M là điểm thay đổi trên d, từ M kẻ MQ và MP là tiếp tuyến của O, P,Q là tiếp điểm.. Dây cungPQ cắt OH tại I, cắt OM tại K.. b Chứng minh tích IO.OH không đổi.. Tính tỉ số diện tích hai t
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
§Ò 2
Năm học 2011-2012
Đề chính thức Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: Rút gọn biểu thức A =
1
8 : 3
3 1
3 2
3 2
3
a
a a
a a
a a
a
a a
Câu 2: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2 8 +2 11 +2 n là số chính phương
Câu 3: Cho z y x > 0 Chứng minh rằng:
z x z x z x y z x
1 1 1
1 1
Câu 4: a) Giải phương trình 2 x 1 x 2 x 1
b) Cho ba số x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1
x 3 + y 3 + z 3 = 1
Tính tổng x + y + z
Câu 5: Cho đường thẳng y = (m-1)x + 2
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất?
Câu 6: Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O) Hạ OH vuông góc với d (H d) M là điểm thay đổi trên d, từ M kẻ MQ và MP là tiếp tuyến của (O), (P,Q là tiếp điểm) Dây cungPQ cắt OH tại I, cắt OM tại K.
a) Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh tích IO.OH không đổi.
c) Giả sử góc PMQ = 60 0 Tính tỉ số diện tích hai tam giác MPQ và OPQ.
Hết
-Lưu ý: - Học sinh không được sử dụng máy tính
- Học sinh bảng A làm hết tất cả các câu
- Học sinh bảng B không phải làm câu 6c
Họ tên thí sinh:……… ; SBD:……
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
A BảngB
1
8 : 3
3 1
) 3 ( 2 1 3
3
a
a a
a a
a a
a
a a
) 1 )(
3 (
) 1 )(
3 ( ) 3 )(
3 ( 2 3
a
a a
a
a a
a a
a a
) 1 )(
3 (
24 3 8
a
a a
a
a a a a
) 8 (
) 1 )(
1 ( ) 1 )(
3 (
) 8 )(
3 (
a
a a
a a
a a
0.75 1.0 0.75 1.5
0.75 1.0 0.75 1.5
2
1đ
Giả sử 2 8 +2 11 +2 n = a 2 => 2 n = a 2 - (2 8 +2 11 ) hay 2 n = a 2 - 48 2 = (a - 48)(a + 48) lúc đó ta có:
2 p = a + 48=> 2 q = a - 48 , với p, q N và p + q = n, p > q
=> 2 p - 2 q = 96 <=> 2 q (2 p-q - 1) = 2 5 3
=> q = 5 và p - q = 2 => p = 7 => n = 7+5 = 12 thử lại 2 8 +2 11 +2 12 = 80 2
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
3
3đ
Bất đẳng thức đã cho viết lại dưới dạng:
xz z x z x z x y z x xz
).
)(
( ) ( 1 )
vì x+z > 0, y > 0, xz > 0 nên nhân hai vế với x xyz z
ta được bất đẳng thức mới tương đương
y 2 + xz xy + yz
<=> y 2 - xy + xz - yz 0
<=> - (y - x)(z - y) 0 đúng vì y - x 0 và z - y 0 dấu " = " xẩy ra khi và chỉ khi x = y hoặc y = z
0.5 0.75 0.75 0.5 0.5
0.5 0.75 0.75 0.5 0.5
4
3đ
a
2đ
Điều kiện x 1
2 x 1 x 2 x 1 <=> 2 x 1 (x 1 ) 2 x 1 1
<=> 2 x 1 ( x 1 1 ) 2 hay 2 x 1 = | x 1 1| (1) + Khi x 1 1 0 hay x 2 thì phương trình (1) trở thành
1 1 1
.
2 x x <=> x 1 = -1 (vô nghiệm) + Khi x 1 1< 0 hay 1x< 2 thì phương trình (1) trở thành
1 1
1
2 x x <=> x 1 31 x109 (thỏa mãn đk: 1x< 2) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 109
0.5 0.5 0.5
0.5
0.5 0.5 0.5
0.5
b
1đ
Từ điều kiện bài toán ta có nhận xét: |x| 1, |y| 1, |z| 1 nên x 3 x 2 , y 3 y 2 , z 3 z 2
=> x 3 + y 3 + z 3 x 2 + y 2 + z 2
dấu " = " xẩy ra khi và chỉ khi
x 3 = x 2 x = 0 hoặc x = 1
y 3 = y 2 <=> y = 0 hoặc y = 1
x 3 = z 2 z = 0 hoặc z = 1
=> x + y + z = x 2 + y 2 + z 2 = 1
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
5
3đ
Gọi A,B là hai giao điểm của đường thẳng y= (m-1)x +2 (d)với trục Ox và trục Oy Ta dễ dàng tìm được toạ độ của hai điểm là 0.5 0.5
Trang 3A( 21
m ;0) và B(0;2) tam giác AOB vuông tại O(O là gốc toạ độ),gọi OH là đường cao thì OH chính là khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
y = (m-1)x + 2
ta có:
4
1 1 2
1 1 2
1 1
1
2 2 2
2 2
m
OB OA
m
OH MAX <=> 1 2 1
m Min <=> m- 1= 0 <=> m = 1 Vậy khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng(d) lớn nhất <=> m = 1
1.0 0.5
0.5
0.5
1.0 0.5
0.5
0.5
6
6đ
a
3đ
HS vẽ hình đúng Học sinh chỉ ra được OPM,
OQM
là các tam giác vuông
- Gọi J là trung điểm của OM => JQ, JP, JH là ba trung tuyến của ba tam giác vuông => JQ = JP = JH = JO = JM => năm điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên đường tròn tâm J, bán kính bằng OM/2
0.5 0.5 0.75 0.75 0.5
0.5 0.75 0.75 0.75 0.75
b
2đ
Xét IOK và MOH: có IOK = MOH
có OM PQ (t/c đường kính và dây cung) => IKO = 90
=> IKO = MHO = 90 0
=> IOK ~ MOH => MO IO OH OK => IO.OH = OK.OM
OPM vuông tại O => OP 2 = OK.OM (hệ thức lượng vuông).
=> IO.OH = OK.OM = OP 2 = R 2 không đổi.
0.25 0.25 0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
c
1đ
PMQ = 60 0 => OMQ = OMP = 30 0
ta có OM PQ, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
MP = OP : tg 30 0 = R : 1/ 3 = R 3
MP
3R
R = 2R
MK = MP 2 :MO = 3R 2 : 2R = 3R/2
OK = OM - MK = 2R - 3R/2 = R/2
PK = PM 2 KM2 = R 3/2
=> S OPQ = 1/2OK.PQ = 1/2.R/2.2.(R 3/2) = R 2 3/4
S MPQ = 1/2 PQ.KM = 1/2.(2.R 3/2).3R/2 = 3R 2 3/4
=> S MPQ /S OPQ = 3R 2 3/4 : R 2 3/4 = 3
0.25
0.25 0.25 0.25
d
O K
J I
Q
P
M H