- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.
Trang 1PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC: 2013 – 2014. Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.5 điểm ).
a Phân tích đa thức thành nhân tử: x2+ 2 xy + 6 y − 9
b Giải phương trình: 1 2 3 2012 2012
2013 2012 2011 2
x − + x − + x − + + x − =
c Tìm đa thức f x( ) biết: f x( )chia cho x−2 dư 5; f x( ) chia chox−3 dư 7; ( )
f x chia cho (x−2)(x−3) được thương là x2− 1 và đa thức dư bậc nhất đối với x
Bài 2: (2.0 điểm)
Cho: P=7.2014n+12.1995n với n N∈ ; Q = ( ( x x22+ n n )(1 )(1 + + n n ) ) n x n x2 22 2+ 1 1
− − + + Chứng minh:
a P chia hết cho 19.
b Q không phụ thuộc vào x và Q>0.
Bài 3: (1,5 điểm)
a Chứng minh: a2+ 5 b2− (3 a b + ≥ ) 3 ab − 5
b Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x2+ 3 y2+ 4 x = 19
Bài 4: ( 4.0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB,
AC lần lượt tại I và K.
a Chứng minh ∆ABC đồng dạng ∆EFC.
b Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D Chứng minh NC = ND và HI = HK.
c Gọi G là giao điểm của CH và AB Chứng minh:AH BH CH 6
HE+ HF +HG >
Hết./.
Họ và tên thí sinh……… ……….SBD………….…………
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 1 trang)
Trang 2PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI KSCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN 8
Câu
1
âc x2+ 2 xy + 6 y − 9 = ( x2 – 9) + 2y(x + 3) = (x – 3)(x + 3) + 2y(x + 3)
=(x+ 3)(x + 2y – 3)
0.5 0 5
x− + x− + x− + + x− = ⇔
x− − + x− − + x− − + +x− − = ⇔
(x – 2014)( 1 1 1
2013 2012+ + +2) = 0
⇔x = 2014
0.5
0,25
c Gọi dư trong phép chia f(x) cho x2 - 1 là ax + b
Ta có : f(x) = (x – 2)(x – 3)(x2- 1) + ax + b
Theo bài ra : f(2) = 5 nên ta có 2a + b = 5 ; f(3) = 7 nên 3a + b = 7
HS tính được a = 2 ; b = 1
Vậy đa thức cần tìm là : f(x) = (x – 2)( x – 3)(x2 - 1) + 2x + 1
0.25 0.25 0.25
Câu
2
a P = 7.2014n + 12.1995n = 19.2014n -12.2014n + 12.1995n = 19.2014n - 12(2014n -1995n)
Ta có : 19 2014n M 19 ; (2014n -1995n) M 19 nên P M 19 0.250.5 b
Q =
1 1
x x n n n n x
x x n n n n x
=
+ + + + +
− + + − + =
Vậy Q không phụ thuộc vào x
Q =
2 2
2
2
0
n
0,25 0.5 0.25 0.25
Câu
3
a a2 + 5b – (3a + b) ≥ 3ab – 5 ⇔2a2 + 10b2 – 6a -2b – 6ab +10 ≥0
⇔a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + 9 + b2 - 2b +1 ≥0
⇔(a– 3b)2 +(a - 3)2 + (b – 1)2 ≥0 Dấu « = » xảy ra khi a = 3 ; b = 1
0.25 0.25 0.25
b 2 x2+ 3 y2+ 4 x = 19 ⇔2x2 + 4x + 2 = 21 – 3y2 ⇔2(x + 1)2 = 3(7 – y2) (*)
Xét thấy VT chia hết cho 2 nên 3(7 – y2) M2 ⇔y lẻ (1)
Mặt khác VT ≥0 ⇔3(7 – y2) ≥0 ⇔y2 ≤ 7 (2)
Từ (1) và (2) suy ra y2 = 1 thay vào (*) ta có : 2(x + 1)2 = 18
HS tính được nghiệm nguyên đó là (2 ; 1) ; (2 ; -1) ; (-4 ; -1) ; (-4 ; 1)
0,25 0.25
0.25
Trang 3Câu
4
G
N
D
K
I
M
H
F
E
A
0.25
a
Ta có ∆AEC : ∆BFC (g-g) nên suy ra CE CA
CF =CB
Xét ∆ABC và ∆EFC có CE CA
CF =CBvà góc C chung nên suy ra ∆ABC : ∆EFC ( c-g-c)
0.75
0.75
b Vì CN //IK nên HM ⊥CN ⇒ M là trực tâm ∆HNC
⇒MN ⊥CH mà CH ⊥ AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD
Do M là trung điểm BC nên ⇒ NC = ND
⇒IH = IK ( theo Ta let)
0.5 0.25 0.25 0.25
c
Ta có: AHC ABH AHC ABH AHC ABH
AH
+
Tương tự ta có BHC BHA
AHC
BH
+
BHA
CH
+
=
HE +HF +HG = AHC ABH
BHC
S
AHC
S
BHA
S
+
= AHC ABH
S +S + BHC BHA
S +S + BHC AHC
S +S ≥6 Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo gt
thì AB < AC nên không xảy ra dấu bằng
0.5 0.25
0.25
Lưu ý:
- Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.