Hơn nữa bài toán nguyên hàm còn là tiền đề hết sức quan trọng cho bài toán tính tích phân và ứng dụng tích phân trong hình học và đây cũng là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các k
Trang 1BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I LỜI GIỚI THIỆU
Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán lớp 12 Tôi rất tâm đắc với phần nguyên hàm của bộ môn giải tích Vì trong phần nguyên hàm có các phương pháp và các phép biến đổi rất đa dạng và phong phú, chính điều này là động cơ và cũng là động lực tạo nên
sự hứng thú và sáng tạo đối với cả giáo viên và học sinh Đặc biệt
nó được thể hiện trong các bài toán: “Tìm nguyên hàm các hàm số hữu tỉ” Hơn nữa bài toán nguyên hàm còn là tiền đề hết sức quan trọng cho bài toán tính tích phân và ứng dụng tích phân trong hình học và đây cũng là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học cao đẳng
Ngoài ra, trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất lúng túng và khó khăn trong việc định hướng giải quyết bài toán tìm nguyên hàm các hàm hữu tỉ, bởi các em không biết xác định các dạng và áp dụng các dạng đó
Nhằm mục đích giúp các em định hướng các dạng nguyên hàm của nhóm hàm số hữu tỉ và sử dụng linh hoạt các phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số đó Đồng thời để các em có cái nhìn tồng quan về bài toán tìm nguyên hàm các hàm số hữu tỉ
Vì vậy tôi mạnh dạn trình bày sáng kiến kinh nghiệm bản thân mà tôi đã thực hiện trong quá trình giảng dạy của mình trong năm học vừa qua
II TÊN SÁNG KIẾN
Một số phương pháp tìm nguyên hàm các hàm số hữu tỉ.
Trang 2III TÁC GIẢ
1 Họ và tên:
2 Địa chỉ:
3 Số điện thoại:
4 Email:
IV LĨNH VỰC ÁP DỤNG
Lĩnh vực sáng kiến có thể áp dụng để dạy nguyên hàm trong chương trình giải tích 12 ở các trường THPT và các Trung tâm GDTX có hệ bổ túc văn hóa
V THỜI GIAN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU
Đề tài này được thực hiện trong năm học 2015-2016 ở Trung
tâm GDTX Đồng Hỷ.
VI MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1 Tình trạng thực tế khi chưa thực hiện
Trong năm học 2015-2016 tôi được phân công giảng dạy môn Toán lớp 12 Khi dạy về phần nguyên hàm tôi nhận thấy các em thực hiện tương đối tốt những bài toán nguyên hàm dạng cơ bản áp dụng bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp Tuy nhiên khi gặp những bài toán cần có những phép biến đổi thì tôi thấy các em rất lúng túng và rất ít em làm được
2 Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài
Để lấy số liệu cho đề tài tôi cho học sinh làm bài kiểm tra như sau:
Trang 3Đề kiểm tra:
Tìm các nguyên hàm sau:
a) ∫ − + − dx
x
x x
x3 2 2 4 1
b) ∫x2 −7x+12
dx
c) ∫ ++ dx
x
x
2 ) 2 (
3 2
d) ∫ − dx
x
x
1 cos
sin
2
Đáp án bài kiểm tra:
a) x −x + 4x− lnx +C
3
2
3
b) ln
3
4
−
−
x
x
+C
−
− 2ln 2
2
7
d) C
x
−
+ 1 cos
1 cos ln 2 1
Kết quả: Kiểm tra trên hai lớp 12A1 và 12A2 tôi thu được số liệu
như sau:
3(12,5%
3 Những biện pháp thực hiện
Nội dung đề tài gồm các mục sau:
- Phân tích hàm số tính nguyên hàm
- Phương pháp đổi biến số
- Phương pháp nguyên hàm từng phần
Trang 43.1 Phân tích hàm số tính nguyên hàm
Dạng 1: I=∫ P ) ax(x+dx b a≠ 0 p(x) là đa thức bậc n
Bước 1: Dùng phép chia đa thức nếu n≥ 1
Bước 2: Tính nguyên hàm tìm được
Ví dụ 1: Tìm các nguyên hàm sau:
x
x x x
2
4 3
2 2
3
b) ∫ − −+ − dx
x
x x x
1 2
1 2
3 2 3
Giải:
a) Chia đa thức ta được:
2
2 3 2
4 3
3
− + +
=
−
− +
−
x
x x
x x x
− + +
=
−
− +
dx x
x dx x
x x x
2 ln 2 3 3
) 2
2 3 ( 2
4 3
3
b) Chia đa thức ta được:
) 1 2 ( 8
5 8
3 4
5 2 1
2
1 2
3
−
− +
−
=
−
− +
−
x
x x x
x x x
x
x x x
+
−
− +
−
=
−
− +
−
8
5 8
3 8
5 6 1
2
1 2
3
Dạng 2: I=∫(ax+b) α
dx
x n
trong đó a≠ 0 ,n∈N, α ∈R
Với n=2 ta có:
] ) (
) (
2 )
[(
1 )
(
) (
1 )
(
1 2
2
2 2
2
α α
α α
α
−
−
+
= +
− +
=
b b ax a b
ax x
n
b b ax a
x = 1 [( + ) − ] và dùng công thức
nhị thức Newton để khai triển
Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm sau:
Trang 5a) ∫2x xdx+1 b) ∫ − 100
2
) 1
dx x
c) ∫ − 20
3
) 2 1
dx x
d) ∫ x x2dx+1
Giải:
x x
x
dx x
x x
dx
x
+
−
−
−
+
−
−
=
−
−
−
=
−
2 100
2
) 1 ( 99
1 )
1 ( 49
1 )
1 ( 97
1 )
1 (
] 1 ) 1 [(
)
1
(
c)
C x x
x x
dx x
x x
dx
x
+
−
+
−
−
−
+
−
−
=
−
−
−
−
=
3 20
3
) 2 1 ( 152
1 )
2 1 ( 48
1 )
2 1 ( 136
3 )
2 1 ( 126
1 )
2 1 ( 8
] 1 ) 2 1 [(
)
2
1
(
Câu a) có thể chia đa thức để giải
Câu d) áp dụng tương tự câu b
Dạng 3: I=∫ax2x++bx+dx c
)
, a≠ 0 Trường hợp 1: Nếu ∆ =b2 − 4ac> 0 , gọi x1, x2 là nghiệm
Phân tích
2 1
B x
x
A c bx ax
x
−
+
−
= + +
+ µ λ
dùng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc giá trị riêng để tìm A, B
Trường hợp 2: Nếu ∆ =b2 − 4ac= 0, gọi x0 là nghiệm kép
0 0
B x
x
A c
bx ax
x
−
+
−
= + +
+ µ λ
dùng phương pháp đồng nhất hệ số để tìm A, B
Chú ý: Trường hợp ∆ < 0 ta có thể áp dụng trong bài toán bằng phép đặt x=atant
Tổng quát: I=∫ax P2 +x bx dx+c
) (
a≠ 0, P(x)là đa thức bậc n của x Bước 1: chia đa thức nếu n≥2
Bước 2: Tính nguyên hàm đã phân tích
Ví dụ 3: Tìm các nguyên hàm sau:
Trang 6a) ∫x2 −5x+6
dx
b) ∫ − + + dx
x
x
x
4 4
1
2
c) ∫ − − ++ − dx
x x
x x
x
6 5
1 16 10
2
2
2 3
Giải:
x
x dx
x x
x x
−
−
=
−
−
−
= +
4
1 ) 1
1 5
1 ( 4
1 6 5
2
b) Giả sử: 2 4 4 2 ( 2 ) 2
1 2
−
+
−
= +
−
+
x
B x
A x
x
x
Ta có 2x+1 = A(x-2) +B
Đồng nhất hệ số ta được:
=
=
⇔
= +
−
=
5
2 1
2
2
B
A B
A A
x x
dx x
x
dx x x
−
−
−
=
−
+
−
= +
−
+
∫
) 2 (
5 2
2 ( 4
4
1 2
2 2
c) Chia đa thức và dùng đồng nhất thức ta được:
2
7 3
11 2
2 3
2 6 5
1 4 2
6 5
1 16 10
2
2 2
2 3
−
−
− +
=
−
+
− +
= +
−
− +
= +
−
− +
−
x x
x x
B x
A x x
x
x x
x x
x x
x
C x
x x
dx x x
x
+
−
−
− +
= +
−
+
4 4
1
2
c bx ax x
c x b x a
) )(
1 1
2 1
Trường hợp 1: Nếu ∆ =b2 − 4ac> 0, gọi x1, x2 là nghiệm
Phân tích
2 1
2 1 1
2 1
) )(
D x
x
B x
A c
bx ax x
c x b x a
−
+
−
+
−
= + +
−
+
+
β
đồng nhất hệ số hoặc giá trị riêng để tìm A, B, D
Trường hợp 2: Nếu ∆ =b2 − 4ac= 0, gọi x0 là nghiệm kép
0 0
2 1 1
2 1
) ( ) ( )
)(
D x
x
B x
A c
bx ax x
c x b x a
−
+
−
+
−
= + +
−
+ +
β
dùng phương pháp đồng nhất hệ số để tìm A, B, D
Trang 7Trường hợp3: Nếu ∆ =b2 − 4ac< 0
Phân tích:
c bx ax
D c
bx ax
b ax B x
A c
bx ax x
c x b x a
+ +
+ + +
+ +
−
= + +
−
+ +
2 2
2 1 1
2
) )(
Ví dụ 4: Tìm các nguyên hàm sau:
a) ∫ − + − + + dx
x x x
x x
) 6 5 )(
1
(
1 3 2
2
2
b) ∫ + + − dx
x
x x
1
2 2
3
2
Giải:
a) Dùng phương pháp đồng nhất thức ta có:
) 6 5 )(
1 (
1 3 2
2
2
−
+
−
+
−
= +
−
−
+ +
x
D x
B x
A x
x x
x x
⇒ 2x2 + 3x+ 1 = A(x− 2 )(x− 3 ) +B(x− 1 )(x− 3 ) +D(x− 1 )(x− 2 )
Cho x=1 ⇒ A=3 ; x=2 ⇒ B= - 15 ; x=3 ⇒ D=14
x x x
x x
+
− +
−
−
−
= +
−
−
+ +
) 6 5 )(
1 (
1 3 2
2 2
b) Giả sử:
1 1
) 1 2 ( 1 1
2 2
2 2
3
2
+
−
+ +
−
− +
+
= +
− +
x x
D x
x
x B x
A x
x x
⇒ x2 + 2x− 2 = A(x2 −x+ 1 ) +B( 2x− 1 )(x+ 1 ) +D
Đồng nhất các hệ số cùng bậc và giải hệ ta được: A= -1 ; B=1; D=0
x
x x C x
x x
dx x
x
+
+
−
= + +
− +
+
−
= +
− +
1
2
2 3
2
Dạng 5: I=∫(x+a) 2 (x+b) 2
dx
2
2 2
2
) (
1 )
)(
(
) ( ) ( ) (
1 )
( ) (
1
a x b x b a b
x a x
b x a x b a b
x a
+ +
+
− +
−
= + +
Tổng quát I=∫ x+a n x+b n
dx
) ( )
Trang 8Ví dụ 5: tính ∫(x+3 ) 2 (x+1 ) 2
dx
Giải:
3
1 1
1 ( 4
1 ] ) 1 )(
3 (
) 1 ( ) 3 ( [ 4
1 ) 1 ( ) 3 (
1
+
− +
= +
+
+
− +
= +
x x
x x
x x
x x
x x
dx
) ) 3 (
1 )
3 )(
1 (
2 )
1 (
1 ( 4
1 ) 1 ( ) 3
∫
x x
x
+
− +
+
− +
−
=
) 3 ( 4
1 3
1 ln 4
1 1 ( 4 1
Chú ý: Nếu gặp nguyên hàm dạng: ∫ dx
x Q
x P
) (
) (
mà bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì ta chia phân thức sau đó mới áp dụng để tính
3.2 Phương pháp đổi biến số
Dạng 1: I=∫ ( () k−)1
k k
x Q
dx x x P
Đặt t=xk ⇒ I=1k ∫P Q(t()t dt)
Ví dụ 6: Tìm các nguyên hàm sau:
a) ∫e x3− 1x2dx b) ∫ 8− 2
3
) 4
(x
dx x
Giải
a) Đặt t=x3 ⇒ dt=3x2dx
⇒ e x − x dx = e t−dt = e t− +C = e x − +C
∫
3
1 3
1 3
1
b) Đặt t=x4 ⇒ dt=4x3dx
−
=
8
3
) 2 ( ) 2 ( 4
1 ) 4 ( 4
1 ) 4
dt t
dt x
dx x
Áp dụng dạng5
Trang 9C t
t
t t
dt t
t
t t
x
dx
+
− +
−
−
−
−
=
− +
−
− +
=
128
1 ) 2 ( 64
1 ]
) 2 )(
2 (
) 2 ( ) 2 ( [ 64
1 ) 4 (
2 2
8
3
C x
x
x
+
− +
−
−
−
−
=
) 2 ( 64
1 2
2 ln 128
1 ) 2 ( 64
1
4 4
4 4
Dạng 2: Mở rộng I=∫ P(ϕQ(x())ϕϕ(x'))(x)dx
Đặt t=ϕ(x) ⇒ I=∫P Q(t()t dt)
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm sau: ∫(sin(sinx−+coscosx))2 −1
dx x x
Đặt t=sinx – cosx ⇒ dt=(sinx+cosx)dx
x x
x x
C t
t t
dt x
x
dx x
+
−
−
−
= + +
−
=
−
=
−
−
+
∫
2
1 1
1 ln 2
1 1 1
) cos (sin
) cos (sin
2 2
Bài toán này ta có thể dụng các phép biến đổi lượng giác để giải bằng cách phân tích: (sinx−cosx)2 −1=−2sinxcosx, sau đó đưa về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính
Tuy nhiên cách đó phức tạp và dài hơn so với cách trên
3.3 Phương pháp nguyên hàm từng phần
I=∫ P ( x Q ) Qn( ' ( x x ) ) dx Đặt
=
=
) (
) ( '
) (
x Q
dx x Q dv
x P u
n
Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm sau: I=∫ 2 − 3
4
) 1
(x
dx x
Giải
Đặt
−
=
=
3 2
3
) 1
(x
xdx dv
x u
⇒
−
−
=
=
2 2
2
) 1 (
4 1 3
x v
dx x du
Trang 10⇒ I= 2 2 1
3 2
2
2 2
2
3
4
3 ) 1 ( 4 )
1 ( 4
3 ) 1 (
x dx
x
x x
−
−
=
−
+
−
−
∫
Đặt
−
=
=
2
2 1)
(x
xdx dv
x u
⇒
−
−
=
=
) 1 ( 2
1
2 1
1
x v
dx du
⇒
1
1 ln 4
1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 (
1
+
− +
−
−
=
−
+
−
−
I
x
x x
x x
+
− +
−
−
−
−
1
1 ln 16
3 ) 1 ( 8
3 )
1 (
3
Như chúng ta đều biết không có một công cụ hay một phương pháp vạn năng để giải mọi bài toán Do vậy ta không nên áp dụng rời rạc một phương pháp cho mỗi bài toán mà phải có sự phối kết hợp chúng với nhau để có sự đa dạng trong cách giải toán Đó cũng chính là sự phong phú và điều thú vị trong toán học Thế nên ngoài các phương pháp trên ta còn phải sử dụng kết hợp các phương pháp cùng với sự linh hoạt trong biến đổi để giải quyết Cách giải quyết đó được thể hiện trong một số ví dụ sau:
Ví dụ 9: Tìm các nguyên hàm sau:
a) ∫x4 −2x2 −2
xdx
b) ∫ 4 − 2 − 2
3
x x
dx x
c) ∫ ((4 +−33)2 +2)
2
x x
x
dx x
Giải
−
− 2 2 2 ( 2 1 ) 2 3
xdx x
x xdx
Trang 11Đặt t = x2 −1 ⇒ dt = 2xdx
x
x C
t
t t
dt x
x
xdx
+ +
−
−
−
= + +
−
=
−
=
−
3 4
1 3
3 ln
3 4
1 3 2
1 2
2 2
2 4
−
−
=
−
−
4
9 ) 2
1 (
3 2
4 3
x
dx x x
x
dx x
Đặt
2
1
2 −
= x
2
1
2 =t+
x ; dt 2 = xdx
t
t t
t
dt t
tdt dt
t
t x
x
dx
+
− +
−
=
−
+
−
=
−
+
=
−
∫
2 3 2
3 ln 12
1 4
9 ln 4 1 4
9 4
1 4
9 2
1 4 9 2 1 2
1 2
2 2
2 2
2 4
3
C x
x
+
− +
−
−
=
1
2 ln
12
1 4
9 ) 2
1 (
ln 4
1
2
2 2
2
+ +
−
) 2 3
(
) 3 (
) 2 3
(
) 3 (
2 4
2
2
2 4
2
x x
x
xdx x
x x
x
dx x
Đặt t = x2 ⇒ dt = 2xdx
+ +
−
) 2 3 (
) 3 ( )
2 3 (
) 3 (
2 2
4
2
t t t
dt t x
x
x
dx x
áp dụng dạng 4 ta có:
Phân tích ( 2(+33)+2) = + −1+ −2
−
t
D t
B t
A t
t t
t
⇒ t− 3 = A(t− 1 )(t − 2 ) + Bt(t− 2 ) +Dt(t− 1 )
Đồng nhất hệ số ta được: A=-3/2 ; B=2 ; D=-1/2
t t
t x
x
x
dx x
+
−
−
− +
−
=
−
−
− +
−
= + +
−
∫
2
3 )
2
1 1
2 2
3 ( ) 2 3 (
) 3 (
2 4 2
= − lnx +2lnx −1−lnx −2 +C
2
3.4 Một số bài tập củng cố
Bài 1 Tìm các nguyên hàm sau:
a) ∫x2 +2x−15
dx
x x
x
3 5 2
9 4 2
Trang 12c) ∫ + + + dx
x x
x
1 6 9
7 15
x x x
x x
) 12 )(
1 (
91 41 2
2 2
e) ∫ ++ ++ dx
x x x
x x
) 1 2 (
2 5
2
3
2
) 1 ( x
dx x
Đáp án:
x
x
+ +
− 5
3 ln
8
1
b) 5lnx−1 −6ln2x−3 +C
x
+
− +
1 3
2 1
3
ln
d) 4lnx −1+5lnx−4 −7lnx+3 +C
x x
x
+
− +
− +
1
4 1 ln 4 ln
−
−
−
+
−
−
9 8
1 )
1 ( 4
1 )
1
(
1
Bài 2 Tìm các nguyên hàm sau:
a) ∫ 4 − 2
7
) 1
(x
dx x
b) ∫ 6 −3 3 −2
5
x x
dx x
c) ∫ x (x10 +1 ) 2
dx
Đáp số:
x
+ +
+
) 1 (
4
1 1
ln
4
1
4 4
b) x + + ln x − 2 + C
3
2 1 ln
9
x x
x
+ +
+
1 1
(ln
10
1
10 10
10
VII ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG
Học sinh đã được trang bị các kiến thức về Nguyên hàm trong chương trình Giải tích 12
Trang 13VIII ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN VÀ KIẾN NGHỊ
1 Kết quả thực hiện
Đề tài này được thực hiện ở lớp 12A1 để so sánh với lớp 12A2
Sau khi thực hiện tôi đã cho đề kiểm tra như sau:
ĐỀ KIỂM TRA
Tìm các nguyên hàm sau:
a) ∫ −+ + dx
x
x x
3
2 3
2
b) ∫ − − + dx
x x
x
3 4
2 3
2
c) ∫ + +− dx
x x
x
2
) 2 )(
1 (
1 2
d) ∫ − dx
e
e
x
x
1
2
Đáp án bài kiểm tra
a) x − 6 x + 20 ln x + 3 + C
2
2
b) x − − ln x − 1 + c
2
1 3 ln
2 7
x x
x
+
−
+ +
−
2
7 1
2
e
e
x
x
+ +
−
1
1 ln
2 1
Trang 14Kết quả thu được như sau:
Sau khi áp dụng đề tài này trong năm học 2015-2016 tôi thấy
có hiệu quả tốt, các em học sinh đã không còn lúng túng trong việc định hướng phương pháp tính nguyên hàm nữa Mặt khác các em còn có được cái nhìn khái quát tổng thể về các dạng nguyên hàm của hàm số hữu tỉ Vậy nên các em tự tin hơn khi giải bài toán tính nguyên hàm
Trên đây là một số kinh nghiệm tôi đúc kết được trong quá trình giảng dạy và tham khảo các tài liệu cũng như ý kiến đóng góp của các thầy cô trong bộ môn toán
Tuy nhiên vì thời gian và khả năng bản thân nên chắc đề tài không tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô
2 Kiến nghị
- Với nhà trường: Duy trì và phát triển các lớp bồi dưỡng chuyên
đề nhưng cũng cần quan tâm đến việc phụ đạo cho học sinh yếu
Trang 15kém Thực hiện nghiêm túc hơn nữa trong các đợt thi để đánh giá
đúng chất lượng dạy và học trong nhà trường
- Với Sở Giáo dục: Cần có cơ chế khen thưởng hợp lý để thúc đẩy
mạnh mẽ hơn nữa trong phong trào thi đua Dạy tốt – Học tốt trong
các nhà trường Đối với các đề tài đạt giải có tính ứng dụng thực
tiễn cần nhanh chóng phổ biến rộng rãi để áp dụng vào thực tiến
giảng dạy
Xin trân thành cảm ơn!
Đồng Hỷ, ngày 23 tháng 05 năm 2016
TÁC GIẢ
Đào Minh Bằng
Trang 16NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
KHOA HỌC TRUNG TÂM GDTX ĐỒNG HỶ
Tổng điểm: , Xếp loại:
TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
CHỦ TỊCH
Trần Quang Hạnh