Tài liệu ôn tập Toán lớp 9

Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9Tài liệu ôn tập Toán lớp 9

CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

BÀI 1 CĂN BẬC HAI

LÝ THUYẾT

I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA BẬC HAI

1) * a2≥0, ∀ a∈R * a2>0 ⇔a≠0

2)

a2= b2⇔[ a=b

a=−b hoặc a2= b2⇔| a|=|b|

Ví dụ 1 Tìm x, biết: 4x2=25

⇔x2=25

4 ⇔x

2=(52)2=(−5

2)2⇔[

x=5

2

x =−5

2

3)

a2+ b2= 0⇔ { a=0 b=0

Ví dụ 2 Tìm x, y biết: x2−2xy+2y2−2y+1=0

⇔( x− y )2+( y−1)2=0 ⇔{x− y=0

y−1=0⇔{x = y y=1⇔{x=1 y=1

4) a2> b2⇔| a|>|b|; ∀ a,b∈R

Đặc biệt:

* Nếu a, b cùng dương thì: a2>b2⇔a>b

* Nếu a, b cùng âm thì: a2>b2⇔a<b

Ví dụ 3 72>52⇔7>5 (do 7; 5 > 0)

( −7 )2> ( −5 )2⇔−7<−5 (do −7; −5<0 )

5) ∀ a,b,c∈R ; ta có:

( abc )2= a2b2c2 ; ( a b )2= a2

b2 (b≠0)

II CĂN BẬC HAI SỐ HỌC

Ở lớp 7 ta đã biết:

* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2=a

* Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương ký hiệu là √ a và số âm ký hiệu là

− √ a

* Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết √ 0=0

1) Định nghĩa

Với số dương a (a > 0), số √ a được gọi là căn bậc hai số học (CBHSH) của a

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

Ví dụ 4 CBHSH của 16 là √ 16=4 (vì 4≥0 và 42

=16 ) CBHSH của 1,44 là √ 1,44=1,2 (vì 1,2≥0 và 1,22=1,44 )

CBHSH của

9

25 là √ 25 9 =

3

5 (vì

3

5≥0 và ( 3 5 )2= 9

25 )

2) Chú ý

a) Với a≥0 , ta có:

Nếu x= √ a thì x≥0 và x2

=a

Nếu x≥0 và x2

=a thì x= √ a x=√a ⇔{x2=x≥0( √a)2=a

Khi viết √ a ta phải có đồng thời a≥0 và √ a≥0

b) Ta có ( − √ a )2= ( √ a )2= a

Với a>0 thì x2= a⇔[ x= √ a

x=− √ a

Ví dụ 5

( − √ 5 )2= ( √ 5 )2=5; x2= 5⇔[ x= √ 5

x=− √ 5

c) Số âm không có căn bậc hai số học

d) Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số a≥0 gọi là phép khai phương

III SO SÁNH CĂN BẬC HAI SỐ HỌC

* Với các số a, b không âm (a≥0, b≥0) ta có: a2> b2⇔ a>b ⇔ √ a> √ b

Ví dụ 6 3>2⇔ √ 3> √ 2

BÀI TẬP

Bài 1 Tìm căn bậc hai số học của các số: 16; 9

64; 0; 25;

36

49; 19; −2

Bài 2 Tính: √ 49; √ 0,01; √ 25 4 ; √ 1 9

16 ; ( √ 3 )

2

; √ (−9)(−36)

( − √ 7 )2; √ 0,81+ √ 16 9 ; √ 412−402; √ 582−422

Bài 3 Giải các phương trình sau:

d) 5x2+125=0 e) x2−4x+4=113

g) x2+2 √ 2 x+2=1 h) x2−2 √ 3 x+2=0

Bài 4 Giải các phương trình sau:

a) ( x−3 )2=11+6 √ 2 b) x2−10x+25=27−10 √ 2

c) 4x2+ 4x=27−10 √ 3 d) x2+ 2 √ 5 x=16−4 √ 5

e) x2+4 √ 3 x=1−4 √ 3 f) 4x2−12 √ 2 x−33+10 √ 2=0

g) 2x2−12x +9+4 √ 2=0 h) 3x2−30x+26+8 √ 3=0

Bài 5 Không dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:

a) 6 √ 5 và 5 √ 6 b) √ 2 3 và √ 3 √ 2 c) √ 8+3 và 6

d) 2 √ 5−5 và √ 5−3 e) √ 2−2 và √ 3−3 f) √ 3+ √ 5 và √ 5+1 √ 2

Bài 6 Không dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:

a) √ 17+ √ 26 và 9 b) √ 48 và 13− √ 35 c) √ 31− √ 19 và 6− √ 17

d) 9− √ 58 và √ 80− √ 59 e) √ 13− √ 12 và √ 12− √ 11 f) √ 7− √ 21+4 √ 5 và

√ 5−1

g) √ 5+ √ 10+1 và √ 35 h) 15−2 3 √ 10 và √ 15 i) ⏟ √ 4+ √ 4+ √ 4+ + √ 4

Bài 7 Các số sau đây số nào có căn bậc hai số học? (giải thích)

d) 3 √ 2−2 √ 5+1 e) 11− √ 26− √ 37 f) √ 26+ √ 17+1− √ 99

BÀI 2 CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC √ A2=| A|

LÝ THUYẾT

I ĐỊNH NGHĨA

Nếu dưới dấu căn là một biểu thức A có chứa biến và hằng; ta gọi √ A là căn thức bậc hai; A là biểu

thức dưới dấu căn

Ví dụ 1 √ 3x+2; √ 4x2+ y ; √ 9−2 √ 3

II ĐIỀU KIỆN ĐỂ √ A CÓ NGHĨA

√ A xác định (hay có nghĩa) ⇔A≥0 (A không âm)

Ví dụ 2 Tìm điều kiện có nghĩa của:

a) B= √ −2x−8 b) C= √ −3(4−3x) d) D= √ x2+2x +2

Giải

a) (Điều kiện xác định) ĐKXĐ: −2x−8≥0⇔−2x≥8⇔ x≤−4

b) ĐKXĐ: −3(4−3x)≥0 ⇔ 4−3x≤0⇔−3x≤−4 ⇔ x≥3

4

c) Vì x2+2x+2= ( x2+2x +1 ) +1=(x +1)2+1≥1>0, ∀ x nên ĐKXĐ: ∀x∈R

* Chú ý

1) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:

a) A (x) là biểu thức nguyên ⇒ A (x) luôn có nghĩa

b)

A ( x)

B ( x) có nghĩa ⇔ B (x)≠0

c) √ A (x) có nghĩa ⇔ A ( x)≥0

d)

1

√ A ( x) có nghĩa ⇔ A ( x)>0

2) Với A >0 ; ta có:

X2= A2⇔| X|= A ⇔[ X= A

X=− A

X2≤ A2⇔| X|≤ A ⇔− A≤X ≤A

X2≥ A2⇔| X|≥ A ⇔[ X≥ A

X≤− A

Ví dụ 3 Tìm điều kiện xác định của:

a)

E= 1

√x2−3 b) F=√5−x1 2

Giải

a) ĐKXĐ:

x2−3>0⇔ x2>3⇔ x2> ( √ 3 )2⇔[ x> √ 3

x<− √ 3

b) ĐKXĐ:

1

5−x2>0⇔ 5−x

2>0⇔ x2<5⇔ x2<( √5)2⇔−√5 < x<√5

III HẰNG ĐẲNG THỨC √ A2=| A|

√ A2=| A|= { − A A

khi A≥0 khi A <0

Ví dụ 4 Tính:

Giải

a) √ x6= √ ( x3)2=| x3|= { x3

− x3

khi x≥0 khi x <0

b) √ ( √ 5−2 )2=| √ 5−2|= √ 5−2 (vì √ 5−2= √ 5− √ 4>0 )

c) √ 4+2 √ 3= √ ( √ 3 )2+2 √ 3+12= √ ( √ 3+1 )2=| √ 3+1| (vì √ 3+1>0 )

BÀI TẬP

Bài 8 Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:

1

8−x

x

g) √x−2+ 1

x−3 h) √ 3x+2+ √ −2x+3 i) √ 7x2+ 4

12

Bài 9 Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:

a) √ ( 2x−3) (3x−2) b) √ 3x+4 x−2 c)

1

√x2−8x+15

d) √ 35−x2+2x e) √ − x2+4x−4 f)

1

√9x2−6x+1

g) √ x2−8x+18 h) √ − x2−2x−1 i) √ 5x2−4x−8

3x+2 l) √ 3x−2+ √ 3−2x

m) √ | x−2|−4 n) √ 2−|x−3| o) √ −| x+1|−3

Bài 10 Rút gọn các biểu thức sau:

a) √ ( 3− √ 5 )2 b) − √ ( 1− √ 5 )2 c) − √ ( √ 2− √ 5 )2

d) √ ( 3 √ 3−2 √ 7 )2 e) √ ( 3− √ 7 )2− √ ( 2 √ 7−6 )2 f) √ ( √ 2− √ 3 )2− √ ( 2 √ 3−3 √ 2 )2

Bài 11 Rút gọn các biểu thức sau:

a) √ 7−4 √ 3+ √ 4−2 √ 3 b) √ 3−2 √ 2+ √ 6−4 √ 2 c) √ 9−4 √ 5− √ 14−6 √ 5 d) √ 32−10 √ 7− √ 43−12 √ 7 e) √ 13−4 √ 3− √ 16−8 √ 3

Bài 12 Rút gọn các biểu thức sau:

a) 5 √ 25x6 với x≥0 b) −5 √ ( −4x )6 với x<0

c) 5 √ ( x−3 )2 với x≥3 d) −2 √ ( x+5 )2 với x<−5

e) 2 √ ( x−1 )2−5x+5 với x<1 f) √ 25 ( x−2 )2+3x−6 với x≥2

g) 9 √ ( x+1 )4+3 ( x+1 )2 h) 5 √ 4 ( x−4 )6−3 ( x−4 )3 với x<4

Bài 13 Rút gọn các biểu thức sau:

a) 3x− √ 9x2−6x +1 b) √ −4x2+ 4x−1

c)

√x2−10x+25

x−5 d) √ (x−2)2+√x2−4x +4

x−2

e) √ (3x−2)2+√9x2−12x+4

3x−2 f) √ x4( x−1 )2 (với x<0 )

g) √ x2−2x+1

x−1

√y−1√ (y−2√y +1)2

(x−1)4

Bài 14 Thu gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

a) √ 9x2−12x+4−6x−1 với x=

1 2

b) √ 4a4− 4a2+1− √ a4−6a2+9 với a= √ 2

c) x+ y+ √ x2−2xy+ y2 với x=1− √ 3; y=1− √ 5

d) x−2y− √ x2−4xy+4y2 với x= √ 5−1;y= √ 2−1

e) √ x2−8x +16− √ x2−4x +4 tại x=3 √ 2−1

f) √ x+2 √ x−1+ √ x−2 √ x−1 tại x=2 √ 7+9

BÀI 3 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN – CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

LÝ THUYẾT

1) Nếu A≥0; B≥0 thì √ A B= √ A. √ B

2) Nếu A≥0; B >0 thì √ B A =

√ A

√ B

Ví dụ 1 Tính:

a) √ 121.16.0,25 b) √ 1 9

16

Giải

a) √ 121.16.0,25= √ 121. √ 16. √ 0,25=11.4.0,5=22

b) √ 1 9

16 = √ 25 16 =

√ 25

√ 16 =

5 4

Ví dụ 2 Phân tích thành tích:

a) √ 21+ √ 14 b) √ a+b− √ a2− b2 (ĐK: a≥b≥0 )

Giải

a) √ 21+ √ 14= √ 7 √ 3+ √ 7 √ 2= √ 7 ( √ 3+ √ 2 )

b) √ a+b− √ a2− b2= √ a+b− √ ( a−b )( a+b ) = √ a+b− √ a−b. √ a+b= √ a+b ( 1− √ a−b )

Ví dụ 3 Tính: A= √ 38−12 √ 10− √ 22−4 √ 10

Giải

A= √ 38−12 √ 10− √ 22−4 √ 10

= √ ( 2 √ 5 )2− 2.2 √ 5.3 √ 2+ ( 3 √ 2 )2− √ ( 2 √ 5 )2−2.2 √ 5 √ 2+ ( √ 2 )2

¿ √ ( 2 √ 5−3 √ 2 )2− √ ( 2 √ 5− √ 2 )2=| 2 √ 5−3 √ 2|−|2 √ 5− √ 2|

= ( 2 √ 5−3 √ 2 ) − ( 2 √ 5− √ 2 ) (do 2 √ 5−3 √ 2>0⇔2 √ 5>3 √ 2⇔20>18 và 2 √ 5− √ 2>0 )

=−3 √ 2+ √ 2=−2 √ 2

BÀI TẬP

Bài 15 Phân tích thành nhân tử:

e) √ ax− √ by+ √ bx− √ ay (a,b,x,y≥0 ) f) 7 √ ab+7b− √ a− √ b ( a,b≥0 )

g) a √ b−b √ a+ √ a− √ b ( a,b≥0 ) h) √ x2−25y2− √ x−5y ( x≥5y≥0 )

i) ( √ a )3−3a+3 √ a−1 ( a>0 )

Bài 16 Tính (rút gọn):

a) 3 √ 7 ( 2 √ 7−3 )2 b) ( √ 2 3 − √ 3 2 )2

c) ( √ 3− √ 2 ) ( √ 6+2 ) d) √ 3 √ 2+2 √ 3 √ 3 √ 2−2 √ 3

e) ( 1− √ 2+ √ 3 ) ( 1+ √ 2− √ 3 ) f) ( 5+4 √ 2 ) ( 3+2 √ 1+ √ 2 )( 3−2 √ 1+ √ 2 )

g) √ 4+ √ 8. √ 2+ √ 2+ √ 2. √ 2− √ 2+ √ 2 h) √ 47+ √ 5. √ 7− √ 2+ √ 5. √ 7+ √ 2+ √ 5

i) √ 2+ √ 3 √ 2+ √ 2+ √ 3 √ 2+ √ 2+ √ 2+ √ 3 √ 2− √ 2+ √ 2+ √ 3

j) √ 31+ √ 2 √ 6+ √ 5+ √ 2 √ 3+ √ 3+ √ 5+ √ 2 √ 3− √ 3+ √ 5+ √ 2

Bài 17 Rút gọn các biểu thức sau:

a)

3 √ 7+7 √ 3

2 √ 5−4 √ 10

3 √ 10

c)

3− √ 7

3+ √ 7 −

3+ √ 7 3− √ 7 d) ( √ √ 2−5 2+5 −

√ 2−5

√ 2+5 ) : √ 2

23

e)

√ 2 ( √ 2− √ 7 )2

√ 3 ( 3− √ 11 )2

√ 6 ( 3− √ 11 )

g)

( 5 √ 2+2 √ )( √ 3−3 √ 2 )

5 √ 7−4 √ 35+7 √ 5

√ 35

i)

6 √ 6−2 √ 12+3− √ 2

10 √ 18+5 √ 3−15 √ 27

√ 3 ( √ 6−4 )

Bài 18 Rút gọn các biểu thức sau:

a) √ 13+6 √ 4+ √ 9−4 √ 2 b) ( √ 3−1 ) √ 2 √ 19+8 √ 3−4

c) √ 5+2 √ 6+ √ 14−4 √ 6 d) √ 5−2 √ 6+ √ 11−4 √ 6

e) √ 23+6 √ 10+ √ 47+6 √ 10 f) √ 21−6 √ 10+ √ 21+6 √ 10

g) √ 49−20 √ 6+ √ 106+20 √ 6 h) √ 83−20 √ 6+ √ 62−20 √ 6

i) √ 302−20 √ 6+ √ 203−20 √ 6 j) √ 601−20 √ 6− √ 154−20 √ 6

Bài 19 Rút gọn các biểu thức sau:

a) √ 6−3 √ 3+ √ 2− √ 3 b) √ 15+5 √ 5− √ 3− √ 5

c) √ 24−3 √ 15− √ 36−9 √ 15 d) √ 2− √ 3− √ 2+ √ 3

e) √ 3− √ 5− √ 3+ √ 5 f) √ 9− √ 17+ √ 9+ √ 17

g) √ 7+ √ 13− √ 7− √ 13 h) √ 12−3 √ 7− √ 12+3 √ 7

Bài 20 Tính (rút gọn):

a) ( √ 3+ √ 5 ) ( √ 10+ √ 2 )( 3− √ 5 ) b) ( 4+ √ 15 )( √ 10− √ 6 ) √ 4− √ 15

c) ( √ 6+ √ 2 )( √ 3−2 ) √ √ 3+2 d) ( 2 √ 4+ √ 6−2 √ 5 ) ( √ 10− √ 2 )

f) √ 3− √

√ 2+ √ 3 3+ √ 3 h) √ 4− √ 15+ √ 4+ √ 15−2 √ 3− √ 5

Bài 21

a) Thu gọn biểu thức A= √ 8+2 √ 10+2 √ 5+ √ 8−2 √ 10+2 √ 5

b) So sánh M= √ 4+ √ 7− √ 4− √ 7 và N= √ 2+ √ 3− √ 2− √ 3

c) Cho C= √ 45+ √ 2009 và E= √ 45− √ 2009 Chứng minh rằng: C+E=7 √ 2

d) Thu gọn biểu thức

D= √ 7+ √ 5+ √ 7− √ 5

√ 7+2 √ 11 − √ 3−2 √ 2

e) Thu gọn biểu thức E= √ √ 2+2−2 √ √ 2+1+1

f) Thu gọn biểu thức F= √ 3+ √ 2− √ 8 √ 2+8− √ √ 2+1

g) Thu gọn biểu thức

G= √ 1+2 √ 27 √ 2−38− √ 5−3 √ 2

√ 3 √ 2−4

Bài 22 Rút gọn các biểu thức sau (với những giá trị của biến làm cho biểu thức có nghĩa):

a) √ ( a2+ b2−2ab )( a4+ b2−2a2b ) b)

ab+2 √ b

3 √ b :

3 √ b

ab−2 √ b

c)

√ x2+ y4−2xy2

9x2y2

Bài 23 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A= √ x−2+2 √ x−3− √ x−3 b) B= √ 2x−2 √ x2−4+ √ x−2

c) C= √ 4x2−12x +9+2x−1 với x< √ 2 d) D= √ x−4 √ x−4 với 4≤x≤5

e) E= √ x−2 √ x−1+ √ x+3−4 √ x−1 với 2<x<5

f) F= √ 2x−1− √ x(3x−2)+ √ 6x−1+3 √ x (3x−2) với 32<x <1

)

Bài 24 Cho

A= √ x−1−2 √ x−2

√ x−2−1

a) Tìm x để A có nghĩa b) Tính A2 và rút gọn A

Bài 25 Cho a= 1+ √ 5

2 và b=

1− √ 5

2 Tính a5

+b5

Bài 26 Cho

B=√x +4√x−4 +√x −4√x−4

√1−8

x+

16

x2

a) Tìm x để B có nghĩa b) Rút gọn B

c) Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên

Để xem đầy đủ vào trang website: giaidethi24h.net