Đại số như một phân nhánh của toán họ

Mặc dù một số phương pháp đã được phát triển từ trước, có thể được coi là đại số, nhưng sự xuất hiện của đại số, và không lâu sau đó, các phép vi phân và tích phânnhư một lĩnh vực của to

Đại số như một phân nhánh của toán họ

Mục lục

1.1 Từ nguyên 1

1.2 Đại số như một phân nhánh của toán học 1

1.3 Lịch sử 2

1.3.1 Lịch sử ban đầu của đại số 2

1.3.2 Lịch sử đại số 3

1.4 Các lĩnh vực toán học có tên gắn với đại số 3

1.5 Đại số sơ cấp 4

1.5.1 Đa thức 5

1.5.2 Giáo dục 5

1.6 Đại số trừu tượng 5

1.6.1 Nhóm 6

1.7 Các chủ đề chính 6

1.8 Phương trình đại số 6

1.9 Biểu thức: 6

1.10 Linh tinh 7

1.11 Xem thêm 7

1.12 Sách tham khảo 7

1.13 am khảo 7

1.14 Liên kết ngoài 8

1.14.1 Tiếng Anh 8

2 Số Lucas 9 2.1 Số Lucas có chỉ số âm 9

2.2 Tính chất 9

2.2.1 Công thức tổng quát 9

2.2.2 Mối liên hệ với các số Fibonacci 9

2.2.3 Khi chỉ số là số nguyên tố 10

2.2.4 Tính chia hết giữa các số Lucas 10

2.2.5 Số nguyên tố Lucas 10

2.3 Đa thức Lucas 10

2.4 Xem thêm 10

2.5 Chú thích 10

i

ii MỤC LỤC

2.6 Liên kết ngoài 10

2.7 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh 11

2.7.1 Văn bản 11

2.7.2 Hình ảnh 11

2.7.3 Giấy phép nội dung 11

Chương 1

Đại số

Công thức giải phương trình bậc 2 thể hiện các nghiệm của

phương trình bậc hai ax2

+ bx + c = 0 theo các hệ số của

nó a, b, c , trong đó a ̸= 0

Đại số là một phân nhánh lớn củatoán học, cùng vớilý

thuyết số,hình họcvàgiải tích eo nghĩa chung nhất,

đại số là việc nghiên cứu về ký hiệu toán học và các quy

tắc cho các thao tác các ký hiệu trên;[1]nó là một chủ đề

thống nhất của hầu hết tất cả lĩnh vực của toán học.[2]

Như vậy, đại số bao gồm tất cả mọi thứ từ giải phương

trình cấp tiểu học cho đến các nghiên cứu trừu tượng

nhưnhóm,vành vàtrường Phần cơ bản hơn của đại

số được gọi làđại số sơ cấp, phần trừu tượng hơn của

nó được gọi làđại số trừu tượnghoặc đại số hiện đại

Đại số sơ cấp thường được coi là cần thiết cho bất kỳ

nghiên cứu toán học, khoa học, hoặc kỹ thuật nào, cũng

như các ứng dụng khác như các ngànhy họcvàkinh

tế Đại số trừu tượng là một lĩnh vực quan trọng trong

toán học tiên tiến, là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của

các nhà toán học chuyên nghiệp Hầu hết các thành

tựu đầu tiên của môn đại số đều có nguồn gốc tiếng Ả

Rập như cái tên của nó đã gợi ý, đã được các nhà toán

họcngười Ba Tưnghiên cứu tạiTrung Đông[3][4] như

al-Khwārizmī(780–850)[5]andOmar Khayyam(1048–

1131).[6]

Đại số sơ cấp khácsố họctrong việc sử dụng các khái

niệm trừu tượng, chẳng hạn như sử dụng chữ cái để

thay cho con số hoặc là chưa biết hoặc cho phép có

nhiều giá trị.[7]Ví dụ, trongphương trìnhx+2 = 5chữ

cái x là chưa biết, nhưng luật nghịch đảo có thể được sử

dụng để tìm ra giá trị của nó: x = 3 Trong biểu thức

E = mc2, các chữ cái E và m là các biến số, còn chữ cái

clà mộthằng số, tốc độ ánh sáng trong chân không

Đại số tạo ra phương pháp để giải phương trình và thể

hiện công thức dễ dàng hơn (đối với những người biết

làm thế nào để sử dụng chúng) so với phương pháp cũ

dùng ngôn ngữ viết ra tất cả mọi thứ bằng lời

Từ đại số cũng được sử dụng trong cách chuyên ngành

nhất định Các phân ngành của đối tượng toán học trong đại số trừu tượng được gọi là "đại số", và từ này được sử dụng trong các cụm từ nhưđại số tuyến tính

vàtô pô đại số

1.1 Từ nguyên

"Đại số" là một từ Hán-Việt ( ), chỉ đến việc sử dụng ký hiệu để đại diện cho con số Từ này được nhà toán học Trung ốcLý iện Lan( ) dịch ra từ khái niệm từ Tây phương Trong các ngôn ngữ Tây phương, từ đại

số (algebra) phát nguồn từtiếng Ả Rậpربـجلا (al-jabr, có

nghĩa là phục chế) Nó được lấy từ tựa đề quyển sách

Ilm al-jabr wa'l-muḳābalacủaal-Khwarizmi

1.2 Đại số như một phân nhánh của toán học

Đại số bắt đầu với các tính toán tương tự nhưsố học, vớichữ cáithay chochữ số.[7]Điều này cho phép chứng minh các định lý hay công thức là đúng mà không phải quan tâm đến các số có liên quan Ví dụ, trongphương trình bậc hai

ax2+ bx + c = 0,

a, b, c có thể là bất kỳ số nào (ngoại trừ a phải khác 0 ),

và công thức giải phương trình bậc hai có thể được sử dụng nhanh chóng và dễ dàng tìm thấy những giá trị

của biến số x

Trong quá trình phát triển, đại số đã được mở rộng đến các đối tượng không phải số khác, chẳng hạn nhưvectơ,

ma trậnvàđa thức Sau đó, các thuộc tính cấu trúc của các đối tượng không phải số này được tóm tắt để xác định các cấu trúc đại số nhưnhóm,vànhvàtrường Trước thế kỷ 16, toán học được chia thành hai lĩnh vực

số họcvàhình học Mặc dù một số phương pháp đã được phát triển từ trước, có thể được coi là đại số, nhưng

sự xuất hiện của đại số, và không lâu sau đó, các phép

vi phân và tích phânnhư một lĩnh vực của toán học chỉ 1

2 CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ

có từ thế kỷ 16 hoặc 17 Từ nửa sau của thế kỷ 19 trở

đi, nhiều lĩnh vực mới của toán học xuất hiện, hầu hết

trong số đó đã sử dụng cả số học và hình học, và gần

như tất cả trong số đó đều sử dụng đại số

Ngày nay, đại số đã phát triển đến khi nó đã bao gồm

nhiều ngành của toán học, như có thể thấy trong Phân

loại Chủ đề Toán học[8]nơi không có lĩnh vực nào trong

số các lĩnh vực mức độ đầu tiên (với hai chữ số) được

gọi là đại số Ngày nay đại số bao gồm các phần 08-Hệ

thống đại số chung, 12-Lý thuyết trườngvà đa thức,

13-Đại số giao hoán, 15-Đại số tuyến tínhvà đại số đa

tuyến;Lý thuyết ma trận, 16-Vành kết hợp và đại số,

17-Vành không kết hợp và đại số, 18-Lý thuyết thể loại;

đại số đồng điều, 19-uyết K và 20-Lý thuyết nhóm

Đại số cũng được sử dụng rộng rãi trong 11-Lý thuyết

sốvà 14-Hình học đại số

1.3 Lịch sử

1.3.1 Lịch sử ban đầu của đại số

Một trang trong tác phẩm al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr

wa-l-muqābala của Al-Khwārizmī

Cội nguồn của đại số có nguồn gốc từ người Babylon

cổ đại,[9] vốn đã phát triển một hệ thống số học tiên

tiến mà họ đã có thể làm các phép tính theo phong

cáchthuật toán Người Babylon đã phát triển các công thức để tính toán các lời giải cho các bài toán mà ngày nay thường được giải quyết bằng cách sử dụngphương trình tuyến tính,phương trình bậc hai, và phương trình tuyến tính không xác định Ngược lại, hầu hết người Ai Cập của thời đại này, cũng như các nhà toán học Hy Lạp

và Trung ốc trong thiên niên kỷ 1 TCN, thường giải các phương trình như vậy bằng phương pháphình học,

chẳng hạn như những mô tả trong sách toán viết trên giấy lau sậy Rhind, Cơ sở của Euclid và Cửu chương toán thuật Lời giải bằng hình học của người Hy Lạp,

tiêu biểu trong cuốn Cơ sở, cung cấp một khuôn khổ

cho việc khái quát công thức không chỉ dành cho lời giải của các bài toán cụ thể mà còn đưa chúng vào một

hệ thống chung hơn để mô tả và giải phương trình, mặc

dù điều này sẽ không được thực hiện cho đến khi toán học phát triển trong Hồi giáo thời kỳ Trung Cổ.[10]

Đến thời củaPlato, toán học Hy Lạp đã trải qua một sự thay đổi mạnh mẽ NgườiHy Lạp cổ đạitạo ra một dạng đại số hình học, trong đó các từ ngữ được đại diện bằng các bên của các đối tượng hình học, thường là các dòng

kẻ với các chữ cái liên kết ở bên cạnh.[7] Diophantus

(thế kỷ 3) là một nhà toán học Hy Lạp ởAlexandriavà

là tác giả của một loạt các cuốn sách có tên Arithmetica.

Những cuốn sách này tập trung vào việc giải quyết

phương trình đại số,[11]và đã đưalý thuyết sốđến với

phương trình Diophantos Các phương pháp đại số hình học đã thảo luận ở trên

có ảnh hưởng trực tiếp đến nhà toán họcngười Ba Tư Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī(khoảng 780–850)

Ông sau đó đã viết cuốn sách Cách tính toán dựa trên khôi phục và cân bằng Cuốn sách này đã chính thức

đưa đại số thành một phân nhánh độc lập của toán học, tách rời đại số khỏihình họcvàsố học.[12]

Các nhà toán học thờiHellenistic Hero của Alexandria

vàDiophantus[13] cũng như các nhà toán học Ấn Độ như Brahmaguptatiếp tục truyền thống của Ai Cập

và Babylon, mặc dù tác phẩm của Arithmetica của Diophantus và tác phẩm Brāhmasphuṭasiddhānta của

Brahmagupta ở đẳng cấp cao hơn.[14]Ví dụ, giải pháp số học đầy đủ đầu tiên (bao gồm cả các nghiệm là số không

và số âm) củaphương trình bậc haiđược Brahmagupta

mô tả trong cuốn sách Brahmasphutasiddhanta Sau đó,

các nhà toán học Ba Tư và Ả Rập phát triển phương pháp đại số ở một mức độ tinh tế cao hơn nhiều Mặc

dù Diophantus và người Babylon sử dụng phương pháp tại chỗ đặc biệt để giải quyết các phương trình, đóng góp của Al-Khwarizmi là cơ bản Ông đã giải quyết phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai mà không dùng biểu tượng đại số,số âmhoặcsố không,

do đó ông đã phải tách biệt phương trình bậc hai tổng quát thành một số loại phương trình khác nhau.[15]

Trong bối cảnh đại số được xác định với các lý thuyết của phương trình, nhà toán họcngười Hy Lạp Diophantusđược biết đến như là “cha đẻ của đại số" nhưng trong thời gian gần đây có nhiều cuộc tranh

1.4 CÁC LĨNH VỰC TOÁN HỌC CÓ TÊN GẮN VỚI ĐẠI SỐ 3

luận về việc liệu al-Khwarizmi, người sáng lập ra phép

biến đổi al-jabr (khôi phục), xứng đáng hơn với danh

hiệu trên.[16] Những người ủng hộ Diophantus chỉ ra

thực tế là các phép biến đổi đại số trong Al-Jabr có

phần sơ cấp hơn khi so sánh với các phép biến đổi

đại số trong Arithmetica và Arithmetica ngắn gọn hơn

trong khi Al-Jabr hoàn toàn dùng ngôn ngữ thường.[17]

Những người ủng hộ Al-Khwarizmi chỉ ra thực tế là

ông đã giới thiệu phương pháp “giảm” và “cân bằng”

(bỏ đi hoặc trừ đi cả hai vế của phương trình cho cùng

một số), từ đó có thuật ngữ al-jabr,[18]và ông đã giải

thích đầy đủ về cách giải phương trình bậc hai,[19]kèm

theo là các chứng minh bằng hình học, trong khi coi đại

số là một ngành độc lập của riêng nó.[20]Đại số của ông

cũng đã không còn liên quan “với một loạt các bài toán

cần được giải quyết, mà đã trở thành một cuộc triển

lãm bắt đầu với các khái niệm nguyên thủy, trong đó

các trường hợp đưa ra phải bao gồm tất cả khả năng có

thể cho phương trình, điều này đã chỉ rõ đối tượng thực

sự của việc nghiên cứu” Ông cũng nghiên cứu phương

trình không phụ thuộc vào bài toán và “một cách chung

chung, phương trình không chỉ đơn giản là xuất hiện

trong quá trình giải quyết một bài toán, nhưng nó được

tạo ra để giải quyết vô số bài toán cùng loại”.[21]

Một nhà toán học người Ba Tư khác làOmar Khayyám

đã được ghi công với việc xác định các nền tảng của

hình học đại sốvà tìm thấy cách giải bằng phương pháp

hình học tổng quát củaphương trình bậc ba Tuy nhiên,

một nhà toán học người Ba Tư khác tênSharaf al-Dīn

al-Tusi, tìm thấy cách giải đại số và số học cho hàng

loạt trường hợp khác nhau của phương trình bậc ba.[22]

Ông cũng phát triển các khái niệm vềhàm số.[23]Các

nhà toán học Ấn Độ Mahavira và Bhaskara II, nhà toán

học Ba Tư Al-Karaji,[24] và nhà toán học Trung ốc

Chu ế Kiệt giải quyết một số phương trình bậc ba,

bốn, năm và bậc cao hơn sử dụng các phương pháp số

Trong thế kỷ 13, cách giải một phương trình bậc ba của

Fibonaccilà đại diện cho khởi đầu của hồi sinh trong

nghiên cứu đại số ở châu Âu Khi thế giới Hồi giáo dần

suy tàn, thế giới châu Âu dần phát triển Và từ đó đại

số đã phát triển hơn nữa

1.3.2 Lịch sử đại số

François Viètelà người đã có những nghiên cứu mới về

đại số vào cuối thế kỷ 16 Năm 1637,René Descartes

xuất bản cuốn La Géométrie, phát kiến ra hình học

giải tích và giới thiệu ký hiệu đại số hiện đại Các

sự kiện quan trọng đánh dấu sự phát triển của đại

số là giải pháp đại số chung của phương trình bậc

ba và bậc bốn, được phát triển vào giữa thế kỷ 16 Ý

tưởng vềđịnh thứcđược nhà toán học Nhật Seki Kōwa

phát triển vào thế kỷ 17, cùng với nghiên cứu độc lập

củaGofried Leibniz10 năm sau đó nhằm giải quyết

hệ phương trình tuyến tính sử dụngma trận.Gabriel

Cramercũng đã nghiên cứu về ma trận và định thức

trong thế kỷ 18 Hoán vị đượcJoseph-Louis Lagrange

Nhà toán học người Ý Girolamo Cardano đã công bố lời giải phương trình bậc 3 và bậc 4 vào năm 1545 trong cuốn sách Ars magna của ông.

phân tích trong luận văn năm 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations, tập trung vào các lời

giải của phương trình đại số, trong đó ông giới thiệu đa thức giảm bậc Lagrange Paolo Ruffini là người đầu tiên phát triển các lý thuyết vềnhóm hoán vị, và cũng như những người đi trước, tập trung vào việc giải phương trình đại số

Đại số trừu tượngđã được phát triển trong thế kỷ 19, xuất phát từ sự quan tâm tới việc giải quyết các phương trình, ban đầu tập trung vào những gì bây giờ được gọi

là lý thuyết Galois, và về các vấn đề số có khả năng xây dựng.[25]George Peacock là người sáng lập tư duy tiên đề trong số học và đại số Augustus De Morgan

phát kiến ra đại số quan hệ trong cuốn sách Syllabus of

a Proposed System of Logic.Josiah Willard Gibbsphát triển đại số của các vectơ trong không gian ba chiều,

và Arthur Cayley phát triển đại số của ma trận (đây là một đại số không giao hoán).[26]

1.4 Các lĩnh vực toán học có tên gắn với đại số

Một số lĩnh vực của toán học thuộc về đại số trừu tượng

có tên gắn với đại số;đại số tuyến tínhlà một ví dụ Một

số khác không có tên gắn với đại số, chẳng hạn nhưlý thuyết nhóm, lý thuyết vành vàlý thuyết trường Trong phần này sẽ liệt kê một số lĩnh vực của toán học với từ

4 CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ

"đại số" trong tên

• Đại số sơ cấplà phần đại số thường được dạy trong

các khóa học cơ bản của toán học

• Đại số trừu tượng, trong đó các cấu trúc đại số

nhưnhóm,vànhvàtrườngđược định nghĩa và tìm

hiểu

• Đại số tuyến tínhnghiên cứu tính chất củaphương

trình tuyến tính,không gian vectơvàma trận

• Đại số giao hoán, nghiên cứu về các vành giao

hoán

• Đại số máy tính, nghiên cứu cách thực hiện các

phương pháp đại số như thuật toánvà chương

trình máy tính

• Đại số đồng điều, nghiên cứu về các cấu trúc đại số

mà là nền tảng cho nghiên cứukhông gian tôpô

• Đại số phổ quát, nghiên cứu tính chất của tất cả

các cấu trúc đại số

• Lý thuyết số đại số, trong đó các thuộc tính của số

được nghiên cứu từ quan điểm đại số

• Hình học đại số, một chi nhánh của hình học, ở

dạng nguyên thuỷ của nó xác định đường cong và

bề mặt như lời giải của phương trình đa thức

• Tổ hợp đại số, trong đó phương pháp đại số được

sử dụng để nghiên cứu các bài toán tổ hợp

Nhiều cấu trúc toán cũng được gọi là đại số:

• Đại số trên một trường hoặc đại số trên một vành.

Nhiều nhóm của đại số trên một trường hoặc trên

một vành có một tên cụ thể:

• Đại số giao hoán

• Đại số không giao hoán

• Đại số Lie

• Đại số Hopf

• Đại số C*

• Đại số đối xứng

• Đại số ngoài

• Đại số Tensor

• Tronglý thuyết đo

• Đại số sigma

• Đại số trên một tập hợp

• Trong lý thuyết phân loại

• Đại số F và F-coalgebra

• Đại số T

• Tronglogic,

• Đại số quan hệ: một tập hợp cácquan hệlà đóng với các toán tử nhất định

• Đại số Boole, một cấu trúc trừu tượng hóa

các tính toán với giá trị luân lý sai và đúng.

Các cấu trúc cũng có cùng tên

• Đại số Heyting

1.5 Đại số sơ cấp

Ký hiệu biểu thức đại số:

1 – số mũ

2 – hệ số

3 – đơn thức

4 – phép toán

5 – hằng số

x y c – biến số/hằng số

Đại số sơ cấp là hình thức cơ bản nhất của đại số Nó

được dạy cho những học sinh không có kiến thức nào

vềtoán họcngoài các nguyên tắc cơ bản củasố học Trong số học, chỉsốvà phép toán số học (chẳng hạn như +, -, ×, ÷) được dùng Trong đại số, số thường được biểu diễn bằng các ký hiệu được gọi làbiến số(như là

a, n, x, y hoặc z) Điều này rất hữu ích vì:

• Nó cho phép viết các định luật chung của số học (như a + b = b + a cho mọi a và b), và do đó là

bước đầu tiên để khám phá một cách hệ thống các thuộc tính củahệ thống số thực

• Nó cho phép tham chiếu đến các số “chưa biết”,

xây dựng cácphương trìnhvà nghiên cứu làm thế

nào để giải quyết chúng (Ví dụ, “Tìm một số x sao cho 3x + 1 = 10” hoặc đi xa hơn “Tìm một số x sao cho ax + b = c" Bước trừu tượng này dẫn đến kết

luận rằng việc giải quyết các phương trình không liên quan đến bản chất của những con số cụ thể

mà chỉ liên quan đến cách giải quyết các phương trình trên.)

• Nó cho phép mô tả các quan hệhàm số (Ví dụ,

“Nếu bạn bán được x vé, thì lợi nhuận của bạn sẽ

là 3x − 10 đồng, hoặc f (x) = 3x − 10, trong đó f

là hàm số, và x là con số mà hàm số này sẽ được

dùng để tính toán”.)

1.6 ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG 5

1.5.1 Đa thức

Đồ thị của một hàm đa thức bậc 3.

Một đa thức là một biểu thức gồm tổng của một số hữu

hạn các đơn thức khác không, mỗi đơn thức bao gồm

tích của một hằng số và một số hữu hạn cácbiến số

với số mũ là số nguyên Ví dụ, x2+ 2x − 3 là một đa

thức của biến số x Một biểu thức đa thức là một biểu

thức có thể được viết lại như một đa thức, bằng cách sử

dụng các phép giao hoán, kết hợp và phân phối phép

cộng và phép nhân Ví dụ, (x − 1)(x + 3) là một biểu

thức đa thức, nếu nói cho đúng thì nó không phải là

đa thức Một hàm đa thức là một hàm được định nghĩa

bằng một đa thức hoặc một biểu thức đa thức Hai ví

dụ trên định nghĩa cùng một hàm đa thức

Hai vấn đề quan trọng và có liên quan trong đại số là

các nhân tử của đa thức, nghĩa là thể hiện một đa thức

như là một tích của các đa thức khác mà không thể giảm

bậc hơn nữa, và việc tính toán các ước chung lớn nhất

của đa thức Ví dụ đa thức trên có thể được viết thành

nhân tử như (x − 1)(x + 3) Một nhóm các bài toán có

liên quan là tìmnghiệm sốcủa một đa thức một biến

số bằng căn thức

1.5.2 Giáo dục

Môn đại số sơ cấp được gợi ý là cần phải được dạy cho

học sinh ở độ tuổi mười một,[27] mặc dù trong những

năm gần đây môn này bắt đầu được dạy ở cấp lớp tám

(≈ 13 tuổi) ở Mỹ.[28]

Tại Việt Nam, môn đại số được dạy tích hợp với môn

Toán trong ba lớp 7, 8, 9 (12, 13, 14 tuổi), và chính thức

được dạy như một môn độc lập từ năm lớp 10 (15 tuổi)

Kể từ năm 1997,Virginia Techvà một số trường đại học

khác tại Mỹ đã bắt đầu sử dụng một mô hình cá nhân

cho việc giảng dạy đại số kết hợp thông tin phản hồi ngay lập tức từ phần mềm máy tính chuyên ngành với phương pháp dạy một thầy một trò và dạy kèm nhóm nhỏ, điều này đã làm giảm chi phí và tăng thành tích cho học sinh.[29]

1.6 Đại số trừu tượng

Đại số trừu tượng mở rộng các khái niệm quen thuộc

trong đại số sơ cấp vàsố họcvới cáccon sốđến những khái niệm tổng quát hơn Dưới đây là liệt kê các khái niệm cơ bản trong đại số trừu tượng

Tập hợp: ay vì chỉ xem xét các loạisốkhác nhau, đại

số trừu tượng làm việc với các khái niệm tổng quát hơn

- tập hợp: một loạt của tất cả các đối tượng (gọi là phần tử) được lựa chọn theo một đặc điểm nào đó Tất cả các nhóm các loại số quen thuộc đều là các tập hợp Ví dụ khác về tập hợp bao gồm tập hợp của tất cả ma trận

hai-nhân-hai, tập hợp tất cả các đa thức bậc hai (ax2+

bx + c), tập hợp của tất cả cácvectơhai chiều trong một mặt phẳng, và hàng loạtnhóm hữu hạnnhư cácnhóm cyclic, đó là nhóm các số nguyên đồng dư modulo n.

Lý thuyết tập hợplà một nhánh củalogicvà về mặt lý thuyết không phải là một nhánh của đại số

Phép toán hai ngôi: Dấu củaphép cộng(+) được trừu

tượng hóa để dùng cho phép toán hai ngôi, chẳng hạn

phép ∗ Các khái niệm về phép toán hai ngôi là vô nghĩa nếu tập hợp mà trên đó các phép toán trên được định

nghĩa Đối với hai phần tử a và b trong một tập S, a ∗

b cũng là một phần tử cúa S; điều kiện này được gọi là

tính đóng của tập hợp đối với phép toán.Phép cộng(+),

phép trừ(−),phép nhân(×), vàphép chia(÷) có thể là phép toán hai ngôi khi xác định trên các tập hợp khác nhau, cũng như phép cộng và phép nhân các ma trận, vectơ và đa thức

Phần tử đơn vị: Những con số 0 và 1 được trừu tượng

hóa để tạo ra khái niệm về một phần tử đơn vị cho một

phép toán 0 là phần tử đơn vị cho phép cộng và 1 là phần tử đơn vị cho phép nhân Đối với một phép toán

hai ngôi ∗ phần tử đơn vị e phải thỏa mãn a ∗ e = a và e

∗ a = a, và nếu nó tồn tại thì nó phải là duy nhất Điều này đúng với phép cộng vì a + 0 = a và 0 + a = a và phép nhân khi a × 1 = a và 1 × a = a Không phải tất cả

các tập hợp và phép toán hai ngôi đều có phần tử đơn vị; Ví dụ, tập hợp số tự nhiên (1, 2, 3,…) không có phần

tử đơn vị cho phép cộng

Phần tử nghị đảo: Các số âm đã đưa ra khái niệm các phần tử nghịch đảo Đối với phép cộng, phần tử nghịch đảo của a được viết là -a, và cho phép nhân phần tử này được viết là a−1 Một yếu tố đảo ngược tổng quát a−1

thỏa mãn thuộc tính: a * a−1= e và a−1* a = e, trong

đó e là phần tử đơn vị

Tính kết hợp:Phép cộngcácsố nguyêncó một thuộc

6 CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ

tính được gọi là kết hợp Nghĩa là, việc nhóm các số

được thêm vào không ảnh hưởng đến tổng Ví dụ: (2 +

3) + 4 = 2 + (3 + 4) Nói chung, điều này trở thành (a * b)

* c = a * (b * c) uộc tính này là đúng với hầu hết các

phép toán nhị phân, trừphép trừhoặcphép chiahoặc

phép nhân octonon

Tính giao hoán:Phép cộngvàphép nhâncủasố thực

đều là giao hoán Điều này nghĩa là thứ tự của các số

không ảnh hưởng đến kết quả Ví dụ: 2 + 3 = 3 + 2 Nói

chung, điều này sẽ trở thành a * b = b * a uộc tính

này không đúng cho tất cả các phép toán nhị phân Ví

dụ, phép nhân ma trận và phép chia bậc bốn đều không

giao hoán

1.6.1 Nhóm

Kết hợp các khái niệm trên cho một trong những cấu

trúc quan trọng nhất trong toán học:nhóm Một nhóm

là sự kết hợp của một tập hợp S và một phép toán nhị

phân duy nhất, được xác định theo bất kỳ cách nào bạn

chọn, với các thuộc tính sau:

• Mộtphần tử đơn vịe tồn tại, sao cho mỗi thành

viên a thuộc S, e ∗ a và a ∗ e đều bằng a.

• Mỗi phần tử đều cóphần tử nghịch đảo: đối với

mỗi thành viên a thuộc S, tồn tại một thành viên

a−1sao cho a ∗ a−1và a−1∗ a đều bằng phần tử đơn

vị e

• Phép toán mang tính kết hợp: nếu a, b và c là các

thành viên của S, thì (a ∗ b) ∗ c bằng a ∗ (b ∗ c).

Nếu một nhóm cũng cótính giao hoán- nghĩa là, với

bất kỳ hai thành viên a và b của S, a * b bằng b * a - thì

nhóm được gọi lànhóm giao hoánhaynhóm Abel

1.7 Các chủ đề chính

Dưới đây là một số chủ đề chính của đại số:

• Các bất biến đại số

• Các đa thức

• Các đại số mang tên người

• Các đẳng thức đại số

• Các đường cong đại số

• Các đường cong elíp

• Các nhân thức

• Các nhóm sóng

• Các phép biến đổi đại số

• Các phương trình đại số

• Các tính chất đại số

• Các tổng đại số

• Cyclotomy

• Dạng bình phương

• Đại số đồng điều

• Đại số không giao hoán

• Đại số phổ dụng

• Đại số tuyến tính

• Đại số tổng quát

• Đại số véctơ

• Đại số vô hướng

• Hình học đại số

• Lý thuyết giá trị

• Lý thuyết mã hoá

• Lý thuyết nhóm

• Lý thuyết nửa nhóm

• Lý thuyết số

• Lý thuyết trường đại số

• Lý thuyết vành

1.8 Phương trình đại số

• Phương trình tuyến tính

• Phương trình bậc hai

• Phương trình bậc ba

• Phương trình lũy thừa

• Phương Trình Đạo Hàm

1.9 Biểu thức:

Tam thức bậc hai

Nhị thức bậc nhất

Biểu thức Đại số

1.13 THAM KHẢO 7

1.10 Linh tinh

Từ đại số còn được sử dụng cho các cấu trúc đại số khác:

• Đại số trên trường(K-algebra)

• Đại số trên tập hợp

• Đại số Bool

• Đại số sigma(σ-algebra)

1.11 Xem thêm

• Hệ thống đại số máy tính

• Diophantus, “cha đẻ của đại số"

• Mohammedal-Khwarizmi, được biết đến như là

“cha đẻ của đại số"

1.12 Sách tham khảo

• Boyer, Carl B.(1991), A History of Mathematics ,

John Wiley & Sons, Inc.,ISBN 0-471-54397-7

• Donald R Hill, Islamic Science and Engineering

(Edinburgh University Press, 1994)

• Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van

Loon, Introducing Mathematics (Totem Books,

1999)

• George Gheverghese Joseph, e Crest of the

Peacock: Non-European Roots of Mathematics

(Penguin Books, 2000)

• John J O'Connor and Edmund F Robertson, History

Topics: Algebra Index In MacTutor History of

Mathematics archive (University of St Andrews,

2005)

• I.N Herstein: Topics in Algebra.ISBN

0-471-02371-X

• R.B.J.T Allenby: Rings, Fields and Groups.ISBN

0-340-54440-6

• L Euler:Elements of Algebra,ISBN

978-1-899618-73-6

• Asimov, Isaac(1961) Realm of Algebra Houghton

Mifflin

1.13 Tham khảo

[1] I N Herstein, Topics in Algebra, “An algebraic system

can be described as a set of objects together with some operations for combining them.” p 1, Ginn and Company, 1964

[2] I N Herstein, Topics in Algebra, "…it also serves as

the unifying thread which interlaces almost all of mathematics.” p 1, Ginn and Company, 1964

[3] “Omar Khayyam Persian poet and astronomer” Encyclopedia Britannica Truy cập 1 tháng 12 năm 2016

[4] Poole, David (2010) Linear Algebra: A Modern Introduction(ấn bản 3) Cengage Learning tr 91.ISBN 978-0-538-73545-2

[5] Pickover, Clifford A (2009) e Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics Sterling Publishing Company

tr 84.ISBN 978-1-4027-5796-9 [6] “Omar Khayyam” Encyclopedia Britannica Truy cập

ngày 5 tháng 10 năm 2014

[7] (Boyer 1991, “Europe in the Middle Ages” p 258) “In

the arithmetical theorems in Euclid’s Elements VII-IX,

numbers had been represented by line segments to which leers had been aached, and the geometric

proofs in al-Khwarizmi’s Algebra made use of leered

diagrams; but all coefficients in the equations used in

the Algebra are specific numbers, whether represented

by numerals or wrien out in words

[8] “2010 Mathematics Subject Classification” Truy cập ngày 5 tháng 10 năm 2014

[9] Struik, Dirk J (1987) A Concise History of Mathematics.

New York: Dover Publications.ISBN 0-486-60255-9 [10] Boyer 1991

[11] Cajori, Florian (2010) A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching tr

34.ISBN 1-4460-2221-8 [12] Roshdi Rashed (tháng 11 năm 2009) “Al Khwarizmi: e Beginnings of Algebra”.Saqi Books.ISBN 0-86356-430-5Bản mẫu:Inconsistent citations

[13] “Diophantus, Father of Algebra” Truy cập ngày 5 tháng

10 năm 2014

[14] “History of Algebra” Truy cập ngày 5 tháng 10 năm 2014

[15] Josef W Meri (2004) Medieval Islamic Civilization Psychology Press tr 31.ISBN 978-0-415-96690-0 Truy cập ngày 25 tháng 11 năm 2012

[16] Boyer, Carl B (1991) A History of Mathematics Wiley.

tr 178, 181.ISBN 0-471-54397-7

[17] Boyer, Carl B (1991) A History of Mathematics Wiley.

tr 228.ISBN 0-471-54397-7