Hệ thập phân 23456222

Đây là hệ đếm được sử dụng rộng rãi nhất trong các nền văn minh thời hiện đại.[1][2] 1 Ký tự hệ thập phân Hệ thống ký tự các con số dùng để biểu đạt các giá trị trong một hệ đếm.. Hệ thố

Hệ thập phân

Hệ thập phân (hệ đếm cơ số 10) là hệ đếm dùng số10

làmcơ số Đây là hệ đếm được sử dụng rộng rãi nhất

trong các nền văn minh thời hiện đại.[1][2]

1 Ký tự hệ thập phân

Hệ thống ký tự các con số dùng để biểu đạt các giá trị

trong một hệ đếm Trong hệ thập phân, 10ký tự(còn

gọi làcon số) khác nhau được dùng để biểu đạt 10 giá

trị riêng biệt (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9), tức là 10 con số

Những con số này còn được dùng cùng vớidấu thập

phân- ví dụ dấu “phẩy” - để định vị phần thập phân

sauhàng đơn vị Con số còn có thể được dẫn đầu bằng

các ký hiệu "+" hay "-" để biểu đạtsố dươngvàsố âm

nữa

Hệ thập phân là một hệ đếm dùng vị trí định lượng

(positional numeral system), bao gồm hàng đơn vị, hàng

chục, hàng trăm v.v Vị trí của một con số ám chỉ một

phép nhân (mũ 10) với con số ở vị trí đó, và mỗi vị trí

có giá trị gấp mười lần vị trí ở bên tay phải của nó

Số mười là một số đếm, biểu tượng của 10 ngón của

haibàn tay(hoặcbàn chân) Từ “con số" trong nhiều

ngôn ngữtrênthế giớicó cùng nghĩa ám chỉ đến cấu

trúcsinh vật họccủa ngón tay, hoặc ngón chân Trong

tiếng Việtchữ “phần mười” ám chỉ đến số lượng nhỏ

bằng 1/10 của một số lượng nào đó, và “mười lần” ám

chỉ đến một số lượng được nhân gấp 10 lần số lượng

đang có

Những ký tự đại biểu cho các con số, hiện đang được

dùng phổ biến trên toàn thế giới ngày nay, được các

nướcchâu Âugọi làbảng chữ số Ả Rập, và các nước

ở vùng Ả Rậpgọi là bảng chữ số Ấn Độ Hai nhóm

từ này đều ám chỉ đến một nền văn hóa, nơi họ tiếp

cận và học hỏi được hệ thống số, lần đầu tiên Tuy vậy,

hình dáng của các ký tự của cùng một hệ số, ở những

nơi khác nhau, lại không giống nhau hoàn toàn Chẳng

hạn, trong hệ đếm dùng ở các vùng Tây Ả Rập (nơi hệ

thống ký tự châu Âu được lấy ra) khác hẳn với những

ký tự được dùng trong các nền văn minh Ả Rập khác

2 Những hệ thống ký tự khác

Có nhiều nền văn hóa dùng, hoặc đã từng dùng, những

hệ đếm khác với hệ thập phân Chẳng hạn, người thổ

dân ở các vùng cao nguyên củaMéxico Tzotzildùnghệ

nhị thập phân(20) (vigesimal) - do dùng cả 10 ngón tay

và 10 ngón chân trong khi đếm - và một số dânNigeria

dùnghệ thập nhị phân(12) (duodecimal) Người dân ở

thành phốBabylondùnghệ lục thập phân(60), và thổ dânchâu Mỹ, người Yuki, dùnghệ bát phân

Hệ thống phần cứng và phần mềm của máy tính cũng dùng một hệ thống riêng, để biểu đạt các giá trị của

hệ thập phân, song song với việc dùng hệ thống này lưu trữ các con số, và dùng chúng trong các thao tác

số học ường thì những thao tác số học này được áp dụng vào các nguồn dữ liệu đã được mã hóa dùnghệ nhị phânbiểu đạt số thập phân (binary-coded decimal),

song cũng có các hệ mã thập phân hóa khác hiện đang được dùng (xemIEEE 754r), đặc biệt trong việc kiến tạo

và thi hành cơ sở dữ liệu ao tác số học trong hệ thập phân trên được dùng trên các máy tính để đảm bảo sự chuẩn xác của các con tính với phân số thập phân, bởi việc dùng phân số nhị phân không đảm bảo được kết quả tính toán như mong đợi Sự chuẩn xác trong các phép tính này rất quan trọng với các tính toán trong tài chính và trong các ngành khác

3 Phân số thập phân

Phân số thập phân là một phân số có mẫu số với số mũ của 10 Phân số thập phân thường được biểu thị là một

số không có mẫu số, dùngdấu thập phâncho vào tử số (với số không dẫn đầu nếu cần), và con số ngay sau dấu phân số có giá trị tương đương với một phân số mẫu số

là 10, chẳng hạn

Phần nguyên và phần phân số của các số được tách biệt bởi dấu thập phân Trongtiếng Anh, thay vì dấu

phẩy người ta dùng dấu chấm (.) để làm dấu tách ly

phần phân số ra khỏi số nguyên, trong khi tiếng Việt

và nhiều ngôn ngữ khác dùng dấy phẩy ường những

số có giá trị nhỏ hơn 1 được biểu đạt bằng một phân số thập phân với số không dẫn đầu, chẳng hạn 0,25 (thay

vì 1

4 ) Những số không nối theo sau trở thành không cần thiết, dầu vậy trong khoa học, kỹ thuật và kế toán, những số không nối theo sau có thể cần phải để lại để biểu đạt mức độ chính xác yêu cầu, đảm bảo sự an tâm

về tính chính xác của con số Tuy 0,080 và 0,08 là tương đương về giá trị, trong kỹ thuật 0,080 ám chỉ đến một

đo lường với sai số 1

2000 = ±0,0005, trong khi 0,08 ám chỉ đến một đơn vị đo lường với sai số 1

200= ±0,005 thôi (Xin xem thêm vềsố đáng kể)

1

4 Nhóm số

Các số có nhiều con số, đứng trước hoặc sau dấu thập

phân, có thể được nhóm lại thành các nhóm có ba con

số, bắt đầu từ dấu thập phân, chạy theo hướng về cả

hai chiều, trái và phải Sự phân nhóm thường được

thi hành bởi một dấu phẩy hoặc dấu chấm, hoặc một

khoảng trống Việc dùng khoảng trống đã được cân

nhắc và đề nghị trong tài liệuSI/ISO 31-0 Việc dùng

dấu chấm thay thế cho dấu phẩy, để phân chia phần

thập phân, cũng có thể được cân nhắc Để biết thêm

chi tiết, xin xem thêm bài viết vềdấu thập phân Những

phương thức biểu đạt tương tự như “12,345”, “12.345”,

“12,345.678”, và “12.345,678” gây sự khó hiểu nếu không

có một hệ thống phân định về ký hiệu nhất định

5 Các số hữu tỷ khác

Bất cứ mộtsố hữu tỷnào không thể biểu đạt bằng một

phân số thập phân, đều có một số thập phân đặc thù

ở phần đuôi được nhắc đi nhắc lại, tạo nên một dãy số

thập phân tái diễn

Số mười là tổng số của haisố nguyên tố, thứ 2 và thứ 4,

(3 + 7=10), và là số lớn hơn bình phương của số nguyên

tố thứ 2 (32=9), và là số nhỏ hơn số nguyên tố thứ 5 (số

11) Điều này chỉ ra rằng có nhiều phân số thập phân

đơn thuần, như sau:

1/2 = 0.5

1/3 = 0.333333… (với số 3 tái diễn)

1/4 = 0.25

1/5 = 0.2

1/6 = 0.166666… (với số 6 tái diễn)

1/8 = 0.125

1/9 = 0.111111… (với số 1 tái diễn)

1/10 = 0.1

1/11 = 0.090909… (với số 09 tái diễn)

1/12 = 0.083333… (với số 3 tái diễn)

1/81 = 0.012345679012… (với dãy số

012345679 tái diễn)

Khi mẫu số là các thừa số nguyên tố, nó còn cho phép

những dãy số tái diễn lâu hơn, chẳng hạn trường hợp

7,13

Một số hữu tỷ nào đó, tạo nên một dãy số thập phân

tái diễn hữu hạn, hoặc vô hạn, đều là hậu quả của một

phép tính chia dài, mà trong đó số dư còn lại chỉ là (q-1)

những số khác 0, khi số chia là q, hầu cho mô hình tái

diễn chỉ nhắc lại q-1 lần Chẳng hạn phép chia dài 3

7 sau đây:

.4 2 8 5 7 1 4… 7) 3.0 0 0 0 0 0 0 0 2 8 30/7 = 4 dư 2 2 0 1

4 20/7 = 2 dư 6 6 0 5 6 60/7 = 8 dư 4 4 0 3 5 40/7 = 5 dư

5 5 0 4 9 50/7 = 7 dư 1 1 0 7 10/7 = 1 dư 3 3 0 2 8 30/7 =

4 dư 2 (tái diễn) 2 0 vân vân

Một quan điểm đối lập với quan sát trên là mỗisố thập phân tái diễn(recurring decimal) cho ta mộtphân số hữu tỷ p

q Đây chính là hậu quả của việc dãy số thập phân tái diễn là mộtcấp số nhân(geometric series) hữu

hạn, và tổng của chúng là một số hữu tỷ Chẳng hạn:

0.0123123123 · · · = 123

10000

∞

∑

k=0

0.001 k= 123

10000

1

1− 0.001 =

123

9990=

41 3330

6 Số thực

Mỗisố thực(real number) có một biểu thị thập phân

tương ứng (có thể là vô hạn) Có thể được biểu thị theo công thức sau đây:

x = sign(x)∑

i ∈Z

a i10i

ghi chú:

• sign() làhàm signum,

• a ∈ { 0,1,…,9 } đối với tất cả các giá trị i ∈ Z, là con

số trong phần thập phân, bằng 0 đối với tất cả các

giá trị i lớn hơn một số nào đó (và số đó làlôgarít

tự nhiêncủa |x|)

Tổng này tăng trưởng trong khi i được giảm xuống, và

có thể nó là những dãy số của các con số lớn hơn không

a, lặp lại theo tiến trình vô hạn.

Số hữu tỷ(rational number) (ví dụ: p

q ) với mẫu số là các

thừa số nguyên tố(prime factor), ngoài số 2 và 5 (khi

đã được giảm xuống dạng đơn giản nhất), có một chuỗi dãy số thập phân lặp lại đặc thù

Xem xét các số hữu tỷ có mẫu số là các thừa số nguyên

tố, như 2 và 5 - có thể biểu thị bằng p

2a5b Những số này cho chúng ta một dãy số thập phân hữu hạn Chẳng hạn:

1

1 = 1 1

2 = 0, 5

3

5 = 0, 6

3

25 = 0, 12

1306

1250= 1, 0448

Có những số thực không có một biểu đạt bằng một dãy

số thập phân đặc thù, vì chúng còn có thể được biểu đạt bằng một biểu thức khác, gồm có những con số 9 tái

diễn, chẳng hạn 1 = 0, 99999 hoặc 1

2 = 0, 499999

vân vân

Những số này gọi làsố vô tỷ(irrational number) Chúng

có thể có một biểu thị thập phân đặc thù hữu hạn,

nhưng cũng đồng thời mang đặc tính là những số có

phần biểu thị thập phân vừa hữu hạn, vừa vô hạn

Nói chung, phần biểu thị thập phân trở nên đặc thù,

nếu chúng ta không kể đến những phần biểu thị kết

thúc bằng những con số 9 tái diễn

Đương nhiên, cùng một hệtam phân pháp(trichotomy)

được áp dụng cho các gốc hệ đếm khác của cáchệ đếm

dùng vị trí định lượng(positional numeral system):

• Biểu thị hữu hạn: số hữu tỷ với mẫu số chia hết

cho một số nknào đó

• Biểu thị tái diễn: một trường hợp khác của số hữu

tỷ

• Biểu thị vô hạn, bất tái diễn: số vô tỷ.

Một sao bản của hiện trạng này cũng được thấy áp dụng

trong các hệ đếm vô tỷ, chẳng hạn như thể dạnggolden

mean base(⁇?)

7 Lịch sử

• Khoảng 3500 - 2500 TCN,Đế chế ElamcủaIranđã

dùng thể thức sơ đẳng của hệ thập phân

• Khoảng 2900 TCN, trong các bản chữ tượng hình

của ngườiAi Cậpđã có thấy sự tính toán với mũ

10 (1 triệu + 400,000 con dê chẳng hạn)

• Khoảng 2600 TCN,nền văn minh sông Ấn (Bắc

Ấn Độ và Pakistan) đã có bằng chứng dùng hệ

thập phân trong hệ cân đong trọng lượng dùng

các trọng lượng thăng bằng có giá trị: 1

20 1 10 1 5 1 2 Xin xem thêm trong mụcCân đong và đo lường

trong nền văn minh sông Ấn cổ

• Khoảng 1400 TCN, có biểu hiện là những học giả

của Trung Hoaquen thuộc và thông hiểu quan

niệm về số thập phân, chẳng hạn số 547 được viết

là “Năm trăm, cộng với bốn mươi, cộng với bảy

ngày” trong một số bản viết tay

• Khoảng 1200 TCN,Ấn Độcổ, kinhVệ đà nghi thức

tế tự(Yajur-Veda) có liệt kê những con số có mũ

10, đến số 1055

• Khoảng 450 TCN, nhàngữ pháp PaninicủaẤn Độ

– dùng toán tử vô định (null operator) trong ngữ

pháptiếng Phạn

• Khoảng 400 TCN,Pingala(em trai của Panini) – kiến tạo rahệ nhị phântrong phép làm thơ tiếng Phạn, với sự sắp xếp tương ứng rõ ràng hệ thập phân

• Khoảng 100–200,Satkhandagama(hệ thống toán học cổ của Ấn Độ) là một hệ thống dùnglôgarít

sớm nhất

• Khoảng 476–550,Aryabhata (nhà thiên văn học

người Ấn Độ) dùng một hệ thống mật mã hóa bằng bảng chữ cái đối với những con số dùng số không (0)

• Khoảng 598–670, Brahmagupta (nhà thiên văn học và toán học người Ấn Độ) giải thích bảng chữ

số Ả Rập (hệ thống đương đại) mà trong đó số nguyên, số âm, và số không đã được dùng đến

• Khoảng 780–850, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī(nhà bác học ngườiBa Tư) là người đầu tiên trình bày chi tiết vềalgorism dùng hệ thập phân ở ngoài Ấn Độ

• Khoảng 920–980,Abu'l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi(nhà toán học người Ả Rập) được biết

là người sớm nhất áp dụng trực tiếp phương pháp

toán học đối với phân số thập phân (decimal

fraction).

• Khoảng 1300–1500, Trường Kerala (dạy toán và thiên văn học) ở miền Nam Ấn Độ) dạy số thập

phân với dấu chấm động (decimal floating point

number).

• 1548/49–1620,Simon Stevin(nhà toán học và kỹ

sư người vùng Vlaanderen - phía Bắc nướcBỉ) viết

cuốn De iende (Phần mười).

• 1561–1613, Bartholemaeus Pitiscus (nhà lượng giác học, thiên văn học và thần học người Silesia)

có khả năng đã dùng dấu thập phân (decimal point

notation).

• 1550–1617,John Napier(nhà toán học, vật lý học, thiên văn học ngườiScotland) dùng lôgarít thập phân làm công cụ tính toán

8 Cách diễn đạt trong ngôn ngữ

Một số ngôn ngữ diễn đạt thẳng số thập phân theo kiểu,

ví dụ số 11 được gọi là “mười-một” (10+1) và 23 được nói

là “hai-mươi-ba” (2x10+3); cách diễn đạt này có trong cáctiếng Trung ốc- ngoại trừtiếng Ngô( ) - và cũng có trongtiếng Việt, với một vài biến âm (euphony)

(“mười” thành “mươi”, “năm” thành “lăm”, “một” thành

“mốt”…) hay nuốt âm (elision) (“hai mươi mốt” thành

“hăm mốt”).Nhật Bản,Hàn ốcvàái Lanđã nhập nội hệ thập phân từ tiếng Trung ốc Nhiều ngôn ngữ

khác, có hệ thập phân cài đặt sẵn, có những chữ dành

riêng cho “chục” và “thập niên”

Trong các ngôn ngữ của người dân bản xứchâu Mỹ,

nhưtiếng echuavàtiếng Aymara, các từ đếm của

hệ thập phân hầu như được dùng trực tiếp, chẳng hạn

11 được bày tỏ là “mười với một”, hoặc 23 được nói là

“hai mười với ba”

Nhiều nhàtâm lý họccho rằng những sự bất thống nhất

(bất thường) về số học trong mộtngôn ngữnào đó, sẽ

gây sự yếm thế trong khả năng tính toán của trẻ con,

làm giảm khả năng tính toán của chúng

9 Xem thêm

• uật toán thập phân(Algorism)

• Dấu tách thập phân(Decimal separator)

• Biểu diễn thập phân

• Các dãy thập phân dùng cho mã hoá

• Hệ đếm

• Số thập phân mã hoá theo nhị phân(Binary-coded

decimal, BCD)

• Hệ thống phân loại thập phân Dewey

• 10 (số)

• Hệ nhị phân

• Hệ thập lục phân

• Hệ bát phân

10 Tham khảo

[1] e History of Arithmetic,Louis Charles Karpinski, 200

trang, Rand McNally & Company, 1925

[2] Histoire universelle des chiffres, Georges Ifrah, Robert

Laffont, 1994 (hay e Universal History of Numbers:

From prehistory to the invention of the computer,Georges

Ifrah, ISBN 0-471-39340-1, John Wiley and Sons Inc.,

New York, 2000 David Bellos dịch từ bản tiếng Pháp,

E.F Harding, Sophie Wood and Ian Monk)

11 Liên kết ngoài

• Decimal arithmetic FAQ

• Tests:Decimal Place Value Sums Fractions

• Practice Decimal Arithmetic with Printable

Worksheets

• Converting Decimals to Fractions

• Cultural Aspects of Young Children’s Mathematics Knowledge

• English words may hinder math skills development

12 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh

12.1 Văn bản

• Hệ thập phân Nguồn:https://vi.wikipedia.org/wiki/H%E1%BB%87_th%E1%BA%ADp_ph%C3%A2n?oldid=26721106Người đóng góp:

Robbot, Mekong Bluesman, Nguyễn anh ang, Trung, Arisa, Newone, DHN-bot, Hai Dang ang, JAnDbot, ijs!bot, VolkovBot, TXiKiBoT, Okokono, BotMultichill, AlleborgoBot, SieBot, Luckas-bot, Xqbot, Almabot, TobeBot, Prenn, TuHan-Bot, EmausBot, RedBot, WikitanvirBot, Kasirbot, MerlIwBot, JYBot, GrouchoBot, AlphamaBot, Hugopako, Addbot, Gaconnhanhnhen,

itxongkhoiAWB, Tuanminh01, TuanminhBot, Watashte và 10 người vô danh

12.2 Hình ảnh

12.3 Giấy phép nội dung

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0