Lý thuyết điểm bất động khóa luận tốt nghiệp

Việc giải quyết bài toán trên dẫn đến sự ra đời của một hướng nghiên cứu trong toán học, đó là lí thuyết chiến bất động của ánh xạ.. Ngay từ đầu thế ký 20, các nhà toán học trên thế giới

LỜI CẢM ƠN

Bản khoá luận này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng

dẫn của thây Nguyễn Văn Hùng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình và

nghiêm khắc để em có thể hoàn thành khoá luận này

Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khoá luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô Qua đây cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Giải tích, khoa toán trường Đại Học Sư

MỤC LỤC

07981009637 3

1.Lý do chọn đề tài 2s 2s 2 2E 2211221102112 erre 3

2 Mục đích nghiên CỨU - + + tk ng ri, 2

3 Nhiệm vụ nghiên CỨU - + «s1 2 vn nh re 3

4 Cấu trúc khóa luận -cc+++c+++eeerrttttrrkkrrrrrtrrrrrrrree 3

PHẢN 2: NỘI DUNG CHÍNH c- s© t+Ek‡EEeEESEEEEEEEEvEkerkerrrsrxerke 4 CHUONG 1 KIEN THUC CHUẨN BỊ, -2 -22222222222222171220 ee 4

1.2 TOPG trong khOng gian MECtric oe ee ee eeeeteeeeeeeeesececeeaeeeeeeeeeeeeeeees 7

1.3 Anh xa li6nn tuc c.seeccecsecscsssssessesscssessssssssssssucsvesscsesansussucsucsecansassusaveavease 8

1.4 Không gian metric day Gt ecceecceceesseessesssesssesssesssesssesssesssesssesssessees 8 1.5 Tập hợp compact và bị chặn ¿s5 xxx sksrsrrrkrererree 9 1.6 Không gian định chuẩn không gian Banach -:+ 9

CHUONG 3: MOT SO AP DUNG CUA DINH LY DIEM BAT DONG 32

3.1 Áp dụng vào phương trình vi phân thường . -.-:-+ 32 3.2 Áp dụng vào phương trình tích phân 2- 2 2©sz+cee+e+ 39

Việc giải quyết bài toán trên dẫn đến sự ra đời của một hướng nghiên cứu trong toán học, đó là lí thuyết chiến bất động của ánh xạ

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của tích hàm phi tuyến Ngay từ đầu thế ký 20, các nhà toán học trên thế giới quan tâm vé van dé nay va cho tới nay, có thê khẳng định rằng, lý thuyết điểm bất động đã được phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu được để giải quyết nhiều bài toán khác nhau do thực tế đề ra Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder, conebel,

Nhưng kết quả kinh điển và đầu tiên của lý thuyết về điểm bất động

như: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý

điểm bat động Schauder đã được áp dụng vào ngành toán học hiện đại như:

phương trình vi phân, giải tích hàm, giải tích đại số

Với các lí do đó, em đã chọn đề tài:

“Lý thuyết điểm bắt động”

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và thực hiện

khoá luận tốt nghiệp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số định lý điểm bắt động trong không gian Banach và không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải bài tập về phương trình tích phân và phương trình vi phân thường

4 Cấu trúc của khoá luận

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của khoá luận gồm 3 chương

Chương 1: Nêu một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3

Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Schauder, chứng minh định lý, các ví dụ áp dụng

Chương 3: Áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải phương trình tích phân và phương trình vi phân thường

PHAN 2: NỘI DUNG CHÍNH

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này có mục đích xác định một số kí hiệu, nhắc lại một số lý thuyết của giải tích hàm về một số không gian, tập hợp được sử dụng các chương sau

1.1 Không gian metric

Dinh nghia 1.1.1

Ta gọi là một không gian metric một tập hợp X# È cùng với một ánh xạ

d từ tích Descartes X x X vào tập số thực [R thỏa mãn các điều kiện sau:

i) (vx.y e X)d(x.y) > 0,d(x, y) =0x=y (tiên đề đồng nhất)

¡0 (Vx,yeX)4(x y)= 4(y,x) (tiên đề đối xứng)

ii) (Vx.y,z X)d(x,y)<4(x.z)+ 4(z y) (tiên đề tam giác)

Ánh xạ d được gọi là metric trên X, số d(x,y) được gọi là khoảng cách giữa các phần tử x và y, các phần tử của X gọi là các điểm

Kí hiệu không gian metric là cặp : (X.d)

Vidu 1.1.1:

Không gian vécto thuc n chiéu R" gdm các véc to dang

x=(A,x; x„)(@¡ e[Ñ) với khoảng cách đ(x,y)=,|`(x,— y,) là không

suyra đ(+,y)=d(3.x)

(Tiên đề ii được thỏa mãn)

iii) Vx, y, z elR” ;z= (s}) i=l

Vậy d(x.y)<4(x,z)+4(s.,y) (Tiên đề iii) được thỏa mãn)

Vay (R", d) 1a kh6ng gian metric

Diém X,) con goi 1a gidi han day (x, ) trong khéng gian M

1.2.Tô Pô trong không gian metric

Định nghĩa 1.2 1:

Cho không gian metric M = (X, d),a eX, số thực r>0 Ta gọi

Tap S(a, r) = {x €X; d(x, a) < r} là hình cầu mở tâm a, bán kính r

Tập S'(a,r)={xe X:4(+.4)<r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính r

Định nghĩa 1.2.2:

Cho không gian metric M =(X.4) và tập Ac X Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu điểm thuộc A là điểm trong của A hay nói cách

khác, nếu điểm xe A, thi tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A

Tập A gọi là tập đóng trong không gian M nếu mọi điểm không thuộc

A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ¢ A thi tén tai một lân cận của điểm x không chứa điểm nào thuộc tập A

Qui ước: Ø,X đều là tập đóng

Định lý 1.2.1:

Cho không gian Mĩ =(X,d), tap AC X va A¥¢ Tap A dong trong

không gian M khi và chi khi moi day diém (x,)C A hdi tu toi điểm x thi

xe4A

Định lý 1.2.2

Trong không gian metric (X Jd ) , hình cầu đóng là một tậo hợp đóng

Định lý 1.2.3: Cho (X,d) là một không gian metric thì:

1) A, dong trong X,a@eJ thi () A, dong trong X

ael 2) A.A, A, đóng trong X thì UA dong trong X

1.3 Ánh xạ liên tục

Cho 2 không gian metric M; = (X, d;), M> = (Y, d>) , anh xa f tt khong

gian M, lén khéng gian M,

Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ f gọi là liên tục tại xạeX, nếu

Ve>0,3ð>0 sao cho Vxe X :d,(x,x,)<6 thi d,( f(x), (4))<£

Dinh nghia 1.3.2: Ánh xạ f gọi là liên tục trên Ac X, nếu ánh xạ f liên tục tại mọi điểm thuộc tập A, khi A=X thì ánh xạ f gọi là liên tục

Định nghĩa 1.3.3: Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập AcX

nếu: Ve >0,46 >0 sao cho Vx,x'€A:d,(x,x')<6 thi d,(f (x), f(x'))<é

1.4 Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.4.1: Cho không gian metric M = (X ,„d ) Dãy điểm

(x,) CX gọi là dãy cơ bản trong M néu

Định nghĩa 1.4.2: Không gian Metric M =(X ,d ) gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ

1.5 Tập hợp compact và bị chặn

Định nghĩa 1.5.1: Tập hợp K trong không gian metric X gọi là compat nếu mọi dãy điểm {x„} trong K đều có một dãy con { +„ } hội tụ đến một điểm

thuộc K

Định lý 1.5.1.(Định lý về ánh xạ liên tục trên compact)

Cho 2 khéng gian metric M, =(X,d,),M,(X,d,) va ánh xạ f ánh xạ

M, vao M, Nếu ánh xạ liên tục trên tập compact K =X thì

1.f liên tục đều trên K

2 f(K) là tập compact trong không gian Ä⁄;

Định nghĩa 1.5.2:

Cho A là một tậo hợp tùy ý trong một không gian metric X

Số ổ(A) = §upd(x y)

x,yeA

Được gọi là đường kính của tập A, nó có thể là số hữu hạn hay vô hạn

Nếu đ(A) <œ thì A được gọi là một tập hợp bị chặn

Từ định nghĩa ta có điều sau:

a) Dé tap A là bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hình cầu Š(xạ,R)

chứa A

b) Hợp của một số hữu hạn những tập hợp bị chặn và một tập hợp bị chặn 1.6 Không gian định chuẩn không gian Banach

Định nghĩa 1.6.1

Giả sử K là một trường số thực [§ hoặc trường số phức C Tập hợp

X #ó cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân vô hướng)

(x.y)>x+ÿ; x,y€X

Phép nhân vô hướng xác định trên K x X và lấy giá trị trong X:

(A, x) —Âx;Â eK,xeX

Coi là một không gian tuyến tính (hoặc không gian vectơ) nếu các điều

kiện sau đây được thỏa mãn

1) X cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là:

a, x+y=y+x,Vx,yeX

b,(x+y)+z=x+(y+z);Vx, y,se X

c,Tồn tại một phần tr @ cua X sao cho: x+O0=x, % EX

d,Với mỗi xe X, tồn tại phần tử (-x) cua x sao cho x+(—x) =0

R, thường kí hiệu là II.lI đọc là chuẩn, thỏa mãn các điều kiện:

ĐVới VxeX, ta có lIxll>0 và lIxll=0<©x=Ø (kí hiệu phần tử không là Ø)

iDVới VxeX va voi VA ER, taco: |4A||=|^|Ìx

iiD Với vx, ye X,ta có: |x+ y||<||+ ||

số IIxIl gọi là chuẩn của phan tir x

kí hiệu không gian định chuẩn là (x ›

Sinh viên Bùi Thị Thanh — K32E khoa Toán 10

Định lý 1.6.1: Cho không gian định chuân X Đối với 2 vecto bat ki u,v e X

Nhờ định lý 1.6.1, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành

không gian metric với metric (1.6.1) Do đó mọi khái niệm, mệnh đê đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6.3: Dãy điểm („) trong không gian định chuẩn X gọi là một

day Cauchy (day co ban) néu:

(Ve>0)( Ao EN) (Vm,n >nạ) |lu„ T— uạÌ| < £

#Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy

*Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy

Định nghĩa 1.6.5 (Tính liên tục)

Cho X, Y là không gian định chuẩn trên trường K, khi đó:

* Todn tr A:M c X —>Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy

(u„)C M.n =1,2, sao cho:

limu, =u voi ueM

no

Suy ra: lim Au, = Au

nw

* Toán tu A gọi là liên tục néu Vu,veM va mọi £ >0 cho trước, có một sé

>0, sao cho ||u — v| <6 thi Au — Arl <£ hoặc với

VueM,limAv= vo Au

Hơn nữa, có thể chọn số ở >0 trong trường hợp này sao cho kết quả

không phụ thuộc vào điểm w e}⁄ thì khi đó toán tử A được gọi là liên tục đều

trên M

1.7 Tính lồi

1.7.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.7.1:

Giả sử X là một không gian tuyến tính, [R là tập các số thực Tập

AcX được gọi là lồi nếu:

tXy,x;¿ 6A, VÀ: 0<Ä4<Il xi +(I— Â)x EA

Ví dụ 1.7.1: Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi

Lay x,,x,€A khido x,,x, eA, (Vael)

Voi Vael,do A, 116i nén:

Ax; + (1—A)x2 € Ag (Va El)

Sinh viên Bùi Thị Thanh — K32E khoa Toán 12

=>Ax,+(1-A)x,€A

Ménh dé 1.7.2: Gia str tap A CX AE R (i =/, 2, ., m) Khi do:

AA +A A, + +/,A, 1a tap 16i

Mệnh đề 1.7.3: Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, 7: X —>Y là toán

tử tuyến tính, khi đó

4) AcX lỗi suy ra T(A) lồi

b) BcY lỗi suy ra nghịch ảnh 7 (B) của ảnh B là tập lồi

1.7.2 Bao lồi và bao đóng

Định nghĩa 1.7.3: Giả sử tập A © X, giao của tất cả các tổ hợp chứa A được

gọi là bao lỗi của tập A và kí hiệu là CoA

Nhận xét 1.7.2

a) CoA là một tập lỗi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A

b) A lỗi CoA=A

Định nghĩa 1.7.4 Giả str tap Ac X, giao của tất cả các tập lồi, đóng chứa A

được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là CoA

spanM: không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M

1.7.3.Liên tục trên tập compact

Mệnh đề 1.7.3: Cho M —> [R là một hàm liên tục trên tập compact khác rỗng M của không gian định chuẩn X Khi đó f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị

lớn nhất trên M

Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng trường K, và cho A:A cX ->Y là toán tử tuyến tính liên tục trên tập compact khác rỗng M của X, khi đó A là liên tục đều trên M

Định nghĩa 1.7.6 (Ton tir compact) Cho X,Y 1a cdc không gian định chuân trên trường K Toán tử A:⁄ c X ->Y được gọi là compact nếu:

()A liên tục

đi)QA biến các tập bị chặn thành các tập compact tương đối Hay là nếu

(u„).n =1.2, 1a day bị chặn trong M thì có một dãy con (w„.),nø'=1,2, của

(u„) sao cho dãy ( Au„.) hội tụ trong Y

Ví dụ 1.7.5 Xét toán tử tích phân

b

Au(x) =| F(x,y,u(y))dy, Vx E [a,b]

—0<a<b<o Dat:

Q = {(x, y,u) € R’: x,y € [a,b], lu| <r, r > 0), r: cỗ định

Gia st rang, ham s6 F: QR liên tục Tập X = C[a,b] va

M ={weX :|u|<r}

Khi đó, toán tử A:M — X 1a compact

Thật vậy:

Theo mệnh đề (1.7.4), hàm F liên tục đều trên tập compact Q Chứng tỏ

`Ve>0, có một số ổ >0 sao cho

|F(x,y,u)-F(z.y.v)|<é (1.7.5)

Với W{x, y, w), (z, y, v) ceQ với |x—z|+|„—v|<ổ

+) Trước hết, ta có toán tử A:⁄ —> X là liên tục

T.V: Néu weM thì hàm số w: [a,b] > R: lién tye va |u(y)|<rvy e[a,b]

Suy raham Au: [a,b] — R lién tuc Cho u,veM Khi d6

u(y)—v(y)| <ổ

|u ~v|= max a<Sx<b

Chứng tỏ

|Aw — Av||= max

asxsb [LFy.u() — F(xy.0(y))av] <(b-a)e

Suy ra A:M —>X liên tục

+) Chứng minh A compact Tức là giả sử M bị chặn ta phải chứng minh

A(M) là tập compact tương đối

Ta thay, cdc gia thiết của định lý Arzela-Ascoli thỏa mãn tức là

Mệnh đề 1.7.5 (Định lý xắp xỉ đối với các toán tử compact)

Cho A:M <X —>Y là một toán tử compact, ở đây X, Y là các không gian

Banach trên trường k, và M là tập con bị chặn, khác rỗng của X Khi đó, với

mọi 7= l,2, ,, có một dãy toán tử liên tục A,:Ä⁄ —>Ÿ sao cho

Sup|Au —A| <* va dim (Span A,(M)) <œ

Cũng như

A,(M)<CoA(M )

1.8 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều:

Địng nghĩa 1.8.1

Cho X là không gian định chuẩn N- Chiều trên trường K,N=1,2, ,m

Một cơ sở {e y} của X ta hiểu là tập hợp các phần tử €¡, đy, Của X sao

cho VueX đều có thể biểu diễn được dưới dạng

U=Qe,+ + Ayey

Với ứ,, +„, , xác định duy nhất bởi u Các số đ, œ„, được gọi là

các phần tử của u

Mệnh đề 1.8.1

Cho ( u,) là một dãy trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X

dimX>0, khi do, u, >u trong X khi noo, néu va chi néu dãy các thành phần tương ứng (Với một cơ sở cố định) hội tụ đến các tọa độ tương ứng của

2) M là compact nếu và chỉ nếu nó bị chặn và đóng

Mệnh đề 1.8.2:

Cho M là tập con khác rỗng, lồi và bị chặn, đóng của không gian định

chuẩn X, ở đây M có một điểm trong, khi đó M đồng phôi với hình cầu

B=|ueX : |u| <1}

Ménh dé 1.8.3

Cho M là tập khác rỗng, lồi, compact của không gian định chuẩn hữu hạn chiều X Khi đó, M đồng phôi với các N- đơn hình và trong X,N = 1,2 (Ñ - đơn hình trong X được định nghĩa ở chương sau)

CHƯƠNG 2: CÁC BINH LY VE DIEM BAT ĐỘNG

2.1 Nguyén ly anh xa co banach

Dinh nghia 2.1.1 (dinh nghia anh xa co)

Giả sử X và Y là hai không gian metric tùy ý, ánh xạ ƒ: X > Y duoc gọi là ánh xạ co nếu 3 một số @ €[0,1) sao cho Vx,.x, EX ta đều có

d( f(x) f(%))< ad (x,.x,)

Hiển nhiên, một ánh xa co là liên tục đều

Định lý 2.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach)

Giả sử X là một không gian metric đẩy đủ và A:X —>»X là một ánh xạ

co của X vào chính nó Khi đó, ton tại một và chỉ một điểm xeX sao cho

Ax=x

Chứng minh:

*) Vi A là ánh xạ co từ X vào chính nó nên 3ø c[0,I) sao cho

d(Ax,Ax’) < œd(x.x);Vx,x' ex

<z4(x.x,¡)+d(x,x)=>0 (n>) Suy ra Ax =x hay x 1a diém bat động của ánh xa A

*) Gia sir laic6é x eX: Ax =x"

d(x,x")=d(Ax,Ax )<ad(x,x') Suy ra (1-@)d(x,x")<0 Vì0<œ< I suy ra I~ơœ>0^ từ đó: một đại lượng dương <0

mà Gry}

Suy ra d(x,x'}=0=x=xÌ Vậy điểm bất động là duy nhất

Ví dụ 2.1.1

Cho hàm số x(t) khả vi trên [0,1];0< x(z)<1vr e[0.1]

0< x()<2vr [0.1] Xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình:

Nhung theo giá thiết 0< x(z)<1 nên x:[0,1] [0,1]

Ta kiểm tra x là ánh xạ co không ?

Vt,.t, €[0,1]

|x(/,)—x(,) =lxtứ)ú —';) = lx'ứ)Ìù, -1,|< ht —t,| (DL lagrang)

`“ ÔÔÔÔÔÔÔ

suy ra x:[0,1]>[0,1] là ánh xạ co

suy ra 31” :A() =r Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất

A có điểm bất động không? Vì sao?

Giải: Ta có [I,+œ) là tập con đóng của [§ với metric đ(x, y) =|x— y|

Do d6 [1,+00) cùng với metric [§ lập thành một không gian metric đây

Xét ánh xa A:[1,+00) > [1,+00)

1

XE> Ax=x+—

x Gia str A là ánh xạ co suy ra A có điểm bất động duy nhất hay Alx, €[1,4<0) sao cho

S’(xo, 1) = {x EX: d(x, Xo) Sr}

vào X sao cho tổn tai p,O<p<1,déV x, y © S’(xo, r) déu có:

* d(f(x), fl) < pd(x, y)

* A(f(xo), Xo) S(1 — pyr

Chứng minh rằng f c6 diém bat déng duy nhat trong S’(xo, r)

Vậy ta có ánh xạ ƒ: So, r) ->Š (wø r)

Do 7, r) là một không gian con đóng của không gian metric đầy X, nên Š'@¿, r) là không gian metric đầy với metric đã cho trên X Kết hợp với giả thiết thứ nhất ta suy ra ánh xạ:

ƒ So r) > S’(xo, 1)

là ánh xạ co, do đó f có điểm bat động duy nhất trong S'’(xo, r)

2.1.2 Với metric xác định trong định lí 1.6.1 ta có cách phát biểu khác của nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian định chuẩn như sau

Giả sử rằng

(a) M là một tập đóng, khác rỗng trong không gian Banach X trên trường K

(b) Toán tử A:Ä⁄—>M thỏa mãn |Au— Av||<k|¿—v||Wu,vejM (2.1.2) và

k cố định, k €[0,1)

Khi đó các kết quả sau là đúng:

i) Tén tai va duy nhat nghiệm u của phương trình u=Au (2.1.3)

ii) Voi mỗi „ạ e M đã cho dãy (u„) tạo bởi