Gọi G là trọng tâm của tam giác... Chứng tỏ a+c chia hết cho 2.. Khi đó tích sẻ chia hết cho 2.
Trang 1ĐỀ 21 ĐỀ THI HS TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (1,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – x – 12; b) x2 + 2xy + 4y – 4;
Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: P =( 4 22 4 1 1 1) ( 1) (13 )
+ − + − − + + × + − +
a Tìm x để P xác định ; b, Rút gọn P
c, Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên?
Bài 3: (2,0 điểm)
a, Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên chia hết cho 6 thì tổng của lập phương ba số nguyên cũng chia hết cho 6
b, Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 4
a b+ ≥ a b
+ Với a b; là các số dương.
¸p dông : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2 2
M
xy x y
= +
+ víi x y; d¬ng vµ x+ =y 1
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân ở A, D là trung điểm của cạnh BC Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh
AC lấy điểm N sao cho : ∠MDN = ∠ABC Chứng minh :
a, Hai tam giác BMD và CDN đồng dạng với nhau ;
b, MD2 = MN MB
Bài
5:(1,5 điểm)
Cho tam giác ABC trung tuyến AD Gọi G là trọng tâm của tam giác Một đường thẳng qua G
cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở M và N Chứng minh rằng: + = 3
AN
AC AM AB
Trang 2Đỏp ỏn Đề 21
Bài 1: a, x2 - x - 12 = (x-4)(x+3)
(1điểm)
b, x2 + 2xy + 4y - 4 = (x-2)(x+2) + 2y(x+2) = (x+2)(x+2y-2)
(1điểm)
Bài 2: a, Điều kiện: x ≠ ± 1
(1điểm)
b, P =
1
1 1
1 2 1
2 1
4
3
2 2
2 2
2 4
−
−
−
+ + +
− +
− +
− +
x
x x
x x x x x x
1
1
1
1
3
2 2
2
4
−
−
−
+
+
=
x
x x
x
x
(0,5điểm)
1
1
3
2
4
−
+
+
=
x
x
x
(0,5điểm)
c, P =
1
1 1
1 )
1 ( 1
1
3
2 3
3
2 4
− +
=
−
+ + +
−
=
−
+ +
x
x x
x x x
x x
x
Với x nguyên thì P nhận giá trị nguyên khi x-1 là ớc của 1:
(0,5điểm)
TH1: x-1 = 1 => x = 2 (thõa mãn đk)
TH2: x - 1 = -1 => x = 0 (thõa mãn đk)
(0,5điểm)
Bài 3: a, Giả sử a+b+c chia hết cho 6
Ta có: a3 + b3 + c3 = (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a)
(1điểm)
Ta chứng minh đợc (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2
Thực vậy: Nếu trong tích (a+b)(b+c)(c+a) có ít nhất một thừa số chia hết cho 2 thì tích đó chia hết cho 2
Nếu cả ba thừa số đều không chia hết cho 2 ta có: a+b = 2k + 1; b+c = 2q+1
=> 2b + a+c = 2k +2q= 2k+ +2 = 2(k+q+1) = 2l Chứng tỏ a+c chia hết cho 2 Khi đó tích sẻ chia hết cho 2
(1điểm)
Vì (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2 nên:
3(a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 6
Mà (a+b+c)3 cũng chia hết cho 6 (vì a+b+c chia hết cho 6 )
Do đó (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho 6
Trang 3Hay: a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
(1điểm)
) (
) ( 4 1
≥ +
−
= +
− +
b a ab
b a b a b
(0,5điểm)
=>
b a b
a+ ≥ +
4 1
1
Dấu = xảy ra khi a – b = 0 <=> a = b
(0,5điểm)
áp dụng: M = 23xy x2 3y2 +21xy
+
(0,25điểm)
) (
12 3
2
3
2 2
+
≥ +
+
y x y x
y x
+
+ 3 12 2
3
2
(0,25điểm)
2
y) (x
1 4
1 4
y)
(x
+
≥
⇔
≥ +
xy
xy ( do x>0; y>0)
2 ) (
2 2
1
2 = +
≥
⇔
y x
xy = 2 ⇔ = 2
1
(0,25điểm)
Nên: M ≥ 14 và M có giá trị nhỏ nhất là 14 khi x = y
(0,25điểm)
Bài 4:
a, Ta có:∠ABC +∠BMD=∠MDC ( Tính chất góc ngoài) (0,5 điểm)
Hay: ∠ABC +∠BMD = ∠MDN+∠NDC
Mà ∠ABC=∠MDN(gt)
Xét hai tam giác BMD và tam giác CDN có:
∠B = ∠C ( tam giác ABC cân); ∠BMD = ∠NDC
=>∆BMD~∆CDN ( g – g ) (0,5 điểm)
b, Ta có ∆BMD~∆CDN
DN
BD MD
BM DN
MD CD
Xét hai tam giác: ∆BMD và ∆DMN có: ∠MBD = ∠MDN (gt)
DN
BD
MD
BM = ( chứng minh trên)
BMD
MB MN MD
MD
MB
MN
MD
.
2 =
⇒
=
Bài 5: - Qua B kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD ở P
D
C
A
B
N M
P
A
B
G
Trang 4Vì BP song song với MG nên ta có:
AG
AP AM
AB
= (1) (0,5điểm)
- Qua C kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD ở Q
Vì CQ song song với NG nên ta có:
AG
AQ AN
AC = (2) (0,5 điểm)
Từ (1) và (2) ta có:
AG
AQ AP AN
AC AM
(3) (0,5điểm)
Mặt khác: Xét hai tam giác DPB và DQC có:
∠BDP =∠CDQ (đối đỉnh)
∠DBP = ∠DCQ ( Vì BP Và CQ cùng song song với MN nên song song với nhau)
DB = DC (AD là trung tuyến)
=> ∆DPB = ∆DQC ( c-g-c) => DP = DQ
(0,5điểm)
=> AP +AQ=AD-DP+AD+DQ=2AD (4)
(0,5điểm)
Từ (3) Và (4) ta có:
AG
AD AN
AC AM
AB + = 2
=> + = 3
AN
AC
AM
AB
( Vì G là trọng tâm nên
2
3
=
AG
AD
)
(0,5điểm)