theo chủ đề, các ví dụ minh họa có lời giải, các bài tập tương tự để học sinh luyện tập) Báo cáo chuyên đề một số bài toán về cực trị của hàm số (phân loại theo chủ đề, các ví dụ minh họa có lời giải, các bài tập tương tự để học sinh luyện tập) Báo cáo chuyên đề một số bài toán về cực trị của hàm số (phân loại theo chủ đề, các ví dụ minh họa có lời giải, các bài tập tương tự để học sinh luyện tập) Báo cáo chuyên đề một số bài toán về cực trị của hàm số (phân loại theo chủ đề, các ví dụ minh họa có lời giải, các bài tập tương tự để học sinh luyện tập) Báo cáo chuyên đề một số bài toán về cực trị của hàm số (phân loại theo chủ đề, các ví dụ minh họa có lời giải, các bài tập tương tự để học sinh luyện tập) Báo cáo chuyên đề một số bài toán về cực trị của hàm số (phân loại theo chủ đề, các ví dụ minh họa có lời giải, các bài tập tương tự để học sinh luyện tập) Báo cáo chuyên đề một số bài toán về cực trị của hàm số (phân loại theo chủ đề, các ví dụ minh họa có lời giải, các bài tập tương tự để học sinh luyện tập)

Chuyên đề: Một số bài toán về cực trị của hàm số

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Trang 1

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những năm gần đây, bài thi THPT môn Toán đã chuyển từ tự luận chuyển sang trắc nghiệm Với việc thay đổi hình thức thi đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản Bên cạnh đó, khi đứng trước một bài toán, người học cũng cần có những cách giải nhanh nhất có thể Đó là điều băn khoăn không chỉ của người học mà còn cả người dạy Nó đòi hỏi người dạy luôn trau dồi, tìm tòi và khai thác các cách giải nhanh nhất nhằm định hướng cho học sinh cách làm tối ưu nhất

có thể Với mong muốn ấy, tôi không ngừng học hỏi, tìm tòi các phương án giải khác nhau để có thể tìm được cách giải tốt nhất khi đứng trước một bài toán Cực trị của hàm số là bài toán thường gặp trong các kì thi THPT Chuyên đề được viết với mong muốn có thể cung cấp cho các em một số bài toán cực trị thường gặp

Tôi hi vọng chuyên đề này sẽ đem đến cho các em nhiều điều bổ ích, trang

bị cho các em kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi THPT được tốt hơn, hiệu quả hơn

Chuyên đề được viết theo cấu trúc:

+ Phân loại theo chủ đề

+ Các ví dụ minh họa có lời giải

+ Các bài tập tương tự để học sinh luyện tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều không thể tránh khỏi Do đó tôi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn

Trân trọng!

Trang 2

PHỤ LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 3

PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 5

DẠNG 1 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f x ( ) THEO QUY TẮC 5

DẠNG 2: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f x ( ) KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ 10

DẠNG 3: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f x ( ) DỰA VÀO BẢNG XÉT DẤU CỦA HÀM SỐ f ′ ( ) x 15

DẠNG 4: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f x ( ) DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ f ′ ( ) x 18 DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM 0 x = x 24

DẠNG 6: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA 28

DẠNG 7: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG 36

DẠNG 8: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f x ( ) , ( ) y = f x 45

DẠNG 9: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP 55

PHẦN III KẾT LUẬN 62

* Định lí 2: Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên K=(x0−h x; 0+h) và có đạo hàm trên

K hoặc trên K\{ }x0 , với h > 0

+) Nếu f '( )x >0 trên khoảng (x0−h x; )0 và '( ) 0f x < trên ( ;x x0 0+h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y= f x( )

+) Nếu f′( )x <0 trên khoảng (x0−h x; )0 và ( ) 0f x′ > trên ( ;x x0 0+h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y= f x( )

Minh họa bằng bảng biến thiến

4 Định lí 3: Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng K=(x0−h x; 0+h) với

0

h > Khi đó:

Nếu f′( )x0 =0, f′′( )x0 >0 thì x0 là điểm cực tiểu

Nếu f′( )x0 =0, f′′( )x0 <0 thì x0 là điểm cực đại

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ a) Quy tắc 1

 Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

 Bước 2 Tính f′( )x Tìm các điểm tại đó f′( )x bằng 0 hoặc f′( )x không xác định

 Bước 3 Lập bảng biến thiên

 Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

x y

y x

−

′ = <

− +

Trang 5

T SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM S

Ị ỦA HÀM SỐ y = f x ( ) THEO QUY TẮC

∞

++

0

11

y y' x

33

ã cho không có giá trị cực tiểu

xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên:

n thiên như hình dưới

hàm số là x 2= hàm số là (2; 5− )

có bao nhiêu điểm

(1; 7) B(2; 8)−

( )1 35

y − = −

Ị ỦA HÀM SỐ y = f x ( ) KHI BIẾT ĐỒ THỊ

để nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ th

àm số ta suy ra được hàm số f x( ) có giá trị cực ti

đồ thị như hình vẽ Giá trị cực đại của hàm số bằng

Lời giải

àm số ta có hàm số đạt cực đại tại x =0 và giá trị cự)

y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới

ểm cực tiểu trên khoảng (a b ? ; ) 2 C 7

Trang 11

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số liên tục trên đoạn có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại B Hàm số đạt cực đại tại

C Hàm số đạt cực tiểu tại D Hàm số đạt cực tiểu tại

Câu 2: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên

Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y= f x( )

A y = −2 B x = 0. C M(0; 2 − ) D N(2;2 )

Câu 3: Cho hàm số y= f x( ) |= x2−2x−4 | có đồ thị như hình vẽ Hàm số y= f x( ) có bao

nhiêu cực trị?

Câu 4: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình bên dưới

Đồ thị của hàm số y= f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 5: Cho hàm số y=x3−3x2− +x 3 có đồ thị như hình vẽ

Hỏi đồ thị hàm số y= x3−3x2− x+3 có bao nhiêu điểm cực trị

Câu 6: Cho hàm số y= −x3+x2+4x−4 có đồ thị như hình vẽ

Hỏi đồ thị hàm số y= − x3+x2+4 x−4 có bao nhiêu điểm cực trị

A 2 B 0 C 3 D 1

y=ax +bx +c(a b c ∈ ℝ có đồ thị , , )như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

y=ax +bx +c(a b c ∈ ℝ có đồ thị , , )như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

y=ax +bx +cx+d (a b c ∈ ℝ có đồ , , )thị như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

f′ x đổi dấu từ âm sang d

qua điểm 3 Suy ra hàm s

f '(x)

-∞

Trang 15

Ị CỦA HÀM SỐ y = f x ( ) DỰA VÀO BẢNG XÉT D

các giá trị của x là nghiệm của phương trình f ′ ( ) x =

n thiên và kết luận

( ) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu của đạo hàm nh

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

liên tục trên ℝvà đạo hàm đổi dấu 4 lần nên hàm số

( )liên tục trênℝvà có bảng xét dấu f′( )x như sau:

đúng

ểm cực trị B Hàm số có 2 điểm c

ểm cực trị D Hàm số có 2 điểm c

Lời giải

ấu, ta có: f′( )x đổi dấu 3 lần khi qua các điểm 1,3, 4.

âm sang dương khi qua điểm 1, 4 và đổi dấu từ dương sang âm khi Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu

có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu f′( )x như sau

2 1

+∞

Ví dụ 4 Cho hàm số liên tục trên và có đạo hàm Số điểm

cực trị của hàm số là:

Lời giải

Trong đó là nghiệm bội chẵn nên không đổi dấu khi đi qua

Khi đó đổi dấu 2 lần khi đi qua và

Vậy hàm số có hai điểm cực trị

Ví dụ 5 Cho hàm số có đạo hàm Khi đó số điểm cực trị

của hàm số đã cho là bao nhiêu?

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 13.Cho hàm số y= f x( ) xác định trên ℝ và có f'( ) (x = 2x−1) (x2 1−x)2 Khẳng định

nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số đã cho có đúng một cực trị B Hàm số đã cho không có cực trị

C Hàm số đã cho có hai cực trị D Hàm số đã cho có ba cực trị

Câu 14.(THPTQG –Mã 101 năm 2019) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x′( )=x x( +2) ,2 ∀ ∈ ℝx

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là?

Câu 15.(THPTQG –Mã 120 năm 2019) Cho hàm số f x( ) có đạo hàmf x′( )=x x( +1) ,2 ∀ ∈ ℝx

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là?

DẠNG 4: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f x ( ) DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ

( )

f ′ x

Phương pháp

Bước 1: Xác định giao điểm của đồ thị hàm số f ′ ( ) x với trục Ox

Bước 2: Lập bảng biến thiên và xác định dấu của f ′ ( ) x

+ f ′ ( ) x > 0 khi đồ thị hàm số f ′ ( ) x nằm phía trên trục Ox

+ f ′ ( ) x < 0 khi đồ thị hàm số f ′ ( ) x nằm phía dưới trục Ox

Bước 3: Kết luận về cực trị của hàm số y = f x ( )

Ví dụ 1 Cho hàm số Hàm số y= f′( )x có đồ thị như hình vẽ:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Đồ thị hàm số y= f x( ) có hai điểm cực đại

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1.Cho hàm số y= f x( )xác định và có đạo hàm y= f '( )x Đồ thị của hàm số y= f '( )x

như hình dưới đây Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số y= f x( )có ba điểm cực trị

B Hàm số y= f x( )đồng biến trên khoảng(−∞ 2 ; )

C Hàm số y= f x( )nghịch biến trên khoảng ( )0 1 ;

D Hàm số y= f x( )đồng biến trên khoảng (−∞ −1 ; )

1

A 1 B 4 C 3 D 2.

Câu 8. Cho hàm số f x( ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f′( )x như hình vẽ Hàm

số y= g x( )= f x( )+4x có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 9. Cho hàm số f x( ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f′( )x như hình vẽ Hàm

số y= g x( )= f x( )−3x có bao nhiêu điểm cực trị?

1

x 3

x 2

x 1

g x đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

B x =2. C x =0. D x = −

( )

y= f x Đồ thị của hàm số y= f′( )x như h Hàm số g x( ) đạt cực đại tại

B x = − 3 C x = 3 ( )

y f x Đồ thị của hàm số y= f′( )x như Hàm số g x( ) đạt cực tiểu

DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM x = x0

Phương pháp

Bước 1: Sử dụng định lí 1 để tìm các giá trị của m

Bước 2: Với mỗi m tìm được, ta sử dụng định lí 2 để kiểm tra

Trường hợp định lí 2 không sử dụng được, ta lập bảng xét dấu của đạo hàm để xác định

Nhận xét: Đối với hàm đa thức bậc ba, ta có thể sử dụng quy tắc 2

Ví dụ 1 Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại điểm

Với m =1⇒y′′( )3 =4 0> ⇒m=1 không thỏa mãn

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số đạt cực tiểu tại

Trang 25

• Nếu , ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại

Suy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán

• Nếu

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại

Suy ra không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại khi

Ví dụ 4. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y=x3−mx2+(2m−3)x−3 đạt cực đại tại

> ⇔ > khi đó ta có bảng xét dấu y′ như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 Vậy m > 3 thỏa mãn đề bài

< ⇔ < khi đó ta có bảng xét dấu y′ như sau

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 Vậy m < 3 không thỏa mãn đề bài Kết hợp các trường hợp trên ta có m > 3 thì thỏa mãn đề bài

Ví dụ 5. (THPTQG – năm 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Ta thấy g x′( )=0 có một nghiệm nên g x =( ) 0 có tối đa hai nghiệm

+) TH1: Nếu g x =( ) 0 có nghiệm x =0 ⇒m=3 hoặc m = −3

Với m =3 thì x =0 là nghiệm bội 4 của g x( ) Khi đó x =0 là nghiệm bội 7 của

y′ và y′ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x =0 nên x =0 là điểm cực tiểu của hàm số Vậy m =3 thỏa ycbt

x m

=+ đạt cực đại tại x = 2

Câu 11. (THPTQG – Mã 103- năm 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm

 Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình

có hai nghiệm trái dấu



 Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu khi và chỉ khi phương trình

có hai nghiệm cùng dấu



 Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu dương khi và chỉ khi phương trình

có hai nghiệm dương phân biệt



 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm khi và chỉ khi phương trình

có hai nghiệm âm phân biệt

 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị thỏa mãn

c

x x

a b

c

x x

a b

 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

Trong trường hợp ∆ > ′ 0, gọi A x y( 1; 1),B x( 2;y2) là tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ( )1 , trong đó x x1, 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình y′ =0

Ta có f x( )=(mx+n f) '( )x +r x( ), với r x là nhị thức bậc nhất ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Suy ra tọa độ ,A B thỏa mãn phương trình y=r x( )

Do đó phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ,A B là y=r x( )

Công thức tính nhanh: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, (nếu có) của đồ

Vậy m ≥ 3thỏa yêu cầu bài

Ví dụ 4. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số 3 2 ( )

Ví dụ 7 Cho hàm số y=x3−3mx2+4m2−2 có đồ thị ( )C và điểm C(1;4) Tính tổng các giá

trị nguyên dương của m để ( )C có hai điểm cực trị A , B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4

phương tất cả các giá trị của để hàm số có hai điểm cực trị , thỏa mãn

Câu 10.Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y: =(2m−1)x+ +3 m vuông góc với

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3−3x2+1

điểm cực trị Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểmC(0; 1− ) thẳng hàng

254

y= x + m− x + − m

Trang 34

Câu 12.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=2x3−3(m+1)x2+6mx

có hai điểm cực trị ,A B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng :

Câu 13.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y=2x3+3(m−1)x2+6m(1 2− m x) có

điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trên đường thẳng có phương trình: y= −4x d( )

Câu 14.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y=x3+mx2+7x+3 có đường thẳng đi

qua điểm cực đại và điểm cực tiểu vuông góc với đường thẳng có phương trình : 3

Câu 15.Cho hàm số y=2x3−9x2+12x+m Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A, B

đồng thời A, B cùng với gốc tọa độ O không thẳng hàng Khi đó chu vi ∆ OAB nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?

Câu 16.Tính theo m khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu ( nếu có) của đồ thị hàm

13

Câu 17.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y= −x3+3mx+1 có 2

điểm cực trị ,A B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( với O là gốc tọa độ )

2

2

2

m =

Câu 18.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y= −x3+3x2+3(m2−1)x−3m2−1 có

điểm cực đại và điểm cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O

1.62

m m

m m

Câu 19.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y=x3−3x2−mx+2 có điểm cực đại

và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình: y= −x 1( )d

0.92

m m

Trang 35

2

2

Câu 21.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

( )C có hai điểm cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C 1; 9

2

2

m = −

Câu 22.Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị

hàm số: y=x3−3mx+2 cắt đường tròn tâm I( )1;1 bán kính bằng 1 tại 2 điểm ,A B

mà diện tích tam giác IAB lớn nhất

Câu 23.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x3−3mx2+3m3 có hai

điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

A.m = 2 hoặc m = 0 B.m = 2. C.m = − 2. D m = ± 2.

Câu 24.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x3− 3 mx2+ 4 m3có các

điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ( ) :d y=x

2

m =

B.

2 2

m = − C.m = 0hoặc 2

2

m = D 2

2

m = ±

Câu 25.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= x3−3mx2+3(m2−1)x−m3+m

có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

A m = − −3 2 2hoặc m = − 1 B.m = − +3 2 2hoặc m = − 1

C.m = − +3 2 2hoặc m = − −3 2 2 D m = − +3 2 2

Câu 26.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=mx3−3mx2+3m−3 có

hai điểm cực trị ,A B sao cho 2AB2−(OA2+OB2) 20= ( Trong đó O là gốc tọa độ)

Câu 27.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có giá trị cực đại và

giá trị cực tiểu trái dấu

= = − = − và tam giác ABC luôn là tam

giác cân tại A và 1

b a

a b a b

 Hàm số có đúng một cực tiểu

0000

a b a b

 Hàm số có một cực đại, hai cực tiểu a 00

 Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác ABCthỏa mãn dữ kiện

1 Tam giác ABC vuông cân tại A 8a+b3=0

8tan2

a b

α

= −

4 Tam giác ABC có diện tích S∆ABC =S0 , diện tích max S( )0

5 3

32

b S

a

= −

5 Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành b2−8ac=0