cac bai tap ve BDT cuc tri on thi vao 10

Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng.

VẤN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC

Bài 1: ∀ x, y, z chứng minh rằng : a) x2 + y2 + z2 ≥ xy+ yz + zx , b) x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz

c) x2 + y2 + z2+3 ≥ 2 (x + y + z)

Giải:a) Ta xét hiệu x2 + y2 + z2- xy – yz – zx =

2

1

.2 ( x2 + y2 + z2- xy – yz – zx)

=

2

1 [(x−y)2 +(x−z)2 +(y−z)2]≥0đúng với mọi x;y;z∈RVì (x-y)2 ≥0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 ≥0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z, (y-z)2 ≥0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Vậy x2 + y2 + z2 ≥ xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệux2 + y2 + z2- ( 2xy – 2xz +2yz )= x2 + y2 + z2- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)2 ≥0 đúng với mọi x;y;z∈RVậy x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z∈R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

c) Xét hiệu x2 + y2 + z2+3 – 2( x+ y +z ) = x2- 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2-2z +1

= (x-1)2+ (y-1) 2+(z-1)2≥ 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1

Bài 2: chứng minh rằng : a)

2 2

2

2









 +

≥

a

b)

2 2

2 2

3









≥ +

a

Giảia) Ta xét hiệu

2 2

2

2









 +

−

a

= ( )

4

2 4

2a2 +b2 −a2 + ab+b2

= (2a 2b a b 2ab) 4

1 2 + 2 − 2 − 2 −

4

1 a−b 2 ≥ Vậy

2 2

2

2









 +

≥

a

Dấu bằng xảy ra khi a=b

b)Ta xét hiệu

2 2

2 2

3









− +

a

= [ ( ) ( ) ( ) ] 0 9

1 a−b 2 + b−c 2 + c−a 2 ≥

Vậy

2 2

2 2

3









≥ +

a

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c

Bài 3: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng

a) a +b ≥ab

4

2

2 b)a2 +b2 +1≥ab+a+b c)a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e)

Giải:a) a +b ≥ab

4

2

2 ⇔4a2 +b2 ≥4ab ⇔4a2 −4a+b2 ≥0 ⇔(2a−b)2 ≥0(bất đẳng thức này luôn đúng) Vậya +b ≥ab

4

2

2 (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)

b) a2 +b2 +1≥ab+a+b⇔2(a2 +b2 +1 )>2(ab+a+b)⇔a2 −2ab+b2 +a2 −2a+1+b2 −2b+1≥0

0 ) 1 ( ) 1 ( )

( − 2 + − 2 + − 2 ≥

⇔ a b a b Bất đẳng thức cuối đúng.Vậy a2 +b2 +1≥ab+a+b

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

c) a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e)⇔ 4( a2 +b2 +c2 +d2 +e2 )≥4a(b+c+d +e)

⇔ (a2 −4ab+4b2) (+ a2 −4ac+4c2) (+ a2 −4ad+4d2) (+ a2 −4ac+4c2)≥0

⇔ (a−2b) (2 + a−2c) (2 + a−2d) (2 + a−2c)2 ≥0Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 4: Chứng minh rằng: (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4)

Giải:

(a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4) ⇔ a12 +a10b2 +a2b10+b12 ≥a12 +a8b4 +a4b8 +b12

⇔ a8b2(a2 −b2)+a2b8(b2 −a2)≥0⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6)≥ 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) ≥ 0

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chuyên đề 6) Bài 5: Cho x.y =1 và x.y Chứng minh

y x

y x

−

+ 2

2

≥2 2

Giải:

y

x

y

x

−

+ 2

2

≥2 2 vì :x〉y nên x- y 〉 0 ⇒x2+y2≥ 2 2( x-y)

⇒ x2+y2- 2 2 x+2 2y ≥0⇔ x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 ≥0

⇔ x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

⇒(x-y- 2)2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

• Sử dụng một số bất đẳng thức cổ điển thông dụng:

a) x2 +y2 ≥2xy b) x2 +y2 ≥ xy

dấu( = ) khi x = y = 0 c) (x+ y)2 ≥ 4xy d) + ≥ 2

a

b b a

2)Bất đẳng thức Cauchy (Cosi): n

n

n a a a a n

a a

a a

3 2 1 3

2

1 + + + + ≥ Với a i >0

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS) ( ) ( ) ( )2

2 2 1 1 2 2

2

2 1 2 2

2

2

2 a a n x x n a x a x a n x n

4) Bất đẳng thức Trê- Bư-Sép:

Nếu







≤

≤

≤

≤

C B A

c b a

⇒

3

3 3

C B A c b a cC bB

Nếu







≥

≥

≤

≤

C B A

c b a

⇒

3

3 3

C B A c b a cC bB

Dấu bằng xảy ra khi







=

=

=

=

C B A

c b a

Bài 6: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: (x+ y)2 ≥ 4xy

Tacó (a+b)2 ≥4ab; (b+c)2 ≥4bc ; (c+a)2 ≥4ac

⇒(a+b)2 (b+c)2 (c+a)2 ≥64a2b2c2 =(8abc)2 ⇒(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Vậya2 +b2 +c2 +d2 +a(b+c) (+b c+d) (+d c+a)≥10

Bài 7: Cho a>b>c>0 và a2 +b2 +c2 =1chứng minh rằng 3 3 3 1

2

b c a c a b+ + ≥

Giải: Do a,b,c đối xứng ,giả sử a≥b≥c ⇒









+

≥ +

≥ +

≥

≥

b a

c c a

b c b

2 2 2

áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có











+

+ +

+ +

+ +

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

2 2 2 2

2 2

=

2

3 3

1

=

2 1

Vậy

2

1

3 3

3

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

a

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

3 1

Bài 8: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1.Chứng minh rằng : a2 +b2 +c2 +d2 +a(b+c) (+b c+d) (+d c+a)≥10

Giải:Ta có a2 +b2 ≥2ab , c2 +d2 ≥2cdDo abcd =1 nên cd =

ab

1

Ta có 2 + 2 + 2 ≥2( + )=2( + 1 )≥4

ab ab cd

ab c

b

a (1)

Mặt khác: a(b+c) (+b c+d) (+d c+a) = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

= 1 1 1 ≥2+2+2









 + +











 + +











bc

bc ac

ac ab

Bài 9: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: (a+c)2 +(b+d)2 ≤ a2 +b2 + c2 +d2

Giải:Ta có: ( ) (2 )2 2 2 ( ) 2 2

2 ac bd c d b

a d b c

a+ + + = + + + + + ≤(a2 +b2)+2 a2 +b2 c2 +d2 +c2 +d2 Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Tacó ac+bd≤ a2 +b2 c2 +d2

⇒ (a+c)2 +(b+d)2 ≤ a2 +b2 + c2 +d2

Bài 10: Chứng minh rằng a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ac

Giải:Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có:

(12 +12 +12)(a2 +b2 +c2)≥(1.a+1.b+1.c)2

⇒ 3(a2 +b2 +c2)≥a2 +b2 +c2 +2(ab+bc+ac) ⇒ a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ac

Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Bài 11: Cho a,b,c,d > 0 Chứng minh rằng 1 <2

+ +

+ + +

+ + +

+ + +

<

b a d

d a

d c

c d

c b

b c

b a a

Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

d c b a

d a c

b a

a c

b a

a

+ + +

+

<

+ +

⇒

<

+

Mặt khác :

d c b a

a c

b a

a

+ + +

>

+ + (2) Từ (1) và (2) ta có a b c d

a

+ + + < a b c

a

+

d a

+ + +

+

(3) Tương tự ta có

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

b

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

c b a

d c

c d

c b a

c

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

d c b a

c d b

a d

d d

c b

a

d

+ + +

+

<

+ +

<

+ + + (6) cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có

1 <2

+ +

+ + +

+ + +

+ + +

<

b a d

d a

d c

c d

c b

b c

b a

a

điều phải chứng minh

Bài 11: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng

a, a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

Giảia)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có









+

<

<

+

<

<

+

<

<

b a c

c a b

c b a

0 0

0

⇒











+

<

+

<

+

<

) (

) (

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) Đcm

b) Ta có a > b-c  ⇒a2 >a2 −(b−c)2> 0 b > a-c  ⇒ b2 >b2−(c−a)2> 0

c > a-b  ⇒ c2 >c2−(a−b)2 >0

Nhân vế các bất đẳng thức ta được

(a b c) (b c a) (c a b)

abc

b a c a c b c b a c b a

b a c a c b c b a c b a

− +

− +

− +

>

⇒

− +

− +

− +

>

⇒

−

−

−

−

−

−

>

⇒

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

Bài 12: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng

2

3

≥ +

+ +

+

c a c

b c b

a

(1) Giải :Đặt x = b+c ; y = c+a ;z = a+b ta có a =

2

x z

y+ −

; b =

2

y x

z+ −

; c =

2

z y

x+ −

ta có (1) ⇔

z

z y x y

y x z x

x z y

2 2

2

− + +

− + +

− +

2

3

≥

⇔ + −1+ + −1+ + −1≥3

z

y z

x y

z y

x x

z x

y

⇔( + )+( + )+( + )≥6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥2;

y

x x

y

+ ≥2

z

x x

z

; + ≥2

z

y y z

nên ta có điều phải chứng minh

Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chuyên đề 6) Bài 13: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1 Chứng minh rằng: 9

2

1 2

1 2

1

2 2

+

+ +

+

Giải:Đặt x = a2 +2bc ; y = b2+2ac ; z = c2 +2ab

Ta có x+y+z=(a+b+c)2 <1 (1) ⇔ 1+ 1+1≥9

z y

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có x+y+z≥3.3 xyz , + + ≥

z y x

1 1 1

3 .3 1

xyz

⇒ ( ) 1 1 1 ≥9







+ +

z y x z y

x Mà x+y+z < 1 Vậy 1+1+1 ≥9

z y

x (đpcm)

Bài 14: Cho x > y và xy =1 Chứng minh rằng ( )

( )2 8

2 2 2

≥

−

+

y x

y x

Giải :Ta có x2+y2 =(x−y)2+2xy=(x−y)2+2 (vì xy = 1)⇒ (x2+y2)2 =(x−y)4+4.(x−y)2+4

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với (x−y)4+4(x−y)2+4≥8.(x−y)2

⇔ (x−y)4−4(x−y)2+4≥0 ⇔ [ (x−y)2−2]2 ≥0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Bài 15: Cho xy ≥ 1 Chứng minh rằng +x + +y ≥1+xy

2 1

1 1

1

2 2

Giải :Ta có

xy y

2 1

1 1

1

2

1

1 1

1 1

1 1

1

2 2









+

− +

+









+

−

⇔ (1 ).(1 ) (1 2).(1 ) 0

2 2

2

≥ + +

− +

+ +

−

xy y

y xy xy

x

x xy

⇔ ( ) ( ) (1 ).(1 ) 0

) ( 1

1

) (

2

+ +

− +

+ +

−

xy y

y x y xy

x

x y x

⇔ ( ) ( )

(1 )(.1 ).(1 ) 0

1

2 2

2

≥ + +

+

−

−

xy y

x

xy x y

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 16: a Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng

3

1

2 2

2+b +c ≥

a

b Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng ( ) 1 1 1≥9









+ +

c b a c b

Giải : a áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)

Ta có (1.a+1.b+1.c) (2 ≤ 1+1+1).(a2 +b2+c2) ⇔ (a+b+c)2 ≤3.(a2+b2+c2)

⇔

3

1

2 2

2+b +c ≥

a (vì a+b+c =1 ) (đpcm)

b ( ) 1 1 1≥9









+

+

c b a c

b

a

c a

c c

b a

b c

a b









 + +











 + +











 + +

b

c c

b a

c c

a a

b b a

áp dụng BĐT phụ + ≥2

x

y y

x

Với x,y > 0 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng Vậy ( ) 1 1 1≥9









+ +

c b a c b

Bài 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|

Giải : Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| ≥ |x-1+4-x| = 3 (1)

Và x− + − = − + − ≥ − + − =2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x 1 (2)

Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| ≥ 1+3 = 4

Ta có từ (1) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ ≤x 4

(2) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 2≤ ≤x 3

Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 ≤ ≤x 3

Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1 Giải : Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có x+ y + z ≥3 xyz3 3 1 1

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có (x y+ ) ( y z+ ) ( z x+ ≥) 33(x y+ ) ( y z+ ) ( x z+ ) ⇒ ≥2 33(x y+ ) ( y z+ ) ( z x+ ) Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

3

Vậy S ≤ 8 1 8

27 27 = 729 Vậy S có giá trị lớn nhất là 8

729 khi x=y=z=1

3

Bài 19:Cho xy+yz+zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của x4+y4+z4

Giải : áp dụng BĐTBunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)

Ta có( )2 ( 2 2 2)2

xy yz zx+ + ≤ x +y +z ( 2 2 2)2

Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho (x y z2, 2, 2) và (1,1,1)

Ta có (x2+y2 +z2 2) ≤(12+ +12 1 )(2 x4+y4+z4)→(x2+y2+z2 2) ≤3(x4+y4+z4)

Từ (1) và (2) ⇒ ≤1 3(x4+y4+z4) 4 4 4 1

3

Vậy x4+y4+z4 có giá trị nhỏ nhất là 1

3 khi x=y=z= 3

3

±

Bài 20: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn x2+y2+ ≤z2 xy+3y+2z−3

Giải : Vì x,y,z là các số nguyên nên: x2+y2+ ≤z2 xy+3y+2z−3

2 2 ( )2

Mà 2 2 ( )2

0

2

1

1 0

y x

x y

y z z

 − =



=









Các số x,y,z phải tìm là

1 2 1

x y z

=



 =



 =



II-CÁC BÀI VỀ BĐT- CỰC TRỊ BIỂU THỨC ( MỨC ĐỘ, YÊU CẦU, BIỂU ĐIỂM ) THI VÀO LỚP 10 : 2012-2013

Câu 5 (1,0 điểm).Hải Dương 2011Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3

2

x− yz ≥ ⇔0 x +yz 2x yz≥ (*) Dấu “=” khi x2 = yz

x 3x yz x ( x y z )

Ơn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chuyên đề 6)

y 3y zx ≤ x y z

z 3z xy ≤ x y z

Từ (1), (2), (3) ta cĩ x+ 3x yzx + +y+ 3y zxy + +z+ 3z xyz + ≤1Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1

Câu 5(1,0 điểm): HDương 2- 2012

Khơng dùng máy tính cầm tay, tìm số nguyên lớn nhất khơng vượt quá S, trong đĩ ( )6

2 3

= +

Khơng dùng máy tính cầm tay, tìm số nguyên lớn nhất khơng vượt quá S, trong đĩ ( )6

S= 2+ 3

Đặt x1= +2 3;x2= −2 3 thì x x1; 2là 2 nghiệm của phương trình x2−4x+ =1 0

1 4 1 1 0 1n 4 n 1 n1 0( )

x − x + = ⇒ x + − x+ +x = ∀ ∈n N

Tương tự cĩ x1n+2−4x n+11+x n1= ∀ ∈0( n N)

Do đĩ S n+2−4S n+1+ = ∀ ∈S n 0( n N) Trong đĩ 1k 2k( )

k

S =x +x ∀ ∈k N

Cĩ S1= +x x1 2=4;S2=(x x1+ 2)2−2x x1 2=16 2 14− =

Từ đĩ S3=4S S2− =1 52;S4=4S S3− =2 194;S5=724;S6=2702

Vì 0<2− 3 1< nên 0<(2− 3)6<1 hay

( )6 2702

2701<S= 2+ 3 < Vậy số nguyên phải tìm là 2701

Bài 5: (1,0 điểm) ĐăkLăk2011

( )

2 2

2

= − + − ÷  + − ÷÷ − ≥ − ∀ ∈¡

Cho lµ ba sè thùc tuú ý Chøng minh:

Ta cã:

Câu 5 ( 1điểm) Hà Tĩnh 2011 Cho các số a, b, c đều lớn hơn 25

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q

− − − .Do a, b, c >

25

4 (*) nên suy ra: 2 a − >5 0, 2 b− >5 0, 2 c− >5 0

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho 2 số dương, ta cĩ: 2 5 2

a

b

− (3)Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta cĩ: Q ≥ 5.3 15 =

Dấu “=” xẩy ra ⇔ = = = a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 ⇔ = = = a b c 25

x

∙ Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 2x 20112

x

− + (với x 0≠ )

* Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8)

( )  

 ữ

 

2

2 2

2

2 2

A = vụựi x 0 = 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (vụựi t = 0)

x

2011 2011 2011

= 2011 t daỏu"=" t = x 2011 ; thoừa x

* Vaọy MinA =2010 x = 2011

2011⇔

* Caựch 2: (Duứng kieỏn thửực ủaùi soỏ 9)

2

2

x 2x 2011

A = vụựi x 0

x

A.x x 2x 2011 A 1 x 2x 2011 0 * coi ủaõy laứphửụng trỡnh aồn x

2011 Tửứ (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1)

2

Neỏu A 1 0 thỡ (*) luoõ− ≠ n laứ phửụng trỡnh baọc hai ủoỏi vụựi aồn x

x toàn taùi khi phửụng trỡnh (*) coự nghieọm

−

/

/

2

0 1 2011 A 1 0

A daỏu "=" (*) coự nghieọm keựp x = 2010 2011 ; thoừa x 0 (2)

2011

So saựnh (1) vaứ (2) thỡ 1 khoõng phaỷi laứ giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa A maứ:

2010

MinA = x = 2011

2011⇔

Bài 5 : ( 1 điểm ) Thanh Húa-2011

Cho các số dơng x, y , z Chứng minh bất đẳng thức :

2

>

+

+ +

+

z z

x

y z

y

x

Áp dụng BĐT Cosi ta có :

z y x

x z

y

x x

z y x x

z y

x

z

y

+ +

≥ +

= >

+ +

= +

+

≤

2 2

1 1

z y x

y z

x

y y

z y x y

z x

y

z

x

+ +

≥ +

= >

+ +

= +

+

≤

2 2

1 1

z y x

z x

y

z z

z y x z

x y

z

x

y

+ +

≥ +

= >

+ +

= +

+

≤

2 2

1 1

+ +

+ +

≥ +

+ +

+

z y x x y

z z

x

y z

y

x

dấu bằng xảy ra y+ z = x

x+ z = y  x + y + z = 0

Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chuyên đề 6)

y+ x = z V× x, y ,z > 0 nªn x + y + z > 0 vËy dÊu b»ng kh«ng thÓ x¶y ra

+

+ +

+

z z

x

y z

y

x

víi mäi x, y , z > 0 ( §pcm )

C©u 5: (0,5 ®iÓm) Bắc Giang 2011

Cho hai sè thùc d¬ng x, y tho¶ m·n:

x +y − xy x +y + x y x y+ − x y = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = x + y

Câu 5:

§Æt a = x+y = M; b = xy; a2≥4b Tõ gi¶ thiÕt cã:

a − ab− a b+ b + ab − b = ( 2 )( 2 2 2 3 ) 0 2 2 2

=





+) NÕu a =2b

Th×: x+y = 2xy Mµ (x+y)2 4xy≥ nªn (x+y)2 2(≥ x y+ ) ⇒M = + ≥x y 2;" "= khi x: = =y 1 (*) +) NÕu 2 2

a −ab+ b − b= a2−ab+2b2−3b= ⇔0 2b2− +(a 3)b a+ 2 =0(1) Gi¶ sö ∆ =(1) cã nghiÖm b tho¶ m·n b 2

4

a

≤ th× b= 3 2

a+ ≤ a

( 3) 8 0 ( 3 2 2)( 3 2 2) 0

2 2 1

−

VËy a 1≥ + 7 (**)

Tõ (*) vµ (**) suy ra a = M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi x = y =1

Bài V (0,5 điểm) Hà Nội 2011.Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1

4x

Bài 5:

Cách 1: 4 2 3 1 2011 4 2 4 1 1 2010 (2 1)2 ( 1 ) 2010

Vì (2x−1)2 ≥0 và x > 0 1 0

4x

⇒ > , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x + 1

4x

x x

(2 1) ( ) 2010

4

x

− + + + ≥ 0 + 1 + 2010 = 2011

 M ≥ 2011 ; Dấu “=” xảy ra  2

1 2 1

0

2 0

x x

x

x

x x

x x

 =





− =





>



⇔ x = 1

2

Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = 1

2

2 2 2

2 2

Áp dụng cô si cho ba số

x x

x

8

1 , 8

1 , 2

ta có 4

3 8

1 8

1 3 8

1

8

1

3 2

x x

x x

x

2

1≥









 −x Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2

4

1 4

3

0 + + + =

≥

M

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi M = 1

2

Nam Định 2011 ( 0,5đ)Chứng minh rằng : Với mọi 2 12 3 13

1) Chứng minh rằng : Với mọi 2 12 3 13

2 2

+ = + = − , ta có (2) ⇔ 2t2 − − > ⇔ − 3t 2 0 ( t 2 2t 1 ) ( + > ) 0 (3)

x