tích hợp các phép biện hình trong phát triển năng lực bồi dưỡng học sinh giỏi

Cáchgiải quyết thích hợp đòi hỏi phải soạn thảo hệ thống bài tập tơng ứng với chơngtrình và thích hợp với hoạt động toán học v.v…" P.M.Ecdunhiep "...Việc nắm vững toán học đợc thực hiện

A-phần mở đầu Chơng 1 Cơ sở lý luận

Đ1 một số vấn đề về phát triển năng lực giải toán bồi dỡng học sinh giỏi

1 Năng lực, năng lực giải toán học.

1.1 Năng lực

Năng lực là các thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêucầu của một hoạt động nhất định đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả Năng

lực có thể chia thành 2 loại: Năng lực chung và năng lực riêng biệt.

- Năng lực chung là những năng lực cần thiết cho lĩnh vực hoạt hoạt độngkhác nhau, chẳng hạn những thuộc tính về thể lực về trí tuệ (quan sát, trí nhớ, tduy, tởng tợng, ngôn ngữ) là những điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnhvực hoạt động có hiệu quả

- Năng lực riêng biệt (năng lực chuyên biệt, chuyên môn) là sự thể hiện

độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn nhằm đáp ứng nhu cầucủa một lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao Chẳng hạn năng lựctoán học, năng lực âm nhạc, năng lực thể dục thể thao

Hai loại năng lực trên luôn bổ sung và hỗ trợ cho nhau

1.2 Năng lực toán học.

Trong tâm lý học năng lực toán học đợc hiểu theo 2 nghĩa với hai mức độ: Một là theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việchọc toán, đối với việc nắm giáo trình toán ở phổ thông, nắm một cách nhanhnhất và có hiệu quả các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tơng ứng

Hai là theo năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu khoa học tức lànăng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, kháchquan cống hiến cho loài ngời những công trình toán học có giá trị đối với sựphát triển của khoa học nói riêng và đối với hoạt động thực tiễn xã hội nóichung

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt

đối Nói đến năng lực học tập toán học không phải là không đề cập tới năng lựcsáng tạo Có nhiều học sinh có năng lực đã nắm giáo trình toán một cách độc

đáo và sáng tạo, đã tự đặt ra và giải bài toán không phức tạp lắm, đã tự tìm racác con đờng, các phơng pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy

ra đợc các công thức, tự tìm ra các phơng pháp giải độc đáo cho các bài toánkhông mẫu mực.

Xét về bản chất năng lực toán học không phải là tính chất bẩm sinh mà

đ-ợc tạo thành trong cuộc sống, trong hoạt động sự sáng tạo này dựa trên cơ sởmột số mầm mống xác định

Việc rèn luyện và phát triển năng lực toán học ở học sinh là việc rất quantrọng của ngời thầy giáo

Bởi vì: - Thứ nhất, toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển củacác nghành khoa học, kỹ thuật và sự nghiệp cách mạng cần thiết có đội ngũnhững ngời có năng lực toán học

- Thứ hai, nhà trờng là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầutiên của toán học , không ai khác chính thầy giáo là những ngời hoặc chăm vunxới cho mầm mống năng khiếu toán học ở học sinh hoặc thui chột chúng

1.3 Năng lực giải bài tập toán.

Đó là một trong những năng lực học tập toán

Nói đến năng lực giải toán là nói đến khả năng vận dụng kiến thức vào bài toán.

- Tìm và liên hệ giữa các dữ kiện đầu vào và dữ kiện đầu ra Qúa trìnhbiến đổi các dữ kiện vào cho ra kết quả phù hợp yêu cầu bài toán

- Khả năng vận dụng các phơng pháp toán học khác nhau để giải toán.Nhìn nhận bài toán dới nhiều nội dung khác nhau (khía cạnh khác nhau) Từ đóvận dụng những kiến thức đó để giải quyết bài toán

- Khả năng chuyển từ bài toán khó thành nhiều bài toán đơn giản hơnphải huy động các kiến thức có liên quan đến khái niệm, những khái niệm cơbản từ đó lựa chọn trong số kiến thức đó kiến thức gần gũi với dữ kiện để giảiquyết bài toán

2 Vấn đề giải bài toán bồi dỡng học sinh giỏi.

2.1 Vai trò của giải bài tập toán

- Hình thành và khắc sâu tri thức kỹ năng, kỹ xảo toán học của những giai

đoạn khác nhau của quá trình dạy học

-Bồi dỡng thế giới quan duy vật biện chứng hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức ngời lao động mới

- Bài tập nhằm phát triển năng lực t duy của học sinh đặc biệt là rèn luyệnnhững thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của t duy khoa học

- Bài tập nhằm đánh giá kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán

và trình độ phát triển của học sinh

Khi nói đến vai trò, vị trí của việc giải bài tập nhà s phạm, nhà giáo dục họcG.Polya có viết: "Việc dạy giải toán phải là một bộ phận của nhiều giáo trình,của mọi quá trình toán học có ích trong phổ thông" Nắm vững môn toán, đó là

"Biết giải toán không chỉ các bài toán thông thờng mà cả những bài toán đòi hỏi

t duy độc lập nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo và sáng tạo Bởi vậynhiệm vụ hàng đầu và chủ yếu nhất của giáo trình toán học trờng trung học phảinhấn mạnh mặt phơng pháp của quá trình giải toán”

A.A.Xtotiar trong "Giáo dục môn học Toán " cho rằng "Dạy học qua bàitập toán là vấn đề đã biết từ lâu và đợc thảo luận rộng rãi trong các tài liệu giáodục toán học Tuy nhiên cho đến nay vẫn cha có cách giải quyết thoả đáng Cáchgiải quyết thích hợp đòi hỏi phải soạn thảo hệ thống bài tập tơng ứng với chơngtrình và thích hợp với hoạt động toán học v.v…"

P.M.Ecdunhiep " Việc nắm vững toán học đợc thực hiện trong quá trìnhgiải các bài tập, và vì thế sự phát triển của các phơng pháp dạy học toán sẽ đitheo con đờng vận dụng các hình thức và các dạng mới của các bài tập toánnhằm kích thích tính tích cực t duy của học sinh"

ở nớc ta các tác giả Nguyễn Bá Kim - Vũ Dơng Thụy trong "Phơng phápdạy học môn toán" đã nhấn mạnh: "ở trờng phổ thông, dạy toán là hoạt độngtoán học Đối với học sinh, có thể xem việc giải toán là hoạt động chủ yếu củahoạt động toán học Các bài toán ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất có hiệuquả và không thể thay thế đựơc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, pháttriển t duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt

động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ởtrờng phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học cóvai trò quyết định đối với chất lợng dạy học toán"

Dạy học giải bài tập toán có vai trò to lớn góp phần bồi dỡng học sinh giỏi,

đó là một trong các phơng pháp để bồi dỡng học sinh giỏi

2.2 Bồi dỡng học sinh giỏi.

Đây là một trong các hình thức dạy học phân hoá, việc bồi dỡng học sinhgiỏi cần đợc tiến hành, thực hiện ngay cả trong tiết học bằng những biện phápphân hoá nội tại thích hợp Hai hình thức thờng dùng trong bồi dỡng học sinhgiỏi là: nhóm học sinh giỏi toán và lớp học sinh chuyên toán

Mục đích là phát hiện bồi dỡng những em có năng lực toán học tốt, bồi ỡng các em phát triển tốt về mặt này trên cở sở giáo dục toàn diện, góp phần đàotạo đội ngũ cán bộ khoa học kỹ thuật giỏi, trong đó có một số có thể thành nhântài của đất nớc

d-Biện pháp để bồi dỡng học sinh giỏi trong đó có biện pháp là mở rộng, đàosâu hệ thống kiến thức trong sách giáo khoa, phân hoá bài tập tại lớp cũng nhbài tập ở nhà Thông qua việc giải bài tập toán để mở rộng đào sâu kiến thứcgóp phần bồi dỡng học sinh giỏi

Đ2 TíCH CáC PHéP BIếN HìNH

1.Phép biến hình trong mặt phẳng.

Ta ký hiệu tập hợp tất cả các điểm của một mặt phẳng là P khi đó mỗi hình

H bất kỳ của mặt phẳng đều là một tập con của P và đợc ký hiệu HP

1.1.Định nghĩa.

Một song ánh : P  P từ tập điểm của P lên chính nó đợc gọi là một phép

biến hình của mặt phẳng

Nh vậy cho một phép biến hình : P  P là cho một quy tắc để với một

điểm M bất kỳ của của P, ta tìm đợc một điểm M' = (M) hoàn toàn xác địnhthoả mãn 2 điều kiện sau đây

- Nếu M, N là hai điểm bất kỳ của P thì (M), (N) là 2 điểm phân biệt của P

- Với 1 điểm M' thuộc P bao giờ cũng có 1 điểm M thuộc P sao cho (M) = M'

Điểm (M) đợc gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình  Ngợc lại điểm

M gọi tạo ảnh của điểm (M) qua phép biến hình  nói trên Ngời ta còn nói

phép biến hình  biến điểm M thành điểm  (M) và ta có (M) = M'

Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp

(H) =(M)  MH

khi đó (H) gọi là ảnh của hình H qua phép biến  và hình H đợc gọi là tạo ảnhcủa hình (H) qua phép biến hình  đó

1.2.Sự xác định phép biến hình.

Muốn xác định một phép biến hình : P  P ta cần nêu rõ quy tắc  đóbằng các cách sau đây:

- Quy tắc  đợc xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳngnh: Tìm giao điểm của 2 đờng thẳng đã đợc xác định nào đó, dựng đờng thẳng

đi qua 1 điểm và vuông góc với một đờng thẳng cho trớc, dựng đờng tròn vớitâm và bán kính đã cho v.v

- Quy tắc còn đợc xác định bởi biểu thức liên hệ giữa toạ độ (x,y) của

điểm M với toạ độ (x',y') của điểm M' = (M) đối với hệ toạ độ Oxy cho trớcnào đó

Ví dụ: Phép biến hình cho bởi hệ thức: 

1 '

y y x x

Phép biến hình này gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ v(1, -3)

1.3 Các ví dụ về phép biến hình

Ví dụ 1 Cho đờng thẳng  thuộc P: Phép đặt tơng

ứng mỗi điểm M với điểm M' đối xứng với M qua 

đợc gọi là phép đối xứng trục  là trục đối xứng

Thờng kí hiệu phép đối xứng trục  là Đ

Ta có Đ(M) = M' ( hình bên)

Ví dụ 2 Cho điểm O cố định trong mặt phẳng P Phép đặt tơng ứng với mỗi

điểm M với điểm M' đối xứng với M qua O đợc gọi là phép đối xứng tâm O

Điểm O đợc gọi là tâm của phép đối xứng đó Kí

hiệu:

Phép đối xứng tâm O là ĐO Ta có ĐO(M) = M'

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng P cho véc tơ v cố định

Phép đặt với mỗi điểm M một điểm M' sao cho

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng P phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc P thành

chính điểm M đợc gọi là phép đồng nhất

Kí hiệu: Phép đồng nhất là e Ta có e(M) = M:  MP

2 Tích các phép biến hình.

2.1 Định nghĩa Trong hình học ta thờng phải thực hiện nhiều phép biến hình

liên tiếp nhau Nếu ta dùng phép biến hình : P  P để biến một điểm M bất kỳ

của P thành một điểm M' rồi lại dùng phép biến hình thứ hai g : P  P để biến

i/ Xét 2 phép biến hình là 2 phép tịnh tiến véc tơ T v và T u Giả sử M là

điểm bất kỳ của P

ii/ Xét tích của 2 phép đối xứng tâm ĐO và ĐO' ( O  O')

Giả sử M là điểm bất kỳ của P

Gọi M' = ĐO(M), M" = ĐO(M') Theo định nghĩa

Nh vậy, tích ĐOĐO' là phép tịnh tiến theo véc tơ v= 2OO'.

ĐOĐO' = T OO

2

2.3 Phép biến hình đảo ngợc.

Trong mặt phẳng cho phép biến hình  biến điểm M thành điểm M' ta có

(M) = M' Khi đó phép biến hình biến điểm M' thành điểm M gọi là phép biến hình đảo ngợc của phép biến hình  đã cho

Kí hiệu: Phép biến hình đảo ngựơc của  là  -1 và ta có  -1 (M) = M' Rõ ràng mỗi phép biến hình  có duy nhất 1 phép biến hình đảo ngợc  -1 và ta có

2.4 Phép biến hình có tính chất đối hợp.

Cho phép biến hình  biến điểm M thành M', sau đó nếu ta thực hiện tiếp phép biến hình  đó đối với điểm M'

Giả sử M" = (M') Nếu M" = M thì ta nói rằng phép biến hình  có tính

i/ Tích của 2 phép biến hình là 1 phép biến hình

ii/ Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp nghĩa là: với , g, h là các

phép biến hình bất kỳ ta có (g)h = (gh).

iii/ Có phép biến hình đồng nhất e sao cho bất cứ phép biến hình  nào của

G ta cũng có e =  (e = e ) Phép biến hình e đó gọi là phép biến hình

đơn vị Nh vậy phép đồng nhất là phép biến hình đơn vị

iv/ Với mọi phép biến hình  của G bao giờ cũng có 1 phép biến hình g của

G sao cho g = e Phép biến hình g nh vậy gọi là phép biến hình đảo ngợc của 

4.1 Phép biến hình ẩn tàng trong nội dung SGK THCS

Trong chơng trình toán học trung học cơ sở, học sinh đợc làm quen với cácphép dời hình: Phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục , phép tịnh tiến (ở lớp 8),phép quay (lớp 9) và phép biến hình khác là phép đồng dạng (ở lớp 8) Các phépdời hình ở trung học cơ sở không đợc trình bày theo t tởng biến hình mà chỉdừng ở việc nghiên cứu dới dạng khác Phép đối xứng tâm , đối xứng trục dừng

ở việc nghiên cứu 2 hình đối xứng nhau qua một điểm, đờng thẳng Phép tịnhtiến tiến đợc trình bày trong một bài đọc thêm.Còn phép quay đợc trình bày vớiyêu cầu học sinh nắm đợc khái niệm biết dựng ảnh của một điểm, một hình quaphép quay và ứng dụng của phép quay để giải toán

Đối với phép đồng dạng: chỉ nêu định nghĩa và một số tính chất cơ bản ứngdụng của nó trong việc giải toán hình học Đa ra khái niệm tam giác đồng dạng,cách dựng một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, nêu các trờng hợp đồngdạng của một tam giác ( Đ3.Tr 66 HH 8 các trờng hợp đồng dạng của 2 tamgiác)

Định lý 1: Nếu 2 góc của 2 tam giác này lần lợt bằng 2 góc của tam giác

kia thì 2 tam giác này đồng dạng

Chứng minh : Gỉa sử A'B'C' và ABC có Aˆ = Aˆ', Bˆ =Bˆ' ta chứng minh

A'B'C'  ABC

Đặt trên tia AB đoạn thẳng AM = A'B' Qua M vẽ đờng thẳng MN  BC (N trên

tia AC) Khi đó AMN  ABC Xét AMN và A'B'C' có Aˆ = Aˆ' (gt).

AC

C

A' '

(1) và Aˆ ='

ˆ

A Ta chứng minh : A'B'C'  ABC

Đặt trên tia AB đoạn thẳng AM = A'B' Qua M vẽ đờng thẳng MN  BC (N nằm trên AC)

AN = A'C' Suy ra: A'B'C'  ABC (đpcm)

*Qua cách chứng minh 2 định lý trên dựng AMN = A'B'C', hai tam giác

bằng nhau nếu ta hiểu theo ngôn ngữ phép biến hình thực chất là tồn tại phép dời

Còn AMN  ABC (theo cách dựng một tam giác đồng dạng với tam

Cho2 đờng thẳng a và b cắt nhau tại 0

với mỗi điểm M ta xác định điểm M' nh sau:

Trớc hết lấy M1 đối xứng với M qua a sau đó

ứng điểm M nh vậy gọi là phép quay quanh điểm

O.

Nh vậy phép quay đợc định nghĩa thông qua việc thực hiện liên tiếp 2 phép

đối xứng trục Đa và Đb Phép quay là tích của 2 phép đối xứng trục

Phép đối xứng trợt: đợc định nghĩa.

Cho 1 đòng thẳng d và một véc tơ vsong

song với d Với mỗi điểm M ta xác định điểm M'

theo quy tắc sau đây

d sau đó lấy điểm M' sao cho: M1M'=v Quy tắc trên ta gọi là phép đối xứngtrợt

Nh vậy, phép đối xứng trợt cũng đợc trình bày dới dạng thực hiện liên tiếp

2 phép dời hình hay đợc trình bày dới dạng tích của phép đối xứng trục (Đd) vàphép tịnh tiến véc tơ T v Dạng chính tắc của phép đồng dạng

Định lý (Tr 90 HH10) Mỗi phép đồng dạng tỷ số k đều có thể xem là kết

quả của việc thực hiện liên tiếp một phép vị tự tỷ số k và một phép dời hình.

(Đó là tích của 1 phép vị tự và 1 phép dời hình)

Nh vậy trong SGK HH10 cụm từ "Tích các phép biến hình” cha đợc sửdụng nhng ta ngầm hiểu đó là tích của các phép biến hình Việc ứng dụng tíchbiến hình giải toán còn nhiều hạn chế Tóm lại, SGK HH10 vấn đề tích biếnhình trình bày còn cha kỹ lỡng

Trong tài liệu giáo khoa thí điểm Ban khoa học tự nhiên (HH11).

Sau khi định nghĩa phép biến hình ở dạng tổng quát và lấy các ví dụ về cácphép biến hình, điểm bất động của phép biến hình thì ở mục4.Đ1(Tr 5) đã trìnhbày : "Tích của các phép biến hình” nh sau

Cho 2 phép biến hình : P  P và g : P  P Gọi M là điểm bất kỳ của P Nếu  biến M thành M' và g biến M' thành M'' thì phép biến hình M thành M'' gọi là tích của phép biến hình f và g và ký hiệu:  g Nh vậy

(g)(M) = M'= g(M') = g[(M)].

Ví dụ: a/ Đối với phép biến hình f : P  P

và phép biến hình đồng nhất ta luôn có:

e =   e =.

b/ Xét tích 2 phép tịnh tiến véc tơ T uvà T v (hình vẽ)

Giả sử M là điểm bất kỳ của P: M' = T u (M) , M'' = T v(M')

Theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có: MM '= MM' +M ' M ' = u+v

Nh vậy, tích T u.T v chính là phép tịnh tiến theo véc tơ u+v

Dựa vào tích các phép biến hình định nghĩa phép biến hình đảo ngợc (5.Đ1Tr6): Cho phép biến hình : P  P ta xác định đợc -1: P  P sao cho:

: M  M' thì -1: M'  M Phép biến hình -1 nh thế gọi là phép biếnhình đảo ngợc của phép biến hình Rõ ràng mỗi phép biến hình  có duy nhất 1phép biến hình đảo ngợc -1 và   -1 = -1

g-1

Từ Tr7  Tr13 SGK trình bày phép dời hình tính chất áp dụng để giải toán

Đ3 (Tr13) Sự xác định của phép dời hình Hình bằng nhau

1 Định lý: Cho hai  bằng nhau ABC và A'B'C'cóAB =A'B' , BC = B'C',

CA = C'A' bao giờ cũng có một và chỉ một phép dời hình : P  P biến A

thành A', B thành B', C thành C'.

Đây là một định lý quan trọng về sự xác định phép dời hình Chứng minh

định lý đợc trình bày dựa trên tích của các phép đối xứng trục Từ định lý suy ra

1 Đinh lý: Tích của 2 phép đối xứng trục với 2 trục song song là một phép

tịnh tiến

i/ Đ' Đ = T v Trong đó v bằng 2 lần véc tơ dời   ’

ii/ Nếu  trùng ' thì Đ Đ = e

2 Đinh lý Mỗi phép tịnh tiến có thể xem (bằng nhiều cách khác nhau) là

tích của phép đối xứng trục với hai trục song song.

Hai định lý trên đợc sách giáo khoa chứng minh rất rõ ràng

Phép quay đợc định nghĩa ở dạng góc định hớng nhng trong nội dung định

lý (tr 20) đã trình bày: "Tích 2 phép đối xứng trục với trục cắt nhau là một phép

quay" Định lý có chứng minh rõ ràng

Định lý: Mọi phép quay Q0 với   0 đều có thể xem (bằng nhiều cách

khác nhau) là tích của 2 phép đối xứng trục với 2 trục cắt nhau.

Đ4 (Tr 23).Phép vị tự.

Trong nội dung lý thuyết SGK không trình về tích phép vị tự Nhng trongbài tập lại đề cập đến tích của một phép dời với một phép vị tự hoặc là tích của 2phép vị tự

Bài tập 39: Cho phép vị tự V0k(k 1) và phép tịnh tiến T v Chứng minhrằng T v V0k và V0kT v là những phép vị tự xác định tâm và tỷ số những phép vị

Có định lý rất quan trọng đợc nêu ra có ứng dụng lớn trong giải bài tập

và sách giáo khoa đã chứng minh rõ ràng và cụ thể định lý này

Định lý: "Mỗi phép đồng dạng có thể xem là tích của 1 phép vị tự và một

phép dời hình, hoặc tích của một phép dời hình và một phép vị tự ".

Toàn bộ chơng I đã định nghĩa rõ tích các phép biến hình ở dạng tổng quáttrong đó tích của các phép dời hình và phép vị tự đợc trình bày khá đầy đủ chitiết Trong phần bài tập có khai thác nhiều về vấn đề tích các phép biến hình, bổsung phần lý thuyết cha đợc trình bày và ứng dụng tích các phép biến hình đểgiải mốt số bài toán

Tóm lại, vấn đề tích biến hình đã đợc quan tâm đa vào nội dung giảng dạy

ở trờng phổ thông

4.3 Một số tài liệu viết về tích biến hình.

Tích biến hình cũng đã đợc nhiều nhà viết sách quan tâm sử dụng tính biếnhình để giải toán

Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXBGD 1997.

Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo, Chuyên đề phép biến hình đại số véc tơ

Và các tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi ở các trờng chuyên, tài liệu giảng dạy

ở trờng Đại học Vinh.v.v…

4.4 Vấn đề nghiên cứu của tích biến hình:

Một bài toán đợc đa ra có thể có rất nhiều cách giải khác nhau, có cách giảingắn, cách giải dài khác nhau Nhng không phải lúc nào cách giải gọn nhất làtốt nhất Đứng vào vị trí của ngời giáo viên cũng cần nhận thấy điểm này Cónhững phơng pháp tuy dài nhng đó lại là một phơng pháp tốt để phát triển cácchức năng dạy học giải bài tập Góp phần vào việc giáo dục học sinh đặc biệt làgiáo dục con ngời lao động trong thời đại mới Việc bổ sung phơng pháp giảitoán nhằm rèn luyện năng lực giải toán và góp phần bồi dỡng học sinh giỏi ở HSTHPT

Biến hình là một vấn đề đợc quan tâm trong nội dung cải cách chơng trìnhsách giáo khoa hiện nay Thông qua biến hình, tích các phép biến hình khôngnhững có thể giải quyết nhanh chóng các bài toán mà đặc biệt nó còn góp phầnbồi dỡng học sinh giỏi (phát triển các chức năng giải bài tập toán, phát triển tduy hàm ở học sinh v.v ) Đặc biệt là phát triển t duy hàm, xét sự vật trong sựbiến thiên và phụ thuộc Đây là một loại hình t duy rất đợc quan tâm và u tiênphát triển ở HS

Tuy tích biến hình cha đợc trang bị đầy đủ trong nội dung sách giáo khoaphổ thông nhng nó là một trong những chơng trình nhằm bồi dỡng học sinh giỏi

ở trờng THPT Chính vì vậy cần quan tâm xây dựng hệ thống lý thuyết và bài tậpgiải bằng phơng pháp sử dụng tích các phép biến hình

Chơng 2 xây dựng hệ thống lý thuyết về tích các phép biến hình -ứng dụng của nó vào giải toán hình học -

hệ thống bài tập áp dụng

I - Một số vấn đề chung Bên cạnh những phơng pháp truyền thống nh: Phơng pháp véc tơ, phơngpháp toạ độ… thì thông qua việc dạy học phép biến hình chúng ta còn cung cấpcho học sinh một số công cụ giải toán mớivà rất hiệu quả đó là công cụ giải toánbằng phơng pháp biến hình (tích biến hình)

ở trờng phổ thông phép biến hình đợc xem là công mới giúp học sinh giải

đợc hàng loạt bài toán hình học nh: Chứng minh tính chất hình học, tìm tập hợp

điểm ( trong mp), dạng toán dựng hình, cực trị hình học

Để giải bài toán bằng phơng pháp sử dụng tích các phép biến hình, trớc hếtphải xây dựng hệ thống kiến thức về tích các phép biến hình Đó là cơ sở lýthuyết đầu tiên vận dụng vào việc giải toán bằng tích biến hình Sau khi truyềnthụ những kiến thức đó để có năng lực giải toán bằng tích biến hình đòi hỏi họcsinh phải có năng lực chuyển giả thiết , kết luận bài toán về ngôn ngữ biến hình(ngôn ngữ tích các phép biến hình) Mỗi bài toán ngời ta cho không phải lúcnào cũng diễn giải bằng ngôn ngữ biến hình Các bài toán hầu hết ở dạng tổnghợp, biểu diễn bằng ngôn ngữ hình học Vì vậy cần rèn luyện năng lực chuyển

đổi ngôn ngữ từ quan hệ hình học sang ngôn ngữ biến hình (tích biến hình).Khi giải bài toán bằng tích biến hình ta thờng đi theo 3 bớc:

Bớc 1: Chuyển đổi ngôn từ ngôn ngữ hình học thuần tuý sang ngôn ngữ biến

hình

Ví dụ: M là trung điểm của AB thì dịch sang ngôn ngữ biến hình là : B là

Bớc 2: Sử dụng các tính chất , các bất biến của phép biến hình để tìm tòi lời

giải cho bài toán.

Bớc 3: Chuyển các kết quả thu đợc sang tính chất hình học tơng ứng và kết luận

bài toán.

Tuy nhiên, đối với những bài toán đã thể hiện bằng ngôn ngữ biến hình ta

bỏ qua bớc 1 Đối với bài toán cha thể hiện ngôn bằng ngữ biến hình, nếu sựdịch chuyển ngôn ngữ không gặp khó khăn thì việc sử dụng biến hình (tích biếnhình) để giải toán là cơ sở, có khả năng thu đợc kết quả tốt Việc chuyển sangngôn ngữ biến hình là xuất phát điểm trong việc sử dụng công cụ biến hình đểgiải toán

Trong các bớc trên cần chú trọng bớc 2 tức tìm đợc phép biến hình (tíchbiến hình) thích hợp để vận dụng vào giải bài toán

2.1 Điểm bất động trong phép biến hình.

a/ Định nghĩa: Điểm M đợc gọi là điểm bất động trong phép biến hình  

(M) = M

b/ Ví dụ: - Phép đối xứng trục : Mọi điểm  đều là điểm bất động.

- Phép đối xứng tâm O: Chỉ có điểm O bất động

- Phép tịnh tiến T v (v o): Không có điểm bất động

- Phép vị tự V o k(k1): O là điểm bất động duy nhất

M  M'' = g[(M)] M  M'' = g (M) Vậy tích của 2 phép biến hình là 1 phép biến hình

-1 đợc gọi là phép biến hình đảo ngợc của .

Ví dụ Phép đối xứng trục Đ: có phép đảo ngợc là chính nó

 Phần tử nghịch đảo của  là phép đảo ngợc -1

Nói chung nhóm các phép biến hình không giao hoán

II - Tích các phép biến hình

Khi xét các phép dời hình cần chú ý: Phép đối xứng trục có thể coi là cơ sở,

từ đó ta có thể xây dựng tất cả các phép dời khác Tích của hai phép đối xứngtrục là phép tịnh tiến (nếu các trục song song), là phép quay ( nếu hai trục cắtnhau) Ngời ta có thể chứng minh đợc rằng mọi phép dời hình đều là tích củakhông quá không quá ba phép đối xứng trục

Khi xét tới tích các phép dời hình có các định lý:

i/ Tích 2 phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến và phep tịnh tiến lại phân tích đợc thành nhiều cách khác nhau thành tích 2 phép đối xứng tâm.

ii/ Tích hai phép đối xứng trục cắt nhau là một phép quay và mọi phép quay cũng đơc phân tích thành nhiều cách khác thành tích của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau đi qua tâm.

iii/ Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến và mọi phép tịnh tiến đều đợc phân tích thành nhiều cách khác nhau thành tích hai phép tịnh tiến thích hợp.

Đó là các định lý cơ sở, từ đó có thể xây dựng tích của hai hay nhiều phépdời hình với nhau Bây giờ chúng ta khẳng định lại điều đó và xét các ứng dụngcủa các phép biến hình vào giải toán

Đ1 Tích các phép đối xứng tâm, tịnh tiến

1.1 Tích hai phép đối xứng tâm.

Định lý 1 Tích của hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến.

Chứng minh: Cho ĐO : M  M' và ĐO’: M  M' Ta sẽ chứng minh :

Định lý 2 Mọi phép tịnh tiến đều có thể phân tích thanh nhiều cách khác

nhau thành tích của hai phép đối xứng tâm

Chứng minh: Giả sử có phép tịnh tiến T v Lấy O1 là điểm bất kì Giả sử O2 là

ảnh của O1 qua phép tịnh tiến T v

2

1 ta có Đ O Đ O 2

1  = T v (theo định lý1) Rõ ràng

Định lý 3 Tích của một phép tịnh tiến với một phép đỗi xứng trục qua tâm

hoặc một phép đối xứng qua tâm với một phép tịch tiến là một phép đối xứng qua tâm.

Chứng minh: Giả sử có phép tịnh tiến T v và phép đối xứng tâm ĐO1 .Xét

tích T v.ĐO1 , ĐO1 T v Giả sử O2 là ảnh của O1 qua phép tịnh tiến T v

2

1 .

Theo định lý1: T v= ĐO2.ĐO1 (1)

Nhân vào hai vế của (1) về phía bên phải với ĐO1.Ta có: T v o ĐO1= ĐO2ĐO1

ĐO1 = ĐO2.(do ĐO1ĐO1= e)

Chứng minh tơng tự :

Gọi O'2 là ảnh của O1 qua T v

2

1 khi đó T v= ĐO1ĐO2'

(2)

Nhân 2 vế của (2) với ĐO1 vào bên trái

Ta có: ĐO1T v = ĐO1ĐO1ĐO2' = ĐO2'

 ĐO1T v= ĐO2' (đpcm)

Định lý 4 Tích của hai phép tịnh

tiến là phép tịnh tiến có véc tơ tịnh tiến

bằng véc tơ tổng.

Định lý này đã đợc chứng minh trong (2.2.ii Chơng 1)

Hệ quả:  Tích của n phép tịnh tiến là phép tịnh tiến véc tơ tổng.

 Tích của hai phép tịnh tiến (có vec tơ tịnh tiến khác 0) có tính giao hoán

Định lý 5 Tích của chẵn phép đối xứng tâm là phép tịnh tiến.

Tích của lẽ phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm.

Chứng minh: Giả sử có n = 2k phép đối xứng tâm ĐO1, ĐO2, , ĐO2k

Ta có: ĐO2kĐO2k-1 ĐO2 ĐO1 = (ĐO2kĐO2k-1) (…)(ĐO2 ĐO1)

dly1 T O k O k

2 1 2

2   …T2O1O2 dly4 T2 (O1O2k).

Vậy ĐO2kĐO2k-1 ĐO2 ĐO1 = T2 (O1O2k).

Với n=2k+1 Phép đối xứng tâm Tacó:

ĐO2k+1ĐO2k.ĐO2k-1 ĐO2ĐO1

CMT

 ĐO2k+1T2 (O1O2k).Theo định lý 3: ĐO2k+1T2 (O1O2k)= ĐO.(trong đó O là ảnh của O2k+1 qua T (O1O2k)

 (đpcm)

2.2 ứng dụng tích phép đối xứng tâm, tịnh tiến vào giải toán.

Đối với những bài toán cho dới dạng ngôn ngữ hình học thuần tuý cầnchuyển về ngôn ngữ phép biến hình ( phép đối xứng tâm phép tịnh tiến )

+ O là trung điểm của AB + ĐO: A  B

B  A

+ AB = CD + CD là ảnh của AB qua phép đối xứng tâm nào

đó

Bài toán1 : a/ Hình bị chặn không thể có nhiều hơn hai tâm đối xứng.

b/ Chứng minh không có hình có đúng 2 tâm đối xứng

* Đứng trớc bài toán này HS sẽ gặp nhiều khó khăn khi đa ra phơng pháp

giải Lời giải sẽ đơn giản hơn nếu ta sử dụng tích các phép biến hình (Tích các phép đối xứng tâm).

Giải: a/ Giả sử hình H bị chặn có 2 tâm đối xứng O1, O2

Khi đó ta có: ĐO1(H) = H, ĐO2(H) = H Suy ra ĐO2ĐO1(H) = H Tích ĐO2.ĐO1

biến hình H thành chính nó

Theo định lý 1 ta có: ĐO2ĐO1 = T2O1O2 là phép tịnh tiến Phép tịnh tiến này biếnhình H thành chính nó Nhng hình H bị chặn không có tính chất đó  (đpcm)

b/ Giả sử có hình (H) có đúng 2 tâm đối xứng O1, O2

Gọi O3 = ĐO2(O1) Ta sẽ C/m : ĐO3 = ĐO2ĐO1ĐO2

Thật vậy với M bất kỳ :

Bài toán 2: Cho 3 điểm O1 ,O2 ,O3.Dựng tam giác ABC sao cho

O1 ,O2 ,O3 lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA

*Với bài toán này cách giải thông thờng ta dễ dàng dựng đợc tam giác bằngcách C là đỉnh thứ 4 của hình bình hành O3O1O2C Hoàn toàn tơng tự với A,B Nhìn nhận bài toán dới ngôn ngữ biến hình

O1là trung điểm của AB  ĐO1: A  B

O2 là trung điểm của BC  ĐO2: B  C

O3 là trung điểm của CA  ĐO3: C  A

Từ đó ta có : ĐO3ĐO2 ĐO1(A) = A  A là điểm bất động.Mà ĐO3ĐO2 ĐO1

là phép đối xứng tâm Suy ra A là tâm phép đối xứng tâm đó Từ đó ta có :

Lời giải : Giả sử ABC dựng đợc Ta nhận thấy:

Chú ý : Với cách giải thông thờng giúp

HS nhìn nhận bài toán đơn giản hơn Nhng qua

phơng pháp đó hạn chế tính phát triển trong

chức năng giải bài tập Bằng phơng pháp sử

dụng tích biến hình ta có thể giải quyết bài

toán sau:

Bài toán 3: Cho 5 điểm O1, O2, O3, O4, O5

Dựng ngũ giác ABCDE (có thể không lồi)

Nhận O1, O2, O3, O4, O5 lần lợt làm trung điểm AB , BC, CD, DE, EA

Cách giải bài toán này giống ví dụ 2 Ta sử dụng tích 5 phép đối xứng tâm

ĐO5ĐO4 ĐO3ĐO2 ĐO1 là một phép đối xứng tâm

Tơng tự ta có A là điểm kép duy nhất

Suy ra cách dựng: Lấy điểm M bất kỳ

 A là trung điểm của MM5

 Ngũ giác dựng đợc Bài toán có 1 nghiệm hình

Bài toán 4: Dựng đa giác biết 7 trung điểm ( 9 trung điểm ) của các cạnh

Cách dựng giống hoàn toàn 2 ví dụ trên.Với cách giải trên ta có thể giải quyếtbài toán tổng quát:

Bài toán 5: Cho m =2n+1 điểm là trung điểm của đa giác có m cạnh Háy dựng

các đỉnh của đa giác đó:

Khi n = 1, 2, 3, 4 ta có các bài toán trên.

Đối với bài toán này, ta vẫn phải sử dụng tích của m phép đối xứng tâm (m

lẻ ) là một phép đối xứng tâm

Giả sửdựng đợc đa giác A1A2 A2n+1

Gọi Oi là trung điểm của các cạnh (i =

 A1 là điểm bất động của tích

 A1 là trung điểm của XX2n+1

Từ đó ta có : Lấy A tuỳ ý Lấy lần lợt đối xứng qua tâm O1, O2, O3, O4

ta có các điểm A, B, C, D  Tứ giác ABCD dựng đợc

 Bài toán có vô số nghiệm hình

*Bằng cách sử dụng tích n (n chẵn) phép đối xứng tâm ta sẽ có bài toán t

-ơng tự dựng lục giác, hay n giác khi biết trung điểm các cạnh

Đ2 Tích phép đối xứng trục

Nh đã trình bày ở trớc phép đối xứng trục đợc xem là cơ sở ,từ đó có thểxây dựng các phép dời hình khác thông qua tích của các phép đối xứng trục Nó

đợc thể hiện ở một số định lý sau:

2.1 Tích của 2 phép đối xứng trục.

Định lý 6: Tích 2 phép đối xứng trục có trục song song với nhau là 1phép

tịnh tiến.

Chứng minh: Giả sử Đ và Đ' là 2 phép đối xứng trục với 2 trục song song  và

' Gọi M là 1 điểm bất kỳ

 và ' Nh vậy MM '' có phong không đổi

Đ'Đ = T2HH'

Chú ý : 1/ Tích Đ'  Đ = T V

Trong đó V : Có phơng vuông góc với hai trục

: Có độ dài bằng 2 lần khoảng cách 2 trục đó

2/ Đ  Đ = e

Tích của 2 phép đối xứng trục song song không có tính chất giao hoán:

Thật vậy ta có : Đ'  Đ = T2HH' Mà HH'  H ' H

Đ  Đ' = T2H ' H Suy ra Đ'  Đ  Đ  Đ’

Định lý 7 : ( Định lý đảo của định lý 6).

Mọi phép tịnh tiến đều có thể phân tích bằng nhiều

cách khác nhau thành tích của 2 phép đối xứng trục với 2

trục song song.

Chứng minh: Cho phép tịnh tiến T V với véc tơ tịnh tiến v

* Hai định lý trên xét về tích 2 phép đối xứng trục có trục song song.Tích

của 2 phép đối xứng trục có trục cắt nhau thể hiện định lý sau

Định lý 8: Tích 2 phép đối xứng trục theo thứ tự 2 trục , ' cắt nhau ở O

'

OM OH OM OM OM OM

M'' =Đ'(M')   ( )"  ,' ).

'.

OH OM

OM Suy ra  (OM"  (2OH ,'OH  ,OH).'

Mọi phép quay tâm O góc  (  0) đều có thể phân tích bằng nhiều cách

khác nhau thành tích 2 phép đối xứng trục với 2 trục cắt nhau tại O.

* Sử dụng định lý này khá nhiều trong việc xây dựng tích của các phép

quay Bây giờ ta vận các dụng kiến thức đó vào giải quyết một số bài toán sau.

2.2 ứng dụng tích của 2 phép đối xứng trục vào giải toán.

Bài toán 7 Chứng minh rằng một hình phẳng có 2 trục đối xứng thì các trục

đó vuông góc với nhau

*Với bài toán dạng nh thế này ta cần chú ý:

Nếu 1 , 2 là trục đối xứng của hình phẳng H Tức Đ1(H) = H Đ2 (H) = HKhi đó tích Đ1 Đ2(H) =(H) Phép biến hình Đ1 Đ2biến hình H thànhchính nó

Giải: Giả sử 1 , 2 là các trục đối xứng của hình phẳng H Điều đó có nghĩa là

 X  H Đ1(X), Đ2 (X)  H

Xét đờng thẳng 3 = Đ1(2).Theo lý thuyết ta có Đ3= Đ1 Đ2 Đ1

tức  X  H, Đ3(X) = Đ1 Đ2 Đ3(X) (H) Do đó 3 cũng là trục đốixứng của hình H

+ Nếu hình H có đúng 2 trục đối xứng thì 3 = 1 hoặc 3= 2

Nhận thấy 3  1 Do đó 3 = 2 Điều đó suy ra 1  2

Bài toán 8 Cho hình vuông ABCD tâm I trên tia BC lấy điểm E sao cho BE

=AI

a/ Xác định phép dời biến A thành B và I thành E

b/ Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời ấy

Nhận thấy: :A  B, I  E

dời hình ta có thể sử dụng tích các phép đối xứng trục nh sau:

Lời giải : a/ Gọi M là trung điểm của AB và  là đờng thẳng qua I, M Ta có

Bài toán 9 Cho  ABC nội itếp đờng tròn (O) A' di động trên AB M 

(O) A'M  BC Kẻ MB' AC với B '(O)

CMR: AA' // BB'

*Với bài toán này ta có thể giải bằng bài toán thông thờng Tuy nhiên sẽ

gặp không ít khó khăn Bằng phơng pháp sử dụng tích 2 phép đối xứng trục ta

có lời giải gọn đẹp đẽ hơn.

Giải : Xét P, Q là trung điểm của AM và MB'

 OP  AM' , OQ  MB'

Q2 ˆ : A  B Suy ra AB=A’B’ A B A ' B' A' BA B' A'  B'

Từ đó suy ra: AA' // BB'

Bài toán10: Cho O, E, D không thẳng hàng Dựng  ABC sao cho OD, OE là 2

đờng phân giác , EAB, D  AC ( cho OD  OE)

* Đây là bài toán rất hay và khá khó nếu học sinh không nhận thấy rằng:

OD là phân giác góc abc OD là trục đối xứng của góc đó thì học sinh gặp rấtnhiều khó khăn

Ta có thể bắt gặp bài toán dựng hình tơng tự ở chơngtrình lớp 12: “Tìm toạ

độ các đỉnh  khi biết tâm đờng tròn nội tếp O, và toạ độ 2 chân đờng phân giác

E và D”

Với việc sử dụng tích các phép đối xứng trục ta có lời giải sau:

Lời giải: Giả sử ABC dựng đợc

Ta có ĐOĐ: đt BA  đt BC

ĐOE: đt CB  đt CA

Suy ra: ĐOE ĐOĐ:đtBA  đt CA

Với E  BA  ĐOEĐOD(E) = E2  CA

Từ cách dựng ta dễ dàng chứng minh ABC thoả mãn điều kiện bài toán

Do giao DE2 với OE là duy nhất  Bài toán có 1 nghiệm hình