Cách tìm tiệm cận hàm hửu tỷ

Cách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷCách tìm tiệm cận hàm hửu tỷ

CÁCH TÌM TIỆM CẬN HÀM SỐ HỬU TỶ

I TIỆM CẬN ĐỨNG :

ĐN: Cho hàm số y= f x( )

xác định trên D và 0

x ∉D

Đường thẳng: 0

x

x =

được gọi là đường tiệm cận đứng (TCĐ) của hàm số y = f(x) nếu:

ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

−∞

=

+

→

) (

lim

0

x f x

x

;

+∞

=

+

→

) (

lim

0

x f x x

−∞

=

−

→

) (

lim

0

x f x

x

;

+∞

=

−

→

) (

lim

0

x f x x

Phương pháp : Tìm giới hạn ( )0

lim ( )

x x f x

+

→

hay ( )0

lim ( )

x x f x

−

→

( với 0

x

x =

là nghiệm của mẫu ) kết quả phải là ±∞

Nếu kết quả giới hạn là hằng số C hoặc Math ERROR ta loại 0

x

đó.

Ví dụ 1: Tìm tât cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

2 2

2

4 3

x x y

x x

+ +

=

− +

ĐKXĐ :

2 4 3 0

x − x+ ≠

⇒

TXĐ: D R= \ 1,3{ }

MS:

4 3 0

3

x

x x

x

=



− + = ⇒  =

• Với

2

10 2

2

1 lim ( ) lim 2 10

4 3

x x

x x

x x

+ +

− +

( đọc là −∞

) suy ra x=1

là tiệm cận của

đồ thị hàm số

• Với

2

10 2

2

3 lim ( ) lim 7 10

4 3

x x

x x

x x

+ +

− +

(đọc là +∞

) vậy x=3

là một tiệm cận đứng của đồ thị

KẾT LUẬN : Hàm số đã cho hai tiệm cận đứng x=1

và x=3

Ví dụ 2:Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

2

4x 1 3x 2

y

x x

− + +

=

−

MS:

0

1

x

x x

x

=



− = ⇒  =

⇒

TXĐ:

{ }

D= −∞ − ∪ +∞

• Với x=0

thì

2 0

4 1 3 2 lim

x

x x

+

→

− + +

−

máy hiện Math ERROR ta loại x=0

• Với x=1

thì

10 2

1

4 1 3 2 lim 6.732050808 10

x

x x

+

→

−

( đọc là +∞

) vậy x=1

là một tiện cận đứng của đồ thị ĐS:TCĐ x=1

Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 2

1 3 1 6

y

x x

=

+ −

ĐKXĐ

2

3 1 0

6 0

x

x x

− ≥



 + − ≠



TXĐ:

{ }

1 , ) \ 2 3

d = +∞



MS:

6 0

2

x

x x

x

= −

 + − = ⇒  =

• x= −3

thi

2 2 3

1 3 1 lim

6

x

x x

+

→−

+ −

máy hiện Math ERROR ! ta loại x= −3

• x=2

thì

2 2 2

1 3 1

6

x

x x

+

→

+ − − = + −

(hằng số ) ta loại x=2

Vậy hàm số không có TCĐ

CHÚ Ý: Ta có thể tìm TCĐ nhanh như sau :

B1 Giải phương trình tìm nghiệm của mẫu số

B2.Thế các nghiệm 0

x

vào tử số nếu kết quả bằng 0 hoặc Math ERRO ! thì loại 0

x

đó

Ví dụ 4: TÌM TCĐ của đồ thị hàm số

2 2

5 6

y

x x

− − + +

=

− +

•

5 6 0

3

x

x x

x

=



− + = ⇒  =

với x=2

thế vào

2

2x− −1 x + + = − =x 3 3 3 0

ta loại x=2

với x=3

thế vào

2

2x− −1 x + + = −x 3 5 15 0≠

Vậy x=3

là TCĐ cần tìm.

Ví dụ 5 : Tìm TCĐ của đồ thị hàm số

2 2

1 4

x y

x

−

=

−

•

x − = ⇒ = ±x

khi thế x= ±2

vào

2

1 x−

kq Math ERROR

Ta loại x= ±2

Kết luận đồ thị hàm số không có TCĐ

O

y

0

y

0

x

M

II.TIỆM CẬN NGANG:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn

( là khoảng dạng: ( a ; +∞ ), ( −∞ ; b ), ( −∞ ; +∞ )

)

• Đường thẳng: 0

y

y =

được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x)

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

0

) (

x

=

+∞

→

;

0

) (

x

=

−∞

→

• Hàm phân thức có TCN khi bậc tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc mẫu số.

• Nếu bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số thì TCN là

0

y =

Ví dụ : hàm số

2

&

x

−

có TCN là

0

y =

• Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì TCN là tỉ số hai hệ số cao nhất của tử và mẫu

Ví dụ 1 :

+hàm số

x y x

−

= +

có TCN là

2 3

y= (hệ số của tử là 2,hệ số của mẫu là 3)

+ hàm số

2 2

5 3 2

2 3 1

x x y

x x

− +

=

− +

có TCN là

5 2

y=

kinh nghiệm này là kết quả của giới hạn :

0 lim ( )

x f x y

Chú ý : Nếu TXĐ của hàm số y = f(x) là tập hửu hạn

( )a b hay a b, [ ],

thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Ví dụ : Tìm TCN của đồ thị hàm số

2 2

1 4

x y

x

−

=

−

2 2

1,1

4 0

x

D x

 − ≥ ⇒ = −

 − ≠



nên khơng tồn tại

lim ( )

x f x

→±∞

vậy hàm số khơng TCN III.TIỆM CẬN XIÊN.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vơ hạn

( là khoảng dạng:

)

; ( ),

; ( ),

;

( a +∞ −∞ b −∞ +∞

)

ĐN:Nếu hàm số y= f x( )

cĩ đồ thị ( C) thỏa:

(C)

của

xiên cận

tiệm là

b ax

y :

)

(

thì )

b ax

( )

x ( f lim

hay )

b ax

( )

x ( f lim

x

x

+

=

∆

= +

−

= +

−

−∞

>

−

+∞

>

−

0 0

Phương pháp : thực hiện chia đa thức lấy tử chia mẫu khi đĩ ta cĩ :

f x =ax b+ +α x

với α( )x

là phần dư của phép chia mà

lim ( ) 0

x α x

thì TCX là

y ax b= +

Ví dụ 1 : Tìm TCX của hàm số

x x

− +

Ta cĩ

5

3

x→±∞x =

−

nên hàm y= f x( )

cĩ TCX là y=x

Ví dụ 2 : Tìm TCX của hàm số

2

( )

1

x x

y f x

x

+ −

+

Ta cĩ

2

2 1

1

x

= − −

+ lại cĩ

2

1

x→±∞x = + nên àm y= f x( )

cĩ TCX lày=2x−1

• Ngồi cách tìm TCX của hàm số y= f x( )

theo trên thì cĩ thể tìm TCX bằng cách tìm hai hệ số a và b của đường thẳng y ax b= +

như sau:

( ) lim lim ( )

x x

f x a

x

b f x ax

→+∞

→+∞







và

( ) lim lim ( )

x x

f x a

x

b f x ax

→−∞

→−∞







Ví dụ : Tìm TCX của đồ thị hàm số :

2

2 1

x x y

x

− +

=

+

Ta có

2

(2 1)

x

x x a

x x

→±∞

− +

+

và

2

2 1

x

x x

x

→±∞

+

Vậy TCX cần tìm là y= −x 1

• Các hàm phân thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị thì có tiệm cận xiên

BÀI TẬP :Tìm tất cả các tiệm cận của các hàm số sau :

2

2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1.Tiệm cận đứng của đồthị hàm số

3 1 1

x y x

+

=

− là

A x = − 1

B x = 1

C x = 3

D x = − 3

2 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 1 1

x y x

+

=

− là

A

1

y = −

B

1

y =

C

2

y = −

D

2

y =

3.Cho hàm số

3 1 1

x y x

+

=

− Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=1

B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y=3

C Đồ thị hàm số không có tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= 1

4.Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số :

3x 1

y x

+

=

là :

5.Cho hàm số

2 7 3

x y

x

−

=

− Hàm số có tiệm ngang và tiệm cận đứng là :

A

2

; 3

3

y = x =

B

2; 3

y = x =

C

2; 3

y = − x =

D.

3; 2

y = x = −

6.Cho hàm số

2

x x y

x

− +

=

−

Số tìm cận của đồ thị hàm số là:

7.Cho hàm số

2 4 2

2 3

x x y

x

− +

=

− +

, phương trình tiệm cận xiên của hàm số là:

y=− x+

D Đáp án khác

8.Cho hàm số

2 2

2 3 2

2 3

x x y

x x

− +

=

− −

.Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

1 2

y=

B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là x=2

C Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x=

-1;x=3

9.Cho hàm số

2 x 2 m 1

y

x m

=

+

Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm M( 3; 1)

A m = 3

B m = − 3

C m = 1

D m = 2

10.Cho hàm số

2 1

y x

−

= + Với giá trị nào của m thì x = − 1

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

A m ≠ 2

B m ≠ − 2

11.Cho hàm số

2x m

y

x m

+

= + Với giá trị nào của m thì các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Tạo với các trục tọa độ một hình vuông

A m = 2

B m = − 2

C A và B sai D A và B đều

đúng

12.Cho hàm số

2 1

mx y x

+

= + Với giá trị nào của m thì khoảng cách giao điểm 2 tiệm cận tới tâm O bằng 5

A m = ± 4

B m = ± 2

C A và B sai D A và B đều đúng

13.Cho hàm số

2 3 3

x y

x m

−

=

− Với giá trị nào của m thì tiệm cận đứng nằm bên trái trục tung?

A m < 0

B m = 0

C m tùy ý D Không có giá trị m

14.Cho hàm số

2 1

mx m y

x

+

=

− Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang

của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8

A m = 2

B

1 2

m = ±

C m = 4

D m ≠ ± 4

15.Cho hàm số

1 2

mx y

x m

−

= + Với giá trị nào của m thì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm

( 1;5) −

A m = 2

B m = − 2

C m = − 1

D m = 1

16.Cho hàm số

3 1 1

x y x

−

= +

có đồ thị là (C) Gọi M(x; y) là tọa độ trên (C) thõa mãn khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng gấp 4 lần khoảng cách M tới tiệm cận ngang Kết quả x là?

A x = 3 hoặc x = – 5 B x = ± 4 C x = 4 D Đáp án khác

17.Cho hàm số

2 1 1

x y x

−

=

−

có đồ thị là (C) Gọi M(x; y) là tọa độ trên (C) thõa mãn khoảng cách từ M

tới tiệm cận đứng bằng khoảng cách M tới tiệm cận ngang Đáp án nào có y thỏa?

A y = 1 hoặc y = 2 B y = 1 hay y = 3 C y = 2 hay y = 3 D Đáp án khác

18.Cho hàm số

2 1

x y x

+

= +

có đồ thị là (C) Gọi M(x; y) là tọa độ trên (C) thõa mãn tổng

khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng và khoảng cách M tới tiệm cận ngang là 2 Tìm M?

A M(2;0) B M(0;2) C M(-2; 0) hoặc M(0; 2) D Đáp án khác

19.Cho hàm số

2 7 1

x y x

+

=

− +

có đồ thị là (C) Gọi M(x; y) là tọa độ trên (C) thõa mãn tổng khoảng cách từ

M tới tiệm cận đứng và khoảng cách M tới tiệm cận ngang đạt giá trị nhỏ nhất Tìm x?

A x = 4 hoặc x = – 2 B x = ± 4 C x = ± 2 D Đáp án khác

2 3 +

−

=

x

x y

Tiệm cận đứng và ngang lần lượt là

A 3

2

=

x

; 3

2

−

=

y

B 3

2

−

=

x

; 3

2

−

=

y

C 3

2

−

=

x

; y =1 D 3

2

=

x

; 3

2

=

y

x y

−

−

= 4

5 2

Tiệm cận đứng và ngang lần lượt là:

A x =4

; y=−2 B x=−4

; y=−2 C x=4

; 2

1

=

y

D.x=4

;

5

=

y

y

−

= 2

3

Chọn phát biểu đúng:

A có duy nhất 1 tiệm cận đứng B không có tiệm cận ngang

C có 1 TCĐ và 1 TCN D có TCĐ x=2; TCN y = 3/2

1 2

2 − −

−

=

x x

x y

Chọn phát biểu đúng đồ thị hàm số :

A có 2 tiệm cận đứng B chỉ có TCĐ, không có TCN

C có 2 TCĐ và 1 TCN D không có đường tiệm cận nào

24 Cho hàm số y =f(x) có

+∞

=

+

−

lim

3 f x

x

và

−∞

=

−

→ ( )

lim

3 f x

x

Phát biểu nào sau đây đúng:

A Đồ thị hàm số có 2 TCĐ là x = -3 và x = 3 B Đồ thị hàm số không có TCĐ

C Đồ thị hàm số có duy nhất 1 TCĐ D Đồ thị hs có 2 TCN

25 Cho hàm số y =f(x) có

lim ( ) 3

x f x

và

−∞

=

−

−

lim

3 f x

x

Phát biểu nào sau đây đúng:

A Đồ thị hàm số có 1 TCĐ là y = -3 B Đồ thị hàm số có 2 TCĐ

C Đồ thị hàm số có 1 TCĐ x= 3 D Đồ thị hàm số có 1 TCĐ là x = -3