Do đó, hệ thống bài tập GV đưa ra không nên chỉ tập trung vào các bài toán vectơ thuần túy như trong sách giáo khoa mà phải đưa vào các bài toán có thể sử dụng kiến thức vectơ để giải qu
Trang 1Lnghicn cứu TRAO Dổl
ÚNG DỤNG VECTƠ TRONG MẶT PHẢNG
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
PHẠM VĂN QUỸ Trường THPT Hùng vương, tỉnh Bình Phước
NGUYỄN THANH HƯNG Trưởng Đại học sư phạm, Đại học Đà Đắng
Nhận bài ngày 08/0 ỉ/2022 Sửa chữa xong 22/01/2022 Duyệt đăng 25/01/2022.
Abstract
Vectors in the plane are one of the key topics when teaching Maths at high schools It is an extremely important work, especially when fostering excellent students, to help them point out the applications of vectors when solving Maths problems The article presents the theoretical basis of vectors mentioned in high school, from which, six types of applied maths vectors are proposed to solve For each type of maths, the article outlines the corresponding content and solution method, along with detailed illustrative examples If students receive the application of vectors to solve mathematical forms effectively, the quality of Maths teaching in general, in high schools and fostering excellent students in particular will be improved.
Keywords: Application, good students, Maths, vector.
1 Đặt vấn đề
Dạy học (DH) vectơ giúp học sinh (HS) nắm được các kiến thức cơ bản của vectơ, ứng dụng của vectơ vào các môn học khác (Vật lí, Hóa học, ) và vận dụng vectơ để giải các bài toán Hình học, Đại
số Vectơ có một vị trí rất quan trọng không chỉ đối với môn Toán mà cả các môn học khác trong chương trình THPT Tuy nhiên, trên thực tế, sau khi học xong chương Vectơ (Hình học 10) cho thấy,
đa số HS chưa biết cách vận dụng vectơ để giải bài tập, kĩ năng biến đổi vectơ của HS chưa tốt Vì vậy phải làm gì để đạt được các mục tiêu của việc DH vectơ trên Trọng trách này được đặt lên vai các thầy, cô dạy môn Toán Đó là trăn trở của nhiều giáo viên (GV) là làm sao suy nghĩ tìm ra những phương pháp mới, chia nhỏ các ứng dụng của vectơ giúp HS học vectơ một cách hiệu quả, đặc biệt đối với HS giỏi
Kinh nghiệm dạy học cho thấy, để HS học vectơ tốt GV phải giúp HS hiểu rõ bản chất của vectơ
và các ứng dụng quan trọng của vectơ Do đó, hệ thống bài tập GV đưa ra không nên chỉ tập trung vào các bài toán vectơ thuần túy như trong sách giáo khoa mà phải đưa vào các bài toán có thể
sử dụng kiến thức vectơ để giải quyết như: Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song, ba đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, trong hình học; bài toán chứng minh bất đẳng thức trong đại số, Qua đó làm cho HS thấy được vectơ có ứng dụng rộng rãi trong toán học, đặc biệt khi giải toán thi HS giỏi Có nhiều bài toán nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài và phức tạp nhưng lại rất đơn giản và ngắn gọn khi sử dụng phương pháp vectơ Từ đó sẽ phát huy được tính sáng tạo của HS, tìm ra những cách giải mới ưu việt hơn cho những bài toán quen thuộc, đó là lí do vì sao chủ để ứng dụng vectơ để giải toán rất được quan tâm nghiên cứu
Email: phamvanquycqt@gmail.com
GIÁO DtlC - ,
26 V Thánq 02/2022
Trang 2-NGHIỂN CỨU TRAO DỔI
2 Nội dung nghiên cứu
2.1 Vectơ trong mặt phẳng
2.7.7 Định nghĩa vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng đã định hướng, nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào của đoạn thẳng là điểm đầu và điểm mút nào là điểm cuối Nếu điểm mút đầu là A, điểm mút cuối là B. Ta kí hiệu vectơ này là: ÃB hay a [1],
2.1.2 Các phép toán
a Phép cộng vectơ
Cho hai vectơ a và è Từ điểm A bất kì dựng AB=a, BC=b. Khi đó AC gọi là tổng của hai vectơ a và b. Kí hiệu a + b [1].
b Phép trừvectơ
Tổng của vectơ a với vectơ đối của vectơ b gọi là hiệu của hai vectơ a và b. Kí hiệu a-b [1]
c Phép nhân vectơ với một số
Tích của vectơ ã với số thực k là mộtvectơkíhiệu: k.a và được xác định như sau: Vectơ k^a cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0; về độ dài: |fc.a| = |fc|.|ã| [1],
d Tích vô hướng hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a-b và được xác định bởi công thức:
a.b = |a|.|ft cos(«,&j [1],
2.1.3 Một số hệ thức vectơ
- Hai vectơ a và b cùng phương o e R, a = kb.
- Điểm M chiađoạn AB theotỉsố k * 1 44- ~MA = k MB. Khi đó với mọi điểm o tacó: OM = 0A ~ k0B
1-k
- Công thức hình chiếu: Tích vô hướng của hai vectơ a và ĩ) bằng tích vô hướng của vectơ 2 với hình chiếu ĩ' của vectơ b trên đường thẳng chứa vectơ a Nghĩa là 77 = 7.7* (hình vẽ)
- Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tac0:G4 + GB + GC = 0;MA + M5 + MC = 3MG, với M
là điểm bất kì; GA + GB 2 2 + GC = —^7—17 2
3
i i
- Cho tam giác ABC gọi H, ỡ lần lượt là trực tâm, tâm đường I
tròn ngoại tiếp của tam giác ta có OH = OA + ỠB + Ỡc[1] ! í
- Cho tam giác ABC gọi tâm đường tròn nội tiếp của tam — I i
giác ta có: aJA + bJB + cJC = o; a.IA + b.IB + c.IC =a&c[1] -—— > h b b _
1
- Cho tam giác ABC ta có: CAJLB = -(a2 -b2 -C2}-
Thật vậy: CA + AB = CB^ (cấ+ấb) = Cb" o CA2 + AB2 + 2CA.AB = CB2
< => b + c + 2CA.AB = a o CA.AB = |(a - b - c ) .Chứngminhtươngtựtacó: AB.BC = |(& - a - c )
ịà BCCA = ỉ(c - a - 6)
- Cho tam giác ABC và M là điểm tuỳ ý Ta có: MA.MC = |(am2+ MC -AC } 2 2
Thậtvậy: MA-MC = CA=> (mA-~Mc} =CA & MA2+MC2-2MAMC = CA2
Tbánn co/pnpp @IÃOBỌC
Trang 3NGHICN CỨU TRAO ĐỔI
o MA.MC= "(am2 +MC2 -AC2}. Chứng minh tương tự ta có: MA.MB = "(am2 +MB2 - AB2} và
MBMC = I (mb2 +MC2 - BC2)
2.2 ứng dụng vectơ trong mặt phẳng để giải một số dạng toán thi HS giỏi
2.2.1 ứng dụng của vectơ trong mặt phẳng khi giải các dạng toán Hình học
a Dạng chứng minh ba điểm thằng hàng
Khi sử dụng các phương pháp phổ biến như tiên để ơclit, tổng góc bằng 18Oo, các đường đặc biệt trong tam giác đồng quy, để chứng minh ba điểm thẳng hàng HS thường gặp nhiều khó khăn vì phải vận dụng tổng hợp nhiều kiến thức hình học và đặc biệt phải vẽ thêm đường phụ Công cụ vectơ cho ta một cách tiếp cận rất đơn giản là đưa bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng vể chứng minh hai vectơ cùng phương, điều đặc biệt lời giải là các phép biến đổi vecơ nên ta chỉ cẩn dùng hình vẽ gốc và không cần vẽ thêm đường phụ, thậm chí trong một số trường hợp ta còn không cần dùng tới hình vẽ
- Phương pháp: Để chứng minh ba điểm A, B, c thẳng hàng bằng phương pháp vectơ ta có thể
sử dụng một trong hai cách sau: A, B, c thẳng hàng <=> Ãc = kBC / với ke R; A, B, c thẳng hàng <=>
Õc = mÕÃ ị nÕB ' với m + n = và 0 là điểm tùy ý-1
Thậtvậy:Ta có 0C = mÕÃ + nOB &ÕC = mÕA + (1 - m)ÕB OC-OB = m\OA - ỠB o BC = mBA o
A, B, c thẳng hàng
- Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O; r)
Các đường thẳng qua A, B, c song song với nhau cắt đường tròn
(ơ; #) lẩn lượt tại Aí, Bv C2. Chứng minh trọng tâm các tam giác
ABc' BCAV CAB' thẳng hàng
Chứng minh: Gọi Gv G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABCV BC\, CAB, ta co:
ỠG1 ==|(ƠẤ + ƠB + ƠC'1)'Ỡ^ = |(ÕB + ỠC: + ÕÃ’)'
Õ^ = |(ỠG + Õ4 + Õ^j'
+ 0C, -oc
Ta có Gfii = 0Gỵ - 0G2 =
—Tương tự ta có: Gfi3 = } -{bby+ 44 và 2?b( cùng phương => 3m e R : 44 = otBb( , CC, và
V cùng phương => 3n G B : GC\ = nAíA
Gfií = + nd = + w' GA = I(M + md =
=> GìGi = rc + l G2G => G2G, và Q Q cùng phương
m + ỉ 23
=► Các điểm Gp G2, G3 thẳng hàng
Nếu chỉ sử dụng các kĩ năng hình học thông thường thì bài toán này không hề đơn giản với HS vì hình vẽ khá phức tạp.Trong khi đó lời giải bằng phương pháp vectơ rất đơn giản và ngắn gọn, thậm chí ta không cần dùng tới hình vẽ
b Dạng toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Nhiều bài toán chứng minh vuông góc bằng phương pháp hình học tổng hợp rất phức tạp nhưng lại giải rất ngắn gọn bởi phương pháp vectơ
28
Trang 4NGHIỂN cữu Tíino ĐỔI
- Phương pháp: a ±b o AB.CD = 0/ với AB, CD lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b ở đây ta nên chọn AB, CD là các vectơ lần lượt nằm trên hai đường thẳng a và b
- Ví dụ 2: Cho tứ giác ÀBCD có các đường chéo cắt nhau tại 0. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác OAB và OCD. Chứng minh: HK1IJ Chứng minh: Ta có u = IA + AC + CJ Tj = Td+ DB^J ^^ = ^ + BD- _
Ta CÓ: 2IJ.HK =hk(ac+bd}
= [hb + bd+ dkỴãc + (ha +ac +ck^^db
- ĨĨBÃC + BDAC + DKAC + HAJJB + IcroB + CKJJB
= BDMC + ÃCĨĨB = Ac(bD +DB^ = Tc.o = 0
=> HKDIJ.
c. Dạng toán tìm tập hợp điểm
Đây là một dạng toán khó của hình học, tuy nhiên nếu giải bằng phương pháp vectơ lại rất đơn giản
- Phương pháp: Dựa trên cơ sở là các kết quả: Nếu AM = ka (với A là điểm cố định, ke R, a là vectơ
cố định) thì quỹ tích của M là đường thẳng qua A và song song với phương của a; Nếu pA/j = R (với
A là điểm cố định và R là số dương không đổi) thì quỹ tích của M là đường tròn tâm A, bán kính R; Nếu MA = \mb (với A, B là hai điểm cố định) thì quỹ tích của M là đường trung trực của đoạn thẳng
AB; Nếu Am| = Pl (với A là diêm cô định và V là vcctơ không đoi) thí quỹ tích của M là đường đường tròn tâm A, bán kính R = Pl
-V/dụSíChotứgiác ABCD. Tìmtậphợpcácđiểm M thỏa mãn hệthức: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2
với k là một số thực cho trước
Giải: Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức IA + IB + IC + ID = 6, ta có duy nhất một điểm I thoả mãn
hệ thức này và là một điểm cố định
Ta có MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2
o (mi+IAj (mi+ IB^ + (mi+ IC^2 + (mi+ id} = k2
& 4MI2 + IA2 + IB2 + IC2 + ID2 + 2M7^M + IB + ĩc + 7d} = k2
<=> 4MI2 + IA2 + IB2 + IC2 + ỈD2 = k2
k2-(lA2+ IB2 + IC2 + ID2)
& MI2 = - — - —
4
+ Nếu k2 - (ia2 +IB2 + IC2 + ID2} < ồ ok2 < IA2 + IB2 + IC2 + ID2 => không tồn tại điểm M thoả pãn bài toán
+ Nếu k2 - (/X2 + IB2 + IC2 + ro2) = 0 <^> k2 = IA2 + IB2 + IC2 + ID2 MI = 0 => M = ị
+ Nếu k2 - (lA2 + IB2 + ro2 + ro2) > 0 o k2 > IA2 + IB2 + IC2 + ro2
Jk2 — ilA2 + IB2 + ro2 + ID2}
=> MI = 1 -i
2
Tháng 02/2022 HỘI 29
Trang 5Jk2- ÍIA2 + IB2 + IC2 + ID2}
=> Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = J - - -
Ta có thể thay đổi dữ kiện của bài toán là cho tứ giác ABCD bằng một trong các cách sau: Cho bốn điểm A, B, c, D cố định; Cho hệ n điểm cố định Aư A2, A3, An
d Dạng toán chứng minh đằng thức, chứng minh tính chất hình học và tính toán
Khi gặp bài toán chứng minh các hệ thức chứa bình phương độ dài đoạn thẳng, tích độ dài các đoạn thẳng ta có thể chuyển hệ thức trên vể dạng chứa bình phương vô hướng của các vectơ hay tích độ dài vectơ tương ứng Tiếp theo vận dụng kiến thức vectơ để giải quyết bài toán
- Phươngpháp-.ĩà sử dụng các kiến thức sau để chuyển từ bài toán hình học sang bài toán vectơ:
AB2 = Ãỉr, AB.CD = |ấb|.|cp|z với A, B, c, D là các điểm bất kì; AB.CD = Zb.CD< nếu CD
là hai vectơ cùng hướng (Thật vậy: AB.CD = |ấb|.|cỡ|.cos(ấb,CdÌ = AB.CD.cosữ" = AB.CD); AB.CD = -AB.CD,
nếu AB.CD là hai vectơ ngược hướng (Thật vậy: X50 = pB|.|cz)|.cospl.B,C'£>j = 4B.C'£>.cosi800 = -AB.CD).
- Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, đặt AB = c, BC = a, CÀ = b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
Chứngminhỉ£ + ^ + Zạ = 1 ị
be ac ab Chứng minh: Vì I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC ta có:
a2.IA2 + b2.IB2 + c2.IC2 + 2abIA.IB + 2bcIB.IC + icaIC.IA = 0 (1)
Ta CÓ Ta-ĨB = Ã4 [T - zsj2 = c2 o 2ĨÃÃB = IA2 + IB2 - c2 ■
Tương tự ta có 2IBJC = IB2 + IC2 - a2 và 2ĨỠ.Ã4 = IC2 + IA2 - b2.
Ta có (1) <=> a2.IA2 + b2.IB2 + c2.IC2 + ab(lA2 + IB2 - c2) + bc(lB2 + IC2 - a2) + caịic2 + IA2 - &2) = 0 (a + b + c)(a.IA2 + b.IB2 + c.IC2) = abc(a + 6 + c)o^ + — + = 1
e Dạng toán chứng minh bất đổng thức và cực trị trong hình học
Rất nhiều bài toán cực trị hình học và bất đẳng thức hình học có thể giải trực tiếp bằng phương pháp vectơ hoặc kết hợp giữa phương pháp vectơ với các phương pháp khác Những bài toán dạng này giải bằng phương pháp vectơ thường cho lời giải ngắn gọn và rất ấn tượng
- Phương pháp: Để vận dụng được phương pháp vectơ cho dạng toán này chúng ta phải nấm được kiến thức sau: Quy tắc ba điểm và bất đẳng thức tam giác; Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản
và chú ý trường hợp dấu "="xảy ra; Các bất đẳng thức vectơ cơ bản:
+ a pl >|a.&| Đẳng thức xảy ra khi a, b cùng phương
+ a + l&l > |a + &| Đẳng thức xảy ra khi a,ĩ cùng hướng
+ PI + PI > p -K| Đâng thức xảy ra khi a,ĩ ngược hướng
+ l^l + |a21 + + pn| > p, + a2 + + an| Đẳng thức xảy ra khi tất cả các vectơ cùng hướng với nhau
- Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, đặt AB = c, BC = a, CA = b.Chứng minh với mọi điểm M ta có:
a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 > abc
02/2022 30
Trang 6-> ì
TRAO DOI
NGHICN CỨU
Chứng minh: Gọi ỉ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có: a-MA2 + b.MB2 + C.MC2
= (a + b + c) MI2 + a.IA2 + b.IB2 + c.IC2 + 2MI p.L4 + bJB + cJC j JZ'TTX \
Vi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có: c ỉ /\ \
a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 = (a + b + c).MI2 + a.IA2 + b.IB2 + c.IC2 (*) B a ""’c
Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có:
a.IA2 + b.IB2 + c.IC2 = abc ■
Do đó (*) o a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 = (a + b + cỊ.MI2 + abc
Mà (a + b + cỴMl2 > 0 => a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 > abc, dấu "="xảy ra khi MI = 0 nghĩa là M trùng với I.
2.2.2 ứng dụng của vectơ trong mặt phổng khi giải toán Đại số
a Dạng toán chứng minh bất đẳng thức đại số
Bất đẳng thức là một chủ đề rất quan trọng của toán học Để làm được các bài bất đẳng thức thì yêu cầu rất nhiều về kĩ năng biến đổi, sử dụng hợp lí các bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacôpxki, Tuy nhiên rất nhiều bài toán trong số đó có thể giải được bằng phương pháp vectơ Lời giải bằng phương pháp vectơ thường rất đơn giản và ngắn gọn
- Phương pháp: Một số kiến thức vectơ mà ta sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức là cho hai vectơ a, b ta có: a I + & > a + &I (thường được gọi là bất đấng thức tam giác), đẳng thức
xảy ra o a, b cùng hướng; Cho ba vectơ a, b, C ta có: p I + l&l + |c| > |a + b + c|, đẳng thức xảy ra o
a,b,c cùng hướng (Thật vộy:|al + l&l + |c| = ÍPI + |&|j + |c| > |a + &| + |c| > a + & + c|, đẳng thức xảy ra
{
- - - , , «s>a,/>,ccùnghướnị);ChohaĩveCtơ a,b ta CÓ: \a.b < a b
Đẳng thức xảy ra |cosp, í>j| = 1 (Thật vậy: |a.6| = ||a|.|&|.cosp = PI.I&j.ịcos^a, < |a|.|&|
Đảng thứcxảyra o |cosp, = 1 o a, b cùng phương)
- Ví dụ 6: Cho X, y, z > 0 Chưng minh bất đẳng thức sau:
yjx2 + xy + y2 + yỊy2 + yz + z2 + yjx2 + xz + z2 > 5/3 Ịz + y + 2) (1).
3
2
2
2’ 2
Ta cũng luôn có
2 V2
4
Trên hệ trục toạ độ Vxạị, xét các vectơ: a= x + ^ ,^-y :b= y + ~-,~-z\c= z + = ,^x Ta có
Tháng 02/2022 ộVhọÍ 31
Trang 7NGHlêN CỨU TRAO oổl
+> ỵ/x* 1 2 3 4 + xy + y2 + ựy2 + yz + z2 + Vz2 + xz + z2 > Vã(z + y + z), dấu "="xảy ra Ị> a, b, C cùng hướng
Tài liệu tham khảo
[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2019), Hình học 10 (nâng cao), NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội.
[2] Alêxèep M., Onhisuc V., Crugliăc M., Zabotin V, Vecxcle X (1976), Phát triển tư duy học sinh, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[3] Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, LêlẵtTốn, Đặng Quang Viên (1998), Toán bổi dưỡng học sinh (Hình học 10), NXB Hà Nội.
[4] Phạm Văn Hoàn (1969), Rèn luyện trí thông minh qua môn Toán và phát triền bói dưỡng học sinh có năng khiếu Toán ở cấp I,
NXB Giáo dục, Hà Nội.
[5] Phan Huy Khải (1998), Toán học nàng cao cho học sinh (Hình học 10), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
X = y = z.
Bài toán này có thể được giải bằng bất đẳng thức phụ, tuy nhiên lời giải theo phương pháp vectơ rất đơn giản và có cách tiếp cận là đưa biểu thức dưới các dấu căn bậc hai thành tổng hai bình phương sau đó đưa chúng thành môđun của một vectơ
b Chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác
Nhiều hệ thức lượng giác, bất đẳng thức lượng giác được chứng minh rất đơn giản bằng phương pháp vectơ
- Phương pháp: Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vetơ: "ai = |a|.|fc|.cos(a,ft) Trong đó ta chọn cặp vectơ a, b để có góc giữa chúng là góc xuất hiện trong giả thiet của bài toán Trong một
số bài toán ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi từ sina; tana; cota về cosa
để phù hợp với công thức thức tính tích vô hướng của hai vetơ ở trên
- Vỉ dụ 7: Cho tam giác ABC. Chứng minh với mọi X, y, z e R ta có: A
Chứng minh: Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC đặt các ! X
vectơ T, J* ,~k nhưhình vẽ với j ỉ I = I j I = I k I = 1 Ta có: Vi, y, z e R khi /
—»2 —*2 —.2 — —» —♦ — —♦ —.
<=> X2 i + y2 j + z2.k + 2xj/ i j + 2yz j k + 2zx k i > 0
44- X2 + y2 + z1 + 2xy cos (tt — c) + 2yz cos (tt — A ) + 2zx cos (tt — B j > 0
<+ X2 + y2 + z2 — 2xy cos c — 2yz cos A — 2zx cos B > 0
X2 + y2 + z2 > 2xy cos c + 2yz cos A + 2zx cos B (điều phải chứng minh).
Trong kết quả X2 + y2 + z2 >2rycosC + 2yzcosA + 2zxcosB: Nếu thay x = y = z ta được bài toán
3
quen thuộc sau: cos.4 + cosB + cosC <|; Đôi khi muốn tạo ra các bài toán độc đáo ta thay XA),Z
các giá trị theo một ý tưởng riêng nào đó, chẳng hạn nếu thay X = 1,1/ = 2,2 = 3 ta có bài toán sau:
6 cos ,4 + 3 cos B + 2 cos c < 7
3 Kết luận
Vectơ trong mặt phẳng là một trong những chủ đề trọng tâm khi dạy học môn Toán ở trường THPT, việc giúp HS chỉ ra được những ứng dụng của vectơ khi giải các dạng toán là cực kì quan trọng, đặc biệt khi dạy cho HS giỏi
Bài viết trình bày cơ sở lí thuyết của vectơ trong mặt phẳng được nêu ở trường phổ thông, từ
đó đưa ra 6 dạng toán ứng dụng vectơ để giải Với mỗi dạng toán, bài viết nêu lên được nội dung, phương pháp giải tương ứng, kèm các ví dụ minh họa chi tiết Nếu HS ứng dụng được vectơ để giải các dạng toán có hiệu quả thì chất lượng dạy học môn Toán ở phổ thông nói chung, ở trường THPT
và công tác bồi dưỡng HS giỏi nói riêng sẽ đạt hiệu quả cao
32