Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)

Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)

LOI CAM ON

Bản khoá luận này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng

dẫn của thây Nguyễn Văn Hùng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc để em có thể hoàn thành khoá luận này

Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khoá luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô Qua đây cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Giải tích, khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên

Bùi Thị Thanh

1.1 Không gl1an rmmetriC - - - - 3111111231311 HH HT kn 4 1.2 TôPô trong không g1an Ime€tTIC - 5 5 555 3 33353 7

1.4 Không gian metric đầy đủ 2 se sex cxererkrxrrerererrree 8 1.5 Tap hop compact va bi ChAN .ccesccseccessssnscecesssesteecessssssneeeessssenees 9 1.6 Không gian định chuẩn không gian Banach 5 2s +: 9

y0 010 12

1.8 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều: 2-22 sezscsee: 16

CHƯƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIÊM BẤT ĐỘNG .- 17

2.1 Nguyên lý ánh xa co banach . - - «s5 s21 5e ree 17

2.2 Định lý điểm bất động BrOuW€T 22 sex reertvkcrerxrxee 23

2.3 Định lý điểm bất động Schauder - sscccs xxx ssssssrre 26

CHUONG 3: MOT SO AP DUNG CUA DINH LY DIEM BAT DONG 32

3.1 Áp dụng vào phương trình vi phân thường - - 2 2s se: 32 3.2 Áp dụng vào phương trình tích phân 2 sec sex cxcxee 39

KẾT LUẬN .-. -2: ©2222 2122223221112 crrred 42 IV.100I2009:/1,0.9:7 600 43

Việc giải quyết bài toán trên dẫn đến sự ra đời của một hướng nghiên cứu trong toán học, đó là lí thuyết chiến bất động của ánh xạ

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của

tích hàm phi tuyến Ngay từ đầu thế kỷ 20, các nhà toán học trên thế giới quan

tâm về vấn đề nảy và cho tới nay, có thể khăng định răng, lý thuyết điểm bắt động đã được phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu được để giải quyết nhiều bài toán khác nhau do thực tế đề ra Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuôi của các nhà toán học lớn trên thế giới nhu: Banach, Brouwer, Schauder, conebel,

Nhung kết quả kinh điển và đầu tiên của lý thuyết về điểm bất động như: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder đã được áp dụng vào ngành toán học hiện đại như: phương trình vi phân, giải tích hàm, giải tích đại số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số định lý điểm bắt động trong không gian Banach và không gian định chuẩn hữu hạn chiêu

Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải bài tập về phương trình tích phân và phương trình vi phân thường

4 Câu trúc của khoá luận

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của khoá luận gồm 3 chương

Chương 1: Nêu một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3

Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động

PHAN 2: NOI DUNG CHINH Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này có mục đích xác định một số kí hiệu, nhắc lại một số lý thuyết của giải tích hàm về một số không gian, tập hợp được sử dụng các chương sau

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1

Ta gọi là một không gian metric một tập hợp XZ Ò cùng với một ánh xạ

d từ tích Descartes X x X vào tập số thực [R thỏa mãn các điều kiện sau:

1) (Vx, ye X)d(x, y) > 0,d (x, y) =0<>x= y (tiên đề đồng nhất)

11) (Vx, yeX )d (x, y) =d ( y, x) (tiên đề đối xứng)

iii) (Vx, y,z € X )d(x,y)<d(x,z)+d(z,y) (tién dé tam giác)

Ánh xạ d được gợi là metric trên X, số d(x,y) được gọi là khoảng cách giữa các phân tử x và y, các phân tử của X gọi là các điểm

Kí hiệu không gian metric 1a cap : (X,d)

Vi du 1.1.1:

Không gian vécto thuc n chiều R" gém các véc tơ dạng

x=(1,3;, 1,)@¡ elÑ) với khoảng cách đ(x,y)=,Í(x,— y,)} là không

d(x,y) = 0 <> (xr yi’ = 0 tuong duong x; = yi, (V i= Ln ), (y =Ơ¡)

tương đương x = y (tiên đề (¡) được thỏa mãn)

Sinh viên Bùi Thị Thanh —- K32E khoa Toán 5

ii) Vx, y ER"

Dy _y} = Dy, —*, ỷ

suy ra d(x,y) =d(y,x)

(Tiên đề 1i được thỏa mãn)

BunhlacôpxkI1 Suy ra (1) dung

vay d(x,y)<d(x,z)+d(z,y) (Tién dé iii) được thỏa mãn)

Yia’,>b’, luôn đúng theo bất đăng thức ae

Vậy (IR", đ ) là không gian metric

Diém #ạ còn gọi là giới hạn day (x, ) trong khong gian M

1.2.T6 P6 trong khéng gian metric

Dinh nghia 1.2 1:

Cho không gian metric M = (X, d), a e X, số thực r>0 Ta gọi

Tap S(a, r) = {x € X; d(x, a) <r} la hinh cầu mở tâm a, bán kính r

Tập S'(a,r) = {x E X;d(x,a) < r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính r

Định nghĩa 1.2.2:

Cho khong gian metric M = (X ,d ) và tập Ac X Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu điểm thuộc A là điểm trong của A hay nói cách khác, nếu điểm xe A, thì tôn tại một lân cận của x bao hàm trong A

Tập A gọi là tập đóng trong không gian M nếu mọi điểm không thuộc

A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm xe A thì tồn tại một lân cận của điểm x không chứa điểm nào thuộc tập A

Qui ước: ý,X đều là tập đóng

Định lý 1.2.1:

Cho không gian ă =(X,d), tap Ac X và A+z Tập A đóng trong

không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm (z,)C A hội tụ tới điểm x thì

x4

Định lý 1.2.2

Trong không gian metric (X a ) , hình cầu đóng là một tậo hợp đóng

Định lý 1.2.3: Cho (X Jd ) là một không gian metric thi:

1) A, dong trong X,ael thi [) A, dong trong X

ael

2) A, A,, A, dong trong X thi UA đóng trong X

i=l

1.3 Anh xa lién tuc

Cho 2 không gian metric Mĩ; = (X, d;), M2 = (Y, d2) , anh xa f từ không gian M, lén khong gian M,

Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ f gọi là liên tục tại xạceX, nếu

Vé>0,546>0 sao cho Vxe X :d,(x,%,) <6 thi d,( f(x) f (%)) <é

Định nghĩa 1.3.2: Ánh xạ f gọi là liên tục trên A — X, nếu ánh xạ f liên tục tại mọi điểm thuộc tập A, khi A=X thì ánh xạ f gọi là liên tục

Định nghĩa 1.3.3: Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập AcX

nếu: Ve>0,3ổ >0 sao cho Vx,x'€ A:d,(x,x')< O thi d,( f (x), f (x')) <é

1.4 Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.4.1: Cho khong gian metric M =(X,d) Dãy điểm

(x, ) CX gọi là dãy cơ bản trong M nếu

(Ve> 0)(an, = N*)(Vm,n > ny) thi d(x,,,%,)<é

Định nghĩa 1.4.2: Không gian Metric M =(X,đ) gọi là không gian đầy đủ

nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ

1.5 Tap hop compact va bi chan

Định nghĩa 1.5.1: Tập hợp K trong không gian metric X goi 14 compat néu mọi dãy điểm { x, } trong K đều có một day con {x„ } hội tụ đến một điểm thuộc K

Định lý 1.5.1.(Định lý về ánh xạ liên tục trên compact)

Cho 2 không gian metric M, =(X,d,),M,(X.d,) và ánh xạ f ánh xạ

M, vào M; Nếu ánh xạ f lién tuc trén tap compact K CX thi

1.f liên tục đều trên K

2 f(K) là tập compact trong không gian M,

Từ định nghĩa ta có điều sau:

a) Để tập A là bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hình cầu S(xạ,)

chứa A

b) Hợp của một số hữu hạn những tập hợp bị chặn và một tập hợp bị chặn 1.6 Không gian định chuẩn không gian Banach

Định nghĩa 1.6.1

Giả sử K là một trường số thực IR hoặc trường số phức C Tập hợp

X #ó cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân vô hướng)

Phép cộng xác định trên X x X và lẫy giá trị trong X:

(xy)>x+ y; x,yex Phép nhân vô hướng xác định trên K x X va lấy giá trị trong X:

(A, x) Ax; A EK, x EX Coi là một không gian tuyến tính (hoặc không gian vectơ) nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn

1) X cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là:

a, x+y=y+x,Vx,ycX

b,(x+y)+z=x+(y+z);Vx,y,zc X

c,Tôn tại một phần tử Ð của X sao cho: x + =x, WeX

d,Với mỗi xe X, tồn tại phần tử (-x) của X sao cho x+ (-x) =0

IÑ, thường kí hiệu là l|.|Í đọc là chuẩn, thỏa mãn các điều kiện:

Với VxeX, ta có II xIl>0 và lIxll=0<©©x=Ø (kí hiệu phần tử không là Ø)

i)Với VxeX và với VÄ eR, ta có: |Ax||=|^|Ìx

iii) Với Vx, ye X,ta có: |x+ y||<||x||+ | x|

sô lÌ x lÍ gọi là chuân của phân tu x

Định lý 1.6.1: Cho không gian định chuẩn X Đối với 2 vecto bat kì u,v e X

(2) d(u.v) =|pe-v|=|(-1)(v—u)|=|-1llv -u|= |v - ul] = d(v,u) (Vu, eX)

(3) (Vu,v,w € X); d(u,w) = lu — w| = |(u —v) + (v — w)| < Ìu -y| + lv — w|

= d(u,v)+d(v,w) Nhờ định lý 1.6.1, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric (1.6.1) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6.3: Dãy điểm (w„) trong không gian định chuẩn X gọi là một dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu:

(Vz> 0) ( hạ eÑ) (Vm,n >nạ) llw„ — „|| < 8

Hay là:

lim |lu,, —u,||=0

Định nghĩa 1.6.4: Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

Nhận xét 1.6.4:

*Trong kh6ng gian Banach, mot day 1a hdi tụ nếu nó là dãy Cauchy

*Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy

* Toán tử A:⁄ c X —->Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy

(u, ) <M,n=1,2, sao cho:

limu, =u voiueM

n—-0o

Suy ra: lim Au, = Au

no

* Toan tu A goi la lién tuc néu Vu,yveM va moi £ >0 cho trước, có một sô

6 >0, sao cho ||u —v||< ổ thì |Au — Av||< e hoặc với

Vu c M ,lun Áy = Áu

Hơn nữa, có thể chọn số ở >0 trong trường hợp này sao cho kết quả không phụ thuộc vào điểm uc Ä⁄4 thì khi đó toán tử A được gọI là liên tục đều trên M

1.7 Tính lôi

1.7.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.7.1:

Giả sử X là một không gian tuyến tính, ÍR là tập các số thực Tập

Acx được gọi là lồi nếu:

t%ụ, x¿ 6A, VÀ 6Â: 0 <24<l D>Ax, + (1—-A)n EA

Ví dụ 1.7.1: Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lỗi

Lẫy x,x; 6A khidé x,x,¢A,(Vael)

Với Vœe1, do A_ là lồi nên:

Ax, + (1 —A)x2 € Ag (Va €1)

=> Ax,+(1-A)x, EA

Mệnh đề 1.7.2: Giả sử tập A, X, Â; e lÑ (¡= 1, 2, , m) Khi đó:

4A +^A, + + ,„A.„ là tập lồi

Mệnh đề 1.7.3: Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, 7: X —>Y là toán

tử tuyến tính, khi đó

a) AcX lỗi suy ra 7(A) lỗi

b) BCY lỗi suy ra nghịch ảnh 7 '(B) của ảnh B là tập lôi

Định nghĩa 1.7.2

Véctơ xe X được gọi là tô hợp lỗi của vectơ x,x,, x„cX Nếu tồn

tại 4, >0(¡ =1, 2, m) dA, =1 sao cho x= y Ax,

Dinh ly 1.7.1: Gia st Ac X lôi, *¡.X; ,%„€ A.Khi đó A chứa tắt cả các tô

hợp lỗi của x;,x; x,

1.7.2 Bao lồi và bao đóng

Định nghĩa 1.7.3: Giả sử tập A — X, giao của tất cả các tô hợp chứa A được gọi là bao lồi của tap A va kí hiệu là CoA

spanM: không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M

1.7.3.Lién tuc trén tap compact

Mệnh đề 1.7.3: Cho M —› [R là một hàm liên tục trên tập compact khác

rỗng M của không gian định chuẩn X Khi đó f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên M

Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng

trường K, và cho A:AX->Y là toán tử tuyến tính liên tục trên tập

compact khác rỗng M của X, khi đó A là liên tục đều trên M

Định nghĩa 1.7.6 (Toán tử compact) Cho X,Y là các không gian định chuẩn trên trường K Toán tử A:M c X —>Y được gọi là compact nếu:

()A liên tục

(ii)A biến các tập bị chặn thành các tập compact tương đối Hay là nếu

(u, ),n=1,2, 1a day bi chan trong M thi c6 mét day con (u,.),n'=1,2, cua

(u, ) sao cho day (Au,.) hdi ty trong Y

Ví dụ 1.7.5 Xét toán tử tích phân

Aw(x)= [`F(x.y,w(y))4»,vx e[a,b]

0 <a<b<o Dat:

QO = {(x, y,u) e ` :x, y e la, b], lu| <r, r > 0}, r: cổ định

Giả sử rằng, ham s6 F: QR lién tục Tập X =C[ø,b] và

|F(x y,u)-F(z,y,v) <£ (1.7.5)

V6i V(x, y, w), (z, y, v) e Q với |x— z|+|wT— v|< ổ

+) Trước hết, ta có toán tử A: 4 —> X là liên tục

T.V: Nếu „e1 thì hàm số w : /z,bJ — Ñ: liên tục và |⁄(y)|<rvy e[a,b]

Suy raham Au: [a,b] > R lién tuc Cho u,veM Khi đó

u(y)-v(y)|<6

lu — v|| = max q<x<b

Chứng tỏ

|| Au — Av] = max

aSxSb [ LF (%».u(y))- F(x,y,v(y))ay] <(b-a)e

Suy ra A:M > X lién tục

+) Chứng minh A compact Tức là giả sử M bị chặn ta phải chứng minh A(M) là tập compact tương đối

Ta thấy, các giả thiết của định lý Arzela-Ascoli thỏa mãn tức là

Al|=ma aSx<b [ˆƑ(x.».(y))» <(b—a)M

*) Chứng minh (2), cho |x— z|< ổ và x,z [a,b] Khi do theo (1.7.5) ta cd:

|( Au)(x) -(Au)(2)|s [F(x y.u(y)) -F (z.y.u(y)) ay

Mệnh đề 1.7.5 (Định lý xấp xỉ đối với các toán tử compact)

Cho A:M cX >Y là một toán tử compact, ở đầy X, Y là các không gian

Banach trên trường k, và M là tập con bị chặn, khác rỗng của X Khi đó, với

mọi + = ],2, ,, có một day toan tu lién tue A,:M —>Ÿ sao cho

1 Sup||Au —A,u||S— va dim (Span A,(M)) <œo

Cho X là không gian định chuẩn N- Chiều trên trường K,N=1,2, ,m

Một cơ sở {s,, y„} của X ta hiểu là tập hợp các phần tử ¢,, e, cla X sao

cho Vue X đều có thể biểu diễn được dưới dạng

2) M là compact nếu và chỉ nếu nó bị chặn và đóng

Mệnh đề 1.8.2:

Cho M là tập con khác rỗng, lồi và bị chặn, đóng của không gian định

chuẩn X, ở đây M có một điểm trong, khi đó M đồng phôi với hình cầu

B={ueX ul] <1}

Ménh dé 1.8.3

Cho M là tập khác rỗng, lồi, compact của không gian định chuẩn hữu

hạn chiều X Khi đó, M đồng phôi với các N- đơn hình và trong X, N = 1,2 (N - đơn hình trong X được định nghĩa ở chương sau)

CHƯƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BÁT ĐỘNG

2.1 Nguyên lý ánh xạ co banach

Định nghĩa 2.1.1 (định nghĩa ánh xa co)

Giả sử X và Y là hai không glan metric tùy ý, ánh xạ ý: X —->Ÿ được gọi là ánh xạ co nêu 31 một sô @ €[0,1) sao cho Vx,,x, eX ta déu cé

d(f(%).f(%))sad(x,%)

Hién nhién, mét anh xạ co là liên tục đều

Định lý 2.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach)

Giả sử X là một không gian metric đây đủ và A:X —>X là một ánh xạ

co của X vào chính nó Khi đó, tôn tại một và chỉ một điểm xeX sao cho

< a.d(x,x, 1) + d(x,,x) >0 (n>)

Suy ra Ax =x hay x là điểm bất động của ánh xạ A

*) Giả sử lại có x eX:Ax =x

d(x,x`) = d( Ax, Ax’ | < ad(x,x")

Cho ham sé x(t) khả vi trên [0,1];0< x(t) <1Vt €[0,1]

O<x'(t)< sv [0.1] Xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình: x(t)-t=0 (1)

Nhưng theo giả thiết 0< x(z) <1 nên x:[0,1]~>[0,1]

Ta kiểm tra x là ánh xạ co không 2

Vt,,t, €[0,1]

Ix(¡,)— x(,)|=|x'()(, —+,)|=|x')|l,—s|< hi -1,| (DL lagring)

suy ra d(x(t,),x(t)) sid (tt)

suy ra x:[0,1] [0,1] là ánh xạ co

suy ra 3W”: x(£`)=f Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất

A có điểm bất động không? Vì sao?

Giải: Ta có [1,+©) là tập con đóng của [§ với metric đ(x, y) =|x — y|

Do đó [1,+œ) cùng với metric [§ lập thành một không gian metric đây

Xét ánh xạ A:[1,+00) b> [1,+00)

1 XE> Áx=x+—

Vậy ta có anh xaf: S’(xo, r) > S’(xo, r)

Do S’(xq, r) 1a mét khéng gian con đóng của không gian metric đầy X, nên Š”@&ø r) là không gian metric đầy với metric đã cho trên X Kết hợp với giả thiết thứ nhất ta suy ra ánh xạ:

⁄ 5 6œ r) ->Š (%o r)

là ánh xạ co, đo đó f có điểm bắt động duy nhất trong ,Š”(x¿, r)

2.1.2 Với metric xác định trong định lí 1.6.1 ta có cách phát biểu khác của nguyên lí ánh xạ eo Banach trong không gian định chuẩn như sau

Giả sử rằng

(a) M là một tập đóng, khác rỗng trong không gian Banach X trên trường K (b) Toán tử A:M —>M thỏa mãn || Au — Ap| <k|lu —v|ÌVu,v eM (2.1.2) và

k cố định, & e[0,1)

Khi đó các kết quả sau là đúng:

¡) Tôn tại và duy nhất nghiệm u của phương trình u=Au (2.1.3)

i)Với mỗi uạ e M đã cho dãy (w„) tạo bởi