Tài liệu ôn tập Toán lớp 11 học kì II

Tài liệu ôn tập Toán lớp 11 học kì II 1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn. Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:limun= 0 hay un >0 khi n > +∞ Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi nếu lim(una)=0 Kí hiệu:limun=a hay un >a khi n > +∞

CHƯƠNG IV.GIỚI HẠN

BÀI 1.GIOI HAN CUA DAY SO

A/TOM TAT GIAO KHOA

1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn

*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới đương vô cực,nếu |u„|có thể nhỏ

hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu:limu„= 0 hay u„_y 0 khi n —> +

*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi ø-—> + nếu lim(u,-a)=0

Ki hiéu:limu,=a hay una khi n—- +

2 Dinh nghia giới hạn vô cực

*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +œ khi ø —› +œ „nếu u„ có thể lớn hơn một số

dương bắt ki,ké tir s6 hạng nào đó trở di

Kí hiệu:limun=+œ hay ua_—› +œ khin > +0

Day số (u,) được gọi là có giới hạn -œ khi ø—› +œ „nếu lim(-uạ)=+ œ

Ki hiéu:limu,=- «© hay ua_› -œ khiz —> +

3.Các giới han đặc biệt

a/lim 1 =0 slim +, =0;limn=+œ với k là số nguyên dương

b/limq"=0 néu |q|<1;limq"=+ 0 néu |q|>1

c.lime=c (cla hang sé)

b/Nếu uạ>0 với mọi n và limu,=a thi a> va lim Ju, = Va

5 Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực

Định lí 2

kK : x1? ` 1ˆ 1 a/Néu limu,=a va limv,=+ thi lim —* = 0

6.Cấp số nhân lùi vô hạn ;

*Cap so nhan lui v6 han 1a cap so nhan thoa man |q|<1

1ì

*Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn: S=u¡+uz+us+ =

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I Vấn đề 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SÓ NHỜ VÀO

CÁC ĐỊNH LÍI, 2 VỀ GIỚI HẠN PHƯƠNG PHÁP

Biến đổi biểu thức biễu diễn dãy số về dạng có thể áp đụng được định lí 1,2.

*Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia tử số và mẫu số cho n*,trong đó k là

số mũ cao nhất của n(hoặc q" với q là số lớn nhất có luỹ thừa n)

*Nếu biểu thức không có dạng trên,tuỳ trường hợp có thé dùng các phép biến đồi sau:

+Đặt thừa số chung dé áp dụng định lí về giới hạn vô cực

+Nhân và chia cho biểu thức liên hợp đề đưa về dạng phân thức,khi biểu thức

chứa biến n dưới dấu căn

lim Vn a1 Vn? on) =Him +1 —n)QnŠ +1 + Vn —n)

(7? +1)-(n? -n)

Xn°+l+Vn°—n

n+l vn? nàn _n

+1 I++ =

Chú ý : khi gặp các dang sau(1a gọi là các dạng vô dinhthi ta phải biến đổi để đưa về dạng thích hợp đề vận dụng các định lí để giải

II.Vấn đề 2 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp : Chứng minh dãy sô tương ứng là một câp sô nhân lùi vô hạn(nêu bài toán chưa cho giả thiệt này).Sau đó tính tông băng công thức :

=— và ĐC Vi lại - 3| = 7 <1nén(u,) la mét cdp sé nhan lai v6 hang.Do đó ta

Bài1.Tính các giới hạn sau:

A.TOM TAT GIAO KHOA

1 Định nghĩa giới han hữu hạn của hàm số

*Cho khoảng K chứa điêm xạ và hàm số y=f{x) xác định trên K hoặc trên K\(xo)

Số L được gọi là giới hạn của hàm số y=f(xọ) khi x đần tới x_„ nếu với đãy số (xa)

bat kìÌ,Xae K \(Xo) Va Xp» Xo ta 06 f(Kp) _›L

Ki hiéu tim f(x)=L hay f(x) +L khi x +x,

e Cho ham s6 y= f(x) xác định trên khoảng (xo;b)

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm sô y=f(x) khi x_-y x, nếu với dãy SỐ (Xn) bat ki,xo<Xp<b V a Xa _y Xo,ta có f(x,) >L

Kí hiệu: lim f(x) =L

e Cho hàm số y= x) xác định trên khoảng (a;Xo)

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm sô y=f(x) khi x_› Xo nếu với dãy số (Xn) bat ki,a<x, <Xo Va Xp» Xo,ta cd f(x) >L

Ki hiéu: lim f(x) =L

¢ Cho ham sé y= x) xác định trên khoảng (a;+œ)

Số L được gọi là giới hạn bên của hàm số y=f(x) khi x_»+œ nếu với day sé (Xp) bat kì xạ>a v à xa_y +œ,ta có f(xn) _yL

Kí hiệu: lim f(x)=L

¢ Cho ham sé y= f(x) xác định trên khoảng (-œ;a)

Số L được gọi là giới hạn bên của hàm sé y=f(x) khi x_-« néu voi day sé (Xn)

bat kì xạ<a và xạ_y-œ ,ta có f(xa) _yL

Kí hiệu: lim f(x)=L

2.Định nghĩa giới han vô cực của hàm số

*Cho hàm số y=f(x) xac định trên khoảng (a;+ )

Hàm số y=f(x) được gọi là có giới hạn -œ khi x_„+œ nếu với dãy sé (xn)

bắt kì,xn>a và xạ_y+œ,ta có Í(n) _y-œ

Kí hiệu: lim ƒ(x) =—œ

*Chú ý: lim ƒ(x)= +» lim ƒ(x) =— lim f(x) = +00

lim f(x) = +00 lim f(x)=-« được định nghĩa tương tự

XXq

*Nhận xét: lim f(x)=+0 © lim(-f(x))=-

3.Các giới han đặc biệt

a/lim x=x, 5 b/limc=c3e/limc=c3 d/lim “=0;( là hằng số) Xu xu x-s‡e x->‡ X

e/ lim x‘ =+0,k x-s+ € Z* 3f/ lim x* =—= „nếu k là số lẻ

g/ lim x* =+0, néu k 1a sé chan

4.Dinh li vé giới hạn hữu han

Định lí 1

a/Néu lim ƒ(x)= L và lim g(x) = M thì:

Chú ý: Định li van ding khi x > x," 3x > xy 3x > -2:x > +00

Dinh li 2 lim f(x)=L © lim f(x)= lim =L

x À ere A

5.Quy tắc vệ giới hạn vô cực

a/Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

(Dau cua g(x) xét trén mét khoang K nao dé dang tinh gibi hạn,với x # x,)

B.PHUONG PHAP GIAI TOAN

I.Vẫn đề 1.Tính giới hạn của hàm số nhờ áp dụng trực tiếp các định lí 1,2 hay quy tắc về giới hạn vô cực

x3”

10

Ta có: lim (4x* —2x? +.x)= lim x “a-244) =+œ

Tuỳ nme dạng vô định mà sử dụng phép khử thích hợp

*Dang — ạ (tính lim „@) khi lim z(x) x9% v(x) 3%) = lim v(x) =0)

-Phan tich tử số và mẫu số thành các nhân tử và giản ước.Cụ thể ta biến đồi:

u(x) _ lim (x—xs)4(x) - = lim A(x)

*Dang (tính lim s9 khi lim z(x) 19% W(X — = lim v(x) = ‡œ )

Chia tử số và mẫu số cho x" với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x(hay phân tích

tử và mẫu chứa nhân tử x° rôi giản ước)

-Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến đưới dấu căn thức thì đưa x" Ta ngoài dấu căn(với k là

số mũ cao nhất của x trong dấu căn),trước khi chia tử số và mẫu số cho luỹ thừa của x

*Dang œ-œ(Tính lim[z(x)- v(x)] khi

lim (x) = lim v(x)=+00 hoặc lim u(x) = lim v(x) =—œ

Nhân và chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số đưới dấu căn thức)hoặc quy đồng mẫu số để đưa về cùng một phân thức(néu chứa nhiều phân thức)

Ví dụ 1.Tính các giới hạn sau:

C.BAI TAP DE NGHI

Bài 1.Tính các giới hạn sau:

1 im Vx? —4 x3 2 tim =*5 xl x+Ï 3 lim “+4 xo-2 (x+2)°

4 lim XI x3” x—3 5 lim 2a! x3” x—3 6 lim 2! x3 y—3

7 lim(xÌ—2x+l) 8 lim VJx?+3x-7 9 lim V4x?+x-1

A.TOM TAT GIAO KHOA

I Dinh nghia ham số liên tục:

*Cho hàm s6 y=f(x) xác định trên khoảng K va Xoe K

Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại xo nếu lim F(x) = Z0)

*Hàm số y=f{x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

* Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một đo ạn [a;b ] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) v a lim, (x)= f(a), lim F(x) = f(b)

Nhận xét : Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đõ

II.Các đỉnh lí

1 Định lí 1

a/Hàm số đa thức lien tục trên toàn bộ tập số thực R

b/Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó

3 Định lí 3.Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] va f(a).f(b)<0 thi ton tại

ít nhât một điểm c e (a;») sao cho f(c)=0

Mệnh đề tương đương : Nêu hàm so y=f(x) lién tuc trén doan [a ;b] va f(a) f(b)<0 thi phuong trinh

f(x)=0 co it nhat một nghiệm xọc (a;b)

4.Đinh lí 4.( định lí giá trị trung gian)

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] va f(a) z f(b)thì với số thực M nằm giữa f(a) va f(b) luôn tồn tại ít nhất một điểm c e (a;b) sao cho f(c)=M

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I.Vấn đè1.XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SÓ TẠI ĐIỂM Xụ DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA

PHƯƠNG PHÁP :

*Tinh va so sánh lim T(x) V6i f(Xo)

*Trong trường hợp bên trái,bên phải xo hàm số được xác định bang hai biéu thức khác nhau, đề tìm lim f(x) can tim Jm, F(x), fim, J (x) va luu ý rang:

lim f(x)=L = lim f(x) = lim = L

Do dé,ham sé lien tuc tai x=-1

2.Tập xácđịnh của ham số là D=R chứa x=2

Ta có:g(2)=-

lim g(x) = lim (x? —x +1) = 3 z ø(2) nên không ton tai lim g(x)

= lim(x-1)=-2= CĐ

Do đó,hàm số không liên tục tại x=2

3.Tập xác định của ham so la D=[3; + )nén nó xác định trên

Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=4

II.Vấn đề 2.XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SÓ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp:

Dùng định lí về sự liên tục của các hàm số đa thức,phân thức hữu tỉ,lượng

Vì lim f(x) # lim f(x) nên hàm số đã cho không có giới hạn hữu hạn khi

x->3.Do đó nó không lien tục tại x=3 | ` - /

Il Van dé 3.TIM DIEU KIEN DE HAM SO LIEN TUC TAI MOT DIEM

Dùng định nghĩa hàm sô liên tục tại một điểm

Vi du 3:Tim giá trị của tham sô m dé hàm sô sau liên tục tại x=-l:

V3x+4-1,,

———— khix + -1 S(x)= x+1

mkhix = —-1 Giải

x+l >l(x+l)(43x+4+l) +? !A4/3x+4+l 2

Hàm số trên liên tục tại x=-l © lim f(x) =f(-l)om =;

IV.V4n dé 4.CHUNG MINH PHUONG TRINH f(x)=0 CO NGHIEM

Phuong phap:

*Để chứng minh phương trình có nghiệm,cần tìm hai số a va b sao cho hàm số y=Ẩx) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f{b)<0

Nếu phương trình chứa tham só,thì chọn a và b sao cho:

-Các giá trị f{a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không

doi

-Hoặc cả f(a) va f(b) déu chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0

*Đề chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm, cần tìm được k cặp s6 a; va b; sao cho các khoảng (a¡;b;) rời nhau,f(a;).f(b;)<0 và hàm sô y=f(x) lien tuc trén tat cả các đoạn [aj;b;]

Ví dụ 4.Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (- 231):2x°-5x°-1=0

Giai:

Xét hàm số f(x)= 2x°-5x°-1

Chọn hai số thực -1,0 cùng thuộc khoảng (-2;1),ta có f{-1)=2,f{0)=-I

Do do f(-1).f(0)=-2<0 (1)

Hàm số nêu trên liên tục trên R„do đó liên tục trên đoạn [-1:0] (2)

Từ (1) và(2) suy ra phương trình f(x)=0 hay 2x”-5xÌ-I=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1;0),nghĩa là thuộc khoang (-2;1)

Ví dụ 5:CMR phương trinh:2x°-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm

Giải

Xét hàm số fx)= 2xÌ-5x”+x+1.Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) lién tuc trên các đoạn [0;1] và [1;3].(1)

Ta có:f0)=1;f(1)E-1;3)=13.Do đó f(0).f(1)<0 và f1).3)<0(2)

Từ (1) và(2) suy ra pt f(x)=0 có ít nhất hai nghiệm

Ví dụ 6.Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

BÀI 1 ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

A.TOM TAT GIAO KHOA

I, Dinh nghia

1.86 gia doi số và số gia hàm số

Cho hàm số y=f(x) xac dinh trén khoang (a;b) va Xe (asb)

*Số Ax thoả điều kiện xọt Ax ce(a;b) được gọi là số gia của biến số tại điểm xụ,

khix > -1

«Hiéu sé f(xot Ax )-f(X0,ki hiéu Ay được gọi là số gia của hàm số tại điểm xụ ứng với số gia Av

2 Dinh nghiadao hàm tại một điểm

_Cho ham sé y=f(x) xac định trên khoảng (a;b) và xọ (a;b).Khi biến số nhận một số gia Ax thì hàm sô có số gia twong tng 1a Ay= f(xot Ax )-f(Xo)

Nếu tồn tại giới giới hạn hữu hạn của tỉ số n khi Ax —› 0 thì ta nói hàm số có

¢ Néu ham s6 f(x) có đạo hàm tại điểm xụ thì f(x) liên tục tại xọ.Tuy nhiên

điêu ngược lại chưa chắc đúng

3 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Kí hiệu J là một khoảng hay hợp của những khoảng nào đó

a/Định nghĩa:nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm xụcJ thì ta nói hàm số

có đạo hàm trên J.

Khi đó đạo hàm của hàm số f(x) tai điểm x tuỳ ý của J được kí hiệu là y°hay f’(x) b/ Đạo hàm của một số hàm số cơ bản

*(x")’=nx"! (nc N,n>1)

*(a) =>)

4.Ý nghĩa hình học của đạo hàm

a/Dao ham cua hàm số y=f(x) tai điểm xụ là hệ số góc của tiếp tuyến cúa đồ thị hàm số đó tai diém Mo(xo3f(X0))

b/Hệ quả:Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại xạ thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tai diém M›(x¿;f(xo))có phương trình là:

y=Ÿ(&)(x-xo)+f(o)

5Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a/Vận tốc tức thời tại thời điểm tạ của một chất điểm chuyến động với phương trình s=s(t) la:v(to)=s’ (to)

b/Cường độ tức thời tại thời điểm tạ của một dòng điện với điện lượng Q=Q(t)

1a:1(to)=Q’ (to)

B.PHUONG PHAP GIAI TOAN

I.Vấn đề 1.TIM SO GIA CUA HAM SO

Phuong phap:

Dé tinh sé gia của hàm số y=f(x) tại điểm xụ tương ứng với số gia Ax cho trước

ta áp dụng công thức tinh sau: Ay= f(Xot+ Ax )-f(Xo)

Vi du 1.Tim số gia của hàm số y=2x”-3x+5 tương ứng với sự biến thiên của đối số:

Vi du 3.Cho ham s6 y=f(x)= 2x? +1

a/Tính đạo hàm của hàm số tại xo b/Suy ra giá trị của (2)

Giải

a/Ta có: (6%9)= tim LO) C0) _ gm V2” +1 23, ‡Í XXp x—%g XXq rox,

HI,Vấn đề 3.LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA DUONG CONG Phương pháp:

a/Cần nhớ:

Ye~Va

*Hệ số góc của đường thắng AB là k=“

Xg —X„

*f'(x¿) là hệ số góc cúa tiếp tuyến với đương f cong (C) tại điểm Mu(x;f(x¿))

b/Các loại tiếp tuyến:

Loại 1:Tiếp tuyến tại diémM(xo3yo) e(C)

Phương trình tiếp tuyến có dạng:y=fP(xo)(X-Xo)+Yo

Loại 2:Tiếp tuyến song song với đường thẳng d°

*Tiếp tuyến d//d° = ka=ka:

*Goi Xo 1a hoanh do tiép diém,ta có:f?(xạ)=ka (1)

*Giai (1) ta được xạ Từ đó suy ra yo

*Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y=fˆ(xo)(x-Xg)+yọ

Loại 3 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d°

*Tiếp tuyến d vuông góc với đường thắng ng

&'

*Gọi xụọ là hoành độ tiếp điểm,ta có:f?(xạ)=ka (2)

*Giai (2) ta được xạ Từ đó suy ra yọ

*Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y=f?(%o)(x-Xo)+yo

Loại 4.Tiếp tuyến qua điểm A cho trước

*Goi (d) la tiếp tuyến cần tìm và (xạ;y,) là tiếp điểm

Ta có (d): y=f°(Xo)(X-Xo)+yo

*Cho (đ) qua A ta đ ược y4=f'(Xo)(XA-Xo)+o @)

Gï ải (3) ta đ ược Xo.Suy ra phương trình của tiếp tuyến

Ví dụ 4.Cho hàm số y=f(x)= L có đồ thị là (C)

x

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:

a/Tiếp điểm có hoành độ bằng -2

b/ Tiếp điểm có tung độ bằng 3

c/Hệ số góc cúa tiếp tuyến bằng -4

d/Tiếp tuyến song song với đường thắng (d°):y=- 5 + 2007

e/Tiép tuyén qua diém A(-8;0)

Vay tiép tuyén cần tìm có phương trình:y=- 9(x -) +3 y=-9x+6

c/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -4— kạ=-4

Gọi x là hoành độ tiếp điểm

ta có:f(Xo)=ku=4— — + =45 x

Vậy có hai tiếp tuyén thoa yebt:(d):y=-4(x - 3 2=-4x+4

hoặc(4):y=-4(x + „ )-2=-4x-4

d/ Tiép tuyén song song với đường thang (d’):y=— 5+ 2007

Gọi xụ là hoành độ tiếp điểm,ta có:

C.BAL TAP DE NGHI -

Bài 1.Tìm số gia của hàm số y=3x”-4x+5,tương ứng với sự biến thiên của đối số: 1.Từ xạ=l đên x=xạ†+ Ax 2 Từ xạ=2 đên x=xụ†+ Ax

Bài2.Tính Ay vào của các hàm số sau theo x va Ar:

x

L.y=5x-3 2.y=2x"+6 3.y=2x"-4x+3 4.y=sin2x

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm sô sau tại điềm xo:

Bài 4.Cho hàm số y=x 72x43 có đồ thị (P)

1.Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm xọ

2.Lập phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ bằng 1

3.Lập phương trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến song song với đường thắng y=2x+10

4 Lập phương trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thắng x+4y-20=0

Bài 5.Cho parapol (P): mã Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết:

a/ Tiếp tuyến song song với đường thang y=2x+10

b/ Tiép tuyến qua điểm A(0;-1)

BÀI 2.CÁC QUY TÁC TÍNH ĐẠO HAM

A.TOM TAT GIAO KHOA

1, Đạo hàm của tông hiệu các hàm số

Định lí 1:Cho các hàm số u=u(x),v=v(x) cáo đạo hàm trên khoảng (a;b)thì tông

và hiệu của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và:

(ut+v)’=u’+v’;(u-v)’=u’-v’

2 Dao ham cúa tích các hàm số:

Định li 2: Cho các hàm số u=u(x),v=v(x) cáo đạo hàm trên khoảng (a;b)thì tích của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và:(u.v)°=u?.v+v°.u

Dac biét :(au)’=a.u’(a la hang số) 3,Đao hàm cúa thương hai hàm số :

Định lí 3 : Cho các hàm số u=u(x),v=v(x) cáo đạo hàm trên khoảng (a;b) và v(x) z0 trên (a ;b) thì thương

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I.Vẫn đề 1.TÌM ĐẠO HÀM CỦA TỎNG HIỆU TÍCH THUONG CAC HAM SO Phương pháp:

Ví dụ 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1.y=(2x-1)(3-x) 2.y=(xÌ+x+1)(x-2) 3.y=(2 Vx +1)(4 Vx -3) Giai

Bài1.Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm xạ được cho kèm theo:

1.y=7+x-X”,xụ=l 2.y=xÌ-2x+1,xụ=2 3.y=2x”-2x+3,xụ=-l

Bài 2.Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau(a,b là hằng số):

Bài 3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SÓ LƯỢNG GIÁC

A.TOM TAT GIAO KHOA

1 Đạo hàm của hàm số sin

B.PHUONG PHAP GIAI TOAN

Khi tính đạo hàm của hàm số lượng giác,ngoài các công thức tính đạo hàm đã học,cần chú ý đến các công thức thu gọn sau:

lt nóc 6m2)

3—£ Ea axas— |sn(4x +3)J 4cos(4x+3) | 2cos(4x +3)

4y Cysin(4x+3)) 2jsin(4x+3) 2./sin4x+3) Vjsin(4x+3)